安徽省2023-2024學(xué)年高一年級下冊開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

桐城中學(xué)2023?2024學(xué)年度下學(xué)期高一開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題

（考試總分：150分考試時(shí)長：120分鐘）

一、單選題（本題共計(jì)8小題，總分40分）

1.設(shè)集合則集合8={”—yOAw"}中元素的個(gè)數(shù)是

A.1B.3C.5D.9

【答案】C

解析：；A={0,1,2},B={x-y|xeA,yGA},

...當(dāng)x=0,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為0,-1,-2；

當(dāng)x=l,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為1,0,-1；

當(dāng)x=2,y分別取0,1,2時(shí)，x-y的值分別為2,1,0；

,B={-2,-1,0,1,2},

,集合B={x-y|xWA,yWA}中元素的個(gè)數(shù)是5個(gè).

故選C.

2.已知實(shí)數(shù)集A滿足條件:若aeA,則"eA,則集合A中所有元素的乘積為（）

1—<7

A.1B.-1C.±1D.與。的取值有關(guān)

【答案】A

解析：由題意，若aeA,—eA,

1—Cl

1I+a

l+

]—a-eA,

1I+a

la

l—ci

rCl-I

l+-----

a+1=aeA,

1a—I

a+l

Ia—II+a

綜上，集合A=a,

aa-\-V\—a

(j—11+a1

所以集合A中所有元素的乘積為。?------------=1.

〃+11—a

故選：A.

tana2

兀

3.已知713,則sin2a+等于（）

tana+—

I44

V2

A6B.c_也D,也

551010

【答案】D

tanatana2

兀3

tana+-tana+tan一，解得tan。=2或tana=一工

解析：因?yàn)镮4

43

r兀

1-tanciftan—

4

兀)兀71c.7兀1

又sin2。+—=sm2acos—+cos2asin—

I4)44

6

=飛-(sin2a+cos2。)

=(2sin。cosa+cos2a-sin2a

行2sinacosa+cos2a-sin2a

—x--

2cosa+sina

2

y/22tan^+l-t—a_n_ax______________

21+tan2a

A/22tanc)f+l-tan2a^22x2+1-226

當(dāng)tan。=2時(shí)----x=-------X

21+tan2a21+2210

1V22tana+1-tan2a__^2_42

當(dāng)tana=——時(shí)——X

321+tan9a2

綜上可得sin12a+：_V2

-10

故選：D

4.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(l+x)-ln(l-x),則/(x)

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

【答案】A

1+x>0

解析：試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?八，解得—

l-x>0

又f(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-[ln(l+x)-ln(l-x)]=-/(%),所以函數(shù)/'(x)的奇函數(shù)，

1x1_i_v*

由/(%)=1口(1+九)-111(1一天)=111----,令g(x)=-----，又由。<玉<九2<1，貝IJ

1-x1-x

g(x2)-g(x1)=1^-i^=>0,即久瑞IV皴%?所以函數(shù)g(x)=F為單調(diào)

遞增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/O)=ln(l+無)—ln(l—x)在(0,1)上增函數(shù)，故選A.

5.已知Ax)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足尸(1一x)=f(1+x).若/⑴=2,貝U

川)+〃2)+〃3)++/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

解析：分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.

詳解：因?yàn)锳x)是定義域?yàn)?—,+8)的奇函數(shù)，且尸(1一X)=f(1+x),

所以/(I+x)=—/(x-1)/(3+%)=—/(%+1)=/(x-1)T=4,

因此/(D+/(2)+/(3)++/(5O)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2),

因?yàn)?(3)=-/⑴，/(4)=-/(2),所以/⑴+/(2)+/⑶+/(4)=0,

/(2)=/(-2)=-/(2)/(2)=。，從而/(D+f(2)+/⑶++/(5O)=/(I)=2,選C.

6.定義在(-1,1)上的函數(shù)/。)滿足/(%)=8(%)-8(-％)+2,對任意的/，*%2,恒有

[/(x1)-/(x2)](^-x2)>0,則關(guān)于乂的不等式/(3%+1)+/(%)>4的解集為()

A.B/-川C.D-

【答案】B

解析:設(shè)丸(％)=/(%)—2=g(x)—g(—x),

因?yàn)閷θ我獾腦],G(-l,l),*X2,恒有[/(石)一/(尤2)](王-9)>0,

所以函數(shù)f3在(T,1)上為增函數(shù)，則/X)在(-L1)上為增函數(shù)，

X//(-X)=g(-%)-g(x),而/?(%)=g(x)-g(-x),所以/z(x)+/2(-x)=0,

所以/z(x)為奇函數(shù)，

綜上，版X)為奇函數(shù)，且在(-1,1)上為增函數(shù)，

所以不等式/(3x+D+/(%)>4等價(jià)于f(3x+1)-2+/(%)-2>0,

即h(3x+1)+h(x)>0,亦即h(3x+1)>-h(x)=/z(-x),

—1<3x+1<1,

可得《—1<x<1,,解得—<X<0.

4

3x+l>-x,

故選：B.

7.設(shè)0：上竺<0,q:x2-^m+^x+m2+m<Q,若夕是9的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)加的取值范

2x

圍為

A.[-2,1]B.[-3,1]c.[-2,0)o(0,l]D.[-2,-l)o(0,l]

【答案】D

X3-4r

解析：設(shè)〃：-—把<0的解集為A,所以A={xl-2WxV0或0VxW2},

2x

設(shè)q：x-(2m+l)x+m2+m<0的解集為B,

所以B={x|mWxWni+l},

由題知P是q的必要不充分條件，

即得B是A的真子集，

m>03fm+1<0

所以有《=>0<加<1或《=^>—2<m<—1.

[m+l<2\m>-2

綜合得me[—2,—1)D(0,1],故選D.

8.對于定義在R上的函數(shù)/■(%),若存在正常數(shù)。、b,使得/■(%+。)</(可+。對一切%￡尺均成立，

則稱/'(%)是"控制增長函數(shù)”.在以下四個(gè)函數(shù)中：①/(司=產(chǎn)；②/(x)=洞；③/a)=sin(x2)；

④/'(*)=x，sinx.是"控制增長函數(shù)”的有()個(gè)

A.1B.2C,3D.4

【答案】C

解析：對于①，/'(x+a)</(x)+。可化為/+"W/+Z?，

b

即ex<-對一切XGR恒成立，

ea-1

由函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽可知，不存在滿足條件的正常數(shù)a、b,

所以，函數(shù)/(x)=e*不是"控制增長函數(shù)”；

對于②，若函數(shù)/(%)=洞為"控制增長函數(shù)”，

|x+a|《卜+方+2入網(wǎng)對一切xeR恒成立,

又忖+a區(qū)忖+a,若國+0<國+匕2+2入廚成立，則桐2一I,顯然，當(dāng)口<〃時(shí)，不等式恒成立,

所以，函數(shù)/(x)=桐為"控制增長函數(shù)"；

對于③，；-l<sin(x2)<l,/./(x+a)-/(x)<2,

當(dāng)622且。為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，/(x+a)</(x)+6恒成立，

所以，函數(shù)/(x)=sin)是"控制增長函數(shù)"；

對于④，若函數(shù)/(x)=x,sinx是〃控制增長函數(shù)"，貝|(%+。)應(yīng)11(%+。)<心111%+/?恒成立，

「(x+Q)?sin(x+Q)<X+Q,若x+Q<xsinx+b<x+Z?,即

所以，函數(shù)〃x)=x-sin%〃控制增長函數(shù)〃.

因此，是“控制增長函數(shù)〃的序號是②③④.

故選：c

二、多選題（本題共計(jì)4小題，總分20分）

9.已知正數(shù)x,y,z滿足3*=4>=&，則下列說法中正確的是（

A,—+—B.3x>4y>6zC.xy>2z2D.x+y>

x2yz

【答案】ACD

解析：正數(shù)X,y,z滿足3*=4,=6"設(shè)3"=4、'=6'=f(T>l),

則x=log3乙y=log41,z=log6f.

對于A,-+—=log/3+-logf4=log,6=-,故A正確;

對于B,3x=31og3Z,4y=41ogJ,6z=61og6Z,

4y41og12,一，

￡=醞47=3陛46<1,…小，，3%<4y<6z,故B錯(cuò)誤;

對于C,由一=一+——>2——（xw2y）,兩邊平方，可得孫〉2Z2,故C正確;

zx2xy

對于D,由孫〉2Z2,可得x+y〉2j^>2亞7=lyflz>—+72z(xwy),故D正確.

故選：ACD

10.若"現(xiàn)e（O,2）,使得2無；一/1%+1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù);I可能的值是（）

B.2后D.3亞

【答案】AB

解析：由題意可知，命題"Vxe（O,2）,2_?一丸尤+120成立"，

所以，Ax<2尤2+1，可得—,

當(dāng)xe（0,2）時(shí),由基本不等式可得2%+->2J2X--=2A/2,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)％=弓時(shí)，等號成立，所以，2<272.

故選：AB.

11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學(xué)基地，村口的大水車，是一道獨(dú)特的

風(fēng)景.假設(shè)水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心。距離水面2米，水輪每60秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動一圈，如果

水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中乙）開始計(jì)時(shí)，則（）

A.點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面2米

C.在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有15秒的時(shí)間，點(diǎn)P距水面超過2米

D.點(diǎn)P距離水面的高度力（米）與t（秒）的函數(shù)解析式為%=4sinjr-7+2

【答案】ABD

解析：如圖所示，過點(diǎn)。作OCL水面于點(diǎn)C,作。A平行于水面交圓于點(diǎn)4過點(diǎn)P作P8LOA于點(diǎn)B,則

2冗JT

因?yàn)樗喢?0秒按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動一圈，故轉(zhuǎn)動的角速度為0=—（rad/s）,且點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中Po）

jr

開始計(jì)時(shí)，t（秒）后，可知/尸04=缶/,又水輪半徑為4米，水輪中心。距離水面2米，即OC=2m,

JTJT7T

OP0=4m,所以NO6C=N496=—,所以NPQA=—%——,因?yàn)镺尸=4m,所以

6306

IJTJT][TTTT\

PB=4sin故/z=4sin二1-二+2,D選項(xiàng)正確；

<306）[306）

IjrjrijrJTJT

點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)sin二一二=1,令上—=*,解得：t=20（s）,A正確；

1306J3062

（71711

令4sm）一二+2=2,解得：.=5+303keZ,當(dāng)左=5時(shí)，/=155（s）,B選項(xiàng)正確；

k30o）

4sin\+2>2,40<—解得：5<t<35,故有30s的時(shí)間點(diǎn)P距水面超過2米,

1306j306

12.已知函數(shù)/(尤)=ln(j4%2+1+2%)+爐,g(x)=/(x-1).若實(shí)數(shù)a,b(a,b均大于1)滿足

g(3b—2a)+g(2—a)>0,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減B.函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于。,0)中心對稱

h

ab

C.e~>-D.log.(a+1)〉10gz,3+1)

a

【答案】BD

解析：對于A,J?〉+1>J?'=|2x|>

"f+l+2x>0R上恒成立，

\/(X)定義域?yàn)镽,即/(%)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

/(%)+/(-%)=In](，4尤2+1++1-2x)]=In1=0,

\/(X)為奇函數(shù),

二函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對稱，

p(x)=_?,4(力="尤2+1+2%,r(x)=lnx在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

函數(shù)/(%)=r[q(x)]+p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

二函數(shù)八可在R上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對于B,g(x)=/(%-1),

，g(x)+g(—九+2)=/(x—l)+/(l—x)=/(x—l)+/[—(x—l)]=0,

函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，故B正確；

對于c,函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，

.,.g(a)+g(2-a)=0,g(2-a)=g(a),

Qg(36-2a)+g(2-a)>0,:.g(3b-2a)>-g(2-a)=g(a),

g(x)相當(dāng)于/(x)向右平移1個(gè)單位，

??.g(x)和〃尤)單調(diào)性相同,

二函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，，3Z？-2a>a,二?！?。〉，

e°-fe<e0=l<-,故C錯(cuò)誤;

a

一人/、ln(x+l)xlnx-(x+l)ln(x+l)

對于D,令力(%)=」——/./zf(x)=(x>1),

1ILXx(x+l)ln2x

令s(x)=xlnX(x>l)，則s'(x)=限+1>。,

???s⑺在(L+oo)上單調(diào)遞增,

/.xlnx<(x+l)ln(x+l),

xlnx-(x+l)ln(x+l)

"(x)=<0,

x(x+l)ln2x

.?./?(力在(1,”)上單調(diào)遞減,

b>a>l,/./z(<2)>/z(Z?),/.log^(<2+1)>log^(b+l),故D正確.

故選:BD.

三、填空題(本題共計(jì)4小題，總分20分)

13.若函數(shù)/(2*—1)的定義域?yàn)椤?』，則函數(shù)/(10g2%—1)的定義域?yàn)?/p>

【答案】[&,4]

解析：當(dāng)時(shí)I，2,所以2、—le-1,1

111

所以logzX-le--,1,即一一<k)g2X-l<l,則一Klog2xK2,

_2_22

即log20Wlog2xWlog24，解得后KxK4,

所以函數(shù)/(log2%-1)的定義域?yàn)閇a,可.

故答案為：[、反,4]

14.已知/(x)=sin[&x+|^(o>0),=且/(%)在區(qū)間除0上有最小值，無最大

值，則①=.

14

【答案】—

3

￡￡(717l\

解析：依題意，當(dāng)兀_6+3_?時(shí)，y有最小值，即sinI①=—1,

14

=8k+—(k^Z).

因?yàn)?(%)在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以3一5<1=2'

14

即0<12,令左=0,得G=一

3

14

故答案為：—

15.已知實(shí)數(shù)。，b,。滿足片+方2+02=i,則a/?+bc+2ca的最大值為

【答案]墾1

2

解析：設(shè)0<機(jī)<1,因?yàn)?+方2+/=],

]+(1一加)(〃2+。2

221212,2

所以1=〃2+Z?+C=ma+—/?|+|—/7+mc

22

>24gab+2J^bc+2(1一機(jī))〃c,

令2{1=1—根，解得冽=2—百或機(jī)=2+^^(舍去),

因此(6—1)(仍+bc+2c〃)《l,即"+兒+29〈叵史，當(dāng)》=(有—1)〃且0=〃時(shí)取等號,

故ab+be+2ca的最大值為二+1

2

故答案為：'見

2

11

16.已知函數(shù)〃x)=x+二一ax-6(a,6eR),當(dāng)xe-,2時(shí)，設(shè)/(x)的最大值為,則

XZ

M(a,b)的最小值為.

【答案】-

4

解析：設(shè)河=/_(犬)，則”=max卜(()"⑴"(2)},由于

=^\a+2b-5\,M>f(V)^\2-a-b\,M>f(2)^-\4a+2b-5\,則

22

M>\2-a-b\,-M>-f(-)^-\a+2b-5\,-M>-f(2)=-\4a+2b-5\,所以將以上三式兩邊相加

3323336

可得2M2|2-a-例+；,+26-5|+：4。+26-5目2-：一'1,即應(yīng)填答案;.

四、解答題(本題共計(jì)6小題，總分70分)

17.已知全集°=鼠集合A={x|d-2x-15<0},集合8={x[(x-2a+D(x-*<o}.

(1)若。=1,求gA和B；

(2)若Au3=A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)許4=僅|X4-3或應(yīng)5}；8=0；(2)-l<a<75.

解析：(1)若a=l,則集合A={x|%2一2%-15<0}={1|—3<%<5},

.\8bA={x\x,,一3或x..5},

若1=1,則集合3={%|（%-2〃+1）（%-/）<0}={刈（％一1）2<0}=0,

（2）因?yàn)锳DB=A，所以B=

①當(dāng)3=0時(shí)，a2=2a-1解a=l,

2

②當(dāng)_BW0時(shí)，即QW1時(shí)，B={x\2a-l<x<a}f

又由（1）可知集合A={x|-3v%<5},

2〃—1...13

<解得-啜必行，且QW1,

心5

綜上所求，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為：-啜必括.

18.（1）已知函數(shù)y=（2—sinx）（2—cosx）［o<x<Tj,求函數(shù)的值域.

1—ci?n八0（4JI

（2）已知函數(shù)丁=-------，ee0,-,求函數(shù)的值域.

cos。I2）

~9（―

【答案】⑴--2V2,2；（2）（0,1）.

解析：（1）j=（2-sinx）（2-cosx）=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4,

令，=sinx+cosx=A/2sinIx+

因?yàn)?。*，所以+所以點(diǎn)wsin(x+￡|"

所以四］且sin%cosx=C^

2

2/+4=g/-2/+（,夜］,

顯然了”）在［1,3］上單調(diào)遞減，又/'（1）=2,J（V2）=|-2A/2,

所以函數(shù)y=（2—sinx）（2—cosx）在的值域?yàn)閊--272,2.

1一sin。

所以y=

cos，

因?yàn)?所以tan[；_g]e(O,l)

l-sin。.［。弓］上的值域?yàn)椋?,1）.

所以函數(shù)丫=-------在

cose

x2y

瑪⑴已知％y＞°’求五行+不的最大值.

(2)已知x>l,y>!且X24y2

-?------------------------------O>1,求。的最大值.

2a2(2y-l)a2(x-l)

【答案】（1）2—半；（2）272.

2x+y=a>02b-a2a—b

解析：解：(1)由題意，令二,八，解得y=上二，

x+2y=b>0-33

mi%2y2a-b2(2b-a).1./?2a、八1_lb2a_20

2x+yx+2y3a3b3ab3\ab3

當(dāng)且僅當(dāng)———時(shí)，即b=時(shí)，等號成立,

ab

x2y的最大值為2-述

所以------+——

2x+yx+2y3

2y-l=u>0〃+1

（2）由題意，令＜1八，可得%=v+l,y=-

x-l=v>02

22

x0n(v+1)("+1)2

因?yàn)?gt;1,可得已+即1——Z-l——L->〃2,

229*2+

a(2y-1)a(x-l)UV

2

又由柯西不等式,可得［fc±lL+fe±lL］（M+v）＞［（v+1）+（〃+1）］，

UV

所以5+fe±12Q+l)+(M+D]2=(M+v)+-+422j(M+y>±+428,

uVu+vw+Vu+v

4

當(dāng)且僅當(dāng)沈+u=,即“+u=2時(shí)，等號成立,

u+v

所以/<8，解得-2后<a<2，萬，所以實(shí)數(shù)a的最大值為2

20.已知函數(shù)，（尤）=sin+cos2

（1）求函數(shù)/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若函數(shù)g(x)=/[x+9_g:，0G（0,?）且tan0=：,求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0,?|上的取值范

解析：解：（1）由題意可得sin[x+?）=sin71

=cos%--

1.fnA1(cn)1

——sin2xH----7iH—cos2xH-----TCH——一sin2xH—---COS2%H---H----

2(3J2{3J22I32I3J2

V2.1V2

c冗冗sinf2x+A1

=---sin2xH------H—=--+—，

234222

7T_T_7V7T

--<2x-\---------<——b2k兀（keZ）,解得一五十左》?九《五十左》（左wZ）,

2122

77r57r

所以函數(shù)/（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為k7i--,k7i+—（左eZ）；

（2）由題意及（1）可知g（x）=^^sin（2x+2°），

71

因?yàn)?4x(一2(p<2x+2(p<7r+2(p,

2

sin673

tan(p-----—=—

cos/4

.22347T

又0e(O,?),且<sino+cos/=1,所以sin0=一,cos0=一,貝|0<夕<一,

554

sin0>0

_,?_7C_37r

則0<20<—,7T<乃+20<I2，

2424

所以sin(?+20)=—sin20=_2sin°cos0=-----，所以-----<sin(2x+2^)<1,

2525

則一團(tuán)248(%)〈乎，即且⑴在區(qū)間0,1

上的取值范圍為

/、

x+y

21.定義在(—1,1)上的函數(shù)/'(x)滿足對任意的X,ye(—U),都有/(x)+〃y)=/,且當(dāng)

J+孫)

%￡(0,1)時(shí)，/(x)<0.

⑴求證：函數(shù)/'(力是奇函數(shù);

(2)求證：在(-1,1)上是減函數(shù);

11

(3)若/t9—2成一1對任意無￡—■ae[-1,1卜恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

22

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)—8,—1—[1+y/3,+ooj.

⑴

令X=O,y=0,得〃o)+/(o)=/(o)，所以/(o)=o.令丁=_%,得/(力+〃_力=〃0)=0,

即〃x)=—/(—X),所以函數(shù)/(X)是奇函數(shù).

(2)

設(shè)一1＜占＜/＜1,貝。一1,1),所以/(w)一/'(石)=/(%2)+/(一%)=了

因?yàn)轳R—士〉0,W＜1,聞＜1,所以卜％|＜1，即所以三二五＞0

又y—Ji+.a2T〈°,所以?！词?lt;1,所以

1-X1X21-XxX211—石工2)

所以/(%2)—/(%)<0,即所以/(￡)在(-M)上是減函數(shù).

(3)

由(2)知函數(shù)/(X)在(—U)上是減函數(shù)，

所以當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)/■(*)的最大值為了

252

所以1對任意xe~W，ae[-L曰恒成立等價(jià)于1W產(chǎn)—2G—1對任意恒

成立