2024屆廣西柳州市柳州高中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末綜合測試試題含解析

2024屆廣西柳州市柳州高中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若方程4/+。2=4左表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）

A.2#B.2Q

C，4kD.口

2.若直線2依—加+2=0（a>0力>0）被圓V+V+Zx—4y+l=0截得的弦長為4,則4+工的最小值為（）

A.-

4

3,若某群體中成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.2,既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.4,則不用現(xiàn)金支付的概

率為O

A.0.4

4.已知點(diǎn)尸（1,2）在拋物線y2=2px（°〉0）上，則點(diǎn)p到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）

5.已知拋物線。：丁=好，過點(diǎn)P（L0）與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有（）條

6.已知直線丸：x+ay+2a-l=0,/2;ax+y+l=0,若k〃h,則實(shí)數(shù)。等于（

〃1或一1

上的最小值為（）

71

B.-+1

22

D」.也

122

8.已知函數(shù)〃x）=-gx3+2f+內(nèi)一i在區(qū)間（T,I）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[4,9]B.[3,-HX))

C.[—2,5]D.[5,+8)

9.設(shè)函數(shù)/'（尤）是定義在（0，句上的函數(shù)〃司的導(dǎo)函數(shù)，有/'（x）cosx—/（x）sinx>0,若。=0,

，則。，b,c的大小關(guān)系是。

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

10.已知直線x=-2為拋物線>2=2px的準(zhǔn)線，直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)R，與拋物線交于點(diǎn)A,3,貝！的最小

值為O

1

B.-

8

C.4D.8

11.已知圓。的方程為必+y2—2%+6丁+1=0,點(diǎn)P在圓。上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，貝JIOP的最小值為（）

A.3B.^/10-3

C?3-百D.272-2

12.拋物線丁=以2的準(zhǔn)線方程是y=2,則實(shí)數(shù)。的值為。

11

A.—B.—

88

C.8D.-8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/（力=X3—依在［1,3］單調(diào)遞增，則a的取值范圍__

14.已知p：x>a是q：2cx<3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.已知正四面體ABC。中，E,歹分別是線段3GAO的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段。上靠近O的四等分點(diǎn)，則直線E尸

與AG所成角的余弦值為

16.已知函數(shù)/（x）=4%2-3獷'⑴，則/Q）=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知二次曲線量的方程：=1

9-^4—k

（1）分別求出方程表示橢圓和雙曲線的條件；

（2）若雙曲線G與直線y=x+l有公共點(diǎn)且實(shí)軸最長，求雙曲線方程;

（3）小、"為正整數(shù)，且祖<〃，是否存在兩條曲線￡“、C,,,其交點(diǎn)尸與點(diǎn)耳（—6,0）,乙（6,0）滿足尸耳，「工，

若存在，求加、〃的值；若不存在，說明理由

18.（12分）某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時間的專項(xiàng)調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉

時間的多少（單位：分鐘）分成五組：[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80],得到如圖所示的頻率分

布直方圖.將平均每天體育鍛煉時間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時間少于60分鐘的同

學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)

（1）求。的值，并估計該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù);

（2）在樣本中，對平均每天體育鍛煉時間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再從這

6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在[50,60）內(nèi)的概率

19.（12分）如圖，在幾何體ABCE尸G中，四邊形ACGE為平行四邊形，_ABC為等邊三角形，四邊形BCGF為梯

CF=2y/3,ZCBF=60°,ZCGF=135°,AB±CF.

H

（1）求證：平面ABC_L平面BCG廣；

（2）求平面ABC與平面AC77夾角的余弦值.

20.（12分）已知命題。：Vxe[l,2],x2-?*4>0,在下面①②中任選一個作為公，使。人4為真命題，求出實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

①關(guān)于x的方程X2+2ax+1=0有兩個不等正根；

（2）Vxe7?,x+—-?>O.

+x

（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）

21.（12分）ABC中，內(nèi)角A、B、。所對的邊為b、c,6sinA=Ncos3.

（1）求角8的大?。?/p>

（2）若。、b、c成等差數(shù)列，且54的?=￥，求邊長匕的值.

22.（10分）已知x=3是函數(shù)/（x）=%3—依2一9x+l的一個極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）求函數(shù)/（無）在區(qū)間[-2,0]上的最大值和最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直接判斷.

22

【詳解】方程4必+與？=4左即為二+乙=1,

k4

22

由方程表示雙曲線，可得乙-工=1,

4-k

所以4=2,b=y[-k,

所以虛軸長為2人=2口,

故選：B.

2、D

【解析】先根據(jù)已知條件得出a+b=l,再利用基本不等式求工+」的最小值即可.

ab

【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l『+(y-2)2=4,圓心為(-1,2),半徑為2,若直線被截得弦長為4,說明圓心在直

線：2依一勿+2=。上，即一勿一2/7+2=0,

11(\1YI、baA

即Q+Z?=1,+—=—~F—(〃+b)=2d1■—>2+2=4,

ab\abJab

當(dāng)且僅當(dāng)2=g,即。=人時，等號成立

ab

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關(guān)鍵是求出a+b=l,屬常規(guī)考題.

3^A

【解析】利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】由對立事件概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為1-0.2-0.4=04.

故選：A.

4、B

【解析】先求出拋物線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.

【詳解】將P(L2)代入拋物線中得：2P=4,解得：。=2,所以拋物線方程為V=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以

點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為70+4=2

故選：B

5、D

【解析】設(shè)出過點(diǎn)P(L0)與拋物線c只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程，再與。的方程聯(lián)立借助判別式計算、判

斷作答.

【詳解】拋物線C：y=%2的對稱軸為y軸，直線1=1過點(diǎn)尸且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點(diǎn)，

設(shè)過點(diǎn)P(l,o)與拋物線c只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為：y=k(x-i),

y=k(x-V)

由2消去y并整理得：x2-kx+k=0,則A=幺-4左=0,解得左=0或左=4,

〔丁=廠

因此，過點(diǎn)P(L0)與拋物線c相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點(diǎn)的直線有一條,

所以過點(diǎn)P(1,O)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有3條.

故選：D

6、C

【解析】由題意可得則由乙〃/,得一第二，從而可求出a的值

a11

【詳解】由題意可得

因?yàn)?1〃，2，lx:x+ay+2a-1=Q,l2:ax+y+l=0,

所以工=色7網(wǎng)二1,解得a=—l,

a11

故選：C

7、D

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

Y1

【詳解】解：因?yàn)?(x)=：-cosx,所以/'(x)=]+sinA：,

jrjr\

當(dāng)xe-萬,一7)時，f'(x)<0,y(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe1—W，"時，r(%)>0,/(尤)單調(diào)遞增，

故選：D.

8、D

【解析】由/'0)20在(-1』)上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得

【詳解】由已知/'(x)=—f+4x+a,/(x)在(—LD上是增函數(shù)，貝U/'(x)=——+4*+。20在(—11)上恒成立,

即aN/—4%,J=X2-4X=(X-2)2-4,當(dāng)xe(—1,1)時，j=(x-2)2-4<5,

所以a?5

故選:D

9、C

【解析】設(shè)g(x)=/(x)cosx,求導(dǎo)分析g(尤)的單調(diào)性，又a=0=cos?Q,==cos!/(1),

C=-^/(^)=COS—/(—),即可得出答案

2444

【詳解】解：設(shè)g(x)=/(x)cosx,

貝!Ig'(%)=f'(x)cosx-f(x)sinx,

又因?yàn)閒\x)cosx-/(x)sinx>0,

所以g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

Jl

又a=0=cos—

2

7171

b=—=cos—

23

立43乃37r3TT

c=---jr(—)=cos—/(—),

2444

m、t.冗13兀

因?yàn)?<二<二，

324

n3萬冗、

所以cos：<cos—Vcos—/(—)f

244

所以c〉a>/?.

故選：C

10、D

【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.

【詳解】因?yàn)橹本€―2為拋物線產(chǎn)=2川的準(zhǔn)線，故言=2即夕=4,

故拋物線方程為：y2=8x.

設(shè)直線/：尤=9+2,則y-—8療—16=0,A=64廣+64>0，

而"=7177X+64=8+8/28，當(dāng)且僅當(dāng)，=0等號成立，

故|A3|的最小值為8,

故選：D.

11、B

【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC,交圓于點(diǎn)尸時1。尸1最小，再計算求值即得結(jié)果.

【詳解】化簡得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(九-Ip+(y+3)2=9,故圓心是半徑廠=3,

則連接線段。G交圓于點(diǎn)P時I?！踝钚。?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離麗，故此時I。尸|=|。1-廠=麗-3.

故選：B.

12、B

11

【解析】化簡方程為f9=一y,求得拋物線的準(zhǔn)線方程丁=-丁，列出方程，即可求解.

a4〃

【詳解】由拋物線y=可得f=L丫，所以。=1，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為丁=-工,

a2a4a

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y=2,所以-工=2,解得

4〃8

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、（-oo,3］

【解析】由/,（X）之。在區(qū)間［1,3］上恒成立來求得。的取值范圍.

【詳解】依題意/（%）=3x2-a>0在區(qū)間［1,3］上恒成立，

a?3好在［L3］上恒成立，所以aW3.

故答案為：（—8,3］

14、（-co,2］

【解析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)。取值范圍，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閜：是q：2VxV3的必要不充分條件，

故集合（2,3）為集合（a,+8）的真子集，故只需aW2.

故答案為：（-8,2］.

726

26

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體ABC。的棱長為2,即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出異面直線所成角的余弦

值；

【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體ABCD的棱長為2,則AE=逝，所以AO=OC=2AE=拽，

所以O(shè)D=JC￡>2—0。2=辿,所以E，g,o,o］,A［攣,O,o［,半］,尸［坐,0,坐

3I3JI3JI3JI33J

C--^-,—1,0，設(shè)G(無,y,z),因?yàn)镈G=；℃,所以(x,y,z)—jo,O,—=—f--^-，―1,0—0,0,-

所以G

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算法則計算即可.

2

【詳解】???/(X)=4%-3V'(1).

r(x)=8x-3r(i),

.?.廣⑴=8-3/⑴

"3=2.

故答案為：2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x2v2\m=l\m=2

17、(1)左＜4時，方程表示橢圓，4〈左〈9時，方程表示雙曲線；(2)-乙=1；(3)存在，且〈或〈，

32[〃=7[〃=6

m-3

或VU

〃二5

【解析】(1)當(dāng)且僅當(dāng)分母都為正，且不相等時，方程表示橢圓；當(dāng)且僅當(dāng)分母異號時，方程表示雙曲線

y=x+1

(2)將直線與曲線聯(lián)立尤2y2化簡得：(13-24)7+2(9-左)x+(9-左)(4-3)=0,利用雙曲線G與直

----+——=1

19-左4-左

線y=x+i有公共點(diǎn)，可確定左的范圍，從而可求雙曲線的實(shí)軸，進(jìn)而可得雙曲線方程；

(3)由(1)知G，C2,C3是橢圓，C5,C6,G，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)，任意兩橢圓之間無公共

點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)，從而可求

’9-左〉0

【詳解】(1)當(dāng)且僅當(dāng)4一女〉0n左＜4時，方程表示橢圓；

9-k手4-k

當(dāng)且僅當(dāng)(9-幻(4-幻＜0=4＜左＜9時，方程表示雙曲線

y=%+1

(2)\fy2化簡得：(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k\k-3)=0

_____|_/—]

.9-k4—左一

△?)=＞%6或￡,4所以6,,%＜9

雙曲線的實(shí)軸為2片I，當(dāng)左=6時，雙曲線實(shí)軸最長為2石

22

此時雙曲線方程為土-匕=1

32

(3)由(I)知G，c2,C3是橢圓，G，c6)G，是雙曲線，結(jié)合圖象的幾何性質(zhì)

任意兩橢圓之間無公共點(diǎn)，任意兩雙曲線之間無公共點(diǎn)

設(shè)|尸耳|二4，IPF2\=d2,mG(l,2,3},n^[5,6,7,8)

4+4=2Sj9-m

由橢圓與雙曲線定義及尸耳?尸耳=0;<14-4|=2A/9—n所以機(jī)+〃=8

dj+d；—20

m=lm-2m-3

所以這樣的g,G存在，且\或＜或＜

n=/n=6n=5

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時，則可利

用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解或者利用分類討論思想求解.

4

18、(1)〃=0.05,中位數(shù)為64；(2)彳.

【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).

(2)首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.

【詳解】(1)由題設(shè)，(0.005+0.010+0.015+0.020+4)x10=1,Wa=0.05,

二中位數(shù)應(yīng)在［60,70）之間，令中位數(shù)為x,則0.05x（70—九）+0.02x10=0.5,解得光=64.

.?.該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時間的中位數(shù)為64.

（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在［30,40）,2名在［40,50）,3名在［50,60）,

若1名在［30,40）為A，2名在［40,50）為耳,不，3名在［50,60）為為。2，。3,

,隨機(jī)抽取2名的可能情況有

其中至少有一名在［50,60）內(nèi)的4。3，4。］，片。2，4。3,B2CpJB2C2,B2C3,C。2，C03,C2c3,共12種，

.?.這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時間（單位：分鐘）在［50,60）內(nèi)的概率為g.

19、（1）證明見解析

⑵否

5

【解析】（1）在△CGb中，由正弦定理知可知NGb=30。，利用三角形內(nèi)角和可知/及7=90°即CEL5C,

又因?yàn)锳3,B,再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；

（2）取中點(diǎn)O,由（1）得：O4_L平面3CGF,OHYBC,以。為原點(diǎn)，OB,OH,04所在直線分別為x軸、

y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角，即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：（1）在△CGb中,

CFGF

由正弦定理知:

sinZCGF-sinZGCF

解得sinNGCF=^

2

因?yàn)镹GCRe0,叁，所以NGCF=30。

又因?yàn)?CBb=60°,所以NBCF=90。

所以CE_L6C

又因?yàn)锳BLCF,ABBC=C

所以直線平面ABC

又因?yàn)镃Eu平面BCGF

所以平面ABC±平面BCGF

【小問2詳解】

解：取5c中點(diǎn)。，連結(jié)04,0H,由（1）得：Q4L平面5CG尸，OHLBC

則以。為原點(diǎn)，OB,0H,04所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

在Rt3CF中，BC=CF-tan30°=273=2

3

則A（O,O,0）,C（-l,0,0）,“（0,6,0）

平面ABC的一個法向量為nl=OH=（0,Ao）

設(shè)平面AS的一個法向量為為=（九,y,z）

—x—^J3z

因?yàn)椤?AC=0=0

，所以取z=l,則%=卜6』」）

?AH=0島—百z=0

設(shè)平面APD與平面PDF夾角為0,

網(wǎng)?聞—亞

所以cos8=cosfr^,/^

，,同5

20、答案見解析

【解析】根據(jù)題意，分析。、夕為真時」的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得"、夕都是真命題，據(jù)此分

析可得答案.

【詳解】解：選①時

由p:Vxe[1,2],V—a20知“〈必在x?口,2]上恒成立,

a<(x).=1,即aW1

\/min

又由0關(guān)于X的方程尤2+2公+1=0有兩個不等正根，知

△=（2a『—4xlxl〉0?

\I）解得”一1,

—2a>0

a<\

由，△4為真命題知〈解得av—1.

a<-\

實(shí)數(shù)a的取值范圍(一8,—1).

選②時

由夕：7%日1,2],必—。20知4<%2在x日1,2]上恒成立，

Aa