2022-2023學(xué)年天津市河北區(qū)高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河北區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）①明天本市會(huì)下雨②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月A.①③ B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗A〖解析〗由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；②不可能發(fā)生，是不可能事件；④一定發(fā)生，是必然事件.故選：A2.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.0或2 B.2或 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得；故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.－1 B.6 C.－6 D.2〖答案〗B〖解析〗向量，，則，由，得，解得.故選：B4.若一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗該圓錐的側(cè)面積為.故選：B.5.如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，若，則A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋裕?故.故選：C.6.設(shè)是某長(zhǎng)方體四條棱的中點(diǎn)，則直線和直線的位置關(guān)系是（）.A.相交 B.平行 C.異面 D.無法確定〖答案〗A〖解析〗如圖，延長(zhǎng)使，因?yàn)锳，，，為棱的中點(diǎn)，所以延長(zhǎng)，都會(huì)交中點(diǎn)處，所以直線和直線的位置關(guān)系為相交.故選：A.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的為（）A.若，則B.若，則C.若，則∥D.若，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，可能平行，也可能相交，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可能平行，可能異面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，∥或，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可得，所以D正確，故選：D8.從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，向量的不同結(jié)果有：，共12個(gè)，由，得，則的事件有，共2個(gè)，所以向量與向量垂直的概率為.故選：D9.一度跌入低谷的中國電影市場(chǎng)終于在兔年春節(jié)迎來了大爆發(fā).2023年春節(jié)檔（除夕至大年初六），在《滿江紅》《流浪地球2》《熊出沒·伴我“熊芯”》《無名》《深海》《交換人生》等電影的帶動(dòng)下，全國票房累計(jì)67.59億，超越2022年同期票房成績(jī)，僅次于2021年成為史上第二強(qiáng)春節(jié)檔.以下是歷年的觀影數(shù)據(jù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)比2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)多B.這4年中，每年春節(jié)檔上映新片數(shù)量的眾數(shù)為10C.這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差為29.38億元D.這4年春節(jié)檔中，平均每部影片的觀影人數(shù)最多的是2023年〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這4年中，每年春節(jié)檔上映新片的數(shù)量從小到大排列為7，8，8，10，所以眾數(shù)為8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差為億元，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這4年平均每部影片的觀影人數(shù)依次為萬，萬，萬，萬，故D正確.故選：D.10.如圖，在三棱錐中，，平面，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取PC的中點(diǎn)為E，連接EO，可得OE∥BC，∵平面，平面ABC，∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE直線與平面所成角，設(shè)，OE=1.，OC=∴cos∠OCE=故選B二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．〖答案〗填在題中橫線上．11.i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為__________．〖答案〗〖解析〗依題意，.故〖答案〗為：12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙兩個(gè)不同的位置投中的概率分別為，p，該同學(xué)站在這兩個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則p的值為__________．〖答案〗〖解析〗依題意，投籃兩次都不中的概率為，解得，所以p的值為.故〖答案〗為：13.某校舉行演講比賽，10位評(píng)委對(duì)一名選手的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該選手得分的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________．〖答案〗8.2〖解析〗依題意，評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)由小到大排列為：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，而，所以該選手得分的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是8.2.故〖答案〗為：8.214.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角的大小為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)锳1B//D1C,所以∠AD1C為異面直線A1B與AD1所成角的平面角,因?yàn)椤鰽D1C為正三角形，所以∠AD1C，即異面直線A1B與AD1所成角的大小為15.如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為______海里.〖答案〗〖解析〗連接，由題意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得．故〖答案〗為：三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個(gè)球顏色相同”，N＝“兩個(gè)球顏色不同”．（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；（2）寫出事件R與G，M與N之間關(guān)系；（3）寫出事件R與事件G的并事件與事件M的關(guān)系．解：（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，所以試驗(yàn)的樣本空間，事件，事件，事件，事件.（2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不對(duì)立；，所以事件互為對(duì)立事件.（3）由（1）知，，所以事件是事件與事件的并事件.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，求：（1）的值；（2）和的面積．解：（1）由余弦定理得：，解得．（2）由，則，由正弦定理得，又，則，．18.某學(xué)校有學(xué)生1000人，為了解學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿意程度，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿意程度打分，根據(jù)這100名學(xué)生的打分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，．（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校學(xué)生滿意度打分不低于70分的人數(shù)；（2）試估計(jì)該校學(xué)生滿意度打分的眾數(shù)、中位數(shù)（中位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后2位）；（3）若采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從打分在的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人了解情況，再從中選取2人進(jìn)行跟蹤分析，求這2人打分都在的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知，，解得.該校學(xué)生滿意度打分不低于70分的人數(shù)為：.（2）眾數(shù)：75；，所以中位數(shù)為：.（3）由頻率分布直方圖可知，打分在和內(nèi)的頻率分別為0.04和0.06，分層抽樣抽取5人，則打分在和內(nèi)分別抽取2人和3人，從5人中選取2人進(jìn)行跟蹤分析，這2人打分都在的概率.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是菱形，點(diǎn)O是對(duì)角線與的交點(diǎn)，，M是的中點(diǎn)，連接．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）當(dāng)三棱錐的體積等于時(shí)，求的長(zhǎng)．（1）證明：因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑危設(shè)是的中點(diǎn)，又M是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）證明：因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：因?yàn)榈酌嫠倪呅问橇庑?，且，，所以，又，三棱錐的高為，所以，解得．天津市河北區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列事件中，是隨機(jī)事件的是（）①明天本市會(huì)下雨②投擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)之和為14③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，字朝上④13個(gè)人中至少有2個(gè)人的生日在同一個(gè)月A.①③ B.③④ C.①④ D.②③〖答案〗A〖解析〗由題可知，①③可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；②不可能發(fā)生，是不可能事件；④一定發(fā)生，是必然事件.故選：A2.若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值等于（）A.0或2 B.2或 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得；故選：C.3.已知向量，，若，則（）A.－1 B.6 C.－6 D.2〖答案〗B〖解析〗向量，，則，由，得，解得.故選：B4.若一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗該圓錐的側(cè)面積為.故選：B.5.如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，若，則A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以?故.故選：C.6.設(shè)是某長(zhǎng)方體四條棱的中點(diǎn)，則直線和直線的位置關(guān)系是（）.A.相交 B.平行 C.異面 D.無法確定〖答案〗A〖解析〗如圖，延長(zhǎng)使，因?yàn)锳，，，為棱的中點(diǎn)，所以延長(zhǎng)，都會(huì)交中點(diǎn)處，所以直線和直線的位置關(guān)系為相交.故選：A.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的為（）A.若，則B.若，則C.若，則∥D.若，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，可能平行，也可能相交，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可能平行，可能異面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，∥或，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可得，所以D正確，故選：D8.從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)a，從集合中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，向量的不同結(jié)果有：，共12個(gè)，由，得，則的事件有，共2個(gè)，所以向量與向量垂直的概率為.故選：D9.一度跌入低谷的中國電影市場(chǎng)終于在兔年春節(jié)迎來了大爆發(fā).2023年春節(jié)檔（除夕至大年初六），在《滿江紅》《流浪地球2》《熊出沒·伴我“熊芯”》《無名》《深?！贰督粨Q人生》等電影的帶動(dòng)下，全國票房累計(jì)67.59億，超越2022年同期票房成績(jī)，僅次于2021年成為史上第二強(qiáng)春節(jié)檔.以下是歷年的觀影數(shù)據(jù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)比2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)多B.這4年中，每年春節(jié)檔上映新片數(shù)量的眾數(shù)為10C.這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差為29.38億元D.這4年春節(jié)檔中，平均每部影片的觀影人數(shù)最多的是2023年〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，2022年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，2023年春節(jié)檔平均每場(chǎng)觀影人數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，這4年中，每年春節(jié)檔上映新片的數(shù)量從小到大排列為7，8，8，10，所以眾數(shù)為8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，這4年中，每年春節(jié)檔票房的極差為億元，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這4年平均每部影片的觀影人數(shù)依次為萬，萬，萬，萬，故D正確.故選：D.10.如圖，在三棱錐中，，平面，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取PC的中點(diǎn)為E，連接EO，可得OE∥BC，∵平面，平面ABC，∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE直線與平面所成角，設(shè)，OE=1.，OC=∴cos∠OCE=故選B二、填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分．〖答案〗填在題中橫線上．11.i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為__________．〖答案〗〖解析〗依題意，.故〖答案〗為：12.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙兩個(gè)不同的位置投中的概率分別為，p，該同學(xué)站在這兩個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則p的值為__________．〖答案〗〖解析〗依題意，投籃兩次都不中的概率為，解得，所以p的值為.故〖答案〗為：13.某校舉行演講比賽，10位評(píng)委對(duì)一名選手的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該選手得分的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________．〖答案〗8.2〖解析〗依題意，評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)由小到大排列為：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，而，所以該選手得分的樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是8.2.故〖答案〗為：8.214.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角的大小為______〖答案〗〖解析〗因?yàn)锳1B//D1C,所以∠AD1C為異面直線A1B與AD1所成角的平面角,因?yàn)椤鰽D1C為正三角形，所以∠AD1C，即異面直線A1B與AD1所成角的大小為15.如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為______海里.〖答案〗〖解析〗連接，由題意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得．故〖答案〗為：三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩個(gè)球顏色相同”，N＝“兩個(gè)球顏色不同”．（1）用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；（2）寫出事件R與G，M與N之間關(guān)系；（3）寫出事件R與事件G的并事件與事件M的關(guān)系．解：（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，所以試驗(yàn)的樣本空間，事件，事件，事件，事件.（2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不對(duì)立；，所以事件互為對(duì)立事件.（3）由（1）知，，所以事件是事件與事件的并事件