第1章 特殊平行四邊形 北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)(含答案)

第一章綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)1．[2023揭陽期末]菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是()A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線相等C．四條邊相等，四個(gè)角相等D．兩組對(duì)邊分別平行且相等2．[2024邢臺(tái)襄都區(qū)模擬]如圖，在四邊形ABCD中，給出部分?jǐn)?shù)據(jù)，若添加一個(gè)數(shù)據(jù)后，四邊形ABCD是矩形，則添加的數(shù)據(jù)是()A．CD＝4B．CD＝2C．OD＝2D．OD＝43．[2023成都溫江區(qū)期末]如圖，F(xiàn)是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AF，CF，并延長CF交AD于點(diǎn)E.若∠AFC＝130°，則∠DEC的度數(shù)為()A．65°B．70°C．75°D．80°4．[2022安徽]兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若∠1＝α，則∠2＝()A．α－90°B．α－45°C．180°－αD．270°－α5．[2023東莞期中]若順次連接某四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，則原四邊形一定是()A．菱形B．矩形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形D．對(duì)角線相等的四邊形6.三個(gè)邊長為8cm的正方形按如圖所示的方式重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則重疊部分(陰影)的面積為()A．16cm2B．24cm2C．28cm2D．32cm27．在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接AC，BC，AB，OC.若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2.則OC的長為()A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm8.如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5，12)，則AC的長是()A．5B．7C．12D．139．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊AD，CD的中點(diǎn)，連接MN，OM，若MN＝3，S菱形ABCD＝24，則OM的長為()A．3B．3.5C．2D．2.510．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE＝AF，AC與EF相交于點(diǎn)G.下列結(jié)論：①AC垂直平分EF；②當(dāng)∠EAF＝45°時(shí)，∠AEB＝∠AEF；③當(dāng)∠DAF＝15°時(shí)，△AEF為等邊三角形；④當(dāng)CE＝(2－eq\r(2))BC時(shí)，BE＋DF＝EF.其中正確的結(jié)論有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)11．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝28°，D是AC的中點(diǎn)，則∠CBD＝________°.12．一個(gè)平行四邊形的一邊長是3，兩條對(duì)角線的長分別是4和2eq\r(5)，則此平行四邊形的面積為________．13．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的延長線上一點(diǎn)，PD＝eq\f(1,2)AC，∠P＝52°，則∠PDC＝________．14.如圖，在菱形ABCD中，AB＝10cm，∠A＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A，C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)E的速度為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止移動(dòng)，經(jīng)過ts后△DEF恰為等邊三角形，則此時(shí)t的值為________．15．[2024東莞模擬]如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過點(diǎn)E作EF⊥AE交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，連接AF.有下列結(jié)論：①AE＝EF；②CF＝eq\r(2)BE；③∠DAF＝∠CEF.其中正確的是________．(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)三、解答題(共7小題，第16～21題每題10分，第22題15分，共75分)16．[2023揚(yáng)州邗江區(qū)期末]如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，連接BM，DM.求證：(1)BM＝DM；(2)MN⊥BD.17．[2023廣州海珠區(qū)期中]如圖，在矩形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作EF⊥BD分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形BEDF是菱形．18．[2024寶雞陳倉區(qū)期中]在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝2AD，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．(1)如圖①，求證：四邊形AFCD是矩形；(2)如圖②，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接DE，EF.求證：DE＝DC.19．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上(點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合)，BE⊥EF，∠ABE＋∠CEF＝45°.(1)求∠1＋∠2的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是正方形．20.在正方形ABCD中，點(diǎn)G是邊DC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AG于H，交直線AD于點(diǎn)E.(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)(如圖①)，線段EF與AG的數(shù)量關(guān)系是________．(2)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到如圖②所示的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中0≤t≤10.(1)若G，H分別是AD，BC的中點(diǎn)，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形(E，F(xiàn)相遇時(shí)除外)?答：________．(直接填空，不用說理)(2)在(1)的條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值．(3)在(1)的條件下，若G向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，H向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E，F(xiàn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．22.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在射線AC上，點(diǎn)E在射線BC上，且PB＝PE，連接PD，點(diǎn)O為線段AC的中點(diǎn)．【感知】如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O重合)時(shí)，①易證：△ABP≌△ADP(不需要證明)．進(jìn)而得到PE與PD的數(shù)量關(guān)系是__________；②過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，易證：Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要證明)．進(jìn)而得到PE與PD的位置關(guān)系是__________；【探究】如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合)時(shí)，試寫出PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【應(yīng)用】如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，直接寫出當(dāng)AB＝3，CP＝eq\r(2)時(shí)線段DE的長．

答案一、1.D2.D3.B4.C5.C6.D7.C8.D9．D【點(diǎn)撥】∵點(diǎn)M，N分別是邊AD，CD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線．∴AC＝2MN＝2×3＝6.∵四邊形ABCD是菱形，S菱形ABCD＝24，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，eq\f(1,2)AC·BD＝24.即eq\f(1,2)×6×BD＝24，∴BD＝8.∴OD＝eq\f(1,2)BD＝4.∴在Rt△OCD中，由勾股定理得CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝eq\r(32＋42)＝5.∵點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，OA＝OC，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝eq\f(1,2)CD＝2.5.10．D【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF.∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF.∴∠EAC＝∠FAC.∴AC垂直平分EF，故①正確；∵∠EAF＝45°，∴易得∠EAC＝∠FAC＝∠BAE＝∠DAF＝22.5°.∴∠BEA＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵BC＝CD，BE＝DF，∴CE＝CF.∴∠CEF＝45°.∴∠AEF＝180°－∠CEF－∠BEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°＝∠AEB，故②正確；∵∠DAF＝15°，∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝90°－15°－15°＝60°.∵AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形，故③正確；∵CE＝(2－eq\r(2))BC，∴BE＝DF＝BC－CE＝BC－(2－eq\r(2))BC＝(eq\r(2)－1)BC.∴BE＋DF＝2(eq\r(2)－1)BC.∴EF＝eq\r(EC2＋FC2)＝eq\r(2)EC＝eq\r(2)(2－eq\r(2))BC＝2(eq\r(2)－1)BC＝BE＋DF，故④正確；∴正確的結(jié)論有4個(gè)．二、11.6212.4eq\r(5)13.12°14.eq\f(5,3)15．①②【點(diǎn)撥】如圖，在AB上取點(diǎn)H，使AH＝EC，連接EH.∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠BCD＝∠B＝∠AEF＝90°，AB＝BC.∴∠HAE＋∠AEB＝90°，∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠HAE＝∠CEF.∵AH＝CE，AB＝BC，∴BH＝BE.∴△BHE為等腰直角三角形．∴易得∠AHE＝135°.∵CF是正方形外角的平分線，∴易得∠ECF＝135°.∴∠AHE＝∠ECF.在△AHE和△ECF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠HAE＝∠CEF，,AH＝EC，,∠AHE＝∠ECF，))∴△AHE≌△ECF(ASA)．∴AE＝EF，EH＝CF，∠AEH＝∠EFC.故①正確；∵BE＝BH，∠B＝90°，∴EH＝eq\r(BH2＋BE2)＝eq\r(2)BE.∴CF＝eq\r(2)BE.故②正確；∵∠AHE＝135°，∴∠HAE＋∠AEH＝45°.∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EAF＝45°.∴∠HAE＋∠DAF＝45°.∴∠AEH＝∠DAF.∵∠AEH＝∠EFC，∴∠DAF＝∠EFC.而∠FEC不一定等于∠EFC，∴∠DAF不一定等于∠FEC，故③錯(cuò)誤．故答案為①②.三、16.【證明】(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝eq\f(1,2)AC，DM＝eq\f(1,2)AC.∴BM＝DM.(2)∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，BM＝DM，∴MN⊥BD.17．【證明】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠2.∵O為BD的中點(diǎn)，∴BO＝DO.∵∠BOE＝∠DOF，∴△OBE≌△ODF(ASA)．∴BE＝DF.∴四邊形BEDF是平行四邊形．又∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．18．【證明】(1)∵F是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF＝eq\f(1,2)BC.∵BC＝2AD，∴AD＝eq\f(1,2)BC.∴AD＝CF＝BF.∵AD∥BC，∴四邊形AFCD是平行四邊形．又∵CD⊥BC，∴∠DCF＝90°.∴四邊形AFCD是矩形．(2)如圖，連接DF交CE于G，由(1)知AD＝BF.∵AD∥BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形．∴AB∥DF.∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，CE⊥DF.又∵F是BC的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)BC＝CF.∴GE＝GC.∴DF是線段CE的垂直平分線．∴DE＝DC.19．(1)【解】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABE＋∠1＝90°.∵BE⊥EF，∴∠CEF＋∠2＝90°.∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠1＋∠2＝90°＋90°－45°＝135°.(2)【證明】∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－135°＝45°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.∴∠BAC＝90°－∠ACB＝90°－45°＝45°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC.∴四邊形ABCD是正方形．20．【解】(1)EF＝AG【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝AD.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°.∴∠AEB＋∠DAG＝90°.∴∠ABE＝∠DAG.∴△ABE≌△DAG(ASA)．∴EF＝BE＝AG.(2)成立．證明：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為M，則∠EMF＝90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°，AD＝CD.∴易得MF＝CD＝AD.∵EF⊥AH，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE＋∠E＝90°.又∵∠E＋∠EFM＝90°，∴∠HAE＝∠EFM.∴△ADG≌△FME(ASA)．∴EF＝AG.21．【解】(1)四邊形EGFH是平行四邊形(2)如圖①，②，連接GH.由題意易得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，∴四邊形ABHG是矩形．∴GH＝AB＝6.①如圖①，當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，EF＝GH＝6.∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.∵AE＝CF＝t，∴EF＝10－2t＝6.∴t＝2.②如圖②，當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6.∴t＝8.綜上，當(dāng)四邊形EGFH為矩形時(shí)，t的值為2或8.(3)如圖③，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，連接AH，CG，GH，AC與GH交于O.∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC，AD＝BC＝8.∴AM＝4.∵四邊形EGFH為菱形，∴GH⊥EF，OG＝OH.∴AG＝AH.∴四邊形AGCH為菱形．∴AG＝CG.設(shè)AG＝CG＝x，則DG＝8－x，∴在Rt△CDG中，由勾股定理可得CD2＋DG2＝CG2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝eq\f(25,4).∴MG＝eq\f(25,4)－4＝eq\f(9,4)，即t＝eq\f(9,4)，∴當(dāng)t的值為eq\f(9,4)時(shí)，四邊形EGFH為菱形．22．【解】【感知】①PE＝PD【點(diǎn)撥】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP＝45°.在△ABP和△ADP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAP＝∠DAP，,AP＝AP，))∴△ABP≌△ADP(SAS)．∴PB＝PD.∵PB＝PE，∴PE＝PD.②PE⊥PD【點(diǎn)撥】由題意得∠PNE＝∠PMD＝∠PMC＝90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴CP平分∠MCN，∠NCM＝90°.∴四邊形PMCN是矩形，PN＝PM.∴∠MPN＝90°.在Rt△PNE和Rt△PMD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PE＝PD，,PN＝PM，))∴Rt△PNE≌Rt△PMD(HL)．∴∠EPN＝∠DPM.∵∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠MPE＋∠DPM＝90°，即∠DPE＝90°.∴PE⊥PD.【探究】PE