微積分試卷及答案6套

微積分試題(A卷)

一.填空題(每空2分，共20分)

1.lim/(x)=A,那么對于\/￡>0,總存在6>0,使得當(dāng)_____________________

Xfl+

時(shí)，恒有I/(x)-A|<￡。

?ran-+bn+5

2.Jim---------------=2,那么〃=________________，b

…。03n-2

=o

3.假設(shè)當(dāng)xf與時(shí)，a與尸是等價(jià)無窮小量，那么lim紀(jì)2=。

4.假設(shè)“X)在點(diǎn)尤=a處連續(xù)，那么lim/(%)=。

a

5.f(x)=In(arcsinx)的連續(xù)區(qū)間是。

6.設(shè)函數(shù)y=/(x)在刈點(diǎn)可導(dǎo)，那么lim""十油_?

h

7.曲線y=d+2x—5上點(diǎn)M處的切線斜率為6,那么點(diǎn)M的坐標(biāo)

為O

8.d(^xf\x)dx)=o

9.設(shè)總收益函數(shù)和總本錢函數(shù)分別為R=24Q-2Q2,C=Q2+5,那么當(dāng)利潤最

大時(shí)產(chǎn)量Q是-

二.單項(xiàng)選擇題(每題2分，共18分)

1.假設(shè)數(shù)列｛4｝在。的￡鄰域［a-￡,a+￡)內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)，那么()。

(A)數(shù)列必有極限，但不一定等于a(B)數(shù)列｛%｝極限存在，

且一定等于a

(C)數(shù)列｛x〃｝的極限不一定存在(D)數(shù)列｛%,｝

的極限一定不存在

設(shè)/(x)=arc/g」一那么x=l為函數(shù)/(x)的〔

2.)。

x-1

(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)無窮型間

斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)

3.lim(l+-)3"-'

(A)1(B)8

(C)(D)e3

_p_

4.對需求函數(shù)。=eW,需求價(jià)格彈性Ed=—g當(dāng)價(jià)格p=[

時(shí)，需求量減少的幅度小于價(jià)格提高的幅度。

(A)3(B)5

(C)6(D)10

5.假設(shè)lim/(x)=0,limg(x)=0；g'(x)在點(diǎn)項(xiàng))的某鄰域內(nèi)(了()可以除

x-＞而

外)存在，又。是常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()。

(A)假設(shè)=a或8,那么lim=a或8

%-X。g(x)%.%。g'(x)

/(X)

(B)假設(shè)lim=a或oo,那么lim=a或co

f。g(x)

(C)假設(shè)lim不存在,那么lim不存在

%0f。g(x)

(D)以上都不對

6.曲線/(x)=/+aY+Zw+a2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔

(A)0(B)l(C)2

(D)3

7.曲線y=4XT)。

(x-2)2

(A)只有水平漸近線;(B)只有垂直漸近線;

(C)沒有漸近線;(D)既有水平漸近

線，又有垂直漸近線

8.假設(shè)/（x）連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如右圖所示，那么/（x）具有（）

（A）兩個(gè)極大值一個(gè)極小值（B）兩個(gè)極小值一個(gè)極大值

（C）兩個(gè)極大值兩個(gè)極小值（D）三個(gè)極大值一個(gè)極小值

9.假設(shè)/（x）的導(dǎo)函數(shù)是廣2,那么/（x）有一個(gè)原函數(shù)為（）。

(A)ln|.r|；(B)-ln|^；(C)—x1；

(D)—x3

三.計(jì)算題（共36分）

1.求極限lim正三丘"（6分］

10X

1

2.求極限lim（lnx），（6分）

Xf+00

sin2%

x<0

x

3.設(shè)/（幻=aX=0,求〃力的值，使/（幻在（-8,+8）上連續(xù)。

?17

xsm—+bx>0

x

（6分）

4.設(shè)靖+〉=孫+1,求V及y'L=o16分）

5.求不定積分Jxe~2xdx（6分）

6.求不定積分J）4-工2公.16分〕

四.利用導(dǎo)數(shù)知識列表分析函數(shù)丁=1\的幾何性質(zhì)，求漸近線，并作圖。（14分）

五.設(shè)“X）在［0,1］上連續(xù)，在S,l）內(nèi)可導(dǎo)，且/（0）=/⑴=0,/（；）=1,試證：

（1）至少存在一點(diǎn)關(guān)（；,1）,使/'?寸；

（2）至少存在一點(diǎn)〃e（0,使/'（〃）=1；

⑶對任意實(shí)數(shù)九，必存在自6（0?。?使得在（%）—/]=1。（12分）

微積分試題（B卷）

填空題（每空3分，共18分）

10.ff'[x+t^dx=________________________________________________

Ja

11./e-2xdx=_________________________________________.

Jo

12.關(guān)于級數(shù)有如下結(jié)論：

_00__00,1

①假設(shè)級數(shù)?>“（火產(chǎn)0）收斂，那么Z一發(fā)散

n=ln-\憂n

_00__8,1

②假設(shè)級數(shù)?"（火尸0）發(fā)散，那么工一收斂.

n=ln=l"n

000000

③假設(shè)級數(shù)￡乙和￡乙都發(fā)散，那么X（M"+V"）必發(fā)散.

n=ln=ln=l

80000

④假設(shè)級數(shù)￡/收斂，￡乙發(fā)散，那么Z（M“土V,）必發(fā)散.

n=ln=ln=l

0000

⑤級數(shù)￡上/口為任意常數(shù)）與級數(shù)的斂散性相同.

n=ln=\

寫出正確結(jié)論的序號.

13.設(shè)二元函數(shù)z=xe?+(x+l)ln(l+y),那么

耳⑼=---------------------------------------------

14.假設(shè)D是由x軸、y軸及2x+y-2=0圍成的區(qū)域，那么

jjdxdy-.

D

15.微分方程xy'+y=O滿足初始條件y(l)=3的特解

是

二.單項(xiàng)選擇題(每題3分，共24分)

10.設(shè)函數(shù)/(%)=「(-1)。+2)dt,那么/(%)在區(qū)間［-3,2］上的最大值為〔).

J0

(A)

4⑻：(C)1(D)4

22222

11.cos(x+y)d(y,/3=jjcos(x+y)da,

DDD

其中。={(工y)*+丁2<1},那么有(

).

(A)/]>心>八(B)/3>Z2>1}(C)I2>IX>13(D)

I3>I^>I2

00

12.設(shè)>0,刀=1,2,3…,假設(shè)發(fā)散,x(-1)1%收斂，那么以下結(jié)論正確

n-1n-1

的選項(xiàng)是().

0000

(A)收斂，?>2“發(fā)散(B)收斂，E"2"T發(fā)散

n=ln=]n=ln=l

0000

(C)Z(M2.T+的,)收斂(D)Z(M2"_I-⑸)收斂

n-\n=l

13.函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是/(x,y)在該點(diǎn)可微的

()條件.

(A)充分非必要1B)必要非充分(C)充分必要⑴)既非充分又非必要

14.以下微分方程中，不屈于一階線性微分方程的為1).

/、,xcoslnx

(A)盯一y二--------(B)xyflnx+y=3x(lnx+1),

Inx

(C)(2y—x)yr—y=2x(D)(x2-l)yr-xy+2=0

00001

15.設(shè)級數(shù)￡明絕對收斂，那么級數(shù)Z(1+—)"為〔).

n=ln=l〃

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)不能判定斂散性散

16.設(shè)方(%)=[esintdt,那么方。)().

JX

(A)為正常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)

、、n/dudududu、

17.設(shè)〃=/(%—y,y—z,1—z),那么--1----1----1----().

dxdydzdt

(A)If；(B)2/；(02/；(D)0

四.計(jì)算以下各題(共52分)

1.「%7cosx-cos3xdx(5分)

2.求曲線y=九？—2%,y=0,九=1,犬=3所圍成的平面圖形的面積.(6分)

3.二重積分“九之1。，其中D由y=1-=X=1以及y=0圍成.

D

(I)請畫出D的圖形，并在極坐標(biāo)系下將二重積分化為累次積分；［3分)

(II)請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系下分別用兩種積分次序?qū)⒍胤e分化為二次積分；14分)

(III)選擇一種積分次序計(jì)算出二重積分的值.(4分)

4.設(shè)函數(shù)"=/(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=0(x,y)是由方程x/—yey=zez所

確定的二元函數(shù)，求生，包■及板.18分)

dxdy

5.求累級數(shù)D彳的收斂域及和函數(shù)SCO.〔8分)

念2〃

6.求二元函數(shù)〃羽/=(/+丫)02〉的極值.(8分)

7.求微分方程y〃+2y'=e-2'的通解，及滿足初始條件/(0)=1,廣(0)=0的特

解.(6分)

五.假設(shè)函數(shù)/(x)在加上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，且/''(x)KO,記

F(x)=-----[/?)力，證明在(〃*)內(nèi)尸(無)40.〔6分)

x-aJa

微積分試卷(C)

一.填空題(每空2分，共20分)

1.數(shù)列｛%｝有界是數(shù)列｛%｝收斂的條件。

2.假設(shè)y=sinx2,那么

dy=o

X

3.函數(shù)y=——/=0是第類間斷點(diǎn)，且為

tan%

間斷點(diǎn)。

ny+n

4.假設(shè)lim——上二3,那么〃=_______________,b=__________________。

X-1

5.在積分曲線族\2xdx中，過點(diǎn)［0,1)的曲線方程

是O

6.函數(shù)f(x)=\x\在區(qū)間［-1,1］上羅爾定.不成立的原因

是O

7.F(x)=fe^dt,可|3么_F'(x)=____________________

Jo

8.某商品的需求函數(shù)為。=12-￡,那么當(dāng)p=6

時(shí)的需求價(jià)格彈性為

2

EQ_

—O

EP

二.單項(xiàng)選擇題(每題2分，共12分)

1.假設(shè)血1q=3,那么圓七2=(

)。

xf%/3a

(A)-2(B)0

12

(C)-(D)-

33

2.在x=l處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)是〔)

(A)y=—^—(B)y=\x-l\

(C)y=ln(/-1)

x-l

(D)y=(x-l)2

3.在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，關(guān)于函數(shù)/(%)=J二c2不正的的表達(dá)為

()。

(A)連續(xù)

(B)有界

(C)有最大值，且有最小值(D)有最大值，

但無最小值

4.當(dāng)x-0時(shí)，sin2x是關(guān)于無的〔)o

(A)同階無窮小(B)低階無窮小(C)高階無窮小

(D)等價(jià)無窮小

5

5.曲線y=x+x3在區(qū)間()內(nèi)是凹弧

(A)(-00,0)(B)(0,+oo)(C)(-00,+oo)

（D）以上都不對

6.函數(shù)/與ex滿足關(guān)系式（）。

(A)ex<ex(B)ex>ex(C)ex>ex

(D)ex<ex

三.計(jì)算題(每題7分，共42分)

1.求極限limMe_1）。

%-。1-cosx

x

2.求極限lim2〃?sin—5為不等于0的常數(shù)）。

6.求不定積分+o

龍+[

四.函數(shù)y=,填表并描繪函數(shù)圖形。（14分）

x

定義域

>'=y"=

單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間

極值點(diǎn)極值

凹區(qū)間凸區(qū)間

拐點(diǎn)漸近線

圖形:

五.證明題（每題6分，共12分）

1.設(shè)偶函數(shù)/（x）具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且/”（工）工0。證明：x=0為/'（x）的極值

點(diǎn)。

2.就左的不同取值情況，確定方程x-Jsinx4在開區(qū)間10,與）內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證

明你的結(jié)論。

《微積分》試卷⑴卷）

一、單項(xiàng)選擇題（此題共5小題，每題3分，共15分）:

1.函數(shù)f（x,y）在（x,y）=（x0,%）處的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該處可微的〔）條件。

A.充分；B.必要;C.充分必要;無關(guān)的.

2.函數(shù)z=ln(x3+y3）在[1,1）處的全微分dz=（）。

3

A.dx+dy；B,2（dx+dy）；C.3（dx+dy）；D.—（dx+dy）.

3.設(shè)。為：/+）;2＜氏2,二重積分的值口產(chǎn)萬心沖=1）。

D

C.工成3.

A.兀R。；B.2冰2；D.-7iR4.

32

4.微分方程/-47-5j=e.*+sinx的特解形式為（)=

Aae~x+bsinx；Bae-*+〃cosx+csinx；

Caxe~x+ftsinx；D

axe-1+Z>cosx+csinx.

5.以下級數(shù)中收斂的是（）。

產(chǎn)一1002〃產(chǎn).1

A.B.C.二〃2Vsin—.

n=inan

二、填空題（此題共5小題，每題3分，共15分）:

2.

,rixarcsmx,

1.——,dx=

2.7(x)=MQ+l)?—2)力，那么在區(qū)間［-2,3］上/(x)在xu(）處取得最

大值。

3.函數(shù)z=xy(x>0)，那么一

dx

dz

dy

4.微分方程丁'=41'在初始條件y[=o=4下的特解是：y

?.io

5.幕級數(shù)￡J"—的收斂半徑是：R=

M10

三、計(jì)算以下各題〔此題共5小題，每題8分，共40分)：

S2z

1.z=f(x-y,xy),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求cc。

oxoy

2二一1n三求包包

zydxdy

3.改換二次積分Jjiny2dy的積分次序并且計(jì)算該積分。

4.求微分方程/-4/+3y=0在初始條件y\x=0=6,vLo=10下的特解。

5.曲線C的方程為y=/(x),點(diǎn)⑶2)是其一拐點(diǎn)，直線小乙分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)

與⑶2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4),設(shè)函數(shù)/(X)具有三階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算

2

J。(x+x)f"'(x)dxo

002n

四、求哥級數(shù)￡(-1)"—的和函數(shù)s(x)及其極值分)。

五、解以下應(yīng)用題〔此題共2小題，每題10分，共20分)：

3]_

1.某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量。(羽丁)=100/>1其中％為勞動(dòng)力人數(shù)，y為設(shè)

備臺數(shù)，該企業(yè)投入5000萬元生產(chǎn)該產(chǎn)品，設(shè)招聘一個(gè)勞動(dòng)力需要15萬元，購置一臺

設(shè)備需要25萬元，問該企業(yè)應(yīng)招聘幾個(gè)勞動(dòng)力和購置幾臺設(shè)備時(shí)，使得產(chǎn)量到達(dá)最高？

2.某商品的需求量。對價(jià)格戶的彈性〃=2P2,而市場對該商品的最大需求量為10000

件，即Q（0）=10000,求需求函數(shù)0（尸）。

《微積分》試卷（E卷）

一、單項(xiàng)選擇題［每題3分，共18分）

x2,x<]

1.設(shè)函數(shù)"工）='—在X=1處可導(dǎo)，那么1

ax+b;x>l

A.a=0,b=1B.Q=2,/?=—1C.a=3,b=—2D.a=—1,Z?=2

2.在尤=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且〃0）=0,lim“X）=2,那么在尤=0處

v7'）—。1—cosx

/（X）滿足（

A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)C.取極大值D.取極小值

+°°dx

3.收斂，那么

2x(lnx)”

A.k>\B.k>lk<lD.k<l

i

4.limex+1)

x->-l

A.0B.00C.不存在D.以上都不對

5.當(dāng)xf0時(shí),1—cosx是關(guān)于/的（).

A.同階無窮小.B.低階無窮小.C.高階無窮小.D.等價(jià)無窮小.

6.函數(shù)/（x）具有以下特征：/(0)=1,/'(0)=0，當(dāng)xM時(shí)，

<0,x<0

廣(%)>。,/(%)

>0,x>0

那么/（X）的圖形為（）。

二、填空（每題3分，共18分）

sin%

1.hm—

%-COX

2.J]J1-dx=

/(%0+/0-/(%一/0

3./'（/）存在，那么lim

用f0h

4.設(shè)y=ln(x+l),那么y(")(x)=

dr0戶

5.—Icdt—

dxix

6.某商品的需求函數(shù)Q=75-02,那么在p=4時(shí)，需求價(jià)格彈性為

FR

九4，收入對價(jià)格的彈性是——

EPP=4

計(jì)算〔前四小題每題5分，后四小題每題6共44分）

[arctan

LUs1A77ztrdt

1+X2x

2.lim

x—>oo!X

3.xlnxdx

dx

x(l+x6)

5.求由J；￡力+J；cosO=0所決定的隱函數(shù)丁=

sinx

6.是/'(X)的原函數(shù)，求，對''(%)公。

x

7.求由曲線y=d與尤=i,y=。所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體

積。

8.求曲線y=必與直線y=履+1所圍平面圖形的面積，問k為何時(shí),該面積最?。?/p>

Y

四、(A類12分)列表分析函數(shù)y=——函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并

1+x

作出函數(shù)圖形。

解：(1)函數(shù)的定義域D：(—8,—1)U(—1,+8)，無對稱性；

⑵y'=x+2：=0,得無］=-2,X。=0

(1+無廠

(2%+2)(1+x)2—2(4+2x)(1+%)_2

/—(1+x)4-(l+x)3

(3)列表：

X(-8,-2)-2〔-2,-1)(T,0)0(0,+°O)

y'+0——0+

y"———+++

y/,n極大值-4n、，U極小值o/,U

y

(4)垂直漸近線：x=-l；斜漸近線：y=x-l

(5)繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)(―2,—4),(0,0),(1,g),(2,g)

(B類12分)列表分析函數(shù)y=ln(l+x2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并

作出函數(shù)圖形。

解：⑴函數(shù)定義域D:(-8,+8),偶函數(shù)關(guān)于Y軸對稱;

0x

(2)y'=----=0,得x=0

1+x

⑸繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)：(0,0),(-1,ln2),[1,ln2)

五、1B類8分)設(shè)連續(xù)，證明:

u

du=^x-u^f(u^du

o0

證明：令

F(x)=JI于⑴dtG(x)=「(x—M)/(M)力/只需證明尸(x)=G'(x)〔3分)

U(x)=，"(M

G(x)=x￡f(u)du-￡uf(u)du

G'(%)=I*f(u)du+xf(x)-xf(x)=ff(u)du

JOJO

所以尸(x)=G'(x)(8分)

(A類8分)設(shè)/(x)在［a,b］上連續(xù)在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)且f\x)<0

1rx

F(x)=--------I于⑦dt,xG

x-a2a

試證(1〕/(x)在(。力)內(nèi)單調(diào)遞減

(2)0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)

證⑴

(x-a)f(x)-[Xf(t)dt

尸(X)=-----------------￥--------

(x-a)’

積分中值定理(x-a)f(x)-第)(x-a)

Je(a,x)(x-a)2

于(x)一于(0

x-a

由f\x)<0知/(%)單調(diào)減，即在3,價(jià)內(nèi)當(dāng)J<x時(shí)有f(x)<f⑹又口一a)>0

可得

F\x)<0.即F(x)在3力)內(nèi)單調(diào)減.

,_,1fix

(2)因F(x)-/W=——\

x-aJa

積分中值定理-f(x)>0

又由/(x)單調(diào)減知,/(4>f(x)>與于是有

0<F(x)-f(x)<f(a)-f(b)

《微積分》試卷（F卷）

一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共18分）

1.設(shè)函數(shù)"在％=1處可導(dǎo)，那么（）

ax-\-b\x>\

A.a=O,b=lB.