總體離散程度的估計(jì)課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

9.2.4總體離散程度的估計(jì)高一數(shù)學(xué)組第九章統(tǒng)計(jì)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法，但僅知道集中趨勢的信息，很多時候還不能使我們做出有效決策，下面的問題就是一個例子.復(fù)習(xí)回顧：總體集中趨勢的估計(jì)

眾數(shù)：最高矩形的中點(diǎn)中位數(shù)：中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數(shù)：每個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和引例

有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對兩位運(yùn)動員的射擊情況作出評價?如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?甲、乙兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個角度看，兩名運(yùn)動員之間沒有差別.問題

兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？引例借助條形圖可以直觀看出，甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩(wěn)定.可見，他們的射擊成績是存在差異的.10環(huán)數(shù)頻率456789（甲）10環(huán)數(shù)頻率456789（乙）問題

那么，如何度量成績的這種差異呢?

一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙的大.根據(jù)甲、乙運(yùn)動員的10次射擊成績，可以得到

甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，

乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息,對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.若射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn)；相反，若射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn).因此，可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度.

甲：78795491074

乙：9578768677問題

如何定義“平均距離”?含有絕對值,運(yùn)算不太方便，改用平方代替設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn，則這組數(shù)據(jù)的方差為給“平均距離”下定義方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義則這組數(shù)據(jù)的方差為①為了計(jì)算方便，還可把方差寫成由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致，我們對方差開平方。注：s≥0；若s=0時表示這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都是相等的.設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn，②這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為由s甲>s乙可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.s甲=2，s乙≈1.095如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽,要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置.如果兩人都排在前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則可以選甲.有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲：78795491074乙：9578768677總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為

，則稱

S2=_______________為總體方差，S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差

．

如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i=1，2，…，k），則總體方差為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義

（4）特征：標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫了數(shù)據(jù)的______程度或波動幅度．標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越不穩(wěn)定；

標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越____，越穩(wěn)定．在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問題中，一般多采用_______.離散大小標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為

，則稱

s2=_______________為樣本方差，s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

．鞏固：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義[1]甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)

及其方差s2如下表所示，則選送決賽的最佳人選應(yīng)是(

)A.甲

B．乙

C．丙

D．丁B甲乙丙丁

7887s26.36.378.7[2]已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是上海普通職工n個人的年收入(n≥3，n∈N*)，設(shè)這n個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入

xn＋1，則這n＋1個數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是(

)A．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變B．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變B[3]不經(jīng)過計(jì)算，你能給下列各組數(shù)的方差排序嗎?(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；

(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；

(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；

(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.解：

A[5]某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分分別為30,26,32,27,35，則這組數(shù)據(jù)的方差為

.[6]隨機(jī)調(diào)查某校50個學(xué)生的午餐費(fèi)，結(jié)果如下表，這50個學(xué)生午餐費(fèi)的平均值和方差分別是(

)C餐費(fèi)(元)345人數(shù)102020合作探究·形成關(guān)鍵能力

例2

在對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對高一年級全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例題

甲、乙兩只田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1:4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？90.2

4.76平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[例1]若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均數(shù)為(

)A．8 B．15C．16 D．32B[引例2]若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為(

)A．8 B．15C．16 D．32D平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[引例2]若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)A．8 B．15