第12章 二次根式（教師版）

2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級下冊章節(jié)培優(yōu)復習知識講練第12章二次根式（思維導圖+知識梳理+十大重點考向舉一反三講練）1、理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關實數(shù)的四則運算.3、了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關系方面的作用.知識點01：二次根式的相關概念和性質(zhì)【高頻考點精講】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易錯點剖析】二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.【易錯點剖析】（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.【易錯點剖析】最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.【易錯點剖析】判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點02：二次根式的運算【高頻考點精講】1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：【易錯點剖析】（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.【易錯點剖析】二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.知識點03：二次根式的相關概念和性質(zhì)【高頻考點精講】1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.【易錯點剖析】二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；

（2）；

（3）.【易錯點剖析】（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.【易錯點剖析】最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.【易錯點剖析】判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點04：二次根式的運算【高頻考點精講】1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：【易錯點剖析】（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.【易錯點剖析】二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.重點考向01：二次根式有意義的條件重點考向02：二次根式的性質(zhì)與化簡重點考向03：最簡二次根式重點考向04：二次根式的乘除法重點考向05：分母有理化重點考向06：同類二次根式重點考向07：二次根式的加減法重點考向08：二次根式的混合運算重點考向09：二次根式的化簡求值重點考向10：二次根式的應用重點考向01：二次根式有意義的條件【典例精講】（2023春?新鄭市校級期末）若＝在實數(shù)范圍內(nèi)成立，則x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【思路點撥】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件進行判斷即可．【規(guī)范解答】解：∵＝在實數(shù)范圍內(nèi)成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故選：D．【考點評析】本題考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，同時滿足這兩個條件，原等式在實數(shù)范圍內(nèi)才成立．【變式訓練1-1】（2023春?招遠市期中）若式子有意義，則x的取值可以是（）A．0 B．2 C．3 D．5【思路點撥】由式子有意義，可得，從而可得答案．【規(guī)范解答】解：∵式子有意義，∴，解得：x＞3，∴A，B，C都不符合題意；D符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查的是分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，熟練的建立不等式組解題是解題關鍵．【變式訓練1-2】（2023?包河區(qū)三模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≤3．【思路點撥】直接利用二次根式的性質(zhì)得出3﹣x的取值范圍，進而求出答案．【規(guī)范解答】解：∵二次根式有意義，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案為：x≤3．【考點評析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．【變式訓練1-3】（2023?香坊區(qū)校級開學）已知，則＝．【思路點撥】根據(jù)二次根式有意義的條件求出a的值，再求出b的值，最后代入求出的值即可．【規(guī)范解答】解：由題意可得：，解得：b＝2，∴a＝3，∴．故答案為：．【考點評析】本題主要考查不等式組的求解以及二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題關鍵．【變式訓練1-4】（2023?平潭縣校級開學）已知．（1）求x的值．（2）求的值．【思路點撥】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（2）結合（1）確定y的值，然后將x、y的值代入求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可知，，解得，∴x＝2；（2）由（1）可知，x＝2，∴y＝0+0+5＝5，∴．【考點評析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、代數(shù)式求值、二次根式化簡等知識，理解二次根式有意義的條件是解題關鍵．重點考向02：二次根式的性質(zhì)與化簡【典例精講】（2023秋?蕭縣期末）如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（）A． B． C． D．【思路點撥】觀察數(shù)陣排列，可發(fā)現(xiàn)各數(shù)的被開方數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，行數(shù)中的數(shù)字個數(shù)是行數(shù)的2倍，求出n﹣1行的數(shù)字個數(shù)，再加上從左向右的第n﹣3個數(shù)，就得到所求數(shù)的被開方數(shù)，再寫成算術平方根的形式即可．【規(guī)范解答】解：由圖中規(guī)律知，前（n﹣1）行的數(shù)據(jù)個數(shù)為2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），所以第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)的被開方數(shù)是n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，所以第n（n是整數(shù)，且n≥4）行從左向右數(shù)第（n﹣3）個數(shù)是．故選：C．【考點評析】本題考查了算術平方根．根據(jù)數(shù)據(jù)排列規(guī)律，計算前（n﹣1）行數(shù)據(jù)的個數(shù)是解決本題的關鍵．【變式訓練2-1】（2023春?蘭陵縣期末）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖所示，化簡﹣a+|b﹣a|+的結果是（）A．﹣b﹣c B．c﹣b C．2a﹣2b+2c D．2a+b+c【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸，確定a、b、c的正負，確定b﹣a的正負，然后再化簡．【規(guī)范解答】解：由數(shù)軸知：c＜0，b＜0＜a，∴b﹣a＜0，∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c＝﹣a﹣b+a﹣c＝﹣b﹣c．故選：A．【考點評析】本題考查了數(shù)軸的相關知識，絕對值、二次根式的化簡．兩數(shù)相加，取決于絕對值較大的加數(shù)的符號，大數(shù)減小數(shù)為正，小數(shù)減大數(shù)為負．【變式訓練2-2】（2023秋?懷化期末）先閱讀下列解答過程：形如的式子的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有．例如：化簡．解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．請根據(jù)材料解答下列問題：（1）填空：＝；（2）化簡：（請寫出計算過程）；（3）化簡：．【思路點撥】（1）直接根據(jù)閱讀內(nèi)容進行變換化簡即可；（2）根據(jù)例題把4，變成2，然后根據(jù)閱讀內(nèi)容進行化簡；（3）先根據(jù)閱讀內(nèi)容先將分母進行化簡，然后分母有理化，再通過合并同類項進行化簡．【規(guī)范解答】解：（1）∵3+1＝4，3×1＝3，即（）2+12＝4，，∴．故答案為：．（2）首先把化為，這里m＝19，n＝60，∵15+4＝19，15×4＝60，即（）2+（）＝19，，∴＝＝＝．（3）原式＝++＝++2﹣＝1．【考點評析】本題是一道閱讀理解題，主要考查了二次根式的化簡，解答本題的關鍵是掌握題目中告知問題的解題思路與方法，然后利用這種解題方法解決新問題．【變式訓練2-3】（2023秋?天元區(qū)期末）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a|﹣+﹣．【思路點撥】直接利用數(shù)軸判斷得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，進而化簡即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，則原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．【考點評析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出各部分的正負是解題關鍵．【變式訓練2-4】（2023春?沭陽縣期末）小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫出另一個式子的平方，如3+2．善于思考的小明進行了以下探索：設a+b（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)，若a+b，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）若a+4，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．（3）化簡．【思路點撥】（1）根據(jù)小明的方法，將（m+n）2按完全平方公式展開，和a+b的系數(shù)進行對比，即可求出a和b的值；（2）欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根據(jù)題意可知b＝2mn＝4，進而得到mn＝2，結合m，n均為正整數(shù)即可求出m，n的值；再根據(jù)a＝m2+3n2即可求出a的值．【規(guī)范解答】解：（1）仿照小明的方法，將（m+n）2展開，得：m2+3n2+2mn，將m2+3n2+2mn與的系數(shù)進行對比，可得：a＝m2+3n2、b＝2mn．故答案為：m2+3n2，2mn．（2）觀察a+4＝（m+n）2可知，b＝4，由（1）中的規(guī)律可知，2mn＝4，則mn＝2，由于m、n均為正整數(shù)，則有：或?qū)＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得：a＝13，將m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得：a＝7，綜上可知，a的值為13或7．（3）＝＝＝1+．【考點評析】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是理解清楚題意，并對相應的運算法則的掌握．重點考向03：最簡二次根式【典例精講】（2023秋?蒸湘區(qū)校級期中）下列根式是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)最簡二次根式的定義對各選項進行判斷．【規(guī)范解答】解：A．為最簡二次根式，所以A選項符合題意；B．＝，則不是最簡二次根，所以B選項不符合題意；C．＝，則不是最簡二次根，所以C選項不符合題意；D．＝2，則不是最簡二次根，所以D選項不符合題意；故選：A．【考點評析】本題考查了最簡二次根式，正確理解最簡二次根式的定義是解決問題的關鍵．【變式訓練3-1】（2022春?舒蘭市期末）下列各式屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【思路點撥】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【規(guī)范解答】解：A、不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；B、∵，∴不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；C、2不能再開方，是最簡二次根式，故此選項符合題意；D、∵，∴不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；故選：C．【考點評析】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式訓練3-2】（2020春?懷寧縣期末）把化為最簡二次根式，結果是．【思路點撥】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出答案．【規(guī)范解答】解：，故答案為：【考點評析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確開平方是解題關鍵．【變式訓練3-3】（2021秋?侯馬市校級期末）若二次根式是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2．【思路點撥】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【規(guī)范解答】解：若二次根式是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【考點評析】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式訓練3-4】（2023春?萊陽市期中）已知A＝5，B＝3，C＝，其中A，B為最簡二次根式，且A+B＝C，求的值．【思路點撥】根據(jù)最簡二次根式的定義可得2x+1＝x+3，從而可得：x＝2，進而可得A＝5，B＝3，然后求出C＝8＝，從而可得10x+3y＝320，進而可得y＝100，然后把x，y的值代入式子中進行計算，即可解答．【規(guī)范解答】解：∵A，B為最簡二次根式，∴2x+1＝x+3，解得：x＝2，∴A＝5，B＝3，∵A+B＝C，∴C＝A+B＝8＝，∵C＝，∴10x+3y＝320，∴20+3y＝320，解得：y＝100，∴＝＝＝14，∴的值為14．【考點評析】本題考查了最簡二次根式，二次根式的性質(zhì)與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．重點考向04：二次根式的乘除法【典例精講】（2023春?西和縣期末）下列計算錯誤的是（）A． B．2 C． D．【思路點撥】根據(jù)二次根式乘除運算法則進行計算即可．【規(guī)范解答】解：A．，計算正確，故A選項不符合題意；B．，原計算錯誤，故B選項符合題意；C．，計算正確，故C選項不符合題意；D．，計算正確，故D選項不符合題意．故選：B．【考點評析】本題考查了二次根式的乘除運算，解答關鍵是根據(jù)相關運算法則進行計算．【變式訓練4-1】（2023秋?昌黎縣期末）小明做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)；；；；…；按此規(guī)律，若（a，b為正整數(shù)），則a+b＝73．【思路點撥】找出一系列等式的規(guī)律為（n≥1的正整數(shù)），令n＝8求出a與b的值，即可求得a+b的值．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：（n≥1的正整數(shù)），∵＝a?，∴a＝8，b＝82+1＝65，則a+b＝8+65＝73．故答案為：73．【考點評析】此題考查了數(shù)字類規(guī)律，找出題中的規(guī)律是解本題的關鍵．【變式訓練4-2】（2023春?紅安縣期末）化簡：的結果為：0．【思路點撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得2﹣a≥0，進而化簡得出答案．【規(guī)范解答】解：由題意可得：2﹣a≥0，解得：a≤2，故原式＝2﹣a﹣（2﹣a）＝2﹣a﹣2+a＝0．故答案為：0．【考點評析】此題主要考查了二次根式的乘除以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．【變式訓練4-3】（2023春?賓陽縣期中）觀察下列各式及其驗證過程：，驗證：．，驗證：．（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想的變形結果并進行驗證；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，直接寫出用n（n≥2，且a為整數(shù)）表示的等式．【思路點撥】（1）利用已知，觀察＝2，＝3，可得的值；（2）由（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以總結出一般規(guī)律；【規(guī)范解答】解：（1）∵＝2，＝3，∴＝4＝4＝，驗證：＝＝，正確；（2）由（1）中的規(guī)律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，∴＝，驗證：＝＝；正確；【考點評析】此題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，善于發(fā)現(xiàn)題目數(shù)字之間的規(guī)律，是解題的關鍵．重點考向05：分母有理化【典例精講】（2023春?莘縣期末）下列運算中正確的是（）A． B． C． D．【思路點撥】運用二次根式的乘法和除法法則進行運算驗證．【規(guī)范解答】解：A、2?3＝42≠6，故不符合題意；B、＝＝≠，故不符合題意；C、＝＝＝≠3，故不符合題意；D、÷（×）＝÷＝1，故符合題意．故選：D．【考點評析】本題主要考查了二次根式的化簡和乘除法，以及分母的有理化．【變式訓練5-1】（2023秋?覃塘區(qū)期末）觀察下列等式：第1個等式：a1＝＝﹣1，第2個等式：a2＝＝，第3個等式：a3＝＝2﹣，第4個等式：a4＝＝﹣2，…按上述規(guī)律，計算a1+a2+a3+…+an＝﹣1．【思路點撥】首先根據(jù)題意，可得：a1+a2+a3+…+an＝，然后根據(jù)分母有理數(shù)化的方法，求出算式的值是多少即可．【規(guī)范解答】解：第1個等式：a1＝＝﹣1，第2個等式：a2＝＝，第3個等式：a3＝＝2﹣，第4個等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+an＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案為：﹣1．【考點評析】此題主要考查了分母有理化的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．【變式訓練5-2】（2023秋?化州市期末）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：＝＝＝﹣1以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．參照上面的方法化簡：＝﹣．【思路點撥】分子、分母同時乘以（﹣）即可．【規(guī)范解答】解：＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【考點評析】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．【變式訓練5-3】（2023春?巨野縣期末）閱讀下列材料，然后回答問題．在進行二次根式運算時，我們有時會碰上這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：．以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．（1）化簡；（2）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求a2+b2的值．【思路點撥】（1）仿照題意進行分母有理化即可；（2）將進行分母有理化為，進而可得的整數(shù)部分為a＝3，小數(shù)部分為，代入即可求解．【規(guī)范解答】解：（1）＝＝＝；（2）∵，又∵，∴，∴的整數(shù)部分為a＝3，小數(shù)部分為，則．【考點評析】本題考查了分母有理化及無理數(shù)的估值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和平方差公式是解決問題的關鍵．重點考向06：同類二次根式【典例精講】（2024?岳陽樓區(qū)開學）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【思路點撥】先化簡成最簡二次根式，比較被開方數(shù)，相同即可．【規(guī)范解答】解：A．與，被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；B．與，被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；C．與，被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，不符合題意；D．與，被開方數(shù)相同，是同類二次根式，符合題意；故選：D．【考點評析】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．【變式訓練6-1】（2023春?蜀山區(qū)期中）使最簡二次根式與是同類二次根式的x值是3或1．【思路點撥】根據(jù)最簡二次根式與同類二次根式的定義列方程求解．【規(guī)范解答】解：由題意，得：x2+4＝4x+1，整理得x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x＝3或x＝1，故答案為：3或1．【考點評析】本題主要考查同類二次根式及一元二次方程的解法，熟練掌握同類二次根式的概念是解題的關鍵．【變式訓練6-2】（2023春?灌云縣期末）已知是最簡二次根式，且與可以合并．（1）求x的值；（2）求與的乘積．【思路點撥】（1）根據(jù)同類二次根式的概念，列出關于x的方程進行求解即可；（2）將x的值代入式子進行計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）由題意可知兩個根式是同類二次根式，∵＝，∴x+1＝10，∴x＝9；（2）當x＝9時，＝，∴與的乘積為：×＝＝5．【考點評析】本題考查同類二次根式和最簡二次根式，正確理解題列出算式是解題關鍵．【變式訓練6-3】（2023秋?高州市期中）已知最簡二次根式與是同類二次根式，求關于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解．【思路點撥】根據(jù)同類二次根式的定義知2a2﹣a＝4a﹣2，據(jù)此可以求得a的值；然后將其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0并解方程即可．【規(guī)范解答】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴a2﹣a＝4a﹣6，解得：a＝2或a＝3，當a＝2時，關于x的方程為2x﹣3＝0，解得：x＝，當a＝3時，關于x的方程為x2+2x﹣3＝0，解得；x＝1，x＝﹣3，∴關于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3＝0的解：x＝1、x＝﹣3或x＝．【考點評析】本題考查了同類二次根式、解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答該題時需要注意二次根式有意義的條件（被開方數(shù)是非負數(shù)）．重點考向07：二次根式的加減法【典例精講】（2023春?民權縣期末）下列計算正確的是（）A． B． C． D．（）2﹣＝【思路點撥】分別根據(jù)二次根式的加減法則、二次根式的乘除法則對各選項進行逐一計算即可．【規(guī)范解答】解：A、與不是同類項，不能合并，原計算錯誤，不符合題意；B、÷＝，原計算錯誤，不符合題意；C、×＝＝2，正確，符合題意；D、（）2﹣＝2﹣，原計算錯誤，不符合題意．故選：C．【考點評析】本題考查的是二次根式的加減法則、二次根式的乘除法，熟知以上知識是解題的關鍵．【變式訓練7-1】（2023春?銅梁區(qū)校級期末）若a和b都是正整數(shù)且a＜b，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數(shù)為（）①只存在一組a和b使得；②只存在兩組a和b使得；③不存在a和b使得；④若只存在三組a和b使得（c為定值），則c可以被49或64整除．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】直接利用同類二次根式的定義得出，是同類二次根式，進而得出答案．【規(guī)范解答】解：①∵a和b都是正整數(shù)且a＜b，，可以合并的二次根式，+＝，∴+＝＝3，當a＝2時，b＝8，故該選項正確；②∵+＝＝5，當a＝3，則b＝48，當a＝12，則b＝27．故該選項正確；③∵+＝＝2，當a＝65時，b＝65，∵a＜b，所以不存在，故該選項正確；④只存在三組a和b使得，即：+6＝7，2+5＝7，3+4＝7，或+7＝8，2+6＝8，3+5＝8，其中與、為同類二次根式，且為最簡根式，即c可以被49或64整除，故該選項正確；故選：C．【考點評析】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義及合并方法是解答此題的關鍵．【變式訓練7-2】（2023秋?海曙區(qū)期末）（1）解不等式：；（2）計算：．【思路點撥】（1）根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟求解即可；（2）先化簡，然后合并即可．【規(guī)范解答】解：（1），去分母，得x+1＜9x，移項，得x﹣9x＜﹣1，合并同類項，得﹣8x＜﹣1，系數(shù)化為1，得x＞；（2）＝＝．【考點評析】本題考查了解一元一次不等式以及二次根式的加減，掌握解一元一次不等式的基本步驟是解此題的關鍵．【變式訓練7-3】（2023春?綏江縣期中）已知：，，，…，，n為正整數(shù)，且n≥1．（1）求出a2和a3的值，猜想an的結果，并用含n的式子表示出an；（2）設an與bn滿足的數(shù)量關系為，例如，請利用所學知識試求出b1+b2+b3+…+bn的結果．（解答建議：（2）小題可構造平方差公式先對bn進行化簡，再求和．）【思路點撥】（1）根據(jù)題目中的已知條件，即可求求得a2、a3的值，觀察柿子的規(guī)律即可，通過猜想得到an；（2）可構造平方差公式先對bn進行化簡，再求和即可．【規(guī)范解答】解：（1）解：（1）由題意可得：a1＝3，a1+a2＝2+2×2＝8，解得a2＝5，a1+a2+a3＝3+2×3＝15，解得a3＝7，由題意可得a4＝9，由a1＝3，a2＝5，a3＝7，a4＝9，可猜測：an＝2n+1；（2）由（1）可得an＝2n+1，則an+1＝2n+3．∵≠，∴bn＝＝＝＝＝﹣，∴b1+b2+b3+...+bn＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣．【考點評析】本題考查了二次根式的加減以及平方差公式和數(shù)字變化的規(guī)律，閱讀理解題目中的信息，靈活運用所學知識是解決問題的關鍵．【變式訓練7-4】（2023春?前郭縣期中）計算：（b＞0）【思路點撥】二次根式的加減運算，先化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．【規(guī)范解答】解：原式＝2ab﹣+ab＝．【考點評析】同類二次根式是指幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式．合并同類二次根式的實質(zhì)是合并同類二次根式的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)不變．重點考向08：二次根式的混合運算【典例精講】（2023秋?寬甸縣期末）（1）計算：（+2）（﹣2）+|1﹣|×．（2）解方程組：．【思路點撥】（1）原式利用負整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對值的代數(shù)意義，以及二次根式性質(zhì)計算即可得到結果；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝5﹣4+﹣1﹣3＝﹣2；（2），①×3﹣②得：11y＝﹣11，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：x＝2，則方程組的解為：．【考點評析】此題考查了解二元一次方程組，實數(shù)的運算，以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式訓練8-1】（2023秋?麻陽縣期末）閱讀下列解題過程：，，請回答下列問題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出＝10﹣3；（2）請你用含n（n為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的解法，請化簡：．【思路點撥】觀察所給例子得出（1）（2）答案；運用（2）的答案先對（3）的每項化簡去掉分母，再把中間相鄰的兩項兩兩相消得到（3）的答案．【規(guī)范解答】解：（1）＝＝﹣＝；故答案為：．（2）觀察前面例子的過程和結果得：；（3）反復運用得＝＝＝＝﹣1+10＝9．【考點評析】此題主要考查二次根式的運算，解題的關鍵是根據(jù)已知條件找到規(guī)律并運用規(guī)律去掉式子中的分母再相消進行求解．【變式訓練8-2】（2023秋?岳陽樓區(qū)期末）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．（1）歸納：請直接寫出下列各式的結果：①＝﹣；②＝+．（2）應用：化簡．（3）拓展：＝．（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）【思路點撥】（1）利用分母有理化，進行計算即可解答；（2）先進行分母有理化，然后再進行計算即可解答；（3）先進行分母有理化，然后再進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝+；故答案為：①；②+；（2）＝+++...+＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣；（3）＝+++...+＝+++...+＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）＝，故答案為：．【考點評析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式訓練8-3】2023春?章貢區(qū)期中）【閱讀理解]】閱讀下列材料，然后解答下列問題．像，，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號，請回答下列問題：（1）化簡：①＝；②＝；（2）計算：；（3）已知：，，，試比較a，b，c的大小，并說明理由．【思路點撥】（1）利用分母有理化的方法進行運算即可；（2）對各分母進行分母有理化運算，從而可求解；（3）取各數(shù)的倒數(shù)，再對分母進行分母有理化運算，從而可求解．【規(guī)范解答】（1）解：①；②，故答案為：；．（2）＝＝＝2023﹣1＝2022；（3），同理：，，∵，∴a＞b＞c．【考點評析】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是理解清楚分母有理化的方法．重點考向09：二次根式的化簡求值【典例精講】（2022秋?新化縣期末）已知，則代數(shù)式x2﹣2x﹣6的值是（）A． B．﹣10 C．﹣2 D．【思路點撥】求出x﹣1＝，再根據(jù)完全平方公式進行變形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴x﹣1＝，∴x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7＝（）2﹣7＝5﹣7＝﹣2，故選：C．【考點評析】本題考查了二次根式的化簡求值，能夠整體代入是解此題的關鍵．【變式訓練9-1】（2023春?康巴什期末）已知m＝2+，n＝2﹣，則的值為．【思路點撥】先根據(jù)二次根式的加法法則和乘法法則求出m+n和mn的值，再根據(jù)完全平方公式進行變形，最后代入求出答案即可．【規(guī)范解答】解：∵m＝2+，n＝2﹣，∴m+n＝（2+）+（2﹣）＝4，mn＝（2+）×＝1，∴＝＝＝，故答案為：．【考點評析】本題考查了二次根式的化簡求值，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．【變式訓練9-2】（2023秋?華容縣期末）已知，，．求值：（1）m2+n2；（2）．【思路點撥】（1）先代入，再根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進行計算，最后根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法法則求出mn的值，再通分，最后代入求出答案即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵m＝+1，n＝﹣1，∴m2+n2＝（+1）2+（﹣1）2＝5+2+1+5﹣2+1＝12；（2）∵m＝+1，n＝﹣1，∴mn＝（+1）×（﹣1）＝5﹣1＝4，∴+＝＝＝3．【考點評析】本題考查了分式的混合運算和二次根式的混合運算，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．【變式訓練9-3】（2023秋?鶴壁期末）【閱讀理解】愛思考的小名在解決問題：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是這樣分析與解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請你根據(jù)小名的分析過程，解決如下問題：（1）計算：﹣1；（2）計算：+++?+＝9；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．【思路點撥】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可；（3）先分母有理化求出a＝+2，再求出a﹣2＝，兩邊平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代數(shù)式的值即可．【規(guī)范解答】解：（1）＝＝﹣1．故答案為：；（2）原式＝+++......+＝﹣1+﹣+﹣+......+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案為：9；（3）∵，∴．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．【考點評析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，平方差公式等知識點，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．重點考向10：二次根式的應用【典例精講】（2023春?嘉魚縣期中）如果一個三角形的三邊長分別為a，