2024屆北京市中考三模數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆北京市京源學(xué)校中考三模數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.2017年，小欖鎮(zhèn)GOP總量約31600000000元，數(shù)據(jù)31600000000科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.O.316xlO10B.0.316X1011C.3.16xlO10D.3.16xlOn

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△AD，E處，AD，與CE交于點F,若

ZB=52°,ZDAE=20°,則NFED，的度數(shù)為（）

C.50°D.45°

3.下列函數(shù)中，當(dāng)x>0時，y值隨x值增大而減小的是（)

1

A.y=x2B.y=x-1C.y=—xD.>=一

-4X

4.如圖是一個放置在水平桌面的錐形瓶,它的俯視圖是（)

A.AD.」

5.下列命題中假命題是（）

A.正六邊形的外角和等于B.位似圖形必定相似

C.樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小D.方程=u無實數(shù)根

6.估計反-而+2的運算結(jié)果在哪兩個整數(shù)之間（）

A.0和1B.1和2C.2和3D.3和4

7.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=LCE=3,CH^-AF與點H,那么CH的長是（）

8.下列各式：Q)a0=l(g)a2-a3=a5(3)2-2=--@-(3—5)+(-2)4-T8X(-1)=0(5)X2+X2=2X2,其中正確的是()

4

A.①②③B.①③⑤C.②③④D.②④⑤

9.如圖所示的幾何體，上下部分均為圓柱體，其左視圖是()

10.如圖，數(shù)軸上有三個點A、B、C,若點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則圖中點C對應(yīng)的數(shù)是()

CB

A.-2B.0C.1D.4

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.若關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-x+l=0有實數(shù)根，則a的取值范圍為

3

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AM是BC邊上的中線，cosZAMC貝！|tanZB的值為

13.已知xy=3,那么x

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形043c的兩邊OC分別在x軸和y軸上，并且。4=5,OC=1.若把矩形

Q43C繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使點A恰好落在5c邊上的Ai處，則點C的對應(yīng)點G的坐標(biāo)為.

15.如圖，BC=6,點A為平面上一動點，且NBAC=60。，點O為AABC的外心，分別以AB、AC為腰向形外作等

腰直角三角形△ABD與△ACE,連接BE、CD交于點P,則OP的最小值是

點。、E分另！］在AB、AC上，S.DE//BC,已知4。=2,08=4,DE=1,貝!!BC=

17.用一直徑為10cm的玻璃球和一個圓錐形的牛皮紙紙帽可以制成一個不倒翁玩具，不倒翁的軸剖面圖如圖所示,

圓錐的母線AB與。。相切于點B,不倒翁的頂點A到桌面L的最大距離是18cm.若將圓錐形紙帽的表面全涂上顏

色，則需要涂色部分的面積約為cn?（精確到lcm2）.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）在“雙十一”購物街中，某兒童品牌玩具專賣店購進了AB兩種玩具，其中A類玩具的金價比5玩具的進

價每個多3元.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：用900元購進A類玩具的數(shù)量與用750元購進B類玩具的數(shù)量相同.求A.B的進價分別是

每個多少元？該玩具店共購進AB了兩類玩具共100個，若玩具店將每個4類玩具定價為30元出售，每個3類玩具

定價25元出售，且全部售出后所獲得的利潤不少于1080元，則該淘寶專賣店至少購進A類玩具多少個？

19.（5分）已知，關(guān)于x的方程*2+2*-60有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求"的取值范圍；

X,

⑵若■X2是這個方程的兩個實數(shù)根,求標(biāo)的值;

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果你能得出什么結(jié)論？

20.（8分）如圖，把兩個邊長相等的等邊△ABC和△ACD拼成菱形ABCD,點E、F分別是CB、DC延長上的動點,

且始終保持BE=CF,連結(jié)AE、AF、EF.求證：AEF是等邊三角形.

21.（10分）如圖，正方形ABCD中，E,F分別為BC,CD上的點，且AELBF,垂足為G.

（1）求證：AE=BF；（2）若BE=6,AG=2,求正方形的邊長.

22.（10分）如圖，AD是^ABC的中線，CF_LAD于點F,BE_LAD,交AD的延長線于點E,求證：AF+AE=2AD.

23.（12分）如圖1,在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,經(jīng)過點O的直線與邊AB相交于點E,

（2）如圖2,連接DE,BF,當(dāng)DELAB時，在不添加其他輔助線的情況下，直接寫出腰長等于gBD的所有的等腰

2

三角形.

24.（14分）如圖，為了測量建筑物AB的高度」，在D處樹立標(biāo)桿CD,標(biāo)桿的高是2m,在DB上選取觀測點E、F,

從E測得標(biāo)桿和建筑物的頂部C、A的仰角分別為58。、45。.從F測得C、A的仰角分別為22。、70。.求建筑物AB

的高度（精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：tan22°~0.40,tan58°~1.60,tan70O=2.1.）

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解析】

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中10a卜10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動

了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).

【詳解】

31600000000=3.16x1.故選：C.

【點睛】

本題考查科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)記數(shù)法的表示.

2、B

【解析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出NO=N5=52。，由折疊的性質(zhì)得：ZD'=ZD=52°,ZEAD'=ZDAE=20°,由三角形的外角性

質(zhì)求出NAE尸=72。，與三角形內(nèi)角和定理求出NA￡D，=108。，即可得出/尸EZT的大小.

【詳解】

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

D=NB=52。,

由折疊的性質(zhì)得：ZD'=ZD^52°,ZEAD'=ZDAE=20°,

ZAEF=ZD+ZDAE=520+20°=72°,ZAEDr=180o-ZEAD'-NZ>'=108°,

:.ZFED'=108°-72°=36°.

故選B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)

和折疊的性質(zhì)，求出NAE尸和NAE。是解決問題的關(guān)鍵.

3、D

【解析】

A、、；y=x2,.?.對稱軸x=0,當(dāng)圖象在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減

小，故此選項錯誤

B、k>0,y隨x增大而增大，故此選項錯誤

C、B、k>0,y隨x增大而增大，故此選項錯誤

D、y=-(x>0),反比例函數(shù)，k>0,故在第一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，故此選項正確

x

4、B

【解析】

根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形解答即可.

【詳解】

錐形瓶從上面往下看看到的是兩個同心圓.

故選B.

【點睛】

本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關(guān)鍵是由三視圖得到相應(yīng)的平面圖形.從正面看到的圖是正視圖，從上面看到的

圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的線畫實線，被遮擋的線畫虛線.

5、C

【解析】

試題解析：A、正六邊形的外角和等于360。，是真命題；

B、位似圖形必定相似，是真命題；

C、樣本方差越大，數(shù)據(jù)波動越小，是假命題；

D、方程x2+x+l=0無實數(shù)根，是真命題；

故選：C.

考點：命題與定理.

6、D

【解析】

先估算出其■的大致范圍，然后再計算出灰+2的大小，從而得到問題的答案.

【詳解】

250201,/.5<732<1.

原式=寂-2+2=?-2,/.3<^2-V16+2V2.

故選D.

【點睛】

本題主要考查的是二次根式的混合運算，估算無理數(shù)的大小，利用夾逼法估算出血的大小是解題的關(guān)鍵.

7、D

【解析】

連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90。，然后利用勾股定理列式求

出AF,最后由直角三角形面積的兩種表示法即可求得CH的長.

【詳解】

如圖，連接AC、CF,

V正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

：.AC=42，CF=3挺，

ZACD=ZGCF=45°,

.\ZACF=90°,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=J（在（3回2=2下,

VCH±AF,

：.-ACCF=-AFCH,

22

即L也義2母=上義2下.CH,

22

?，.CH=3'^^

,?一-二

故選D.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的面積，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8、D

【解析】

根據(jù)實數(shù)的運算法則即可一一判斷求解.

【詳解】

①有理數(shù)的0次毒，當(dāng)a=0時，aLO；②為同底數(shù)募相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，正確；③中2々=原式錯誤；④

4

為有理數(shù)的混合運算，正確；⑤為合并同類項，正確.

故選D.

9、C

【解析】

試題分析：?.?該幾何體上下部分均為圓柱體，,其左視圖為矩形，故選C.

考點：簡單組合體的三視圖.

10、C

【解析】

【分析】首先確定原點位置，進而可得C點對應(yīng)的數(shù).

【詳解】?.?點A、B表示的數(shù)互為相反數(shù)，AB=6

，原點在線段AB的中點處，點B對應(yīng)的數(shù)為3,點A對應(yīng)的數(shù)為-3,

又點C在點B的左邊，

.?.點C對應(yīng)的數(shù)是1,

故選C.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是正確確定原點位置.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

5口

11、aW-且arL

4

【解析】

根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件列出關(guān)于a的不等式組，求出a的取值范圍即可.

【詳解】

由題意得：A>0,即(-1)2-4(a-1)xl>0,

解得吆3,

4

又a-1^0,

.?.aW』且arl.

4

故答案為吆?且a丹.

4

點睛：本題考查的是根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)題意列出關(guān)于a的不等式組是解答此題的關(guān)鍵.

2

12、一

3

【解析】

3

根據(jù)cosNAMC=不，設(shè)同。=3%,AM=5x,由勾股定理求出AC的長度，根據(jù)中線表達出BC即可求解.

【詳解】

3

解：VcosZAMC=-,

…cMC3

cosZAMC=------=—,

AM5

設(shè)MC=3x,AM^5x,

.?.在RtAACM中，AC=ylAM2-MC2=4x

VAM是BC邊上的中線，

?\BM=MC=3x,

.*.BC=6x,

AC4x2

在RtAABC中，tan/B—-----————,

BC6x3

2

故答案為：

3

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)值的求解問題，解題的關(guān)鍵是熟記銳角三角函數(shù)的定義.

13、±273

【解析】

分析：先化簡，再分同正或同負兩種情況作答.

詳解：因為孫=3,所以x、y同號，

于是原式“梓+y停=5歷+啟而,

當(dāng)x>0,y>0時，原式=+J^=2百；

當(dāng)x<0,y<0時，原式=-7^+（一7^）=一2若

故原式=±2若.

點睛：本題考查的是二次根式的化簡求值，能夠正確的判斷出化簡過程中被開方數(shù)底數(shù)的符號是解答此題的關(guān)鍵.

【解析】

直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ONCi三邊關(guān)系，再利用勾股定理得出答案.

【詳解】

過點G作GNLx軸于點N,過點Ai作AiMLx軸于點M,

由題意可得：ZCiNO=ZAiMO=90°,

N1=N2=N1,

則4AiOM^AOCiN,

；OA=5,OC=L

.\OAi=5,AiM=l,

；.OM=4,

.,.設(shè)NO=lx,則NCi=4x,OCi=l,

則（lx）2+（4x）2=9,

3

解得：x=±g（負數(shù)舍去），

912

則NO、，NCl=y,

912

故點C的對應(yīng)點G的坐標(biāo)為：（-1，y）.

故答案為（-（9，y12）.

【點睛】

此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出白AJOM-AOCIN是解題關(guān)鍵.

15、3-73

【解析】

試題分析：如圖，；NBAD=NCAE=90。，AZDAC=ZBAE,在ADAC和△BAE中，；AD=AB,ZDAC=ZBAE,

AC=AE,/.ADAC^ABAE(SAS),/.ZADC=ZABE,/.ZPDB+ZPBD=90°,/.ZDPB=90°,.,.點P在以BC為

直徑的圓上，I?外心為O,ZBAC=60°,/.ZBOC=120°,又BC=6,，OH=逝，所以O(shè)P的最小值是3—若.故答

案為3-石.

考點：1.三角形的外接圓與外心；2.全等三角形的判定與性質(zhì).

16、1

【解析】

先由DE〃BC,可證得AADEs^ABC,進而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得BC的長.

【詳解】

解：'JDE//BC,

：.AADE^AABC,

：.DE：BC=AD:AB,

VAZ)=2,￡>B=4,

：.AB=AD+BD=6,

Al：J?C=2：6,

：.BC=1,

故答案為：L

【點睛】

考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出相似后得出比例式，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有

的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三

角形.

17、174cm1.

【解析】

直徑為10cm的玻璃球，玻璃球半徑OB=5,所以AO=18-5=13,由勾股定理得，AB=11,

ABxBO60

'：BDxAO=ABxBO,BD=———

13

圓錐底面半徑=BD=K，圓錐底面周長=lx5\,側(cè)面面積=工'卜如兀X1上必字.

131321313

點睛：利用勾股定理可求得圓錐的母線長，進而過B作出垂線，得到圓錐的底面半徑，那么圓錐的側(cè)面積=底面周長x

母線長+L本題是一道綜合題，考查的知識點較多，利用了勾股定理，圓的周長公式、圓的面積公式和扇形的面積公

式求解.把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解是本題的解題關(guān)鍵.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18、（1）A的進價是18元，3的進價是15元；（2）至少購進A類玩具40個.

【解析】

（1）設(shè)3的進價為x元，則A的進價為（％+3）元，根據(jù)用900元購進A類玩具的數(shù)量與用750元購進3類玩具的數(shù)

量相同這個等量關(guān)系列出方程即可；

（2）設(shè)A玩具。個，則3玩具（100-。）個，結(jié)合“玩具點將每個A類玩具定價為30元出售，每個3類玩具定價25元

出售，且全部售出后所獲得利潤不少于1080元”列出不等式并解答.

【詳解】

解：⑴設(shè)5的進價為x元，則A的進價為（x+3）元

解得x=15,

經(jīng)檢驗x=15是原方程的解.

所以15+3=18（元）

答：A的進價是18元，3的進價是15元；

（2）設(shè)A玩具a個，則5玩具（100—。）個

由題意得：12a+10（100—。）21080

解得。240.

答:至少購進A類玩具40個.

【點睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的

解分式方程或不等式是需要掌握的基本計算能力.

19、(1)k>-l；(2)2；(3)左>-1時，一^r+—^7的值與左無關(guān).

+1X2+1

【解析】

(1)由題意得該方程的根的判別式大于零，列出不等式解答即可.

(2)將要求的代數(shù)式通分相加轉(zhuǎn)化為含有兩根之和與兩根之積的形式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代數(shù)求值即可.

(3)結(jié)合(1)和(2)結(jié)論可見，時，一\+金7的值為定值2,與左無關(guān).

【詳解】

(1)???方程有兩個不等實根，

.,.△>0,

即4+4Jl>0,：.k>-l

(2)由根與系數(shù)關(guān)系可知

Xl+X2=-2,XlX2=-k,

%1+1x2+1

X](X2+1)+x2(%1+1)

01+1)(%+1)

1+%+/+

-1-k

(3)由(1)可知，k>-l時，

X,X,

++的值與左無關(guān).

【點睛】

本題考查了一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解答關(guān)鍵.

20、見解析

【解析】

分析：由等邊三角形的性質(zhì)即可得出NABE=NACF,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

詳解：證明：:△ABC和AACD均為等邊三角形

/.AB=AC,ZABC=ZACD=60°,

ZABE=ZACF=120°,

VBE=CF,

/.△ABE^AACF,

/.AE=AF,

.*.ZEAB=ZFAC,

/.ZEAF=ZBAC=60°,

???△AEF是等邊三角形.

點睛：此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出△ABEgAACF.

21、(1)見解析；(2)正方形的邊長為6.

【解析】

(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC,NABC=NC=90。，NBAE+NAEB=90。，由AE_LBF,得出NCBF+/AEB=

90°,推出NBAE=NCBF,由ASA證得△ABEgZXBCF即可得出結(jié)論；

(2)證出NBGE=NABE=90。，ZBEG=ZAEB,得出△BGEs/\ABE,得出BE?=EG?AE,設(shè)EG=X,貝！|AE=

AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

,\AB=BC,ZABC=ZC=90°,

/.ZBAE+ZAEB=90°,

VAE±BF,垂足為G,

.,.ZCBF+ZAEB=90°,

/.ZBAE=ZCBF,

在4ABE^ABCF中，

ZBAE=ZCBF

<AB=BC,

ZABE=ZC=90°

/.△ABE^ABCF(ASA),

/.AE=BF；

(2)解：?.?四邊形ABCD為正方形,

...ZABC=90°,

VAE±BF,

...NBGE=NABE=90。，

VZBEG=ZAEB,

/.△BGE^AABE,

.BE_EG

"AE-BE*

即：BE2=EG?AE,

設(shè)EG=x,貝!|AE=AG+EG=2+x,

?*.(百)2=x?(2+x),

解得：Xl=l,X2=-3(不合題意舍去)，

；.AE=3,

AB=JAE?-BE。=,2—(6)2=C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形

的性質(zhì)，證明三角形全等與相似是解題的關(guān)鍵.

22、證明見解析.

【解析】

由題意易用角角邊證明△BDE且aCDF,得到DF=DE,再用等量代換的思想用含有AE和AF的等式表示AD的長.

【詳解】

證明：,.?CF_LAD于，BE1AD,

；.BE〃CF,ZEBD=ZFCD,

又,；AD是AABC的中線，

；.BD=CD,

；.在4BED與4CFD中，

ZEBD=ZFCD

<NBED=NCFD,

BD=CD

.,.△△BED^ACFD(AAS)

ED=FD,

又；AD=AF+DF①，

AD=AE-DE②，

由①+②得：AF+AE=2AD.

【點睛】

該題考察了三角形全等的證明，利用全等三角