2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 等比數(shù)列 思維導(dǎo)圖及練習(xí) 含答案

6.3等比數(shù)列

思維導(dǎo)圖

等比數(shù)列的概念

等差數(shù)列的概念公比的概念

等比數(shù)列的通項(xiàng)

等比數(shù)列等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)

求和^式的應(yīng)用

通項(xiàng)的性質(zhì)

前n項(xiàng)和的性質(zhì)

知識點(diǎn)總結(jié)

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同

定義

一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列

通項(xiàng)設(shè)｛斯｝是首項(xiàng)為由，公比為g的等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式推廣:

nm

公式an=amq~(m3〃￡N*)

等比如果在〃與力中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,方成等比數(shù)列，那么G叫做

中項(xiàng)〃與方的等比中項(xiàng).此時(shí)，G^=ab

2.等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式

nai9q=l,

/)ai-anq-

典型例題分析

考向一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算

L（2022?全國乙卷）已知等比數(shù)列｛斯｝的前3項(xiàng)和為168,公一。5=42,則由=（）

A.14B.12C.6D.3

〃1+。2+。3=168,

解析：選D設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為的，公比為q,由題意可得U-?5=42,即

“l(fā)(l-43)

=168,

i-q

3

a1q(l—q)=42,

卜1=96,

解得11所以“6=4爐=3,故選D.

卜=5，

2.（2023?岳陽模擬）河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與

莫高窟、云岡石窟'麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量

是下層的2倍，總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮

雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛飆｝,則k>g2a4的值為（）

A.4B.5C.6D.7

解析：選C根據(jù)題意，“浮雕像”從下到上構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為砧前〃項(xiàng)和為S”.

于是ST=，，"--=1016=ai=8,則“4=8X2^=260log2a4=log226=6.故選C.

7

3.（2023?瀘州模擬）記S“為遞增的等比數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，若的=1,&=中2,貝口4=.

775

解析：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為磯由§3=5。2得，。1+。2+。3=￥2,即1+夕2=52解得4=2或4=

11—24

3，:是遞增數(shù)列，，q=2,:.§4=1_,=24—1=15.

答案：15

方法總結(jié)

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a.,n,q,an,Sn,-

般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.

⑵等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q=l時(shí)，｛斯｝的前"項(xiàng)和S?=n?i;當(dāng)q^l

ai（l—qn）ai-aq

==n

時(shí)，｛斯｝的刖n項(xiàng)和Sn1_-1.

考向二等比數(shù)列的判定或證明

［典例］已知數(shù)列｛斯｝滿足“1=3，02=1,即+2+4a“=5a“+i("GN*).

⑴證明：數(shù)列｛呢+1—即｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

［解］⑴證明：?.?斯+2+4斯=5斯+1,〃￡N*,

an+2-an+i=4(an+i-?n),〃￡N*,

?1=|,?2=1,

二數(shù)列｛斯+1—即｝是以方為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)歹U.

n12n3

(2)由(1)知，a?+i—an=^X4~=2~,

當(dāng)時(shí),

斯=3〃-斯-1)+(斯-1-斯-2)H-----1-(?2-?1)+?1

=22n~5+22n-7+22n~9H-----1-2-1+2-1

1.-⑹)1

5+下^=§(22「3+1)

當(dāng)"=1時(shí)，。1=；（2-1+1）=3黃足上式.

所以，a?=|(22?-3+l)(nGN*).

［方法技巧］等比數(shù)列的判定方法

若":"一如。為非零常數(shù)，"GN*）或："一q（q為非零常數(shù)且”22,

定義法

nGN*）,則｛斯｝是等比數(shù)列

中項(xiàng)公式法若數(shù)列｛斯｝中，斯#0且成+1=斯?即+2（〃GN*）,則｛斯｝是等比數(shù)列

若數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式可寫成明=cq"-i（c,g均為非零常數(shù)，“e

通項(xiàng)公式法

N*）,則｛斯｝是等比數(shù)列

前n項(xiàng)和公若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和8=心/一左（左為非零常數(shù)，qWOJ）,貝U

式法｛斯｝是等比數(shù)列

（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種

方法常用于選擇題、填空題中的判定.

注意

（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不

成等比數(shù)列即可

考向三等比數(shù)列的性質(zhì)

［典例］(1)(2023?沈陽模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中，a2,“8為方程/-4X+TT=0的兩根，則a3a5a7的值為

()

A.Tt\［nB.—TTJTTC.士TtxfjtD.n3

(2)(2023?遼寧撫順Ttr第二中學(xué)模擬)若等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且amo=9,貝Ulog9ai+log9a2

+…+log9aio=()

A.6B.5

l+log35

C.4D.—行匚

［解析］(1)在等比數(shù)列｛“"｝中，因?yàn)椤?,。8為方程比2—4工+兀=0的兩根，所以a2a8=兀=底，所以。5=

±\［n,所以的a5a7=ag=±k\5.故選C.

(2)log9al+log9a2T----卜log9aio=log9［(aiaio>(a2a9>(a3a8>34劭>35a6)］=log?95=5.

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前〃項(xiàng)和公式的

變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為若S“=3向+3-相，且｛劭｝是等比數(shù)列，則()

A.0B.3C.4D.6

2.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題："三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其大意為："有一個(gè)人走了378里路，第一天

健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則此人第4

天走了（）

A.60里B.48里C.36里D.24里

3.設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)歹!J,公比為4,則"q<0"是"對任意的正整數(shù)n,a2n_｝+g,<0"的

A.充要條件B.充分而不必要條件

C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S"=2a“-1,則確定組W2的最大正整數(shù)〃的值為（）

n

A.2B.3C.4D.5

5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，％=3,al2=al，則公比q的值為（）

A.-3B.3C.±3D.2

6.已知數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，其中％=1,%,2a2,%+3成等差數(shù)列，且

a“+i=XS“+l（〃cN*,4*-l）,則%=（）

A.2"-1B.2"-1C.（1+2），，-1-1D.（l+A）"

二、多選題

7.已知等比數(shù)列｛見｝是單調(diào)數(shù)列，設(shè)S”是其前”項(xiàng)和，若4=243,%=3,則下列結(jié)論正確的是（）

A./=±27B.??=36-

c.s.一口

D.a?！?,—

〃2

8.已知函數(shù)〃x）=lgx,則（）

A./（2）,八灰可，〃5）成等差數(shù)列B."2）,/（4）,/（8）成等差數(shù)列

C./（2）,“12）,”72）成等比數(shù)列D./（2）,/（4）,“16）成等比數(shù)列

三、填空題

9.等比數(shù)列｛/｝中，/=2,%=8,則%=

10.等比數(shù)列｛%｝為非常數(shù)數(shù)列，其前”項(xiàng)和是S“，當(dāng)S3=3%時(shí)，則公比4的值為

11.在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，&=2百，/+%=8,貝1」詠=______.

“2021

12.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.=2,+f(其中/為常數(shù))，若｛為｝為等比數(shù)列，則仁

四、解答題

13.已知等比數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)1=16,公比<7=L，在｛%｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)正數(shù)，使它們和

原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列｛〃｝.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列也｝前“項(xiàng)的乘積為試問：1是否有最大值？如果是，請求出此時(shí)”以及最大值；若不是，

請說明理由.

14.已知數(shù)列｛?｝滿足q=(,〃用=力7

⑴證明：存在等比數(shù)列低｝,使〃〃=占；

1111一

⑵若一+—+—+…+—<2022,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

%a2a3an

15.已知等差數(shù)列｛4｝的公差d=2,且4+%=2,｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)若S-%、與成等比數(shù)列，求加的值.

(2)令6“=2%-1,求數(shù)列｛〃｝的前“項(xiàng)和T”.

16.已知回｝是遞增的等差數(shù)列，q+%=18,%,%，%分別為等比數(shù)列抄/的前三項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)刪去數(shù)列物/中的第4項(xiàng)(其中i=l,2,3,),將剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列｛cj,求數(shù)列

｛%｝的前〃項(xiàng)和S“.

提升題型訓(xùn)練

一、單選題

1.已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S〃，s2=4,且83=402+%,則85=（）

A.40B.120C.121D.363

2.記等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知S5=10,%=50,則九二（）

A.180B.160C.210D.250

3.等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，公比為q,若幻+42+43=2,S6=9$3,貝!]89=（）

A.50B.100C.146D.128

4.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，S〃為其前〃項(xiàng)和，若q+〃2+〃3=4,&+〃5+4=8,則§12=（）

A.40B.60C.32D.50

5.已知等比數(shù)列｛q｝中，%=2X3〃L則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前〃項(xiàng)和為（）

A.3"—1B.3（3n-l）C.；（9〃-1）D.|（9n-l）

6.已知｛q｝為等比數(shù)列，若。2.%=%，且。4與2%的等差中項(xiàng)為，，則的值為（）.

O

A.5B.512

C.1024D.64

二、多選題

7.記S,為數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和，若25“=2叫,且Q,%,佝成等比數(shù)列，則（）

A.｛%｝為等差數(shù)列B.4=12

C.%，。9，%成等比數(shù)列D.S,有最大值，無最小值

8.以下關(guān)于數(shù)列的結(jié)論正確的是（）

A.若數(shù)歹￡見｝的前〃項(xiàng)和S“=-/+2”，則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

B.若數(shù)歹1]圾｝的前w項(xiàng)