湖北省宜昌市高中教學協(xié)作體2023-2024學年高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題含解析

湖北省宜昌市高中教學協(xié)作體2023-2024學年高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列結論正確的是（）．A．若ac<bc，則a<b B．若a2<C．若a>b，c<0，則ac<bc D．若a<b2．等差數(shù)列的前項和為.若,則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若，，則（）A． B．2 C． D．4．在中，，則是（）A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形5．中，，，，則（）A．1 B． C． D．46．設a,b,c均為不等于1的正實數(shù),則下列等式中恒成立的是A．B．C．D．7．已知銳角三角形的邊長分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．用數(shù)學歸納法證明的過程中，設，從遞推到時，不等式左邊為（）A． B．C． D．9．已知的三個頂點都在一個球面上，，且該球的球心到平面的距離為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．10．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列滿足，則____________．12．已知，，若，則實數(shù)________.13．有五條線段,長度分別為2,3,5,7,9,從這五條線段中任取三條,則所取三條線段能構成一個三角形的概率為___________．14．不等式的解為_______．15．已知實數(shù)滿足條件，則的最大值是________.16．若直線的傾斜角為，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義：對于任意，滿足條件且（是與無關的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為數(shù)列.（1）若，證明：數(shù)列是數(shù)列；（2）設數(shù)列的通項為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范圍；（3）設數(shù)列，若數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍.18．設函數(shù)，其中向量，．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調遞減區(qū)間；（2）在中，、、分別是角、、的對邊，已知，，的面積為，求外接圓半徑．19．已知向量a=(sinθ,1)，b(1)若a⊥b，求(2)求|a20．為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校，，的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數(shù)據(jù)見下表（單位：人）.高校相關人員抽取人數(shù)A18B362C54（1）求，；（2）若從高校，抽取的人中選2人做專題發(fā)言，求這2人都來自高校的概率.21．已知數(shù)列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項；（3）設、分別為數(shù)列、的前項和是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】分析：根據(jù)不等式性質逐一分析即可.詳解：A.若ac<bc，則a<b,因為不知道c的符號，故錯誤；B.若a2<可令a=-1，b=-2，則結論錯誤；D.若a<b，則點睛：考查不等式的基本性質，做此類題型最好的方法就是舉例子注意排除即可.屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列片段和成等差數(shù)列，可得到，代入求得結果.【詳解】由等差數(shù)列性質知：，，，成等差數(shù)列，即：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列片段和性質的應用，關鍵是根據(jù)片段和成等差數(shù)列得到項之間的關系，屬于基礎題.3、C【解析】

由函數(shù)的解析式，求得，，進而得到，，結合兩角差的余弦公式和三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因為，，即，，所以，，即，，平方可得，，兩式相加可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式，三角函數(shù)的基本關系式的應用，以及函數(shù)的解析式的應用，其中解答中合理應用三角函數(shù)的恒等變換的公式進行運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.4、D【解析】

先由可得，然后利用與三角函數(shù)的和差公式可推出，從而得到是直角三角形【詳解】因為，所以所以因為所以即所以所以因為，所以因為，所以，即是直角三角形故選：D【點睛】要判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要有以下兩條途徑：①角化邊：把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得到邊的對應關系，從而判斷三角形形狀，②邊化角：把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.5、C【解析】

利用三角形內角和為可求得；利用正弦定理可求得結果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題.6、B【解析】

根據(jù)對數(shù)運算的規(guī)律一一進行運算可得答案.【詳解】解：由a,b,c≠1.考察對數(shù)2個公式:，,對選項A:,顯然與第二個公式不符，所以為假.對選項B:,顯然與第二個公式一致，所以為真.對選項C:,顯然與第一個公式不符，所以為假.對選項D:,同樣與第一個公式不符，所以為假.所以選B.【點睛】本題主要考查對數(shù)運算的性質，熟練掌握對數(shù)運算的各公式是解題的關鍵.7、B【解析】

根據(jù)大邊對大角定理知邊長為所對的角不是最大角，只需對其他兩條邊所對的利用余弦定理，即這兩角的余弦值為正，可求出的取值范圍．【詳解】由題意知，邊長為所對的角不是最大角，則邊長為或所對的角為最大角，只需這兩個角為銳角即可，則這兩個角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．【點睛】本題考查余弦定理的應用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來決定，并利用余弦定理結合余弦值的符號來進行轉化，其關系如下：為銳角；為直角；為鈍角.8、C【解析】

比較與時不等式左邊的項，即可得到結果【詳解】因此不等式左邊為，選C.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法，考查基本分析判斷能力，屬基礎題9、C【解析】

先算出的外接圓的半徑，然后根據(jù)勾股定理可得球的半徑，由此即可得到本題答案.【詳解】設點O為球心，因為，所以的外接圓的圓心為AC的中點M，且半徑，又因為該球的球心到平面的距離為2，即，在中，，所以該球的半徑為，則該球的表面積為.故選：C【點睛】本題主要考查球的表面積的相關問題.10、D【解析】

根據(jù)所給等量關系,用表示出可得.代入中,構造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因為,所以變形可得所以由基本不等式可得當且僅當時取等號,解得所以的最小值為故選:D【點睛】本題考查了基本不等式求最值的應用,注意構造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

利用等差數(shù)列下標性質求解即可【詳解】由等差數(shù)列的性質可知，，則．所以.故答案為：9【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質，熟記性質是關鍵，是基礎題12、2或【解析】

根據(jù)向量平行的充要條件代入即可得解.【詳解】由有：，解得或.故答案為：2或.【點睛】本題考查了向量平行的應用，屬于基礎題.13、【解析】

列出所有的基本事件，并找出事件“所取三條線段能構成一個三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式計算出所求事件的概率．【詳解】所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共個，其中，事件“所取三條線段能構成一個三角形”所包含的基本事件有：、、，共個，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三條線段能構成一個三角形”的概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型的概率的計算，解題的關鍵就是列舉基本事件，常見的列舉方法有：枚舉法和樹狀圖法，列舉時應遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于中等題．14、【解析】

把不等式轉化為，即可求解．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得．即不等式的解為故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15、8【解析】

畫出滿足約束條件的可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】實數(shù),滿足條件的可行域如下圖所示:將目標函數(shù)變形為:,則要求的最大值,即使直線的截距最大,由圖可知,直線過點時截距最大,,故答案為:8.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應用,解題關鍵是明確目標函數(shù)的幾何意義.16、【解析】

首先利用直線方程求出直線斜率，通過斜率求出傾斜角.【詳解】由題知直線方程為，所以直線的斜率，又因為傾斜角，所以傾斜角.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線傾斜角與直線斜率的關系，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題中的新定義代入即可證出.（2）設，，，代入通項解不等式組，使即可求解.（3）首先根據(jù)可求時，，當時，，根據(jù)題中新定義求出成立，可得，再驗證恒成立即可求解.【詳解】（1），且，則滿足，則數(shù)列是數(shù)列.綜上所述，結論是：數(shù)列是數(shù)列.（2）設，，則，得，，，則數(shù)列的最大值為，則（3），當時，當時，，由，得，當時，恒成立，則要使數(shù)列是數(shù)列，則的取值范圍為.【點睛】本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.18、（1），的單調遞減區(qū)間是；（2）．【解析】試題分析：（1）用坐標表示向量條件，代入函數(shù)解析式中，運用向量的坐標運算法則求出函數(shù)解析式并應用二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，由三角函數(shù)的性質可求函數(shù)的最小正周期及單調遞減區(qū)間；（2）將條件代入函數(shù)解析式可求出角，由三角形面積公式求出邊，再由余弦定理求出邊，再由正弦定理可求外接圓半徑．試題解析：（1）由題意得：．所以，函數(shù)的最小正周期為，由得函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（2），解得，又的面積為．得．再由余弦定理，解得，即△為直角三角形．考點：1．向量坐標運算；2．三角函數(shù)圖象與性質；3．正弦定理與余弦定理．19、(1)-π4【解析】

（1）兩向量垂直，坐標關系滿足x1x2+y1y2=0，由已知可得關于sin【詳解】（1）∵a⊥b，∴sinθ+cosθ=0（2）|a+b|=(1+sinθ)2+【點睛】本題考查向量的坐標運算，兩向量垂直，求兩向量之和的模的最大值，當計算到最大值為3+22時，由平方和公式還可以繼續(xù)化簡，即3+220、（1），（2）【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣的概念,可得,求解即可；（2）分別記從高校抽取的2人為,,從高校抽取的3人為,,,先列出從5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件,再列出2人都來自高校的基本事件,進而求出概率【詳解】（1）由題意可得,所以,（2）記從高校抽取的2人為,,從高校抽取的3人為,,,則從高校,抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有,,,,,,,,,共10種設選中的2人都來自高校的事件為,則包含的基本事件有,,共3種因此,故選中的2人都來自高校的概率為【點睛】本題考查分層抽樣,考查古典概型,屬于基礎題21、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項；（3）把數(shù)列an}、{bn}通項公式