湖南省岳陽(yáng)市汨羅市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

2024年05月高二數(shù)學(xué)月考試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．已知U＝R是實(shí)數(shù)集，M＝{x|＞1}，N＝{x|y＝}，則陰影部分表示的集合是（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，0）2．已知四組不同數(shù)據(jù)的兩變量的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)r如下：數(shù)據(jù)組①的相關(guān)系數(shù)r1＝0；數(shù)據(jù)組②的相關(guān)系數(shù)r2＝﹣0.95；數(shù)據(jù)組③的相關(guān)系數(shù)|r3|＝0.89；數(shù)據(jù)組④的相關(guān)系數(shù)r4＝0.75．則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)組①對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)點(diǎn)都在同一直線(xiàn)上 B．?dāng)?shù)據(jù)組②中的兩變量線(xiàn)性相關(guān)性最強(qiáng) C．?dāng)?shù)據(jù)組③中的兩變量線(xiàn)性相關(guān)性最強(qiáng) D．?dāng)?shù)據(jù)組④中的兩變量線(xiàn)性相關(guān)性最弱3．鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個(gè)展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個(gè)展區(qū)各安排一個(gè)人，剩下兩個(gè)展區(qū)各安排兩個(gè)人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A．168種 B．156種 C．172種 D．180種4．在等差數(shù)列{an}中，若a4+a7+a10＝10，則a3+a11＝（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知A（﹣3，0），B（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，||＝2，且∠AOC＝，設(shè)＝+（λ∈R），則λ的值為（）A．1 B． C． D．6．已知函數(shù)f（x）＝xm+lnx，若＝﹣2，則m＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣57．已知x＞0，y＞0，x3+y3＝x﹣y，則的最小值是（）A．2 B． C． D．8．已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面、底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（）A．32π B．28π C．24π D．20π二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）（多選）9．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列 B．{an}的通項(xiàng)公式為 C．{an}為遞增數(shù)列 D．的前n項(xiàng)和（多選）10．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝2，S4＝14，則（）A．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)1＝8 C．S5＝a2a3 D．|Sn|的最小值為3（多選）11．甲中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C．事件B與事件A1相互獨(dú)立 D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝πcosx﹣x2+2πx，則（）A．f（x）在上單調(diào)遞增 B．f（x）在上單調(diào)遞減 C．?x∈R，f（x）＜8 D．f（x）的極小值大于0三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若角α為第一象限的角，則角α必為銳角；②對(duì)任意的復(fù)數(shù)z，都有；③設(shè)α是空間一個(gè)平面，m，n是空間兩條不同的直線(xiàn)，且m?α．則“n∥m”是“n∥α”的充分條件；④在△ABC中，若A＜B，則sinA＜sinB．所有正確的結(jié)論序號(hào)為．14．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）具有下列性質(zhì)：①f（x）的值域?yàn)椋ī仭蓿?]；②f'（x）為奇函數(shù)；③對(duì)任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有f'（x1+x2）＝f'（x1）+f'（x2）．則f（x）的一個(gè)解析式為f（x）＝．15．若點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱A1D1的中點(diǎn)，當(dāng)AP⊥DM時(shí)，線(xiàn)段AP長(zhǎng)度的最大值為．16．“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子?天下》，其中蘊(yùn)含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)．已知長(zhǎng)度為4的線(xiàn)段AB，取AB的中點(diǎn)C，以AC為邊作等邊三角形（如圖①），該等邊三角形的面積為S1，在圖①中取CB的中點(diǎn)C1，以CC1為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的等邊三角形的面積之和為S2，以此類(lèi)推，則S3＝；＝．四．解答題（共6小題，共70分）17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足．（12分）（1）求C；（2）若△ABC的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．18．設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn．（12分）（1）從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，求{an}的通項(xiàng)公式；①a1＝1，{2﹣Sn}是等比數(shù)列；②S2＝2a3+1，S3＝6a4+1．（2）在（1）的條件下，若bn＝a3n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．19．某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來(lái)臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng)．為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該市某中學(xué)學(xué)生征集活動(dòng)方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用．方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體．經(jīng)過(guò)攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的禮品價(jià)值為η．（12分）（1）求P（ξ＝3）；（2）凡是元旦當(dāng)天在該超市購(gòu)買(mǎi)物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng)．記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值20元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元的禮品，其他情況不獲獎(jiǎng)．求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮品價(jià)值的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．某企業(yè)積極響應(yīng)“碳達(dá)峰”號(hào)召，研發(fā)出一款性能優(yōu)越的新能源汽車(chē)，備受消費(fèi)者青睞．該企業(yè)為了研究新能源汽車(chē)在某地區(qū)每月銷(xiāo)售量y（單位：千輛）與月份x的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了今年前5個(gè)月該地區(qū)的銷(xiāo)售量，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（12分）9.529.5185.6表中．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量x，y的關(guān)系用y＝a+bx與y＝c+dx2哪一個(gè)比較合適？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1），并預(yù)測(cè)從今年幾月份起該地區(qū)的月銷(xiāo)售量不低于3.6萬(wàn)輛？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），?，（xn，yn），其回歸直線(xiàn)方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為．21．已知拋物線(xiàn)E：y2＝4x，過(guò)點(diǎn)Q（2，0）作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)E交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上異于A(yíng)，B兩點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)PA，PB與直線(xiàn)x＝﹣2交于M，N兩點(diǎn)．（12分）（1）證明：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；（2）求△MNQ面積的最小值．22．已知函數(shù)f（x）＝（x+1）e1﹣x．（10分）（1）求f（x）的極大值；（2）設(shè)m，n是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且（m+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，證明：m+n＜2．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1-5：ABBDD6-8:BCA二．多選題（共4小題）9：ABD．10：BCD．11：ABD．12：ACD．三．填空題（共4小題）13：②④．14：﹣x2+1（答案不唯一）．15：316：；×[﹣+]．四．解答題（共6小題）17【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，即．又A∈（0，π），所以sinA≠0，所以sinC＝cosC，則tanC＝＝．由C∈（0，π），得．（2），所以ab＝40．在△BCD中，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)且ab＝40，即時(shí)取等號(hào)，所以BD的最小值為．18【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，q≠0，若選①，根據(jù){2﹣Sn}是等比數(shù)列可知，又a1＝1，故，故S1＝1，S2＝1+q，，故（2﹣1﹣q）2＝（2﹣1）（2﹣1﹣q﹣q2），即1﹣2q+q2＝1﹣q﹣q2，解得，故，此時(shí)，故{2﹣Sn}即為等比數(shù)列符合題意，故；若選②，由S2＝2a3+1，S3＝6a4+1可得S3﹣S2＝a3＝6a4﹣2a3，即，故，故，解得a1＝1，故；（2），故．19．【解答】解：（1）64個(gè)小正方體中，三面著色的有8個(gè)，兩面著色的有24個(gè)，一面著色的有24個(gè)，另外8個(gè)沒(méi)有著色，∴．（2）ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為30，20，10，0，，，，，所以隨機(jī)變量η的分布列為：η3020100P∴．20．【解答】解：（1）由散點(diǎn)圖可知，圖中點(diǎn)的分布不是一條直線(xiàn)，相鄰兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值是增大趨勢(shì)，故y＝c+dx2比較合適．（2）令t＝x2，設(shè)y關(guān)于t的回歸方程為y＝c+dt，則，，，則＝，，故y關(guān)于t的回歸方程為y＝4+0.5t，令4+0.5x2≥36，解得x≥8或x≤﹣8（舍去），故估計(jì)從今年8月份期該地區(qū)的月銷(xiāo)售量不低于3.6萬(wàn)輛．21【解答】解：（1）證明：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（s，t），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，直線(xiàn)PA的斜率為＝＝，則直線(xiàn)PA的方程為y﹣t＝（x﹣s），令x＝﹣2，可得y＝t+（﹣2﹣s）＝，M（﹣2，），同樣可得N（﹣2，），可得M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為＝＝y(tǒng)1y2＝﹣8，即為定值﹣8；（2）△MNQ面積為S＝?4?|MN|＝2|MN|＝2|yM﹣yN|＝2|yM+|≥4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)yM＝±2，△MNQ的面積取得最小值8．22．【解答】（1）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，?dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，所以，函數(shù)f（x）的極大值為f（0）＝e；（2）證明：因?yàn)椋╩+1）en+（n+1）em＝4em+n﹣1，則，即f（m）+f（n）＝4，由（1）知，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，因?yàn)閙、n是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿(mǎn)足f（m）+f（n）＝4，不妨設(shè)0＜m＜1＜n，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）+f（2﹣x），則，令h（x）＝g′（x），則，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1﹣x＞0＞x﹣1，則h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減