全等變化模型四 三垂直模型（解析版）

全等變化模型四三垂直模型【模型展示】【模型圖解】【模型條件】【模型結(jié)論】圖1圖2圖3圖4圖5圖6【結(jié)論證明】請(qǐng)選取圖1、圖3、圖5分別證明【模型解析】從變化方式的角度分析，兩個(gè)全等的直角三角形繞平面上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得；從圖形的結(jié)構(gòu)分析，除一組對(duì)應(yīng)邊相等外，只需兩直角三角形一組非對(duì)應(yīng)角互余即可得全等。【知識(shí)鏈接】同角的余角相等、邊的數(shù)量關(guān)系（等量代換）【模型總結(jié)】①三垂直模型中有很多邊的數(shù)量關(guān)系，如圖解表中所示；②三垂直模型對(duì)應(yīng)邊的夾角相等，一般為90°（圖4除外）；③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解題時(shí)要靈活運(yùn)用?！灸Ｐ挽柟獭俊纠?-1】如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的長(zhǎng)．【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），∴DE＝＝2.5﹣1＝1.5（cm）．【例4-2】如圖所示，直線MN一側(cè)有一個(gè)等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直線MN過(guò)頂點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∠CAB的角平分線AG交BC于點(diǎn)O，交MN于點(diǎn)G，連接BG，恰好滿足AG⊥BG．延長(zhǎng)AC，BG交于點(diǎn)D．（1）求證：CE＝BF；（2）求證：AC+CO＝AB．【解答】證明：（1）∵AE⊥MN，BF⊥MN，又∵∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝∠FCB+∠ECA＝90°．∴∠EAC＝∠FCB．在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴CE＝BF；（2）∵∠ACB＝90°，AG⊥BG，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACO和△BCD中，，∴△ACO≌△BCD（ASA），∴CO＝CD．∴AC+CO＝AC+CD＝AD．∵AG平分∠CAB，AG⊥BG，∴∠D＝∠ABD．∴AD＝AB．綜上，AC+CO＝AB．【例4-3】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點(diǎn)，PA＝PD，∠APD＝90°．（1）求證：AB+CD＝BC．如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點(diǎn)，PA＝PD，∠APD＝90°．（2）求證：點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).【解答】證明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，∴BC＝BE+EF+CF＝2（BE+EP）=BP，∴點(diǎn)P是BC的中點(diǎn).【例4-4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．（1）求證：CE＝BF；（2）求證：∠AEM＝∠DEM．【解答】證明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△BCF和△CAE中，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，（2）連接FM，CM，∵△BCF≌△CAE，∴AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，∵點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，在△BFM和△CEM中，，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF為等腰直角三角形，∴∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MED＝∠AEM＝45°．【例4-5】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）如圖1，求證：DE＝AD+BE；（2）如圖2，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接OD，OE．請(qǐng)判斷△ODE的形狀？并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：如圖1，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，AD＝CE．∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；（2）△DOE等腰直角三角形，理由如下：如圖2，連接OC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，∴△DCO≌△EBO（SAS），∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，同理可證：△ADO≌△CEO，∴∠AOD＝∠COE，∵∠AOD+∠DOC＝90°，∴∠DOC+∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，∴△DOE是等腰直角三角形．【模型拓展】【拓展4-1】如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過(guò)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，已知點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△FGH，始終保持∠GFH＝90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)H（n，0），當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m﹣n為定值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值．【解答】解：（1）過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°,∠OAB+∠OBA＝90°則∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，則△MAC≌△OBA（AAS）則CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）；過(guò)D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，如圖2，則OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，則∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，則△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）結(jié)論②是正確的，m+n＝﹣4，如圖3，過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，則FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，則△FSH≌△FTG（AAS）則GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，則﹣2﹣m＝n+2，則m+n＝﹣4．【拓展4-2】如圖：已知、，且、滿足．（1）如圖1，求的面積；（2）如圖2，點(diǎn)在線段上（不與、重合）移動(dòng)，，且，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3