第5章二次根式（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（湘教版）

第5章二次根式（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023下·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．2．（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谥校┗?jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．3．（2023上·福建泉州·九年級(jí)福建省安溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．4．（2022下·上海閔行·七年級(jí)?？计谀┫铝信c是同類(lèi)二次根式的是（

）A． B． C． D．5．（2022下·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C． D．6．（2023下·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知x是實(shí)數(shù)，且，則的值是（

）A． B． C． D．或或7．（2021下·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)運(yùn)算的程序：輸入一個(gè)數(shù)，乘以后再減去，輸出結(jié)果．若小剛按程序輸入2，則輸出的結(jié)果應(yīng)為（）A．2 B． C．﹣ D．38．（2023上·四川宜賓·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若，則a的值所在的范圍為（

）A． B． C． D．9．（2023下·重慶云陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)任意非負(fù)數(shù)，若記，給出下列說(shuō)法，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）①；②，則；③；④對(duì)任意大于3的正整數(shù)，有．A．0 B．1 C．2 D．310．（2022下·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在古希臘時(shí)期，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，在經(jīng)過(guò)鐵匠鋪前他聽(tīng)到鐵匠打鐵的聲音非常好聽(tīng)，于是駐足傾聽(tīng)，他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個(gè)聲音的比例被畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出來(lái)，后來(lái)人們將這個(gè)數(shù)稱(chēng)為黃金分割數(shù)．設(shè)，，記，，，…，，則的值為（

）A． B． C．100 D．5050填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足，則的平方根為．12．（2022下·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為．13．（2021·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為．14．（2021上·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）比較大?。海ㄌ钌稀埃尽被颉埃肌保?5．（2023下·安徽·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，其中A，B為最簡(jiǎn)二次根式，且，則的值為．16．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┤舯硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，，則______．17．（2022上·上海嘉定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若兩個(gè)代數(shù)式與滿足，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式為“互為友好因式”，則的“互為友好因式”是．18．（2021下·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）斜邊與正方形邊重合的四個(gè)全等的直角三角形圖形如圖所示放置，拼出了面積為4的小正方形，且小正方形的頂點(diǎn)剛好為每個(gè)直角三角形一條直角邊的中點(diǎn)．（1）正方形的面積為；（2）點(diǎn)到線段的距離cm．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2021下·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算．（1）． （2）．20．（8分）（2023上·河南鄭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算．（1） （2）21．（10分）（2023下·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．22．（10分）（2023下·安徽亳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）用“”，“”，“”填空：，，，．（2）觀察上式，請(qǐng)用含a，b（，）的式子，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論，并給出證明．23．（10分）（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：我們學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時(shí)，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)______；當(dāng)時(shí)，的最大值為_(kāi)______；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．24．（12分）（2023下·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過(guò)程．例：化簡(jiǎn)．解：．請(qǐng)回答下列問(wèn)題．（1）歸納：請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．（2）應(yīng)用：化簡(jiǎn)．（3）拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）參考答案：1．C【分析】由于代數(shù)式既為分式又含二次根式，故的取值應(yīng)當(dāng)同時(shí)使分式和二次根式有意義．解：若使代數(shù)式有意義，則，即，解得：且，故選：C．【點(diǎn)撥】此題同時(shí)考查了分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，要注意，二者必須同時(shí)成立才能使代數(shù)式有意義．2．B【分析】判斷的符號(hào)，將還原成，再化簡(jiǎn)即可．解：，，，原式．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)和有意義的條件是本題解題關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可．解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、，被開(kāi)方數(shù)含分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、，被開(kāi)方數(shù)含分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，熟知最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，再由同類(lèi)二次根式定義逐項(xiàng)判斷即可得到答案．解：，A、與不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；B、與是同類(lèi)二次根式，符合題意；C、與不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；D、與不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查同類(lèi)二次根式的定義，熟記二次根式性質(zhì)及同類(lèi)二次根式的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；利用二次根式的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．解：A、與不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；C、原式，所以C選項(xiàng)不符合題意；D、原式，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知，即，再由可得x的值，然后代入計(jì)算即可．解：∵，∴且，解得：，∴．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義和代數(shù)式為0的條件，解得x的取值范圍后得到x的值是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】首先用小剛按程序輸入的數(shù)乘，求出積是多少；然后用所得的積減去，求出輸出的結(jié)果應(yīng)為多少即可．解：．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了二次根式的加減法，解答此題的關(guān)鍵是要弄清楚先求什么，再求什么．8．D【分析】由題意知，，由，然后利用不等式的性質(zhì)求解作答即可．解：，∵，∴，∴，即，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分母有理化，無(wú)理數(shù)的估算，不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)．9．C【分析】將代入即可判斷①，解方程，即可判斷②，分別計(jì)算，，，，……即可判斷③，同理分別求得，找到規(guī)律，進(jìn)而即可判斷④．解：∵當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)誤，∵，即解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故②正確；∵，，，，……∴，故③正確；∵，，，……∴，故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式求值，解分式方程，二次根式的運(yùn)算，數(shù)字類(lèi)規(guī)律題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】先計(jì)算，，的值，找出規(guī)律，然后求解即可．解：，，，，，，，，，故選：C【點(diǎn)撥】本題考查的分式的規(guī)律計(jì)算以及二次根式的乘法，正確掌握異分母分式的加減計(jì)算法則及運(yùn)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．【分析】先利用被開(kāi)方數(shù)有意義的條件求出x的值，代入后求y的值即可求解．解：由題意得：，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平方根問(wèn)題，關(guān)鍵掌握被開(kāi)方式有意義的條件，會(huì)解不等式，會(huì)利用不等式求值，會(huì)求代數(shù)式的值與平方根，要認(rèn)真閱讀試題，清楚內(nèi)容，了解要求，要有步驟地解決問(wèn)題．12．3【分析】根據(jù)19-n是一個(gè)平方數(shù)即可求解．解：是整數(shù)，，且是平方數(shù)，又∵n為正整數(shù)且取最小值，∴取，此時(shí)，∴正整數(shù)n的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的意義，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)以及理解是整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．13．【分析】先把化為平方的形式，再根據(jù)化簡(jiǎn)即可求解．解：原式．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了雙重二次根式的化簡(jiǎn)，把化為平方的形式是解題關(guān)鍵．14．＞【分析】利用它們的倒數(shù)來(lái)進(jìn)行比較．解：∵，又∵，∴．故答案為：＞【點(diǎn)撥】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是通過(guò)比較它們的倒數(shù)進(jìn)行比較大?。?5．68【分析】根據(jù)題意得出，求出，進(jìn)而得出，求出，再代入求值即可．解：∵A，B為最簡(jiǎn)二次根式，且，∴，解得，∴，，，∴，解得，∴．故答案為：68．【點(diǎn)撥】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義得出是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪和分母有理化得到，然后根據(jù)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)得到．解：，那么，∴，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了取整計(jì)算：表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．也考查了分母有理化和零指數(shù)冪．17．/【分析】根據(jù)“互為友好因式”的概念解答即可．解：由題意可得：的“互為友好因式”為：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了定義新運(yùn)算，二次根式的分母有理化，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的分母有理化的方法．18．20【分析】（1）根據(jù)拼出了面積為的小正方形，且小正方形的頂點(diǎn)剛好為每個(gè)直角三角形一條直角邊的中點(diǎn)，即可得到，即可得到正方形的面積；（2）連接，則是的中線，依據(jù)，即可得到的長(zhǎng)．解：（1）拼出了面積為的小正方形，且小正方形的頂點(diǎn)剛好為每個(gè)直角三角形一條直角邊的中點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為，，的面積，正方形的面積為．故答案為：20；（2）如圖所示，連接，則是的中線，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等圖形以及三角形的面積，能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，也考查了二次根式的化簡(jiǎn)．19．（1）；（2）．【分析】（）利用平方差公式即可求解；（）利用二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值化簡(jiǎn)即可求解．（1）解：原式，，；（2）解：原式，．【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，平方差公式，熟知二次根式的相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，以及進(jìn)行除法運(yùn)算，再合并即可；（2）先進(jìn)行平方差公式和完全平方公式的計(jì)算，再合并即可．（1）解：原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）1【分析】（1）先計(jì)算，，，再根據(jù)，即可求出答案；（2）利用完全平方公式得，把的值代入即可．解：（1），，，，，；（2）原式．【點(diǎn)撥】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握各自的性質(zhì)及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22．（1），，，；（2），理由見(jiàn)分析【分析】（1）計(jì)算后者的平方，再和前者被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行比較即可；（2）由題意可知，，，可得，進(jìn)而可知，即，兩邊同時(shí)開(kāi)方可得，進(jìn)而可得結(jié)論．解：（1）∵∴，∵∴，∵∴，，∴，故答案為：，，，；（2）猜想：；理由如下：∵，，則，，，∴，即：，∴，∴∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查二次根式的運(yùn)算，完全平方公式，無(wú)理數(shù)比較大小，掌握相關(guān)運(yùn)算及完全平方公式的變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（1）2，；（2）11【分析】（1）根據(jù)題中的不等式求解即可；（2）先把代數(shù)式變形為，再根據(jù)題中的不等式求解即可．（1）解：，，，，