2024屆高中寒假數(shù)學(xué)科模擬高考練習(xí)試題（含答案）

第一中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)寒假測(cè)試六A

一、單選題

1.設(shè)集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},則()

A.{1}B.{1,3}C.(1,3,5}D.{123,4,5}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=±的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知sin[-^-+aJ=c°s[]+aj,貝[|sin2a=()

A.—1B.1C.~D.0

4.已知數(shù)列{%}中，對(duì)任意”eN*,O1+a2+a3++=3"-1,則+a~=

()

A.(3"B.C.9"-lD.；(9"T)

5.山西五臺(tái)山佛光寺大殿是尻殿頂建筑的典型代表.虎殿頂四面斜坡，有一條正脊和四條

斜脊，又叫五脊殿.《九章算術(shù)》把這種底面為矩形，頂部為一條棱的五面體叫做“芻薨”,

并給出了其體積公式：jx(2X下袤+上袤)X廣X高(廣：東西方向長(zhǎng)度；袤：南北方

6

向長(zhǎng)度).已知一芻薨狀龐殿頂，南北長(zhǎng)18m,東西長(zhǎng)8m,正脊長(zhǎng)12m,斜脊長(zhǎng)后m,則其

體積為(

A.64Am3B.192V2m3C.320m3D.192m3

6.已知/為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為/,過(guò)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)A,3在準(zhǔn)線上的射影分別為2C,且滿足⑷尸|=^|CF|,則瞿!=()

IFB|

A.3A/3B.26C.3D.I

7.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,MN是它的外接圓的一條弦，點(diǎn)尸為正方形四條邊上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是()

A.[-1,0]B.[0,72]C.[L2]D.[-1』

8.已知〃>0,b>0,且。成立，則下列不等式不可能成立的是（)

b

A.ab<b<\B.l<b<abC.b<ab<lD.ab<l<b

二、多選題

22

9.已知雙曲線的方程為工-上=1,則（）

6416

A.漸近線方程為y=±；xB.焦距為86

C.離心率為立

D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8

2

10.某校10月份舉行校運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲、乙、丙三位同學(xué)計(jì)劃從長(zhǎng)跑，跳繩，跳遠(yuǎn)中任選一項(xiàng)參

加，每人選擇各項(xiàng)目的概率均為;，且每人選擇相互獨(dú)立，則（）

A.三人都選擇長(zhǎng)跑的概率為藥B.三人都不選擇長(zhǎng)跑的概率為:

4

C.至少有兩人選擇跳繩的概率為二

27

D.在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為，

11.如圖，已知—ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D,￡分別是四，的中點(diǎn)，將VADE沿

著龍翻折，使點(diǎn)/到點(diǎn)戶處，得到四棱錐尸則（)

P

B.存在某個(gè)點(diǎn)尸位置，滿足平面正￡吹，平面P8C

C.當(dāng)尸3,尸C時(shí)，直線尸3與平面BCDE所成角的正弦值為正

3

D.當(dāng)P8="。時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為三兀

x+]

12.已知函數(shù)>=[與y=e’相交于48兩點(diǎn)，與y=lnx相交于乙〃兩點(diǎn)，若4B,C,

x-1

。四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X],巧，凡，匕，且西<%2，%<匕，貝U（）

X|

A.%+%=0B.X3X4=1C.Inx3=1D.x4e=1

三、填空題

13.(2-x)(l-3x)4的展開式中，/的系數(shù)等于.(用數(shù)字作答)

14.已知函數(shù)〃x)=2sin(5+0)?>0),若函數(shù)外力的圖象關(guān)于點(diǎn)］中心對(duì)稱,且關(guān)

于直線x=］軸對(duì)稱,則。的最小值為.

15.將函數(shù)〃x)=4cos_|x和直線g(x)=x-l的所有交點(diǎn)從左到右依次記為4,4,…，An,

/、lUumuuiruuir.

若尸(o,返)，貝I］pa+尸A+…+尸4卜.

16.已知橢圓土+9=1,若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A,3關(guān)于直線y=2%+相對(duì)稱，則

2

實(shí)數(shù)加的取值范圍是

2024屆寒假測(cè)試六A答案:

1.c

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求得用8={1,5},再結(jié)合并集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},

根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得dB={l，5},則@3）。4={1,5}。{1,3}={1,3,5}.

故選：C.

2.D

【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，從而可得其共輾復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得答案

ii(l-2i)i-2i22+i

【詳解】解:因?yàn)閦=2+L

1+2;-(1+2z)(l-2z)-l-(2z)255

所以-z=2］-1/，

所以三對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,

故選：D

3.A

【解析】利用兩角和的正弦和余弦公式求出tane的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦

化切思想可求出sin2a的值.

［詳解］.sinf――+?|=cos］—+cz|2/lcosa_'sina=」cosa—^^sina,

I3J13J2222

可得(右osa=(_J)sina/.tancr=-l.

.cc.2sinacosa2tana2x(-1)

因此,sin2a=2smacosa=——--------------=——-------=——-~-=-1.

sincr+cosatana+12

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了兩角和正弦和余弦公式的應(yīng)用以及弦

化切思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4.D

【分析】利用4,=S“-S“T求通項(xiàng)公式，判斷出{〃；}是等比數(shù)列，再進(jìn)行求和.

【詳角犁】。］+4+“3++/=3"-1O,。］+%+/++?！?1=3〃+1-1,

②?①得〃例=3向-3"=2x3"，??.a〃=2x3〃T(心2).

1

當(dāng)〃=1時(shí)，a［=3-1=2,符合上式,

4=2x3"，.?.〃；=4x9”l

a1

a；=4,卓=9,

%

?.{"}是以4為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)歹!J,

4x0-9")

**a；+a；+d+

~1^9~

故選：D.

5.D

【分析】過(guò)點(diǎn)P作/垂足為。，過(guò)點(diǎn)尸作平面ABC。，垂足為。，連接O。,

利用直角三角勾股定理，求出高RZ代入體積公式求解即可.

【詳解】如圖，

過(guò)點(diǎn)歹作尸Q垂足為Q,過(guò)點(diǎn)尸作尸平面ABCD,垂足為。，連接。。,

則僅2=3,FQ=5,02=4,FO=3,即該五面體的高度為3m.

所以其體積V='x(2xl8+12)x8x3=192(m3).

故選：D

6.C

【分析】先設(shè)出A,8點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義表示出|必|和但回，然后把已知條件

耳=V^C可進(jìn)行用坐標(biāo)表示，最后化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)A(&y),鞏%,%),準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)E,如圖:

在R/DFED和WAFEC中，由勾股定理得:

\DF(=\EF(+|ED|2=/+靖=/+2px-

2222

|CF|=|EF|+|EC|=02+%2=p+2px2,

+2。占_p+2X|_3

又因?yàn)閨D^=g|CF|,所以

2X

時(shí)p+2px2p+22

由拋物線定義知，但同=々+言=生產(chǎn)

FA2%+2二3

所以

百2X2+p

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義和設(shè)而不求思想，解析幾何中設(shè)而不求是一種常見的計(jì)算

技巧，關(guān)鍵是把條件坐標(biāo)化，突出考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

7.A

【分析】作出圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)PM?尸N,求的范圍可得

PATPN的取值范圍.

【詳解】當(dāng)弦MV的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦MN過(guò)正方形A3CD的外接圓的圓心。,

因?yàn)檎叫蜛BCQ的邊長(zhǎng)為2,所以圓。的半徑為亞，

如下圖所示：

則尸M=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,

所以，PMPN=^PO+OM^PO-OM^=PO2-OM2.

因?yàn)辄c(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以14|尸。卜友,

又|(?M=五，所以PMJNe[-l,O],

故選：A.

8.D

【分析】將+轉(zhuǎn)化為Q—ln〃<1-ln,，構(gòu)造函數(shù)/(x)=x—lnx(x>0),求出了(%)

bbb

的單調(diào)性，即可求出答案.

【詳解】tz<—+lnab=—+lna+lnb,BP6z-ln?<—+ln/?=--In—,

bbbbb

.a>0,b>0,:.^f(a]=a-\na,f\-\=--\n-,所以Q<，+1IIQO等價(jià)于

\bJbbb

〃")</['，所以構(gòu)造函數(shù)/(“"X-MMX〉。)，制q=1一g=￥'(x>°)，所以

盟x)>0即x>Lr(x)<OBPO<x<l,所以在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,瑤)上為增函

數(shù).

對(duì)A,等價(jià)于a<l<，即ae(O，l),：e(l,+8),可以滿足條件/(。)</(；],故A可

bb\b)

能成立；

對(duì)B,等價(jià)于：<1<。即ge(O,l),ae(l，+8),可以滿足條件/(a)</[!],故B可

能成立；

對(duì)C,6<必<1等價(jià)于即a，；e(l,+s),同在“X)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，滿足條件

bb

故C成立；

對(duì)D,必<1<6等價(jià)于。<：<1即a,，e(O,l),同在的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，

故D不滿足題意.

故選D.

9.BC

【分析】A選項(xiàng)，先判斷出雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，利用公式求出漸近線方程;

B選項(xiàng)，求出c=4石，得到焦距;

C選項(xiàng)，根據(jù)離心率公式求出答案;

D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.

22

【詳解】匕-土=1焦點(diǎn)在y軸上，故漸近線方程為y=±fx=±2x,A錯(cuò)誤；

6416b

c2=64+16=80,故c=4百，故焦距為8君，B正確；

離心率為￡=生5=直，c正確；

。82

焦點(diǎn)坐標(biāo)為但±4句，故焦點(diǎn)到漸近線>=±2尤的距離為g^=4,D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.AD

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】由已知

三人選擇長(zhǎng)跑的概率為=故A正確.

三人都不選擇長(zhǎng)跑的概率為=故B錯(cuò)誤.

1111177

至少有兩人選擇跳繩的概率為3*可*鼻+亡金*鼻、鼻=方，故C錯(cuò)誤.

1111177

記至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)為事件A,所以「（4）=3*耳、鼻+（：；鼻*鼻義鼻=不.

記丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)為事件B,所以尸（AB）=mx：+C；x￡x：］=焉.

JJJ7乙/

z?、P（AB）5

所以在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為尸（叫可=避7=亍，故

D正確.

故選：AD

11.ACD

【分析】當(dāng)平面尸￡>￡_L平面3CDE時(shí)，體積最大，求出底面積和高，即可求出最值，判斷A

項(xiàng)；找出平面PDE與平面P5C所成的二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出/NPMW90。，即可說(shuō)明B

項(xiàng)錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)尸作根據(jù)題意可得即為直線PB與平面3cDE所成的角.根

據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)可推出sin/PMN=如，進(jìn)而得出耽=亞，即可得出結(jié)果，得

33

出C項(xiàng)；由己知可推得平面尸DE_L平面BCDE.設(shè)球心為。，△??￡■的外心為G,點(diǎn)M為等

腰梯形BCDE的外心，可得四邊形OGNM為矩形，進(jìn)而求出。8即半徑的長(zhǎng)，即可得出外

接球的表面積.

p

c

【詳解】

B

圖1

如圖1,設(shè)N分別是BC,OE的中點(diǎn).則PNLDE,MNLDE,MNJ.BC,且

PN=NM=6

對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)平面尸DEL平面BCDE時(shí)，四棱錐尸-及E的體積最大.△PDE的高為

PN=0四邊形3CDE為高為腦V=有的梯形，梯形面積S=萼xg=3指，體積

V=1xSxV3=3,故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)平面PDE平面P3C=/,則〃/3C,有/_LMN,IA.PM,可得/I平面PMV,

即N/VPAf為平面PDE與平面P8C所成的二面角，由PN=M0可知，ZNPM90°,故B

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作「H_LMZV,垂足為".由B分析可得，3CJ：平面PW,所以

平面3CDEJ_平面PMV,平面3CDEc平面PMN=MN,PHu平面對(duì)亞，所以P//JL平面

BCDE.所以ZPBH即為直線PB與平面BCDE所成的角.由題意可知，PB=PC=2也,

PM=2,PN=NM=也,在二PMN中，由余弦定理可得

cosNPMN=PM-+NM—-PN-=g,所以sin/PMN=逅；在PMH中,

2PM-NM33

PH=PMsinNPMN=亞，所以直線PB與平面BCDE所成角的正弦值為—=—；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)尸2=JTU時(shí)，由BN=J7,可知PN'BN?=/）笈，即PN_LBN,又PN1.DE,

且BN\DE=N,則PN人平面BCDE,又PNu平面PDE,則平面PZ)E_L平面BCDE.四

棱錐P-3CED的外接球球心為。，的外心為G，則。G，平面PDE.如圖2,易知點(diǎn)〃

為等腰梯形3cDE的外心，則OM±平面BCDE,

則四邊形OGMW為矩形，S.OM=GN=-PN=^~,=OB2=OM2+MB2=—,

333

從而該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為'5■2兀，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

12.ABD

+1,1_%+1

【分析】根r據(jù),皿尤3='XR分+1別代入一占，一即可判斷A,B,根據(jù)>=上一，

y=\nx,y=ex關(guān)于直線V=x的對(duì)稱，因此可知AC對(duì)稱，氏。對(duì)稱，即可根據(jù)對(duì)稱性判

斷CD.

【詳解】由題意可知看是方程e，==的一個(gè)根，則e'=將-%代入得

x-1玉一1

e』=士|=土]，所以-不也是方程e'==的一個(gè)根，所以-玉=工2,故%+%=0,

_玉一]再+1X-1

故A正確，

由題意可知X3是方程lnx==的一個(gè)根，則lnw=—,則

x-lx3~[

—+1]]

lnl=-lnx3=-^±|=^-,所以■1■也是方程lnx=g的一個(gè)根，所以'=%,故

七次3-1-L-lX3X-1%

x3

%3%4=1，故B正確，

設(shè)點(diǎn)P（飛,幾）在函數(shù)y=合上，則滿足為=巖，即為%-%-%一1=0點(diǎn)P（X0,九）關(guān)

于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為p（%,x0）,將尸'（%,%）代入y==得％=當(dāng)2,即可

X—1%1

-1=0,因此可知「'（為,1）在函數(shù)>上，即》='關(guān)于直線y=x的

x-1x-1

對(duì)稱，又y=lnx,y=e，關(guān)于直線V=x的對(duì)稱，因此可知A,C對(duì)稱，氏。對(duì)稱，

x1=y3=lnx3和々=%=ln%

故x=y=e-r,"

3l無(wú)4=%=e"

x1

所以ei=w=—,x4e'>=1,故D正確,

X4

由于西=111X3,&W±1,故c錯(cuò)誤,

故選：ABD

【分析】利用二項(xiàng)式展開式分兩種情況求出即可.

【詳解】由題意分兩種情況：

①2xC；x儼x(-3x)2=108x2,

②(-x)xC；x/x(-3x)=12x2,

故/的系數(shù)為：108+12=120,

故答案為：120.

14.3

【分析】圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且關(guān)于直線x=g軸對(duì)稱，即2與5之間相差

<6)336

TkT

：+色。eZ),列出等式,根據(jù)范圍求解即可.

【詳解】解:由題知“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)［今。］中心對(duì)稱，

且關(guān)于直線軸對(duì)稱,

則三與巳之間的距離為(