總體離散程度的估計(jì)課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

9.2.4總體離散程度的估計(jì)高一數(shù)學(xué)組第九章統(tǒng)計(jì)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法,但僅知道集中趨勢(shì)的信息,很多時(shí)候還不能使我們做出有效決策,下面的問(wèn)題就是一個(gè)例子.復(fù)習(xí)回顧:總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

眾數(shù):最高矩形的中點(diǎn)中位數(shù):中位數(shù)左邊的直方圖面積和右邊的直方圖面積相等

平均數(shù):每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和引例

有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙:9578768677如果你是教練,你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況作出評(píng)價(jià)?如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個(gè)角度看,兩名運(yùn)動(dòng)員之間沒(méi)有差別.問(wèn)題

兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少?引例借助條形圖可以直觀看出,甲的成績(jī)比較分散,乙的成績(jī)相對(duì)集中,即甲的成績(jī)波動(dòng)幅度比較大,而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定.可見(jiàn),他們的射擊成績(jī)是存在差異的.10環(huán)數(shù)頻率456789(甲)10環(huán)數(shù)頻率456789(乙)問(wèn)題

那么,如何度量成績(jī)的這種差異呢?

一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差.可以發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)波動(dòng)范圍比乙的大.根據(jù)甲、乙運(yùn)動(dòng)員的10次射擊成績(jī),可以得到

甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6,

乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.

極差在一定程度上刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度.但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息,對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒(méi)有涉及,所以極差所含的信息量很少.若射擊的成績(jī)很穩(wěn)定,那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn);相反,若射擊的成績(jī)波動(dòng)幅度很大,那么大多數(shù)的射擊成績(jī)離平均成績(jī)會(huì)比較遠(yuǎn).因此,可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度.

甲:78795491074

乙:9578768677問(wèn)題

如何定義“平均距離”?含有絕對(duì)值,運(yùn)算不太方便,改用平方代替設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,則這組數(shù)據(jù)的方差為給“平均距離”下定義方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義則這組數(shù)據(jù)的方差為①為了計(jì)算方便,還可把方差寫(xiě)成由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致.為了使二者單位一致,我們對(duì)方差開(kāi)平方。注:s≥0;若s=0時(shí)表示這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都是相等的.設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,②這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為由s甲>s乙可知,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.s甲=2,s乙≈1.095如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽,要看一下他們的平均成績(jī)?cè)谒袇①愡x手中的位置.如果兩人都排在前面,就選成績(jī)穩(wěn)定的乙選手,否則可以選甲.有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲:78795491074乙:9578768677總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義

如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為

,則稱

S2=_______________為總體方差,S=________為總體標(biāo)準(zhǔn)差

如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義

(4)特征:標(biāo)準(zhǔn)差和方差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的______程度或波動(dòng)幅度.標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越____,越不穩(wěn)定;

標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越____,越穩(wěn)定.在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.但在解決實(shí)際問(wèn)題中,一般多采用_______.離散大小標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數(shù)為

,則稱

s2=_______________為樣本方差,s=________為樣本標(biāo)準(zhǔn)差

.鞏固:方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義[1]甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)

及其方差s2如下表所示,則選送決賽的最佳人選應(yīng)是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁B甲乙丙丁

7887s26.36.378.7[2]已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn是上海普通職工n個(gè)人的年收入(n≥3,n∈N*),設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方差為z,如果再加上世界首富的年收入

xn+1,則這n+1個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說(shuō)法正確的是(

)A.平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變B.平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大C.平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變D.平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變B[3]不經(jīng)過(guò)計(jì)算,你能給下列各組數(shù)的方差排序嗎?(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;

(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;

(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;

(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.解:

A[5]某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分分別為30,26,32,27,35,則這組數(shù)據(jù)的方差為

.[6]隨機(jī)調(diào)查某校50個(gè)學(xué)生的午餐費(fèi),結(jié)果如下表,這50個(gè)學(xué)生午餐費(fèi)的平均值和方差分別是(

)C餐費(fèi)(元)345人數(shù)102020合作探究·形成關(guān)鍵能力

例2

在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣,如果不知道樣本數(shù)據(jù),只知道抽取了男生23人,其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差,并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎?分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

分層隨機(jī)抽樣的方差和標(biāo)準(zhǔn)差例題

甲、乙兩只田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為:甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1:4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么?90.2

4.76平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[例1]若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的平均數(shù)為8,則2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的平均數(shù)為(

)A.8 B.15C.16 D.32B[引例2]若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的方差為8,則2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差為(

)A.8 B.15C.16 D.32D平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)[引例2]若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的標(biāo)準(zhǔn)差為(

)A.8 B.15

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