云南省硯山縣2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省硯山縣二中2024屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某校為提高新入聘教師的教學(xué)水平，實(shí)行“老帶新”的師徒結(jié)對(duì)指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都

有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對(duì)方式共有（）種.

A.360B.240C.150D.120

2.若復(fù)數(shù)z=l+2_。為虛數(shù)單位），貝!|z的共軌復(fù)數(shù)的模為（）

1+z

A.好B.4C.2D.J5

2

3.已知命題使sinx＜』x成立.則一^為（）

2

A.H,sinxN,九均成立B.\/尤￡均成立

22

C.HxwH,使成立D.Iv￡使sin九二工九成立

22

4.已知平面向量,滿足|=21a+b|=1,2=+4b且X+2〃=l,若對(duì)每一個(gè)確定的向量Q,記|c|的最

小值為機(jī)，則當(dāng)〃變化時(shí)，加的最大值為（）

111

A.—B.—C.-D.1

432

5.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)

崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

8OM319（畤從事互收同行業(yè)盲位分布用

技木闔39.6%

運(yùn)雪

im|IX2?

90CttH-

56%vn12.3%

產(chǎn)品6.”

H佬?.6%

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

6.已知命題p：VxeR,x2>0，則力是（）

2

A.VxeR,%<0B.3x0eR,x；<0.

2

C.3x0eR,%Q>0D.V%^R,X<0.

7.已知復(fù)數(shù)z滿足：（l+i）（z—l）=l—i,貝”的共軌復(fù)數(shù)為（）

A.l-2zB.1+zC.-1+zD.l+2z

y>x

8.已知x,y滿足<x+y?2,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，則。的值是（）

x>a

321

A.4B.—C.—D.一

4114

9.已知|2a+q=2,a-be[-4,0],則同的取值范圍是（）

A.[0,1]B.g,lC.[1,2]D.[0,2]

10.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且公差不為零，其前“項(xiàng)和為S".則"V"N*，5“+1>乞，，是“｛4｝為遞增數(shù)列，，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)左（左>0,左的點(diǎn)的

軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,3間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,3的距離之比為注，當(dāng)尸，

2

A,5不共線時(shí)，的面積的最大值是（）

A.272B.V2C.D.交

33

22

12.設(shè)片，心分別為雙曲線二—3=1（?>0,&>0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳作圓Y+y2=b2的切線與雙曲線的

ab

左支交于點(diǎn)P,若歸閭=2|P娟，則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.73C.逐D.76

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)y=log0.5（x2-依+5）在區(qū)間（-00,1）上遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一

14.已知關(guān)于空間兩條不同直線〃，兩個(gè)不同平面e、B,有下列四個(gè)命題：①若mila宣nila,則/〃〃“；②

若〃Z_L/7且772_1_〃，則“〃，；③若_La且"2〃，，則（ZJ_，；④若"Ua,且則〃z_L”.其中正確命題的

序號(hào)為.

15.已知F是拋物線C：V=2Px3>0）的焦點(diǎn)，過F作直線與C相交于P,Q兩點(diǎn)，且。在第一象限,若2PF=FQ，

則直線P。的斜率是

16.甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“小表示猜

測某人獲獎(jiǎng)，“x”表示猜測某人未獲獎(jiǎng)，而“?！眲t表示對(duì)某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見.已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測

是正確的，那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤?

甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)

甲的猜測7XX

乙的猜測XOO

丙的猜測X7X

丁的猜測OONX

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=tanx+asin2x_2x[o<x<aj.

（1）若a=O,求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（尤）2。恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.（12分）已知函數(shù)/（尤）=（尤+D（靖—1）.

（I）求/Xx）在點(diǎn)（一1,/（一1））處的切線方程；

（II）已知在R上恒成立，求。的值.

eh

（m）若方程/（x）=b有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉,聲，且玉〈々，證明：x2-xi<b+1+——.

e-1

19.（12分）已知中心在原點(diǎn)。的橢圓C的左焦點(diǎn)為耳（—1,0）,。與y軸正半軸交點(diǎn)為A,且44耳。=3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)A作斜率為匕、&（勺冬w°）的兩條直線分別交C于異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)M、N.證明：當(dāng)左2=7^7時(shí)，直

/v|I

線MN過定點(diǎn).

Inx

20.（12分）已知函數(shù)/（無）=式-士.

a

（1）若/（X）在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的最大值；

（2）若0＜。＜1,求證：/（x）N2也.

a

22

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓「+與=1（?！?〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為4、B,焦距為2,直

a"b~

線/與橢圓交于兩點(diǎn)（均異于橢圓的左、右頂點(diǎn)）.當(dāng)直線/過橢圓的右焦點(diǎn)尸且垂直于x軸時(shí)，四邊形的

面積為6.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線AC,加的斜率分別為勺,右.

①若左2=3左1，求證：直線/過定點(diǎn)；

②若直線/過橢圓的右焦點(diǎn)試判斷口是否為定值，并說明理由.

化2

22.（10分）某保險(xiǎn)公司給年齡在20-70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽

取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段[20,30）,[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70]分成了五組，其頻率分布直方圖如

下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用

為一百萬元.

年齡

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（單位：歲）

保費(fèi)

X2x3x4x5x

（單位：元）

（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求X精確到整數(shù)時(shí)的最小值.%;

（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在［60,70］之間的老人每50人中有1人患該項(xiàng)疾?。ㄒ源祟l率作為概率）.該病的治療費(fèi)為12000元，

如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)10000元.某老人年齡66歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)（x?。?）中的/）.針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)

用為x元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為y元.試比較x和y的期望值大小，并判斷該老人購買

此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

可分成兩類，一類是3個(gè)新教師與一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，其他一新一老結(jié)對(duì)，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教師，一個(gè)老

教師帶一個(gè)新教師，分別計(jì)算后相加即可.

【詳解】

分成兩類，一類是3個(gè)新教師與同一個(gè)老教師結(jié)對(duì)，有資看=60種結(jié)對(duì)結(jié)對(duì)方式，第二類兩個(gè)老教師各帶兩個(gè)新教

師，有"％a=90.

2!

,共有結(jié)對(duì)方式60+90=150種.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用.解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對(duì)這個(gè)事情，是先分類還是先分步，確定方法后再

C2c2

計(jì)數(shù).本題中有一個(gè)平均分組問題.計(jì)數(shù)時(shí)容易出錯(cuò).兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為t

2!

2、D

【解析】

由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出z,再寫出其共軌復(fù)數(shù)，然后由模的定義計(jì)算模.

【詳解】

2=1+^-.=1+z=2+z,,-.z=2-Z,.-.|Z|=A/5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共朝復(fù)數(shù)與模的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

X

試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即「P：VxeR,sinxN—.

2

考點(diǎn)：全稱命題.

4、B

【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令。7>=。,。3=人0。=°.￡為08中點(diǎn).由a+b=1即可求得p點(diǎn)的軌跡方程.將

c=^a+/db變形，結(jié)合X+2〃=1及平面向量基本定理可知RCE三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知|c|的最小值m即

為。到直線PE的距離最小值，且當(dāng)PE與圓M相切時(shí)，機(jī)有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得

直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離，即為機(jī)的最大值.

【詳解】

根據(jù)題意，仍|=2,設(shè)OP=a=(x,y),OB=Z;=(2,0),OC=c,E(LO)

則0E=—

2

由卜+4=1代入可得J(x+2『+y2=1

即P點(diǎn)的軌跡方程為(x+2)之+/=1

又因?yàn)椤?2。+〃3,變形可得。=%。+2〃-，即。。=4。。+2〃。片,且彳+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知p,C石三點(diǎn)共線,如下圖所示:

所以IcI的最小值m即為。到直線PE的距離最小值

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，當(dāng)PE與圓M相切時(shí)，加有最大值

設(shè)切線QE的方程為丁=左(％-1),化簡可得依-y-k=0

|-2女一自

由切線性質(zhì)及點(diǎn)M到直線距離公式可得=1,化簡可得8左2=1

slk2+l

即一手

所以切線方程為變x-y-變=0或變x+y-Y2=0

4?44-4

_V2

4_1

所以當(dāng)。變化時(shí)，。到直線PE的最大值為m=「-==Q

即機(jī)的最大值為工

3

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用，圓的軌跡方程問題，圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的

應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

5、D

【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】

在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,所以是正確的；

在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：

56%x39.6%=22.176%>20%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,所以是正確的；

在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：

13.7%x39.6%=9.52%>3%,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；

在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為56%x39.6%=22.176%<41%,所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)

行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

6^B

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得「pH/eR,片<0

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

/、1-z

轉(zhuǎn)化（1+，）（Z—1）=1—>為2-1=下，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解

【詳解】

復(fù)數(shù)Z滿足：（l+z）（z—1）=1—

所以Z—1=上1=9過=7

1+z2

nz=l-，

z=l+i

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

y-xx-a

試題分析：先畫出可行域如圖：由｛?°,得HU),由｛,得C(a,a),當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)2(1,1)時(shí)，

x+y=2y-x

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線z=2x+y過點(diǎn)C(a,a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)2=2x+y取得最小值,

最小值為3a；由條件得3=4x3。，所以。=!，故選D.

9、D

【解析】

1

設(shè)機(jī)=2〃+b,可得=a-m-2aG[-4,01,構(gòu)造(。一，加了《2+，加之，結(jié)合帆=2,可得a-^-me

4164|_22

根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.

【詳解】

設(shè)機(jī)=2〃+/?，則同=2,

b-m-2a,a-b=a-m-2a2w[T,0],

1111

?.(a—m)L-a9—a*m-\----m9<2H----m9

421616

根

|加|2=和=4,所以可得：竺2=上],

82

11119

配方可得—=—比29V2(“一一根產(chǎn)9<4+—7》9=一，

28482

13

所以a--me—9—

422

又||。|一|11〃2|區(qū)a-^-m<||6/|+|^1-m||

44444

則同e[0,2].

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

10、A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

｛凡｝是等差數(shù)列,且公差d不為零，其前〃項(xiàng)和為S”,

充分性:

Sa+i>S”,則an+l>0對(duì)任意的“eN,恒成立，則。2>°，

d芋0,若d<0,則數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在左eN*，使得當(dāng)"〉左時(shí)，4+1<0,則5用<5“，不合

乎題意;

若d>0,由外>0且數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的〃eN*，。角>0,合乎題意.

所以，=>"｛q｝為遞增數(shù)列”;

必要性：設(shè)4="-10,當(dāng)時(shí)，??+1=?-9<0,此時(shí)，Sn+i<Sn,但數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

所以，N,S〃+i>S,"y"｛a”｝為遞增數(shù)列”.

因此，“V/7eN*，5什1>”是“｛??｝為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題.

11、A

【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)4,5間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)尸與A,3的距離之比為無，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)

2

合求解.

【詳解】

如圖所示:

化簡得(x+3)2+y2=8,

當(dāng)點(diǎn)P到A6(x軸)距離最大時(shí)，AB43的面積最大，

ARAB面積的最大值是工x2x20=2頂.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

設(shè)過點(diǎn)及作圓f+產(chǎn)=片的切線的切點(diǎn)為T,根據(jù)切線的性質(zhì)可得且|OT|=a,再由歸閶=2歸國和

雙曲線的定義可得|P￡|=2a,|P&|=4a,得出T為「尸中點(diǎn)，則有。77/尸鳥，得到即可求解.

【詳解】

設(shè)過點(diǎn)《作圓￡+丫2=〃的切線的切點(diǎn)為7，

OT^PF^FJ|=7lOF,|2-b1=a

\PF^2\PF],\PF^-\PF^2a,\PF2\^4a,\PF^2a,

所以7是罵尸中點(diǎn)，，。丁〃尸％，尸耳1尸

22

PF^+\PF21=20/=|F1F2|=4c,

2

二=5,:.0=非.

a

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、ae[2,6]

【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組，解不等式求得。的取值范圍.

【詳解】

fc>l

由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得2

12-?-1+5>0

解得ae[2,6].

故答案為：ae[2,6]

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

14、③④

【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.

【詳解】

①若加〃。且〃〃1,7%”的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；

②若川，，且加」〃，則〃〃，或者〃U〃，②錯(cuò)；

③若相〃,，設(shè)過機(jī)的平面與￡交于直線〃，則加〃"，又加，。，則〃，a,③正確；

④若"ua,且由線面垂直的定義知_1_〃，④正確.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間

的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).

15、272

【解析】

作出準(zhǔn)線，過作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何

知識(shí)計(jì)算出直線的斜率.

【詳解】

設(shè)/是準(zhǔn)線，過P作于過。作QN，/于N,過P作PHLQN于H,如圖，

IJl!）|PM|=|PF|,\QN\=\QF\,'：2PF=FQ,：.\QF\=2\PF\,：.\QN\=2\PM\,

\QH\=\NH\^\PM\=\PF\,\PH\=J（3|P目）2—=2y/2\PF\,

\PHr-l

tanZHQF=加=2&，二直線PQ斜率為2&.

故答案為：2亞.

本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題，解題關(guān)鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,

用平面幾何方法求解.

16、乙、丁

【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對(duì)四種情況依次進(jìn)行

分析，觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.

【詳解】

從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯(cuò)誤，與題意不符，故甲猜測錯(cuò)誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測

無法確定正誤，丁猜測錯(cuò)誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯(cuò)誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確

的，從而得出乙，丁獲獎(jiǎng).

所以本題答案為乙、丁.

【點(diǎn)睛】

本題是一個(gè)簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并

通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)增區(qū)間為了減區(qū)間為°，1；⑵萬―L+吁

【解析】

(1)將4=0代入函數(shù)y=/(x)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，分類討論。的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，求出函數(shù)y=/(x)的最

值可判斷2。是否恒成立，可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

sinx(TC?

(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=tanx-2x=------2x\0<x<—\

cos%I2)9

cos*2x+sin2xc1cl-2cos2xcos2x

則ra)=-一2=-一2=^^

cos2x

當(dāng)0<x<?時(shí)，cos2%>0,則/'(%)<0,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為減函數(shù)；

當(dāng)(<x<T時(shí)，cos2x<0,貝!1/'(X)>0,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為增函數(shù).

所以，函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間為減區(qū)間為0,?］；

(2)/(%)=tan%+osin2%-2x10<x<5j,貝(|/(0)=0,

fr(x]=-\——b2acos2x-2=；——F2(2(2COS2x-i)-2

v7cos2xcos2x、)

4acos4x-(2d;+2)cos2x+l(2cos2x-l)(2^cos2x-1)

-COS2X-COS2X

①當(dāng)2aWl時(shí)，即當(dāng)aW工時(shí)，Zacos?%—1<0,

2

由/''(x)NO,得此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為增函數(shù);

由/'(九)W0,得0<尤K7,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為減函數(shù).

M/(x)min=/^</(O)=O,不合乎題意；

②當(dāng)2〃>1時(shí)，即〃〉，時(shí)，

2

1

不妨設(shè)COSX。=了=,其中與￡ogj,令人大)=0,則1=一或%.

72a4

JI

(i)當(dāng)a>l時(shí)，x>一，

04

當(dāng)0<x<?時(shí)，f(x)>0,此時(shí)，函數(shù)y=/(力為增函數(shù)；

當(dāng)?<_￥</時(shí)，/(%)<0,此時(shí)，函數(shù)y=/(%)為減函數(shù);

當(dāng)與(xv^l時(shí)，/,(%)>0,此時(shí)，函數(shù)y=/(x)為增函數(shù).

此時(shí)〃%>=而n{/(0),〃%)},

2

而/(尤。)=tanx0+asin2x0-2x0=tanx0(^1+2^cosx0j-2x0=2(tanx0-x0),

構(gòu)造函數(shù)g(x)=tan%-%,0<x<—,貝！)g'(x)=—---1=tan2x>0,

2cosx

所以，函數(shù)g(x)=tanx-x在區(qū)間(0,3上單調(diào)遞增，則g(x)>g(O)=O,

即當(dāng)時(shí)，tanx>x,所以，/(xo)=2(tanxo-xo)>O.

?■?/(^=/(°)=0>符合題意；

②當(dāng)a=l時(shí)，/'(%)之0,函數(shù)y=〃x)在0,m上為增函數(shù)，

?.?"4^="°)=°，符合題意；

③當(dāng)g<a<l時(shí)，同理可得函數(shù)y=/(x)在［0,%)上單調(diào)遞增，在限,7］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

此時(shí)/(x)min=面足〃0)，H",則/圖=1+"、20'解得

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.

18、(I)y=—(x+1)；(II)。=1；(m)證明見解析

e

【解析】

(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

(II)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)刈力=/(%)-依根據(jù)單調(diào)性分析可得可龍)只能在％=0處取得最小值求解

即可.

cm)根據(jù)(I)(ID的結(jié)論可知=(％+1),/(無)2兀在尺上恒成立,再分別設(shè)沙==(%+1)b=x的

ee

解為馬、％.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.

【詳解】

(I)由題/'(%)=/_1+(%+1)/,故/=.且/X-DMO.

e

故于(X)在點(diǎn)(-1,/(-1))處的切線方程為v=—(X+1).

e

(II)//(X)=f(%)-=(尤+l)(e*—l)-iixNO恒成立，故/z'(x)=(x+2)e'"—a—l.

設(shè)函數(shù)0(x)=(x+2)e*則0[x)=(x+3)e*,故0(x)=(x+2)e"在(-oo,—3)上單調(diào)遞減且°(x)<0,又以尤)在

(-3,+8)上單調(diào)遞增.

又以0)=2，即"⑼=1—a且為⑼=0,故h[x}只能在％=0處取得最小值，

當(dāng)a=1時(shí),此時(shí)"⑺=(x+2)e*-2，且在(-0,0)上&'(力<0,&(力單調(diào)遞減.

在(0,+e)±/：'(%)>0,h(x)單調(diào)遞增.故h[x}2/i(O)=0,滿足題意；

當(dāng)a>1時(shí)，此時(shí)(p(x)=(x+2)e、=a+1有解%〉0,且h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，與h(x)>/z(0)矛盾；

當(dāng)a<1時(shí)，此時(shí)姒力=(x+2)e*=a+1有解一3</<0,且/?(%)在(%,0)上單調(diào)遞減，與h(x)>h(0)矛盾；

故。=1

(III)/(幻=/—l+(x+l)/=(x+2)/—l.由(I)，/。)=(無+2)/—1在3)上單調(diào)遞減且尸(x)<0,

又/'(x)在(-3,內(nèi))上單調(diào)遞增，故/⑴=0最多一根.

又因?yàn)槭?―1)=(—1+2"T—1="1—1<0,尸(0)=(0+2”°—1=1>0,

故設(shè)廠(%)=。的解為％=/,因?yàn)槭?T)"'(0)<0,故1,0).

所以/(%)在(F#遞減，在&+8)遞增.

因?yàn)榉匠?。)=人有兩個(gè)實(shí)數(shù)根知超,故.

結(jié)合(I)(II)有/+在R上恒成立.

設(shè)b=^^(%+1)的解為了3,則％3<%；設(shè)b=X的解為4,則與之工2.

e

.eb..

故v&=------1,%=b.

1-e

eb

故%一%<%4—退<b+l+---，得證.

e-1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的

結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.

22

19、(1)—+^=1；(2)見解析.

43

【解析】

(1)在放AA￡O中，計(jì)算出|A￡|的值，可得出〃的值，進(jìn)而可得出沙的值，由此可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M(%，x)、N(x2,y2),設(shè)直線MN的方程為>=履+加，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理,

根據(jù)已知條件得出《&=《+&，利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡得出M與左所滿足的關(guān)系式，代入直線MN的方程,

即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

⑴在中，|O4|=b,Qq|=c=l,\AF]=^\OAf+\OF{f=a,

NAFQ吟,NO4耳=￡,.?.a=|A片=2|。7=2,...o=J7T7=后,

3o

22

因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+2L=1；

43

(2)由題不妨設(shè)ACV:y=丘+7處設(shè)點(diǎn)M(%，K),N(x2,y2)

工X=]

聯(lián)立I43一，消去y化簡得(4左2+3)尤?+8初a+4〃，—12=0,

y=kx+m

口8km4m2-12

且X+X2=_^Ti，玉々=^^，

k=ki.kk—k+k-%-6二%一6—y「也I%-6

k「l玉％2%%2

2

工代入X=kxt+m(z=1,2),化簡得(左2-2左卜/2+(左一。(機(jī)一百)(玉+x2)+m-2y/3m-\-3=0,

化簡得8限(m-6)=3(m，

機(jī)w6，「.8百人=3(加一班)，.?.m=8,k+8,

直線MN:y=kx+處上+6，因此，直線肱V過定點(diǎn)-學(xué)，百.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中直線過定點(diǎn)的問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

20、(1)3T(2)詳見解析

【解析】

(1)f\x)=e"---(x>0),

ax

在[1,2]上，因?yàn)?(X)是減函數(shù)，所以((x)=e;’<0恒成立，

ax

即工Nxe，恒成立，只需l2(xe，)1mx.

aa

令r(x)=xe”,xe[l,2],則f'(?=e"+xe",因?yàn)閤e[l,2],所以/(x)〉0.

所以f(x)=xe'在[1,2]上是增函數(shù)，所以(a濡=2e2,

所以,N2e2,解得

a2e2

所以實(shí)數(shù)。的最大值為3.

2e

(2)f(x)=ex----(x>0)yr(x)=e'----.

a9ax

令g(x)=ex-(x>0),貝()/(%)=]+3，

axax

根據(jù)題意知g'(X)>0,所以g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

11

又因?yàn)間(—)=e。-l>0,

a

當(dāng)i從正方向趨近于0時(shí)，,趨近于+8,e尤趨近于1，所以-■—<0,

axax

所以存在不￡(0-)，使g(%)=物一占=°,

u〃x()

1

e而0

BP=,x0=—]n(ax0)=-]na—]nx0,

所以對(duì)任意xw(0,x0),g(x)<0,即/(x)<0,所以/(元)在(0,%)上是減函數(shù);

對(duì)任意xe(Xo，+R),g(x)>。，即/'(幻>0,所以/Xx)在(乙,+8)上是增函數(shù),

所以當(dāng)x=/時(shí)，Ax)取得最小值，最小值為/(%).

由于-lnx0=x0+lna,

1

則/(x0)=*_l^=X+vtE￡=_L+E+四22]_L.E+皿=2+必=

aaxQaaxQaavaxQaaaa

出吧，當(dāng)且僅當(dāng)工=%，即而=1時(shí)取等號(hào)，

aaxQa

所以當(dāng)0＜。＜1時(shí)，

22人]

21、(1)—+^=1；(2)①證明見解析；②U

43%3

【解析】

(1)由題意焦距為2,設(shè)點(diǎn)c(l,%),代入橢圓「+「=1(?！?〉0),解得y=土藝，從而四邊形AC3D的面積

a"b~a

h2

6=2SMBC=2a=2爐，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)①由題意AC:y=《(x+2),聯(lián)立直線與橢圓的方程工+匯=1,得(3+4勺2)/+16公-12=0,推導(dǎo)出

431

,(一/’—),。(編,一/),由此猜想：直線,過定點(diǎn)尸(1，°)，從而能證明〃。三點(diǎn)共

線，直線/過定點(diǎn)尸(1,0).

22

②由題意設(shè)C(X1,%),0(9,%),直線/:x=my+l,代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：L+2L=1,得(3/+4)/+67利-9=0,

43

6m9由此推導(dǎo)出「止=史三J(吵T)」(定

推導(dǎo)出X+%=-9—，y%=—%—

3m2+4123m2+4&%%(占+2)%(〃彷+3)777yly2+3%3

尤2-2

值).

【詳解】

22

(1)由題意焦距為2,可設(shè)點(diǎn)C(l,%),代入橢圓二+與=1(?！等恕?),

ab

得二+至=1,解得為=±工，

aba

一h1

四邊形ACBD的面積6=2s=2a.—=2b2，

Aa

b2=3f42=4,

22

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+2L=I.

43

(2)①由題意AC:y=《(x+2),

22

聯(lián)立直線與橢圓的方程工+匕=1,得(3+41)尤