2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷（浙江專用）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（浙江專用）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，則，即，由，則，即，，故選：A.2．已知，且，其中是虛數(shù)單位，則等于（

）A．5 B． C． D．1〖答案〗B〖解析〗由得：，即，解得，從而.故選：B3．設(shè)，，則等于（

）A． B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由，，得，則，則，則，則.故選：B4．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個球，甲袋有5個紅球，5個白球；乙袋有7個紅球，3個白球，隨機選擇一袋，然后從中隨機摸出兩個球，表示恰好摸到一個紅球與一個白球的事件的概率，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，則，，則.故選：C.5．函數(shù)在上的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，而，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項A，B不滿足；又，，于是得，選項C不滿足，D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令雙曲線右焦點，則其左焦點，連接，如圖，顯然與互相平分于點O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B7．實數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由已知得，①設(shè)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即，所以，又設(shè)，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以則，所以；②設(shè)，當(dāng)時，，在上，單調(diào)遞減，當(dāng)時，恒成立；取時，；綜上得故選：C.8．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．〖答案〗D〖解析〗據(jù)題意知：，∴，A錯誤；，當(dāng)時，，B錯誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構(gòu)成等比數(shù)列，C錯誤；由上，，則，D正確.故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C．的圖像關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞減〖答案〗AD〖解析〗由圖像可知函數(shù)的最大值為2，最小值為，所以，，又，又，所以又，所以，所以，故正確，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得，故錯誤．由，所以的圖像關(guān)于點對稱，故錯誤．由即，所以選項正確.故選：．10．已知，則（

）A． B．C． D．〖答案〗AC〖解析〗對A，為展開式中最高次項系數(shù)，只能由展開式的最高次項相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結(jié)合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯誤.故選：AC11．如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在側(cè)面內(nèi)，且，則（

）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因為，所以，得，所以，則，得，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，則，則，綜上，，所以三點共線，即點的軌跡即為線段，對于A，，即的最小值是，故A錯誤；對于B，，則，所以，故B正確；對于C，，則為定值，由點的軌跡即為線段，且，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于D，設(shè)的中點為，則在中，外接圓的圓心即為點，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，設(shè)球心為，，則，即，所以，則，因為，所以，即三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗ABD〖解析〗因為為偶函數(shù),則，兩邊求導(dǎo)得,所以為奇函數(shù),因為,,所以,故,所以,即的周期且,在，中,令,可得,所以，故A正確；令，可得，而為奇函數(shù)，則，所以，則，故B正確;令得,,則,無法求得,同理令得,,因此,相加得,只有在時,有,但不一定為0,因此C錯誤;在中,令得,,在中,令得,,兩式相加得,即，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個，可取.故〖答案〗為：.14．已知，都是正數(shù)，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為均為正實數(shù)，故設(shè)，，則聯(lián)立解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，故〖答案〗為：.15．已知直線：與直線關(guān)于直線對稱，點在圓：上運動，則動點到直線的距離的最大值為____________.〖答案〗6〖解析〗變形為，令，解得：，故直線恒過定點，關(guān)于對稱的點，故直線恒過點，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動點到直線的距離的最大值為BC的長加上半徑，即.故〖答案〗為：616．設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是.故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項數(shù)列的前n項和，滿足，數(shù)列的前n項積為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由題意：①，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，②，由①-②得：，由為正項數(shù)列，得是首項為，公比為的等比數(shù)列.因此可得（2）由于數(shù)列的前項的乘積為，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得；符合通項，故得.由（1）可知：，，令為的前項和，.18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.解：（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為19．（12分）近年來，水旱災(zāi)害是我國出現(xiàn)頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災(zāi)害.如何在水旱災(zāi)害發(fā)生的各個階段，利用信息系統(tǒng)在較短時間內(nèi)盡可能多地獲取相關(guān)信息，對防汛抗旱的形勢和問題作出正確的判斷，制訂科學(xué)的決策方案是新時期流域水旱災(zāi)害防御需要面對的新問題.今年入汛以來，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強度大、持續(xù)時間長．依據(jù)該地A河流7月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以此頻率作為概率，試估計A河流在7月份水位的50百分位數(shù)及在7月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；（2）A河流域某企業(yè)，在7月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為600萬元；若受1級災(zāi)害影響，則虧損200萬元；若受2級災(zāi)害影響，則虧損1200萬元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：方案等級費用（單位：萬元）方案一無措施0方案二防控1級災(zāi)害50方案三防控2級災(zāi)害200試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？請說明理由.（1）解：頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，設(shè)7月份的水位中位數(shù)為，則，∴，解得，∴7月份的水位中位數(shù)為37.5；設(shè)該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，在，，，設(shè)發(fā)生1級災(zāi)害為事件，由條形圖可知：，，，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知7月份該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率為，發(fā)生1級災(zāi)害的概率為0.155，發(fā)生2級災(zāi)害的概率為設(shè)第種方案的企業(yè)利潤為，①若選擇方案一，則的取值可能為600，，，∴，，∴的分布列為：6000.810.1550.035∴（萬元）②若選擇方案二，則的取值可能為550，，且，的分布列為：5500.9650.035∴（萬元）③若選擇方案三，則不會受任何災(zāi)害影響，該企業(yè)7月份的平均利潤為（萬元）∴最大，∴從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇第二種方案.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點，，．（1）證明：平面；（2）若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．（1）證明：因為在和Rt中，，，所以，因為，，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面．（2）解：因為，所以，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，則，所以，由勾股定理知：，可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，所以，，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，取，得，所以，設(shè)二面角的大小為，則．21．（12分）如圖，橢圓的離心率為，上的點到直線的最短距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過上的動點向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.（1）解：由題意知：，所以，即所求橢圓方程為.（2）解：設(shè)、的方程分別為、，則，，，，，①聯(lián)立，可得，，化簡得，顯然，、是關(guān)于的的兩根.故，，則，即代入①式得，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值為.22．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上的最大值為0，①求a的取值范圍；②若恒成立，求正整數(shù)k的最小值．解：（1），若，則有，單調(diào)遞增；若，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2）①由（1）的討論可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在，，滿足題意；當(dāng)時，在，，滿足題意；當(dāng)時，即，在，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，即，不滿足題意；綜上，a的取值范圍是；②由題意，，，即，考慮直線的極端情況a=1，則，即，令，，顯然是減函數(shù)，

，

，∴存在唯一的使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，

，即，故k的最小值可能是3或4，驗算，由于，，，，滿足題意；綜上，a的取值范圍是，的最小值是3.2023屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（浙江專用）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗由，則，即，由，則，即，，故選：A.2．已知，且，其中是虛數(shù)單位，則等于（

）A．5 B． C． D．1〖答案〗B〖解析〗由得：，即，解得，從而.故選：B3．設(shè)，，則等于（

）A． B．1 C．2 D．3〖答案〗B〖解析〗由，，得，則，則，則，則.故選：B4．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個球，甲袋有5個紅球，5個白球；乙袋有7個紅球，3個白球，隨機選擇一袋，然后從中隨機摸出兩個球，表示恰好摸到一個紅球與一個白球的事件的概率，則等于（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，則，，則.故選：C.5．函數(shù)在上的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗D〖解析〗，，而，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項A，B不滿足；又，，于是得，選項C不滿足，D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗令雙曲線右焦點，則其左焦點，連接，如圖，顯然與互相平分于點O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B7．實數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗由已知得，①設(shè)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即，所以，又設(shè)，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以則，所以；②設(shè)，當(dāng)時，，在上，單調(diào)遞減，當(dāng)時，恒成立；取時，；綜上得故選：C.8．2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．〖答案〗D〖解析〗據(jù)題意知：，∴，A錯誤；，當(dāng)時，，B錯誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構(gòu)成等比數(shù)列，C錯誤；由上，，則，D正確.故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C．的圖像關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞減〖答案〗AD〖解析〗由圖像可知函數(shù)的最大值為2，最小值為，所以，，又，又，所以又，所以，所以，故正確，將的圖像向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度后得，故錯誤．由，所以的圖像關(guān)于點對稱，故錯誤．由即，所以選項正確.故選：．10．已知，則（

）A． B．C． D．〖答案〗AC〖解析〗對A，為展開式中最高次項系數(shù)，只能由展開式的最高次項相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結(jié)合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯誤.故選：AC11．如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在側(cè)面內(nèi)，且，則（

）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因為，所以，得，所以，則，得，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，則，則，綜上，，所以三點共線，即點的軌跡即為線段，對于A，，即的最小值是，故A錯誤；對于B，，則，所以，故B正確；對于C，，則為定值，由點的軌跡即為線段，且，所以，又平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于D，設(shè)的中點為，則在中，外接圓的圓心即為點，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，設(shè)球心為，，則，即，所以，則，因為，所以，即三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．〖答案〗ABD〖解析〗因為為偶函數(shù),則，兩邊求導(dǎo)得,所以為奇函數(shù),因為,,所以,故,所以,即的周期且,在，中,令,可得,所以，故A正確；令，可得，而為奇函數(shù)，則，所以，則，故B正確;令得,,則,無法求得,同理令得,,因此,相加得,只有在時,有,但不一定為0,因此C錯誤;在中,令得,,在中,令得,,兩式相加得,即，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個，可取.故〖答案〗為：.14．已知，都是正數(shù)，則的最小值是______.〖答案〗〖解析〗因為均為正實數(shù)，故設(shè)，，則聯(lián)立解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，故〖答案〗為：.15．已知直線：與直線關(guān)于直線對稱，點在圓：上運動，則動點到直線的距離的最大值為____________.〖答案〗6〖解析〗變形為，令，解得：，故直線恒過定點，關(guān)于對稱的點，故直線恒過點，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動點到直線的距離的最大值為BC的長加上半徑，即.故〖答案〗為：616．設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．〖答案〗〖解析〗以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是.故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知正項數(shù)列的前n項和，滿足，數(shù)列的前n項積為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由題意：①，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，②，由①-②得：，由為正項數(shù)列，得是首項為，公比為的等比數(shù)列.因此可得（2）由于數(shù)列的前項的乘積為，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得；符合通項，故得.由（1）可知：，，令為的前項和，.18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.解：（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為19．（12分）近年來，水旱災(zāi)害是我國出現(xiàn)頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災(zāi)害.如何在水旱災(zāi)害發(fā)生的各個階段，利用信息系統(tǒng)在較短時間內(nèi)盡可能多地獲取相關(guān)信息，對防汛抗旱的形勢和問題作出正確的判斷，制訂科學(xué)的決策方案是新時期流域水旱災(zāi)害防御需要面對的新問題.今年入汛以來，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強度大、持續(xù)時間長．依據(jù)該地A河流7月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖乙所示.（1）以此頻率作為概率，試估計A河流在7月份水位的50百分位數(shù)及在7月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率；（2）A河流域某企業(yè)，在7月份，若沒受1、2級災(zāi)害影響，利潤為600萬元；若受1級災(zāi)害影響，則虧損200萬元；若受2級災(zāi)害影響，則虧損1200萬元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：方案等級費用（單位：萬元）方案一無措施0方案二防控1級災(zāi)害50方案三防控2級災(zāi)害200試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？請說明理由.（1）解：頻率分布直方圖中6個小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，設(shè)7月份的水位中位數(shù)為，則，∴，解得，∴7月份的水位中位數(shù)為37.5；設(shè)該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，在，，，設(shè)發(fā)生1級災(zāi)害為事件，由條形圖可知：，，，∴，，，∴；（2）解：由（1）可知7月份該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率為，發(fā)生1級災(zāi)害的概率為0.155，發(fā)生2級災(zāi)害的概率為設(shè)第種方案的企業(yè)利潤為，①若選擇方案一，則的取值可能為600，，，∴，，∴的