廣東省佛山市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)3月綜合能力測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省佛山市南海西樵高級(jí)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期3月綜合

能力測(cè)試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z=i(l+i5),則復(fù)數(shù)了在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合人=｛無(wú)｝=垣(3-尤)｝,2=卜卜=—/+6尤],則AB=()

A.(一也引B.(-8,3)C.[0,31D.[0,3)

3.已知〃x)=2、+無(wú)2,若/⑷<3,則()

A.ae(l,+co)B.ae(-l,l)C.ae(-■?,1)D.ae(0,l)

4.己知。為雙曲線C的中心,F為雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)A,使得IOA1=1O產(chǎn)I,

7

cosNAOf^^，則雙曲線C的禺心率為()

A.yB.6C.5D.7

5.已知。涉,cwR且17力0,貝『'ax?+6x+c>0的解集為｛x|xw"”是“。+人+。=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，

G

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L(zhǎng)=其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使

用的學(xué)習(xí)率，4表示初始學(xué)習(xí)率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表示衰

減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18,且當(dāng)訓(xùn)練

迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練

迭代輪數(shù)至少為()(參考數(shù)據(jù)：lg2yo.3010)

A.72B.74C.76D.78

7.已知e為單位向量，向量a滿足a.e=2,1-力4=1,則什的最大值為()

A.1B.2C.乖D.4

8.已知直線人:kx-y+6k=Q(keR)與直線I、:x+ky+>/3+k=0(A;eR)相交于點(diǎn)M,

若恰有3個(gè)不同的點(diǎn)M到直線/：x-y+6=。的距離為1,則6=()

A.±1B.+-\/2C.±A/3D.±2

二、多選題

9.喋吟是一種雜環(huán)有機(jī)化合物，它在能量的供應(yīng)、代謝的調(diào)節(jié)等方面都有十分重要的

作用，它的化學(xué)結(jié)構(gòu)式主要由一個(gè)正五邊形與一個(gè)正六邊形構(gòu)成(設(shè)它們的邊長(zhǎng)均為1),

其平面圖形如圖所示，則()

A.\AB\=y/3B.。到AC的距離是cos36。

C.。是2WC的內(nèi)切圓的圓心D.tan/ABC<tan/3c4<tanNC4s

10.已知函數(shù)/(尤)=須皿0尤+°)(4>0,0>0,網(wǎng)<3］的圖象向左平移￡個(gè)單位后到函

B.7(x)在上為增函數(shù)

126

C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(Xx)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)

44I2)

5兀

D.尤=當(dāng)是函數(shù)y=/(x)+g(x)的圖象的一條對(duì)稱軸

24

11.已知定義域均為R的函數(shù)/(尤)與g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為/(X)與g"),且

g(3-x)=/(x+l)-2,g'(x+l)=r(x—l),函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)/(3,0)對(duì)稱，則()

A.函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.8是函數(shù)/(》)的一個(gè)周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

三、填空題

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

12.已知a,b,c是正整數(shù)，且ae[10,20],be(20,30],ce(30,40],當(dāng)a,b,c方差

最小時(shí)，寫出滿足條件的一組a,b,c的值______.

13.ABC中，角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,K2ccosCsinB+bsinC=0,D為邊

AB上一點(diǎn)，CO平分/ACS,CD=2,貝:=.

ab

14.已知表面積為8元的球。的內(nèi)接正四棱臺(tái)ABC。-A46R,AB=2,44=1,動(dòng)

點(diǎn)P在△ACR內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線與平面AC2所成角的正弦值的最大值

為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",〃為正整數(shù),且3(5“-")=4(4-2).

⑴求證數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若點(diǎn)尸"”-1，"2]在函數(shù)＞=log4尤的圖象上，且數(shù)列仁｝滿足g=(-

求數(shù)列｛1｝的前W項(xiàng)和

16.在斜四棱柱中，AAl=AB=BC=CD=^AD=2,BC//AD,平

2冗

面\ADDX±平面ABCD,NADR=—.

⑴求A片的長(zhǎng)；

(2)求二面角A-CQ-。的正切值.

17.海參中含有豐富的蛋白質(zhì)、氨基酸、維生素、礦物質(zhì)等營(yíng)養(yǎng)元素，隨著生活水平的

提高，海參逐漸被人們喜愛(ài).某品牌的海參按大小等級(jí)劃分為5、4、3、2、1五個(gè)層級(jí)，

分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[300,350),[350,400),[400,450),[450,500),

[500,550].從該品牌海參中隨機(jī)抽取10000顆作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布

直方圖.

頻率/組距

0.005

0.001

0.002

0.001

300350400450500550質(zhì)量指標(biāo)值

(1)質(zhì)量指標(biāo)值越高，海參越大、質(zhì)量越好，若質(zhì)量指標(biāo)值低于400的為二級(jí)，質(zhì)量指標(biāo)

值不低于400的為一級(jí).現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法按比例從不低于400和低于400的

樣本中隨機(jī)抽取10顆，再?gòu)某槿〉?0顆海參中隨機(jī)抽取4顆,記其中一級(jí)的顆數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)甲、乙兩人計(jì)劃在某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購(gòu)活動(dòng)，每人只

能搶購(gòu)一個(gè)訂單，每個(gè)訂單均由箱海參構(gòu)成.假設(shè)甲、乙兩人搶購(gòu)成功

的概率均為而，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量為匕搶到海參總箱數(shù)為Z.

①求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②當(dāng)Z的數(shù)學(xué)期望取最大值時(shí)，求正整數(shù)w的值.

X—CL

18.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx--尸(常數(shù)°40).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線方程；

⑵求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

Inx1”

(3)證明：一7＜『(xwl).

X-lsjx

19.在平面直角坐標(biāo)系中，A(T,0),B(Z,0)(r＞0),M為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足:

\MA\-\MB\cos24片=3產(chǎn).

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

⑵設(shè)動(dòng)直線/：＞=履+加與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4f相交于點(diǎn)Q,

該平面上是否存在定點(diǎn)H,使得以尸。為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)H?若存在，求出點(diǎn)X的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】

由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由共軌復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?/p>

z=i(l+i5)=i(l+i)=i+i2=i-l,所以三=_i_1,

所以復(fù)數(shù)乞在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-1),位于第三象限.

故選：C.

2.D

【分析】通過(guò)計(jì)算函數(shù)y=lg(3-"定義域求出集合A,計(jì)算函數(shù)y=M+6x值域求出集

合3,最后通過(guò)交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由4=｛尤｝=炮(3-尤)｝,有3—x>0,即x<3,所以A=(F,3)；

由2=[巾=\一/+6彳[令]=一/+6幣根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有*x=。=9,

所以正(-8,9],又因?yàn)閥=J_f+6x，所以ye[0,3],B=[0,3];

所以AB=[0,3).

故選：D

3.B

【分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及函數(shù)在[。,+◎單調(diào)遞增即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?源+人定義域?yàn)镽,且“_尤)=2問(wèn)+(-尤)2=2憾+爐=〃功,

所以“X)為偶函數(shù)，

又當(dāng)xNO時(shí)，/原)=2工+/單調(diào)遞增，且/(1)=3,

所以由/(?)<3可得/刎)<3=/(I),即時(shí)<1,

解得—1<<7<1,

故選：B

4.C

【分析】

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

解三角形求出|AR'|，HH，根據(jù)雙曲線的定義建立方程即可得解.

【詳解】不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在X軸上，F(xiàn)（C,O）,另一個(gè)焦點(diǎn)為廣（_c,0）,

因?yàn)橛?|。尸所以.必尸為直角三角形，

7

因?yàn)閨OA\=\OF|=c,cosZ.AOF=一,

25

所以由余弦定理可得|4刊=,J|OA|2+|<9F|2-2|<9A||OF|cosZAOF=小2c?-*x2c2=1c,

所以\AF'\=7|FT|2-|AF|2=j以一||c2=|c,

由雙曲線定義可得，|A/HA刊=|c-1=2%

所以e=§=5.

a

故選：C

5.A

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.

【詳解】由題意，二次不等式o^+bx+oo的解集為

a>0

b

則等價(jià)于〈一丁=1，SPa=c>0,b=-2a,即a+Z?+c=0,

2a

A=b2-4ac=0

當(dāng)Q+/?+C=0時(shí)，不能推出〃=。>0*=一2。,

所以“ax2+bx+c>0的解集為｛x|尤豐1b'是"a+Hc=0”的充分不必要條件，

故選：A

6.B

4A￡

【分析】根據(jù)已知條件列方程，可得。=],再由0.5*（千8<（）.2,結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)函

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

Gr

【詳解】由于乙=4。而，所以L=o.5x9，

IO4

依題意0.4=0.5、。M，則乃=二，

則L=0.5x^|J8,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

由￡=0.5x(-)is<0.2,

所以，即G>1810g,|=2)x73.9,

55Ig5-21g2l-31g2

所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次.

故選：B

7.C

【分析】

設(shè))=(l,o),。=(尤,y),根據(jù)a"=2求出X,再根據(jù)k一Xe|=l得至1]9=1-(2-#?,最后根

據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】依題意設(shè)2=(1,0),a=(x,y),

由Q.e=2,所以x=2,則〃=(2,y),

又a_/le=(2,y)-(4,0)=(2-4,),且卜_陷=1,

所以“2—"+丁=1，即y2=1_(2—肛，

所以口=/2+夕=,4+1-(2-2)2V行,當(dāng)且僅當(dāng)2=2時(shí)取等號(hào)，

即口的最大值為正.

故選：C

8.B

【分析】

根據(jù)直線垂直確定/軌跡為圓，再由圓上存在三點(diǎn)到直線距離相等轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離

為1求解.

【詳解】由4:Ax-y+l-\/^%=0(keR)可得％(x->/§)-y+l=0,

即4過(guò)定點(diǎn)A(g,l),

由I、:x+ky+y/3+k-0(keR)可得x+6+Z(y+1)=0,

即4過(guò)定點(diǎn)8(-石,T)，

又“4,所以M的軌跡是以AB為直徑的圓(不含4,8),

其中圓心為(0,0),半徑為r=|(洶=2,

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

所以圓上恰有3個(gè)不同的點(diǎn)加到直線，：x-y+8=。的距離為1,

只需圓心到直線的距離等于1,

|0-0+Z)|

即解得

1=~ir~=i,b=±V2.

故選：B

9.AD

【分析】

根據(jù)正六邊形的內(nèi)角及余弦定理判斷A,由正五邊形的內(nèi)角判斷B,根據(jù)0C不是角平分線

判斷C,根據(jù)角的大小及正切函數(shù)判斷D.

【詳解】由正六邊形知ZAO8=120。，由余弦定理得

IAB\=y)\OAf+\OB[-2|OA||OB|COS120°=Jl+1+1=#),故A正確；

1QQO

由正五邊形知，ZAOC=108°,所以/ACO=90°--------=36。，

2

故O到AC的距離是OCsin36°=sm36°,故B錯(cuò)誤；

1QQO_132°

因?yàn)镹COB=360°一108。一120。=132。，所以NOCB=--------------=24。，即OC不平分/ACB,

2

所以。不是二ABC的內(nèi)切圓的圓心，故C錯(cuò)誤；

由題意，ZABC=30°+24°=54°,ZBC4=24°+36°=60°,ZC4B=36°+30°=66°,

由正切函數(shù)的單調(diào)性可知tan/43C<tan/3C4<tanNC4B,故D正確.

故選：AD

10.BCD

【分析】

根據(jù)圖象求出g(無(wú))解析式，由平移可得了(元)解析式即可判斷A,根據(jù)所給自變量范圍及正

弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B,根據(jù)自變量范圍及參數(shù)范圍，確定蟲+；7T的范圍即可判斷C,由三

角恒等變換化簡(jiǎn)，由正弦型函數(shù)的對(duì)稱性判斷D.

【詳解】根據(jù)平移性質(zhì)，可設(shè)g(x)=Asin(s+0，|M<3，

由圖象可得A=3,2T=2兀，即7=f=兀，解得。=2,

CO

所以g(x)=3sin(2x+<9),又=3sin[，+4=0,

所以6=:,即g(x)=3sin(2x+：),

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

對(duì)于A,則f(x)=3sin=3sin12x-2即。=-三，故A錯(cuò)誤;

1lir77rir77rQir1lir77r

對(duì)于B,當(dāng)xe-時(shí)，2x--e,由正弦函數(shù)單調(diào)性知，/(x)在—上

NU，乙??1.乙0

為增函數(shù)，故B正確;

對(duì)于C,g(/lx)=3sinl+1,當(dāng)時(shí)，22x+^e^,7i2+^,

5957i3兀,7197171571

因?yàn)?9所以%+了=——<71/1H——<-----1——=——

24442

顯然2加+；能取到,不能取到自，所以函數(shù)gQx）在局上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),

故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)閥=/Cx)+g(x)=3sin12%一A)+3sin[2x+：兀)=6sin12x+571卜os

412

=3Gsin[2x+專],

所以當(dāng)時(shí),3瓜《x看惠=3氐嗚=36取得最大值，所以x號(hào)是函數(shù)的

一條對(duì)稱軸，故D正確.

故選：BCD

11.ABD

【分析】

根據(jù)題意，先由條件以及函數(shù)〃x）的對(duì)稱中心可得函數(shù)〃x）的周期，即可判斷AB,再賦

值計(jì)算，結(jié)合函數(shù)/(X)的周期性以及對(duì)稱性，即可判斷CD

【詳解】因?yàn)間(3-x)=/(x+l)-2,令x+l=f,則x=I,

即g(4T)=〃。一2,所以g(4—x)=/(x)—2,

用(xT)替換x可得g(5-x)=〃x-l)-2,即/(x-l)=g(5—x)+2,

又g'(x+l)=f'(x-l),則8(彳+1)+。=/(%-：1)+3，a,beR,

所以g(x+l)+a=g(5-x)+2+6,令x=2,可得g⑶+。=g0+2+O,

所以。=6+2,

再由g(3-x)=f(x+l)-2,令3-x=m,則〃?=3-x,

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

所以g(m)="4—⑹―2,即g(x)=〃4一無(wú))一2,

用(x+1)替換x,可得g(x+l)=/(3—x)_2,

且g(x+l)+a=〃x_l)+6,即/(3-x)-2+a=/(x-l)+Z7,

將a=6+2代入，可得〃3-2=/任一1),

所以函數(shù)/(X)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故A正確；

又函數(shù)Ax)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，即〃3T)=-〃3+X),

所以4x(3-1)=8是函數(shù)的一個(gè)周期，故B正確；

由g(3—x)=/(x+l)-2,令x=-2,貝|g⑸2,

因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則f(T)"(3),

且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱，所以/⑶=0,

貝必⑸=〃3)-2=0-2=-2,故C錯(cuò)誤；

由g(3—x)=/(尤+1)-2,令x=2023可得g(-2020)=/(2024)-2,

令x=2027可得g(-2024)=/(2028)-2,

貝ijg(-2020)+g(-2024)=f(2024)+f(2028)-4,

又8是函數(shù)的一個(gè)周期，且函數(shù)/(尤)關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

則“2024)"(0)="2),/(2028)=/(4),

又函數(shù)了⑺的圖像關(guān)于點(diǎn)/(3,0)對(duì)稱，即“3—同=-〃3+月，

令x=l,則/(2)=—/(4),所以〃2)+/(4)=0,

則g(-2020)+g(-2024)="2)+"4)-4=T,故D正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性的綜合應(yīng)用，難度較大，解得

本題的關(guān)鍵在于求得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸，從而確定其周期，即可得到結(jié)果.

12.20,25,31或20,26,31(其中一組即可)

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】

根據(jù)方差定義計(jì)算方差，再由方差最小，確定后轉(zhuǎn)化為關(guān)于6的二次函數(shù)，利用二次函

數(shù)求最小值即可得解.

【詳解】

a+b+c

設(shè)元=

3

貝IJ/=+伍—?。?+（。一元

]「—2—

——/+萬(wàn)2+。之+3%—2x(a+b+c)

=g"2+"+。2一;(〃+b+c)2

=g[(Q-力J+9一0)2+(0_Q)2

要使方差最小，三個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)盡量靠近，故，=20,。=31,

則/=：［（20-6）2+修-31）2+（31-20）2］=_|僅2-5g+741）,

關(guān)于匕的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為b==,又6?（20,30］且匕為正整數(shù),

2

1QO

所以當(dāng)6=25或26時(shí)，方差/最小，最小值為年.

故滿足條件的。也c為20,25,31或20,26,31.

故答案為：20,25,31或20,26,31（其中一組即可）

13.-/0.5

2

【分析】

12兀

由正弦定理化簡(jiǎn)已知式可得cosC=-5,即。=3，再由CD平分/ACB,即

S^BC=S^ACD+SBCD,將三角形的面積公式代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】因?yàn)?ccosCsinB+bsinC=0,由正弦定理可得：

2sinCeosCsinB+sinBsinC=0,因?yàn)閟ingwO,sinCwO,

所以2cosc+1=0,所以cosC=—」，因?yàn)?＜。＜兀，

2

27rjr

所以C=W，又CO平分NACB,所以ZACD=ZBCD=g,

j2冗1冗171

所以ZMC-^AACD+^BCD，即一absin—=—a-CD-sin—+—/?-CD-sin—,

即ab=a^CD-\-b'CD=2a+2b,

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

所以

ab2

故答案為：y

14.烏工g

22

［分析］先根據(jù)條件得到00、瀉,進(jìn)而得到DD、=0/ROD=,利用線面垂直的

BF

性質(zhì)作出3片_1面4。］,故/為直線2尸與平面ACR所成角，再利用sinNBPE==，

BP

得知當(dāng)尸與。重合時(shí)，依最小，再利用對(duì)頂角相等，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，。”。分別是上下底面的中心，設(shè)球心為M,半徑為R,易知MeOQ,

由題知4無(wú)氏2=871,得到R=拒，又AB=2,ABi=1.得到。0=0,。。=*，

所以M與0重合，由R2=OQ：+O02,得到oq=平，

所以皿=拈00)2+00；=0,又OD\=OD=?,所以"0。=為，

因?yàn)椤?。_L面ABCD,ACu面ABCD,所以。O|_LAC,

又ACLBD,BDcOC\=O,BE),。。u面B。。耳，所以4€?_1面臺(tái)2已用，

連接2。并延長(zhǎng)，過(guò)B作BE，。。，交2。的延長(zhǎng)線于E,

又3Eu面所以防，AC,又ACcQO=。，AC,ROu面AC，，

BF

所以BE!_面AC%,連接尸￡,則/BPE為直線BP與平面ACD,所成的角，sin/BPE=—,

在RtZkBEO中，易知NBOE=巴，OB=^2,所以BE=&xsin^=逅，

332

所以當(dāng)PB最小時(shí)，直線8尸與平面ACD所成角的正弦值的最大值，

又動(dòng)點(diǎn)P在4力CD1內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)P與。重合時(shí)，PB最小，

此時(shí)NBOE為直線BP與平面ACDt所成的角，所以直線BP與平面AC?所成角的正弦值的

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

最大值為sin—=—,

故答案為：&

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)夕位置的確定，通過(guò)利用線面垂直的性質(zhì)作出

面ACQ,從而得出-5尸E為直線3P與平面AC，所成角，再利用sin/BPE=器，將問(wèn)題

轉(zhuǎn)化成求3P的最小值，即可確定點(diǎn)尸位置，從而解決問(wèn)題.

15.⑴證明見(jiàn)解析，%=4"+1

為偶數(shù)

⑵7”=Fl

豈匕，“為奇數(shù)

、3〃+1

【分析】

（1）由%，S”的關(guān)系可得為=4。,1-3,構(gòu)造等比數(shù)列即可得解；

（2）求出/，代入C,，，裂項(xiàng)后分〃為奇數(shù)、偶數(shù)討論求解.

【詳解】（1）當(dāng)”=1時(shí)，3（4-1）=4（%-2）,解得4=5,

當(dāng)〃22時(shí)，由3（S?-?）=4（a?-2）可得3⑸—〃+1）=—2）,

兩式相減可得,??=4a?.1-3,即為-1=4（%-1）,

所以數(shù)歹式4-1｝是以5-1=4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

所以."-l=4-4"T=4",即a*=4”+l.

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

(2)點(diǎn)尸(a,-在函數(shù)yulog.的圖象上,

b+2

10

所以~^3~=(°"T)=§44"=〃，即bn=3n-2,

6n-liK+1------'"I------=(-1嚴(yán)f---+—--)

所以g=(T)H

bb(3〃-2)(3〃+1)(3〃-23〃+U

nn+l

當(dāng)〃=2k,k￡N*時(shí),

1113〃

------1------

3〃-23n+l3〃+13H+1

當(dāng)〃=2左一1,左￡N*時(shí)，

.3〃—33n-3(11—13幾+2

(=C]+。2++0”1+0”=------卜g=------H------1------=1H-------=------

"12""3/1-2"3n-2(3”-23n+l)3n+13n+l

為偶數(shù)

綜上，％=：”+;

也上，〃為奇數(shù)

、3〃+1

16.(1)710

(2)8

【分析】

(1)根據(jù)四棱柱ABC。-ABiGA性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可求得A片

的長(zhǎng)為亞；

(2)利用空間向量可求得兩平面的法向量，求出二面角A-CG-。的余弦值，可得其正切

值.

【詳解】(1)取AD的中點(diǎn)為E,AE的中點(diǎn)為F，連接A|E，A￡BE,8P；

所以AE=；AD,又招=1A￡>=2=A￡=2,AO=4；

由四棱柱性質(zhì)可得A2〃A。，又一AOA=|,所以=

可知RAE是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

根據(jù)AB=3C=；AD,3C〃AD可知JBC〃即,BC=E￡>,

即四邊形3C7圮為平行四邊形，所以助=8=2,

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

因此」是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

又AE的中點(diǎn)為歹，可知3/，4。，4尸，4。；

因?yàn)槠矫鍶L平面ABCD,平面AA。，1平面ABCD=AZ）；

所以B/_L平面AADA，

又A廠u平面4人。2,所以8尸，4尸；

即可得BF,\F,AD三條線兩兩垂直,

因此以尸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以尸民陽(yáng),用所在直線為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下

圖所示:

則4（0,-1,0）,A（0,0,有）,3（6,0,0）,設(shè)耳（X,%z）；

易知441=,且，

即=（0』,A/^）=（x—y,z）,解得x=A/3,y=1,z=；

即用（迅,1,力），所以A耳=（若,2,石），

可得,4卜^（V3）2+22+（V3）2=回

所以Aq的長(zhǎng)為亞；

（2）設(shè)平面ACG的法向量為〃?=（西,x，zj,

易知C（若,2,0）,0（0,3,0）,且A4,=CG=（0,l,g）,則AC=（指,3,0）,

m?AC=\/3x+3y=0

因此If-令義=6,則玉=-3,Z|=-l,

設(shè)平面CCQ的法向量為〃=（吃,%*2）,

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

則8=卜若,1,0b

m-CD=-y/3x2+%=0

因此＜令%=6，則々=1*2=-1

mCq=%+^z2=0

可得近=(i,后T；

.m-n-3+3+1—病

可得COSm,〃二||||

屈x非一65；

所以sin〃z,〃=-cos2m,n=四Z,由圖可知二面角A-CQ-。為銳角，

65

sin1Tln

所以二面角A-CG-。的正切值為tan九〃=———=8.

cosm,n

o

17.(1)分布列見(jiàn)解析，期望E(X)=：

⑵①分布列見(jiàn)解析，期望值￡?)=而了；②正整數(shù)〃的值為5；

【分析】

(1)利用頻率分布直方圖計(jì)算出分層抽樣比為可得抽取的10顆樣本中有6顆二級(jí)品，

4顆一級(jí)品，利用超幾何分布公式計(jì)算概率即可得分布列和期望值；

(2)①易知訂單總數(shù)量為Y的所有可能取值為0』,2,分別求得對(duì)應(yīng)概率可得￥的分布列和

期望值；

2

②顯然Z=〃y,利用期望值性質(zhì)計(jì)算可得磯z)=〃E(y)=4g25,再由基本不等式即可

H+IOH----

n

得Z的數(shù)學(xué)期望取最大值時(shí)，正整數(shù)〃的值為5.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標(biāo)為二級(jí)與一級(jí)的分層隨機(jī)抽樣的比例為

0.008+0.004_3

0.005+0.002+0.001-2；

所以抽取的10顆樣本中有6顆二級(jí)品，4顆一級(jí)品；

從抽取的10顆海參中隨機(jī)抽取4顆,記其中一級(jí)的顆數(shù)為X,則X的所有可能取值為0』,2,3,4；

易知尸(X=0)=*=￡,P(X=1)=胃晨Cj3

4

C107

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

4

p(X=3)=-d^=—4,P(X=4)=WC=—1；

I，C：035')C：0210

所以可得X的分布列為

X01234

18341

P

1421735210

iQaJiQ

可得數(shù)學(xué)期望磯X)=0x——+lx——+2x—+3x——+4x——=-

v714217352105

(2)根據(jù)題意可知訂單總數(shù)量為丫的所有可能取值為01,2,

2(n2+10n+24)2

1

則p(y=o)=1-

(n+5)2(n+5)4

2

12(H+10H+24)

p(y=l)=C^x

(〃+5『(n+5)4

i

p(y=2)=

(n+5)4

所以y的分布列為

Y012

(?2+10M+24)22("2+10〃+24)]

P4

(■+5)4(n+5)4(n+5)

儲(chǔ)2+10〃+24丫2(/+IO〃+24)i

數(shù)學(xué)期望E⑺=°*匕"+卜(.+5)42

(n+5)2

易知z=〃y,所以E(z)=E(〃y)=〃E(y)=2；

(〃+5)

又〃22,〃￡N*,

石⑵=2〃=2〃=2<2=]

2

所以Z的數(shù)學(xué)期望‘^(^%+1O.+25\+1O+25-IO+

〃Vn

75i

當(dāng)且僅當(dāng)〃=￡,即〃=5時(shí)，等號(hào)成立，￡(Z)取得最大值白；

n10

因此Z的數(shù)學(xué)期望取最大值時(shí)，正整數(shù)W的值為5.

18.⑴x+2y-3=0

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

（2）詳見(jiàn)解析

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；

（2）求導(dǎo)后根據(jù)。對(duì)m=-苫+2?-。=-（6-1）+1-。正負(fù)的影響，分類討論確定導(dǎo)數(shù)符

號(hào)，得出單調(diào)區(qū)間；

（3）利用。=1時(shí)，/⑺的單調(diào)性及零點(diǎn)，結(jié)合不等式性質(zhì)即可得證.

ri（1\x1x+a—x+2y[x—a

【詳解】（1）f{x）=----------T==----『——，

x2xlx2x\x

當(dāng)q=2時(shí)，/（x）=]nx-X/,尸（幻=入+2￡_2

?2尤石

所以/'⑴=-：，且/⑴=1，

所以切線方程為y-l=T（x-l）,

即曲線>=/（元）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程x+2y-3=0.

—x+2\/x-ci

(2)由f\x)=(x>0),

2xy[x

m=-x+2y/x-a=-（yfx-1j+l-a,

當(dāng)1一々<0時(shí)，即“21時(shí)，m=-（4x-\^+1-?<0,/（x）<0,

則函數(shù)八%）在（0,+。）上單調(diào)遞減，即函數(shù)/⑺的單調(diào)減區(qū)間為（0,+x）,無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)1一〃>0時(shí)，即a<1時(shí)，由機(jī)=一（石一1）+1-。=0,解得五=1土"一〃,

由于?>0,所以當(dāng)1—71二^>0,即Ovavl時(shí)，方程一（?-1『+1-〃=0在（0,+。）上有2

個(gè)不等正根％=2-a-,x2=^1+=2-a+2y/1-a,

所以當(dāng)0<%<玉或％2Vx時(shí)，加=一（?-1『+1—〃<0,/'（%）<0,

當(dāng)尤]<九<々時(shí)，1TI—1j+1—〃>0,/'（尤）>°,

所以/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,士）,（％,+8）,單調(diào)遞增區(qū)間為（4馬）；

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

當(dāng)〃<0時(shí)，方程一(五一1『+1—〃=0在(0,+8)上有1個(gè)正根，

%2=(1+J1-a)=2-〃+2J1-Q,

所以0<%<兀2時(shí)，m>0,f\x)>0,當(dāng)％〉42時(shí)，m<0,<0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。%),單調(diào)遞減區(qū)間為(％，+8).

綜上，當(dāng)