2023屆甘肅省高考模擬數(shù)學試卷（二）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1甘肅省2023屆高考數(shù)學模擬試卷（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖：易知.故選：A.2.已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，由,結(jié)合復數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應相等，得即故選:.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴.∴，即，∴,，故選B.4.正項等比數(shù)列中，，則的值（）A.10 B.20 C.36 D.128〖答案〗B〖解析〗∵數(shù)列為等比數(shù)列，且，∴，∴．故選B．5.橢圓的離心率為，則的值為（）A.-21 B.21 C.或21 D.或21〖答案〗C〖解析〗當焦點在軸時，當焦點在軸時，故選C6.如圖是一個算法的流程圖．若輸入的值為，則輸出的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，執(zhí)行程序，，不滿足；執(zhí)行程序，，不滿足；執(zhí)行程序，，滿足，輸出；故選C．7.如圖，在正方體中，直線與平面所成的角的大小是（）A90° B.60° C.45° D.30°〖答案〗D〖解析〗如圖，連接,,連接,因為,,所以平面,所以即為所求角，并且,所以,故選D.8.設{an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，設{an}的公比為q，則q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S5故選B.9.在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.7π B.8π C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取BD中點H，連接AH，CH因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D10.在6道題中有3道理綜題和3道文綜題，如果不放回地依次抽取2道題，則“在第1次抽到理綜題的條件下，第2次抽到文綜題”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：第1次抽到理綜題的條件下，依次抽取2道題，共有種抽法，其中第2次抽取文綜題的情況共有種，因此，所求概率.故選：D.法二：第一次抽到理綜題的概率，第一次抽到理綜題和第二次抽到文綜題的概率.故選：D.11.設雙曲線的右焦點是F，左、右頂點分別是,過F作的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若,則雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，所以，根據(jù),所以,代入后得，整理為，所以該雙曲線漸近線的斜率是，故選C.12.函數(shù)，若，則不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對于，則不等式恒成立，所以在上是增函數(shù)，對函數(shù)進行化簡可得，當時，在上遞增，則在上遞增，當時，的增區(qū)間為減區(qū)間為既在上有減區(qū)間．綜上所述，，故實數(shù)的取值范圍是，故選C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為________．〖答案〗3〖解析〗由題意得，抽取的女生人數(shù)為，故〖答案〗：3.14.圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程是_______．〖答案〗〖解析〗設圓心坐標為，則，當且僅當時取等號，此時圓心坐標為，故〖答案〗為．15.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的有，則______.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的周期為，函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，滿足的可知，一個取最大值一個取最小值，因為，若，在取最大值，在取得最小值，，此時，不合題意，若，在取最小值，在取得最大值，，此時，滿足題意.故〖答案〗為：.16.已知，，且．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號是________．〖答案〗②③〖解析〗因為，所以當時，；當或時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為所以，要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)的大致圖象可知：所以又函數(shù)有個零點在之間，所以，且，所以，，，，故〖答案〗為：②③．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必須作答.第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知，，分別是的角，，所對的邊，且，.（1）若的面積等于，求，；（2）若，求的值.（1）解：∵，由余弦定理得，∵的面積和等于，∴，∴，聯(lián)立；（2）解：∵，∴，∴，當時，；當時，，由正弦定理得，聯(lián)立，解得，，∴，即，又∵，∴，綜上所述，或.18.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（1）證明MN∥平面PAB;（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.（1）證明：由已知得.取的中點，連接，由為中點知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知，，，，，，，.設為平面的一個法向量，則即可取.于是.19.為了推進國家“民生工程”，某市現(xiàn)提供一批經(jīng)濟適用房來保障居民住房.現(xiàn)有條件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申請，且他們的申請是相互獨立的.（1）求兩人不申請同一套住房的概率；（2）設3名申請人中申請甲套住房的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）設兩人申請同一套住房為事件，，所以兩人不申請同一套住房的概率為；（2）方法一：隨機變量可能取的值為.，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望.方法二：依題意得，所以，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望.20.已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.解：（1）由已知有，又由，可得，，設直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.（2）由（1）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因為點在第一象限，可得的坐標為，由，解得，所以橢圓方程為（3）設點的坐標為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.①當時，有，因此，于是，得②當時，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是21.設函數(shù).（1）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（2）證明：當時.（1）解：的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當b滿足且時，,故當時，存在唯一零點.（2）證明：由（1），可設在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.（二）選考題，共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，若以直角坐標系中的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為為參數(shù))．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線有公共點，求的取值范圍．解：（1）由,得，又由所以曲線可化為，又由,得，即，所以曲線可化為.（2）若曲線M，N有公共點，則當直線過點時滿足要求，此時，并且向左下方平行移動直到相切之前總有公共點，相切時仍然只有一個公共點，聯(lián)立,得，由，解得.綜上可求得t的取值范圍是.選修4-5：不等式選講23.已知，，求證：（1）；（2）.證明：（1）∵，∴，當且僅當a=b=c等號成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，當且僅當a=b=c等號成立∴．甘肅省2023屆高考數(shù)學模擬試卷（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖：易知.故選：A.2.已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，由,結(jié)合復數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應相等，得即故選:.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，∴.∴，即，∴,，故選B.4.正項等比數(shù)列中，，則的值（）A.10 B.20 C.36 D.128〖答案〗B〖解析〗∵數(shù)列為等比數(shù)列，且，∴，∴．故選B．5.橢圓的離心率為，則的值為（）A.-21 B.21 C.或21 D.或21〖答案〗C〖解析〗當焦點在軸時，當焦點在軸時，故選C6.如圖是一個算法的流程圖．若輸入的值為，則輸出的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，執(zhí)行程序，，不滿足；執(zhí)行程序，，不滿足；執(zhí)行程序，，滿足，輸出；故選C．7.如圖，在正方體中，直線與平面所成的角的大小是（）A90° B.60° C.45° D.30°〖答案〗D〖解析〗如圖，連接,,連接,因為,,所以平面,所以即為所求角，并且,所以,故選D.8.設{an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，設{an}的公比為q，則q＞0，∴S31＝7，解得q或q（舍去），∴a14，∴S5故選B.9.在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.7π B.8π C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取BD中點H，連接AH，CH因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球一定是兩條垂線的交點記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D10.在6道題中有3道理綜題和3道文綜題，如果不放回地依次抽取2道題，則“在第1次抽到理綜題的條件下，第2次抽到文綜題”的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗法一：第1次抽到理綜題的條件下，依次抽取2道題，共有種抽法，其中第2次抽取文綜題的情況共有種，因此，所求概率.故選：D.法二：第一次抽到理綜題的概率，第一次抽到理綜題和第二次抽到文綜題的概率.故選：D.11.設雙曲線的右焦點是F，左、右頂點分別是,過F作的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若,則雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，所以，根據(jù),所以,代入后得，整理為，所以該雙曲線漸近線的斜率是，故選C.12.函數(shù)，若，則不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為對于，則不等式恒成立，所以在上是增函數(shù)，對函數(shù)進行化簡可得，當時，在上遞增，則在上遞增，當時，的增區(qū)間為減區(qū)間為既在上有減區(qū)間．綜上所述，，故實數(shù)的取值范圍是，故選C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.某班有男生36人，女生18人，用分層抽樣的方法從該班全體學生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為________．〖答案〗3〖解析〗由題意得，抽取的女生人數(shù)為，故〖答案〗：3.14.圓心在曲線上，且與直線相切的面積最小的圓的方程是_______．〖答案〗〖解析〗設圓心坐標為，則，當且僅當時取等號，此時圓心坐標為，故〖答案〗為．15.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的有，則______.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的周期為，函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，滿足的可知，一個取最大值一個取最小值，因為，若，在取最大值，在取得最小值，，此時，不合題意，若，在取最小值，在取得最大值，，此時，滿足題意.故〖答案〗為：.16.已知，，且．現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號是________．〖答案〗②③〖解析〗因為，所以當時，；當或時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為所以，要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)的大致圖象可知：所以又函數(shù)有個零點在之間，所以，且，所以，，，，故〖答案〗為：②③．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第題為必考題，每個試題考生都必須作答.第、題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知，，分別是的角，，所對的邊，且，.（1）若的面積等于，求，；（2）若，求的值.（1）解：∵，由余弦定理得，∵的面積和等于，∴，∴，聯(lián)立；（2）解：∵，∴，∴，當時，；當時，，由正弦定理得，聯(lián)立，解得，，∴，即，又∵，∴，綜上所述，或.18.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（1）證明MN∥平面PAB;（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.（1）證明：由已知得.取的中點，連接，由為中點知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知，，，，，，，.設為平面的一個法向量，則即可取.于是.19.為了推進國家“民生工程”，某市現(xiàn)提供一批經(jīng)濟適用房來保障居民住房.現(xiàn)有條件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申請，且他們的申請是相互獨立的.（1）求兩人不申請同一套住房的概率；（2）設3名申請人中申請甲套住房的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）設兩人申請同一套住房為事件，，所以兩人不申請同一套住房的概率為；（2）方法一：隨機變量可能取的值為.，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望.方法二：依題意得，所以，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望.20.已知橢圓的左焦點為,離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為c，.（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍.解：（1）由已知有，又由，可得，，設直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.（