2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)3月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題(新高考金卷)

新高考金卷2024屆全國II卷適應(yīng)卷(三)

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；

2.考生答題前請(qǐng)?jiān)谝?guī)定位置填寫姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息，在答題卡上正確填涂準(zhǔn)考證

號(hào)(或粘貼條形碼)并仔細(xì)核對(duì)自己的信息；

3.選擇題請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡對(duì)應(yīng)的位置準(zhǔn)確填涂，非選擇題請(qǐng)用05mm黑色字跡簽字筆在

答題卡的非選擇題區(qū)域作答；在本試卷及草稿紙上作答，答案無效；

4.考試結(jié)束后，本試題、答題卡、草稿紙一并收回，請(qǐng)勿帶出考場(chǎng)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

I.設(shè)i為虛數(shù)單位，則f—U+Y=()

A.-1B.1C.iD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和乘方運(yùn)算來計(jì)算.

故選：B.

2.已知集合2=卜卜2一3x—4<0卜5={X|X2-?X=0},若/eg中有且僅有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)0的范

圍為()

A.(-1,4)B.(-1,0)C.(0,4)D.(-l,O)U(O,4)

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合5中元素，代入集合A即可.

【詳解】因?yàn)橹杏星覂H有兩個(gè)元素，

則8={巾2_"=0}={0,々},awO,

0-0-4<0

所以《解得一1<Q<4,且QWO.

a23(7—4<0

故選：D.

3.某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品A的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N（10,CT2）,若

P（X<a）=P（X21—2a）,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-10B.-19C.10D.19

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)曲線的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題可知，正態(tài)曲線關(guān)于X=10對(duì)稱，

且P（X<a）=P（X?l—2a）,

<7+1-2（7，八

則---------=10,解得ZD。=-19.

2

故選：B

4.設(shè)。為雙曲線的中心，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線交于48兩點(diǎn)，若AAOB為等

邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.B,或2C.-D.&或2

3333

【答案】B

【解析】

【分析】分兩種情況，ABOx=60°和ZBOx=30°分別求解即可.

【詳解】焦點(diǎn)在x上和焦點(diǎn)在了上結(jié)果一樣，故不妨取雙曲線的焦點(diǎn)在無軸上,

若為圖1：則N6Ox=60°，

則tanZBOx=tan60°=6=—,

a

則e二2,

若為圖2：則N8Ox=30°，

/aA

則tan/BQx=tan30°=——=—，

故選：B.

5.已知平面向量2,g滿足=,卜W=2,設(shè)0=1+正QER）,則卜|的最小值為（）

則當(dāng)，二---時(shí)，卜|=V3.

2IImin

故選：A.

6.已知三棱錐P—48C中，PA=PB^PC=2AB=2BC=4乙480=120。，則三棱錐P—Z5C外

接球的表面積為（）

166464D.處3

A.—71B.——71C.---71

332727

【答案】B

【解析】

【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知求出底面三角形外接圓的圓心，進(jìn)一步找出三棱錐外接球的球心，由

三角形相似求得外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】由P4=P5=PC=4,過尸作垂足為G,則G為的外心,

在2U5C中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=22+22-2x2x212,

故ZC=25

設(shè)445。的外接圓半徑為小

4c

則2/二-------二4,即r=2,即BG=2

sin120°

所以PG=^PB2-BG2=273,

取P5的中點(diǎn)〃，過H作HOLPB交PG于O,則。為三棱錐外接球的球心,

PHPCT

由APOH~&PGB可得---=----,

POPB

PHPB2x44

則PO=

PG273-V3

4

即外接球半徑為國

64

所以外接球的表面積為4兀=一71.

3

故選：B.

7.設(shè)a,tanct=mtan/?,sin(a—/?)=1,若滿足條件的a與尸存在且唯一，則

tanciftan/?=()

A-IB.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

3

【分析】先由tana=冽tan/?,可得sinacos/?=加cosasin/?,再根據(jù)sin(a-B)=W結(jié)合兩角差的

正弦公式求出sinacos/?,cosasin/7,進(jìn)而可求出sin(a+/?),再根據(jù)唯一，性可求出加，再求出

tan(cif-/?),結(jié)合兩角差的正切公式求出tan。,tana,即可得解.

c,sinamsmB_

【詳解】由tana=加tanQ，得-----=-------,gpsmcifcosp=mcosasmp,

cosacosP

3

所以sin(a—二sinacos/?-cosasin/?=(加一l)cosasin'=—,

33m

所以cosasin/?=——------,所以sinacos，=mcosasinp二

5(加-1)'

3(m+l)

所以sin(a+J3)=sinacosP+cosasinp=

5(m-l)?

因?yàn)閍,0ef0,^,所以a+Pe(O,7i),

因?yàn)闈M足條件的。與。存在且唯一，所以a+,唯一,

所以sin(a+夕)=3----乙=1，

5(加一1)

所以加=4,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,

所以tana=4tan0,

因?yàn)榘拖λ运詂os(er一夕)=^1-sin2=y,

/3tana-tanB4tanB-tanB

則tan(—)=7?器=1+2/J解得匕2

所以tanatan/3=4tan20=1.

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)=ae*-(a-l)x+l->0),g(x)=x+b,點(diǎn)尸與。分別在函數(shù)y=/(x)與

y=g(x)的圖象上，若|P@的最小值為后，則6=()

A.-1B.3C.-1或3D.1或3

【答案】C

【解析】

【分析】平移直線使其經(jīng)過點(diǎn)尸，則切線斜率為1,利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可

得到方程，解出即可.

【詳解】因?yàn)?'(x)=ae*—(a—1),令/'(x)=l,解得x=0,

而/(0)=t7+l-?=1,

則函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=x+1,

則?PQ|min=V2,即點(diǎn)(0,1)到直線x—y+b=0的距離為41，

所以也＞=解得b=3或6=-1,

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖所示，圓臺(tái)的母線與下底面的夾角為60。，上底面與下底面的直徑之比為1:2,/尸為一條母線，且

AP=2,。為下底面圓周上的一點(diǎn)，/4BD=30。，貝(I()

A.三棱錐尸-/BD的體積為2B.圓臺(tái)的表面積為11兀

C.△P6D的面積為3gD,直線4P與AD夾角的余弦值為3

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】由三棱錐的體積公式即可判斷A,由圓臺(tái)的表面積公式即可判斷B,由三角形的面積公式即可判斷

C,由異面直線夾角的概念以及余弦定理即可判斷D

根據(jù)題意，圓臺(tái)的軸截面如圖所示，

分別過點(diǎn)F,E作切，AB,EGLAB于點(diǎn)、H,G,

則ZR4B=60。，AF=BE=2,所以AH=BG=1,FH=EG=也

由上底面與下底面的直徑之比為1:2可得空=！，則EF=2,AB=4,

AB2

所以圓臺(tái)的高為百，AB=4,AD=2,BD=2M，

則Vp-ABD=；XX2X2A/3卜6=2,故A正確；

設(shè)圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為q,4,則。=1,2=2,

則圓臺(tái)的表面積為S=7uf+巧2+兀,+4）./?=11兀，故B正確;

過點(diǎn)P作48的垂線交48于T,則可得PT_L平面/AD,

且ADu平面48。，則尸7,48，

過點(diǎn)T作8。的垂線交于。，連接尸。，即70,8。，

又PT"TQ=T,PT,7。u平面PT。，所以8。1平面尸7。,

又PQu平面0T0,所以8。，尸。，

又4T=1,則BT=3,由ABQTSABDA可得史=絲,即之=絲,

BAAD42

所以7。=；,且用=J§,所以00=巨，

幺2

則=；BD.P0=；x2j§x苧=（，故C錯(cuò)誤;

過點(diǎn)A作AD的平行線交底面圓周于點(diǎn)M,連接PM,

則/尸即為直線/P與AD所成角（或補(bǔ)角）,

在△PZM中，AM=BD=26,AP=2,PM=M，

222

由余弦定理可得cosZPAM=4P"M2-PM22+(2V3)-(Vi0)_^

2AP-AM2x2x20一4

則直線NP與AD夾角的余弦值為火，故D正確;

4

故選：ABD

10.設(shè)正實(shí)數(shù)x>0,y>0,且滿足x+y+3=_xy,貝!]()

A.4x+y>13B.xy<9

2211

C.x23+y2<18D.-+-^-

,xy3

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)于A項(xiàng)，通過題設(shè)求出了，代入所求式消元，湊項(xiàng)運(yùn)用基本不等式即得；對(duì)于B項(xiàng)，直接運(yùn)用

基本不等式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于歷的不等式求解即得；對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用完全平方式將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于町的二次

函數(shù)，通過其圖象單調(diào)性即得；對(duì)于D項(xiàng)，通分后將其化成關(guān)于9的分式函數(shù)，求其值域即得.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由》+y+3=盯可得：(x-l)j=x+3,

x+3

因x>l,故歹=——，將其代入4x+y可得：

x-1

%+344I4-

4%+----=4x+1+----=4(x-1)+----+5>2/4(X-1)-----+5=13,

X—1X—1X—1AyX~1

當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)等號(hào)成立，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，由孫=x+y+32+3可得-3)(^/^+1)>0,

因J^>0,故得：>3,則盯29,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)等號(hào)成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由S=+j2=(x+y)2-2xy-(xy-3)2-2xy=(xy)2-Sxy+9,

設(shè)，二孫，由上分析知，t>9,

則S=?—4)2—7在[9,+8)上單調(diào)遞增，故S218,即C項(xiàng)錯(cuò)誤；

.11x+yxy-33

對(duì)于D項(xiàng)，由一+一二----二------二1----，

xyxyxyxy

八11

由上分析知孫之9,則0<——4式，

xy9

2、312II

故；VI---<1,即；V—+一<1,故D項(xiàng)正確.

3xy3xy

故選：AD.

11.已知圓月：(x+l)2+y2=],圓心：(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓尸與圓耳外切于點(diǎn)V,與圓月內(nèi)切于

點(diǎn)N圓心P的軌跡記為曲線C,則()

22

A.。的方程為土+2L=i

43

B.NMPN的最小值為120°

C.MP-PF,+NP-PF\<-

122

D.曲線C在點(diǎn)P處的切線與線段跖V垂直

【答案】BCD

【解析】

【分析】A.直接根據(jù)橢圓的定義可得答案；B.NMPN與公｛PF°互補(bǔ),求出/耳盟的最大角即可；對(duì)于C：

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；對(duì)于D：求出點(diǎn)尸處的切線斜率，再利用麗=-：麗，而;=r函求出

點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷切線斜率和左.囚的關(guān)系即可.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為廠，由條件得|「大|=廠+1,|尸名|=3-r,

貝?尸片|+|尸￡]=4>|片6且尸，M,N不重合，

故點(diǎn)。的軌跡為以耳，鳥為焦點(diǎn)的橢圓(去掉尸，M,N重合的點(diǎn))，

22

則曲線。的方程為、+q=l(xW-2),A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由圖可知40N與/耳尸鳥互補(bǔ)，

當(dāng)P點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，/耳盟最大，

c1

此時(shí)sin/RPO=—=—,所以/用尸0=30°,則居的最大值為60。，

a2

所以的最小值為120°，B正確；

------------尸+1——fI

????2

對(duì)于C：MPPFX+NP-PF2=-r(r+1)+r(3-r)=2r(l-r)<2x(---)=-,

當(dāng)且僅當(dāng)廠=,時(shí)等號(hào)成立，C正確；

2

對(duì)于D:設(shè)點(diǎn)尸(%,％),""(國,必)0(無2，%),[(一1,0),g(1,0)，

又野二\PM\—.r—一—

加聞一3,蕨/，所以???

3x-r

0x

3-ri二1+r

解得＜

3%%

%=乂=

3-r1+r

3VQ.VO(、(、

3—r1+r_3%(l+r)-%(3_)=2%

3x0-rx0-r(3x0-r)(l+r)-(x0-r)(3-r)1+2x0-r

所以一手Lx線=-1,即曲線。在點(diǎn)P處的切線與線段跖V垂直，D正確;

僅3x0

故選：BCD

證明：過橢圓：+:=1上一點(diǎn)P（x0,y0）的橢圓的切線方程為學(xué)+亨=1,

嶇+皿=1

4318x361c.

聯(lián)立《,消去y得3+-4x2——^0-x+--12=0,

22

——%+—y=1V。%

143

108x；'

若-4Vo

%j+.

22

又爭(zhēng)當(dāng)=1,得3x；+4y；=12,

所以學(xué)+券=1是過橢圓[+[=1上一點(diǎn)夕（后,%）的橢圓的切線方程.

22

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過橢圓二=l（a〉b〉0）上一點(diǎn)的P（XoJo）的切線方程為

a2b2

容+苦=l（a〉b〉O）,過雙曲線《—}=1（?！?,6〉0）上一點(diǎn)的「（%,%）的切線方程為

aDciu

理-誓=1（。〉0,b〉0）,通過結(jié)論可快速找到解題思路.

ab

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.為弘揚(yáng)志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務(wù)活動(dòng)，現(xiàn)安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，每

個(gè)地方至少1人，若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有種.

【答案】30

【解析】

【分析】將4人按2,1,1分組，先不考慮限制條件，先分組再分配求出不同的安排方式的種數(shù)，再排除甲和

乙去同一個(gè)地方的種數(shù)即可.

【詳解】安排甲，乙等4人到三個(gè)不同地方參加活動(dòng)，每個(gè)地方至少1人,

則將4人按2,1,1分組，

若不考慮限制條件,

則此時(shí)不同的安排方式有,A；=36種,

當(dāng)甲和乙去同一個(gè)地方時(shí)，有A；=6種不同的安排方式，

所以若甲和乙不能去同一個(gè)地方，則不同的安排方式有36-6=30種.

故答案為：30

59

13.已知(1—2x+X")=。］0父°++,?,+,則〉：kcik=.

【答案】-10

【解析】

【分析】先化簡(I-2X+X2不，再利用二項(xiàng)式定理求得q0,再將等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，從而得解.

【詳解】因?yàn)?1—2x+x2y=(x—1廣，

k

而(x—1)1°的展開通項(xiàng)公式為Tk+X=C^ox'°-(-1)\

10

所以展開式中X的系數(shù)%0=(―1)°-C：。=1,

由(1—2,x+x~y=(x—1)=%0儲(chǔ)°+a/'+,—F/，

兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得10(X-l)9=10須》9+9口9%8+-------卜生,

令x=1可得IO%。+9a9H---F%=10。—1)=0,

9

所以Z上4=一1040=-10.

k=l

故答案為：-10.

14.已知/(x)=sin[ox+gj的圖象關(guān)于直線x=5對(duì)稱，且/(x)在(0,兀)上恰有兩條對(duì)稱軸.在AABC

中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,C,且a=6，/1|?N]=0,則面積的最大值為.

【答案】述##3百

44

【解析】

兀15

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線x==對(duì)稱，推得。=3k+-,keZ,對(duì)⑦的取值分正、負(fù)進(jìn)行討論，求得。=—-,

322

得到函數(shù)解析式，利用=0求出角A,利用正弦定理表示出邊a,6,繼而求得三角形面積表達(dá)式,

運(yùn)用三角恒等變換化成正弦型函數(shù)，利用其值域求得面積最大值.

【詳解】由/(x)=sin[ox+m]的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱可得：sin(y?+y)=±l,

717r兀I

則一G+—=—+而,左wZ,解得：co=3k+—,k€Z.

3322

①當(dāng)69>0時(shí)，由X6(0,兀)可得：§<0X+§<69兀+1,

3TI兀，5兀e/口7,13

依題需使——<0)71-^--<——,斛得：一一,

23266

125

代入G=3左+—#￡Z可得一〈左V—,故口不存在；

299

②當(dāng)69<0時(shí)，由X￡(0,兀)可得：G71+]<69X+§<§,

.....571,7T371e/口1711

依逆03前使----V6971H<------,解傳：----4切<----,

23266

因0=3左+g?￡Z,故左二一1時(shí)，co=-1-,即/(x)=sin[—mx+l].

由/=sin(—Z+§)=0可得：-A+q=kn,keZ,

TT

因0<A<JC,則/=§,

ahc

由正弦定理，--=2=一.---一可得：b=2sinB.

sinAsinBsinC

于是，AylSC面積為：S=gbcsin/=gx2sin5xsin(B+/)=^^x2sin5x卜in5+百cosB)

=』sin5cos3+立sin23=』sin25—sin(25--)+^-

——cos2B+

22444264

因0＜2〈型，則—四＜28—四〈女，故sin（23—工）VI,即屋空

36666

故面積的最大值為之回

4

故答案為：巫

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于在求得。=3左+±左eZ之后，往往容易先入為主，默認(rèn)。為正，結(jié)

2

果求不出①而放棄；第二個(gè)關(guān)鍵在于對(duì)于較復(fù)雜的面積表達(dá)式，要善于角的消元和三角函數(shù)的降次以及輔

助角公式的應(yīng)用，最后在角的范圍內(nèi)考查三角函數(shù)的值域.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",邑為等比數(shù)列，且q=1,q,a?,%-3成等差數(shù)列.

n

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式:

（2）設(shè)〃=?，數(shù)歹卜3＞的前〃項(xiàng)和為北,證明:

n+1俏+1)(%+3

=(〃+112"2

【答案】（1）an

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列以及等比數(shù)列的定義，列出方程,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

32"-2

（2）根據(jù)題意，由（1）可得,結(jié)合裂項(xiàng)相消法代入計(jì)算，即可證

明.

【小問1詳解】

因?yàn)椤?，。2，%—3成等差數(shù)列，即2（72=%—2,

為等比數(shù)列，則1,當(dāng)也成等比數(shù)列,

又邑

n

貝（［詈］='+?+［,聯(lián)立解得成=3,%=8,

則數(shù)列的公比為2,即2=2力，所以S〃="-2"T,

InIn

當(dāng)“22時(shí)，％=S〃—S"T=(〃+1)-2-2,

且q=1也滿足上式,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=（?+1）-2"2.

【小問2詳解】

n2

由⑴知，an=(n+lY2-,口a=人，

72+1

_2

bn_2"、_2"2

則(〃+1)伍加+1)=(2?-2+1)(2?-1+1)，記,”二伍-2+1)(2j+1)'

貝…UT----1--------1---1----1-------1---p??--\-----1--------1---=2------1---,

“2^+12°+12°+12'+12陋+12^+132,H1+1

因?yàn)椤挂弧?,所以5=2——」一＜2.

2"-1+132^+13

16.如圖所示，在長方體/BCD—431GA中，AAI=AD=6AB,“在棱4〃上，且

（1）若48=2,求平面加截長方體所得截面的面積

（2）若點(diǎn)N滿足函=近，求平面與NND所成夾角的余弦值.

【答案】（1）me

2

⑵邪

【解析】

【分析】（1）建系，利用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算就.而7=o,求出點(diǎn)”的位置，然后畫出截面，求截面面積即可;

（2）利用向量法求平面與平面的夾角即可.

【小問1詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)锳A{=AD=\[1,AB=2-\/2,

所以Z（0,0,0）,C（2,2后,0）,8（2,0,0）,設(shè)M（0/",2后），

則就=（2,2拒,0）,麗=卜2,加,2五），

由NCLBM得就?前=卜2,加,2拒）（2,2也,0）=—4+2屆=0,

解得加=&，即/為線段4〃中點(diǎn)，取44的中點(diǎn)E，連接ME,EB,

明顯有/RD,則平面BDM截長方體所得截面為梯形5DWE,

則放=7171=6,80=/（2收『+22=26,M（0,V2,2V2）,D（0,2A/2,0）,

所以麗:=（0,-后,2亞），麗=（2,-2^,0）

則點(diǎn)M到8。的距離為DM2-=^2+8-^-^=^=~^~,

貝！JM（0,行見2后a）,。（0,2\^z,0）,N（la.lyjla,也a）,B（2a,0,0]ga,0,2y^a卜

MD-（0,亞a,-2也2）,ZW=（2凡0,-Jia=/2生6z,26z）5M二卜2a,也^,0）,

設(shè)面BBXM的法向量為n=（x1,y1,z1）,面NMD的法向量為成=（%，%，z2）

BM-n--lax.+VZay,+2\2az,=0廠/\

則《—.L，?。?也得拓=,

B[M?n--2axi+\2ayl=0

MD-m-41ay-2cdz?=0

2取22=行得麗=(—1，2后,、回),

DN-m-2ax2+41az2-0

匚?一一n-m-1+4V33

所以COS〃，加=,,,,=—j=----/=

同同V3xVl+8+211

則平面BB[M與NMD所成夾角的余弦值為疸.

11

17.垃圾分類是普惠民生的一項(xiàng)重要國策.垃圾分類不僅能夠減少有害垃圾對(duì)環(huán)境的破壞，減少污染，同時(shí)

也能夠提高資源循環(huán)利用的效率.垃圾分類共分四類，即有害垃圾，廚余垃圾，可回收垃圾與其他垃圾.某

校為了解學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度，按照了解程度分為A等級(jí)和8等級(jí)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣

本進(jìn)行調(diào)查.已知樣本中A等級(jí)的男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的g,兩個(gè)等級(jí)的女生人數(shù)一樣多，在樣本中隨機(jī)抽

取1名學(xué)生，該生是3等級(jí)男生的概率為1.

5

(1)根據(jù)題意，完成下面的二維列聯(lián)表.并根據(jù)小概率值a=0.05獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷學(xué)生對(duì)垃圾分類的了

解程度是否與性別有關(guān)?

男女

生生

A等

級(jí)

8等級(jí)

附:

a0.050.0250.010.005

Xa3.8415.0246.6357.879

2n(ad-be》

其中n=a+b+c+d.

A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)為了進(jìn)一步加強(qiáng)垃圾分類工作的宣傳力度，學(xué)校特舉辦垃圾分類知識(shí)問答比賽活動(dòng).每局比賽由二人

參加，主持人A和B輪流提問，先贏3局者獲得第一名并結(jié)束比賽.甲，乙兩人參加比賽，已知主持人A提

問甲贏的概率為：，主持人8提問甲贏的概率為。，每局比賽互相獨(dú)立，且每局都分輸贏.抽簽決定第一

局由主持人A提問.

(i)求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；

(ii)設(shè)X為結(jié)束比賽時(shí)甲贏的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(x).

【答案】17.列聯(lián)表見解析，學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)，理由見解析

18.(i)—；(ii)分布列見解析，期望值為一

18108

【解析】

【分析】(1)數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，與3.841比較后得到結(jié)論；

(2)(i)分甲贏得比賽和乙贏得比賽兩種情況，計(jì)算出概率相加后得到答案；

(ii)得到X的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

由題意得，A等級(jí)的男生人數(shù)為100xg=40,5等級(jí)男生的人數(shù)為100x1=20,

100-40-20

43等級(jí)的女生人數(shù)相同，均為E--^=20人,

2

故列聯(lián)表如下：

男生女生總計(jì)

A等級(jí)402060

3等級(jí)202040

總計(jì)6040100

2

2_n[ad-bc^_100x(40x20-20x20)_25

%(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)60x40x60x409

故根據(jù)小概率值a=0.05獨(dú)立性檢驗(yàn)，學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解程度與性別無關(guān)；

【小問2詳解】

2122

(D比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束，甲贏得比賽的概率為Pi=百義5乂§=3,

比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束,乙贏得比賽的概率為2=

21S

故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率為月+22=§+拒=.；

(ii)X的可能取值為0,1,為3,

X=0,即進(jìn)行了3場(chǎng)比賽，且乙贏得比賽，故尸(X=0)=Lx4xL=L,

32318

X=l,即進(jìn)行了4場(chǎng)比賽，且乙贏得比賽，前3場(chǎng)中，甲贏得1場(chǎng)比賽，乙第4場(chǎng)贏，

珀八八2111111111215

\,32323232323236

X=2,即進(jìn)行了5場(chǎng)比賽，且乙贏得比賽，前4場(chǎng)中，甲贏得2場(chǎng)比賽，乙第5場(chǎng)贏,

…c\211112121121111

故P（X.—2）——x—x—x—x—I—x—x—x—x—1—x—x—x—x—

,,323233232332323

11211111111121113

+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=,

323233232332323108

X=3,即最后甲贏得比賽，由概率性質(zhì)得

151337

P（X=3）=l-P（X=0）_P（X=l）_P（X=2）=l----------------=—,

'）'''''）183610854

所以分布列為

X0123

151337

P

183610854

=—+lx—+2x—+3x—=—.

183610854108

18.已知實(shí)數(shù)函數(shù)/(x)=21nx—ax2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉

(1)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍，

(2)設(shè)％是方程lnx+ax—2=0的實(shí)根，證明：x<xx<—.

012a

【答案】(1)aJo,']

Iej

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)分a<0和a>0兩種情況討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，再結(jié)合題意即可得解;

(2)由(1)知為,迎是函數(shù)/(X)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)0<下<</，根據(jù)/(者)=/(/)=0,作

a

x2再

22

差可得2(11112—1口西)一不：)，則要證再工2<一，即證玉％2<---------------，EPffil<———

a2(lnx2-Inxj)21n三

一再

L即證，二〉23,設(shè)g(，)=”:21卬〉1,利用導(dǎo)數(shù)求證即可;

設(shè)/言>1,則只需證］<

2lnt

再證x0<,由題意可得lnx0+?x0-2=0,再根據(jù)/(^)=/(%2)=0,可得

22

2拈(》送2)=a(x；+年)=a(』+x2)-2ax1x2則a(X]+x2)=2ln(x1x2)+laxxx2設(shè)

/2、(

%(x)=fT-/(X),XG0,,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得證.

7V

【小問1詳解】

22(1-ax1

(x)=---lax-(x>0),

x

當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)>0,則/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)最多一個(gè)零點(diǎn)，不符題意;

當(dāng)a〉0時(shí)，令/則。<x<—j=,令/'(x)<0,則%>方=

Va7a

所以函數(shù)/(x)在］0,1］

上單調(diào)遞增，在,+8上單調(diào)遞減,

7

所以/(X)max=/二-Ina—1,

又當(dāng)x—0時(shí)，-8，當(dāng)尤—+8時(shí)，—8,

要使函數(shù)/(x)=21nx-ax2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占戶2,

則一InQ—1>0,解得0<tz<—,

e

綜上所述，

【小問2詳解】

由(1)知國,X2是函數(shù)"工)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)0VX1，

a

2

則有/(xj=/(、2)=。，即2111玉一QX；=。，21nx2-^x2=0,

作差得2(ln%2-InxJ=—x;)，

x再

222

1Xo—x,Xxo

先證XrX2<—,即證玉％2<------------，即證1<-------,

a2(lnx2—Inx^21n—

西

X1

設(shè)f則只需證1,即證/-—〉2ln/,

x1<----tt

121nt

設(shè)g(/)=1_1_21n/,/〉l,則g'(/)=l+4_2=￡^l>o,

%ttt

則g(0在(1,+。)上單調(diào)遞增，貝！Jg(0>g(l)=0,

則，一->21nZ成立，也即玉馬<—成立;

ta

再證/〈再々，因?yàn)椴皇欠匠蘬nx+ax—2=0的根，貝ijIn/-2=0,

又有21nxi—ax；=o,21nx2—ax；-0,

222=

貝I」21_11(%1%2)=Q(x；+x2)=a(xx+x2)-2辦1%2，則。(芯+^2)2ln(x1x2)+2^X2,

因?yàn)楹瘮?shù)y=Inx+辦單調(diào)遞增，則2ln(x1x2)+2axi%>2Inx0+2ax0,

?2

故要證只需證。(國+工2)>4，即證陽+工2>一廠，

一yja

22

只需證％2>―/=一再，因?yàn)?+8,則7一再e,+。，

7a77a7

(2)

且/(x)在,+”上單調(diào)遞減，則只需證/(%)</-r=-x\，

717aJ

(2)

又因?yàn)?(西)=/(%2)，即證/(再)</—j=~x\

a

0,

4(V^x-l)2

<0,

(J~ax-2)x

（1）

則〃（x）在0,r—上單調(diào)遞減，

<<a,

（2、

則〃(x)〉h=0,則/~r~x>/（x），

a>

（2\、_

從而/（、2）</~1=一'1，故%（）<玉％2成立.