中考數(shù)學(xué)模擬題《幾何綜合》專項(xiàng)測(cè)試題(附帶參考答案)

第頁中考數(shù)學(xué)模擬題《幾何綜合》專項(xiàng)測(cè)試題(附帶參考答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________考點(diǎn)解讀在中考數(shù)學(xué)中有這么一類題它是以點(diǎn)線幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為載體集合多個(gè)代數(shù)知識(shí)幾何知識(shí)及數(shù)學(xué)解題思想于一題的綜合性試題它就是動(dòng)態(tài)幾何問題。動(dòng)態(tài)幾何問題經(jīng)常在各地以中考試卷解答壓軸題出現(xiàn)也常會(huì)出現(xiàn)在選擇題最后一題的位置考察知識(shí)面較廣綜合性強(qiáng)可以提升學(xué)生的空間想象能力和綜合分析問題的能力但同時(shí)難度也很大令無數(shù)初中學(xué)子聞風(fēng)喪膽考場(chǎng)上更是丟盔棄甲解題思路1熟練掌握平面幾何知識(shí)﹕要想解決好有關(guān)幾何綜合題首先就是要熟練掌握關(guān)于平面幾何的所有知識(shí)尤其是要重點(diǎn)把握三角形特殊四邊形圓及函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)．幾何綜合題重點(diǎn)考查的是關(guān)于三角形特殊四邊形（平行四邊形矩形菱形正方形）圓等相關(guān)知識(shí)2掌握分析問題的基本方法﹕分析法綜合法“兩頭堵”法﹕1）分析法是我們最常用的解決問題的方法也就是從問題出發(fā)執(zhí)果索因去尋找解決問題所需要的條件依次向前推直至已知條件例如我們要證明某兩個(gè)三角形全等先看看要證明全等需要哪些條件哪些條件已知了還缺少哪些條件然后再思考要證缺少的條件又需要哪些條件依次向前推直到所有的條件都已知為止即可綜合法﹕即從已知條件出發(fā)經(jīng)過推理得出結(jié)論適合比較簡(jiǎn)單的問題3）“兩頭堵”法﹕當(dāng)我們用分析法分析到某個(gè)地方不知道如何向下分析時(shí)可以從已知條件出發(fā)看看能得到什么結(jié)論把分析法與綜合法結(jié)合起來運(yùn)用是我們解決綜合題最常用的辦策略3注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法﹕對(duì)于幾何綜合題的解決我們還要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法這樣會(huì)大大幫助我們解決問題或者簡(jiǎn)化我們解決問題的過程加快我們解決問題的速度畢竟考場(chǎng)上時(shí)間是非常寶貴的．常用數(shù)學(xué)思想方法﹕轉(zhuǎn)化類比歸納等等模擬預(yù)測(cè)1（2024·江西九江·二模）如圖在矩形的對(duì)稱軸上找點(diǎn)使得均為直角三角形則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．52（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中邊長(zhǎng)為的等邊的頂點(diǎn)分別在軸的正半軸軸的負(fù)半軸上滑動(dòng)連接則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．3（2024·江西吉安·一模）如圖矩形中點(diǎn)E在矩形的邊上則當(dāng)?shù)囊粋€(gè)內(nèi)角度數(shù)為時(shí)符合條件的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)共有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)4（2023·江西·中考真題）如圖在中將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到連接．當(dāng)為直角三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．5（2024·江西吉安·二模）如圖在矩形中為的中點(diǎn)點(diǎn)在下方矩形的邊上．當(dāng)為直角三角形且為直角頂點(diǎn)時(shí)的長(zhǎng)為．6（2024·江西九江·二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中已知矩形的頂點(diǎn)為的中點(diǎn)點(diǎn)為矩形邊上任意一點(diǎn)將沿折疊得若點(diǎn)在矩形的邊上則點(diǎn)的坐標(biāo)為．7（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖中射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與射線相交于點(diǎn)D將沿射線翻折至處射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形則的度數(shù)為．8（2024·江西贛州·二模）在中已知點(diǎn)在邊上點(diǎn)在邊上且連接當(dāng)為等腰三角形時(shí)．9（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖在矩形中E為邊上一點(diǎn)點(diǎn)P沿著邊按的路線運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中若中有一個(gè)角為則的長(zhǎng)為．10（2024·江西吉安·三模）如圖在中為上一點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)為直角三角形時(shí)的長(zhǎng)為．11（2024·江西吉安·一模）如圖矩形中E為的中點(diǎn)連接點(diǎn)P在矩形的邊上且在的上方則當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)的長(zhǎng)為．12（2024·江西九江·二模）如圖在等腰中D是線段上一動(dòng)點(diǎn)沿直線將折疊得到連接．當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)則的長(zhǎng)為．13（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖在菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)OE為的中點(diǎn)F為線段上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)為．14（2024·江西上饒·一模）如圖在三角形紙片中將三角形紙片折疊使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上折痕與分別相交于點(diǎn)當(dāng)為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)為．15（2024·江西撫州·一模）課本再現(xiàn)（1）如圖1與相交于點(diǎn)是等腰直角三角形若求證：是等腰直角三角形．類比探究（2）①如圖2是等腰直角的斜邊G為邊的中點(diǎn)E是的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)E分別作與的垂線垂足分別為順次連接得到求證：是等腰直角三角形．②如圖3當(dāng)點(diǎn)E在邊上且①中其他條件不變時(shí)是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展應(yīng)用（3）如圖4在四邊形中平分當(dāng)時(shí)求線段的長(zhǎng)．16（2023·江西·中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1）并寫出了“已知”和“求證”請(qǐng)你完成證明過程．已知：在中對(duì)角線垂足為．求證：是菱形．(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖在中對(duì)角線和相交于點(diǎn)．①求證：是菱形②延長(zhǎng)至點(diǎn)連接交于點(diǎn)若求的值．17（2022·江西·中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)與重合時(shí)重疊部分的面積為__________當(dāng)與垂直時(shí)重疊部分的面積為__________一般地若正方形面積為S在旋轉(zhuǎn)過程中重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中分別與正方形的邊相交于點(diǎn)MN．①如圖2當(dāng)時(shí)試判斷重疊部分的形狀并說明理由②如圖3當(dāng)時(shí)求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處該銳角記為（設(shè)）將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為請(qǐng)直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）（參考數(shù)據(jù)：）18（2024·江西吉安·二模）如圖在和中且．連接．(1)求證：．(2)在圖2中點(diǎn)在同一直線上且點(diǎn)在上若求的值（用含的代數(shù)式表示）．19（2024·江西九江·二模）初步探究（1）如圖1在四邊形中相交于點(diǎn)O且則與的數(shù)量關(guān)系為．遷移探究（2）如圖2在四邊形中相交于點(diǎn)O（1）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立請(qǐng)說明理由．拓展探究（3）如圖3在四邊形中相交于點(diǎn)O且求的長(zhǎng)．20（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1四邊形是菱形．（1）求的長(zhǎng)．應(yīng)用拓展（2）如圖2為上一動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接．①直接寫出點(diǎn)到距離的最小值②如圖3連接若的面積為6求的長(zhǎng)．21（2024·江西贛州·三模）某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中經(jīng)歷了如下過程：?jiǎn)栴}提出：如圖正方形中為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以為直角頂點(diǎn)向右作等腰直角．(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______最大值為_______(2)數(shù)學(xué)思考：求證：點(diǎn)在射線上(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)時(shí)求的長(zhǎng)．22（2024·江西贛州·二模）【課本再現(xiàn)】思考我們知道角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等反過來角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【定理證明】（1）為證明此逆定理某同學(xué)畫出了圖形并寫好“已知”和“求證”請(qǐng)你完成證明過程．已知：如圖1在的內(nèi)部過射線上的點(diǎn)作垂足分別為且．求證：平分．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2在中過內(nèi)部一點(diǎn)作垂足分別為且連接．①求的度數(shù)②若求的長(zhǎng)．23（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）一塊材料的形狀是銳角三角形下面分別對(duì)這塊材料進(jìn)行課題探究：課本再現(xiàn)：（1）在圖1中若邊高把它加工成正方形零件使正方形的一邊在上其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?類比探究（2）如圖2若這塊銳角三角形材料可以加工成3個(gè)相同大小的正方形零件請(qǐng)你探究高與邊的數(shù)量關(guān)系并說明理由．拓展延伸（3）①如圖3若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的4個(gè)相同大小的正方形零件則的值為_______（直接寫出結(jié)果）②如圖4若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的相同大小的正方形零件求的值．24（2024·江西吉安·三模）課本再現(xiàn)矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．定義應(yīng)用(1)如圖已知：在四邊形中用矩形的定義求證：四邊形是矩形．(2)如圖在四邊形中是的中點(diǎn)連接且求證：四邊形是矩形．拓展延伸(3)如圖將矩形沿折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若圖中的四個(gè)三角形都相似求的值．25（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念后進(jìn)一步得到平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（1）如圖1在平行四邊形中對(duì)角線與交于點(diǎn)O求證：．知識(shí)應(yīng)用（2）在中點(diǎn)P為的中點(diǎn)．延長(zhǎng)到D使得延長(zhǎng)AC到E使得連接．如圖2連接若請(qǐng)你探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論并加以證明．26（2024·江西九江·二模）問題提出在綜合與實(shí)踐課上某數(shù)學(xué)研究小組提出了這樣一個(gè)問題：如圖1在邊長(zhǎng)為4的正方形的中心作直角的兩邊分別與正方形的邊交于點(diǎn)EF（點(diǎn)E與點(diǎn)BC不重合）將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？愛思考的浩浩和小航分別探究出了如下兩種解題思路．浩浩：如圖a充分利用正方形對(duì)角線垂直相等且互相平分等性質(zhì)證明了則．這樣就實(shí)現(xiàn)了四邊形的面積向面積的轉(zhuǎn)化．小航：如圖b考慮到正方形對(duì)角線的特征過點(diǎn)O分別作于點(diǎn)G于點(diǎn)H證明從而將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成了小正方形的面積．（1）通過浩浩和小航的思路點(diǎn)撥﹐我們可以得到____________________．類比探究（2）①如圖⒉在矩形中O是邊的中點(diǎn)點(diǎn)E在上點(diǎn)F在上則__________．②如圖3將問題中的正方形改為菱形且當(dāng)時(shí)其他條件不變四邊形的面積還是一個(gè)定值嗎？若是請(qǐng)求出四邊形的面積若不是請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖4在四邊形中是的平分線求四邊形的面積．27（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）【課本再現(xiàn)】（1）如圖1四邊形是一個(gè)正方形E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且則的度數(shù)為．【變式探究】（2）如圖2將（1）中的沿折疊得到延長(zhǎng)交于點(diǎn)F若求的長(zhǎng)．【延伸拓展】（3）如圖3當(dāng)（2）中的點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)連接與交于點(diǎn)P．探究：當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)DP兩點(diǎn)間的距離最短？請(qǐng)求出最短距離．28（2024·江西上饒·一模）課本再現(xiàn)：（1）如圖1分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過程：證明：是等邊三角形．．小涵同學(xué)認(rèn)為此題還可以得到另一個(gè)結(jié)論：的度數(shù)是______遷移應(yīng)用：（2）如圖2將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)使連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問題．①求證：②若試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．參考答案考點(diǎn)解讀在中考數(shù)學(xué)中有這么一類題它是以點(diǎn)線幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為載體集合多個(gè)代數(shù)知識(shí)幾何知識(shí)及數(shù)學(xué)解題思想于一題的綜合性試題它就是動(dòng)態(tài)幾何問題。動(dòng)態(tài)幾何問題經(jīng)常在各地以中考試卷解答壓軸題出現(xiàn)也常會(huì)出現(xiàn)在選擇題最后一題的位置考察知識(shí)面較廣綜合性強(qiáng)可以提升學(xué)生的空間想象能力和綜合分析問題的能力但同時(shí)難度也很大令無數(shù)初中學(xué)子聞風(fēng)喪膽考場(chǎng)上更是丟盔棄甲解題思路1熟練掌握平面幾何知識(shí)﹕要想解決好有關(guān)幾何綜合題首先就是要熟練掌握關(guān)于平面幾何的所有知識(shí)尤其是要重點(diǎn)把握三角形特殊四邊形圓及函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)．幾何綜合題重點(diǎn)考查的是關(guān)于三角形特殊四邊形（平行四邊形矩形菱形正方形）圓等相關(guān)知識(shí)2掌握分析問題的基本方法﹕分析法綜合法“兩頭堵”法﹕1）分析法是我們最常用的解決問題的方法也就是從問題出發(fā)執(zhí)果索因去尋找解決問題所需要的條件依次向前推直至已知條件例如我們要證明某兩個(gè)三角形全等先看看要證明全等需要哪些條件哪些條件已知了還缺少哪些條件然后再思考要證缺少的條件又需要哪些條件依次向前推直到所有的條件都已知為止即可綜合法﹕即從已知條件出發(fā)經(jīng)過推理得出結(jié)論適合比較簡(jiǎn)單的問題3）“兩頭堵”法﹕當(dāng)我們用分析法分析到某個(gè)地方不知道如何向下分析時(shí)可以從已知條件出發(fā)看看能得到什么結(jié)論把分析法與綜合法結(jié)合起來運(yùn)用是我們解決綜合題最常用的辦策略3注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法﹕對(duì)于幾何綜合題的解決我們還要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法這樣會(huì)大大幫助我們解決問題或者簡(jiǎn)化我們解決問題的過程加快我們解決問題的速度畢竟考場(chǎng)上時(shí)間是非常寶貴的．常用數(shù)學(xué)思想方法﹕轉(zhuǎn)化類比歸納等等模擬預(yù)測(cè)1（2024·江西九江·二模）如圖在矩形的對(duì)稱軸上找點(diǎn)使得均為直角三角形則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了矩形的的軸對(duì)稱性圓周角定理等知識(shí)由可以判定以為直徑的與矩形的對(duì)稱軸l有兩個(gè)交點(diǎn)由圓周角定理的推論以及矩形的軸對(duì)稱性判定即可．【詳解】解∶設(shè)矩形的對(duì)稱軸l與相交于與相交于當(dāng)P與或重合時(shí)是直角三角形由對(duì)稱性知對(duì)應(yīng)的也是直角三角形∵∴以為直徑的與矩形的對(duì)稱軸l有兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為∴當(dāng)P與或重合時(shí)是直角三角形由對(duì)稱性知對(duì)應(yīng)的也是直角三角形故符合題意的點(diǎn)P有4個(gè)故選：C．2（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖在平面直角坐標(biāo)系中邊長(zhǎng)為的等邊的頂點(diǎn)分別在軸的正半軸軸的負(fù)半軸上滑動(dòng)連接則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系取的中點(diǎn)連接．由直角三角形的性質(zhì)得出由等邊三角形的性質(zhì)得出由三角形三邊關(guān)系得出即可得解熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：取的中點(diǎn)連接．∵∴．∵為等邊三角形∴．∴．∴．∴∴的最小值為故選：D．3（2024·江西吉安·一模）如圖矩形中點(diǎn)E在矩形的邊上則當(dāng)?shù)囊粋€(gè)內(nèi)角度數(shù)為時(shí)符合條件的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)共有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】題目主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理解三角形圓周角定理垂徑定理及解三角形根據(jù)題意分三種情況分析即可求解根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示當(dāng)時(shí)如圖所示：∴設(shè)則∴即解得：∴對(duì)應(yīng)的存在點(diǎn)滿足條件當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)如圖所示：當(dāng)時(shí)則∴設(shè)則∴即解得：符合題意同理對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也符合題意當(dāng)時(shí)點(diǎn)E在以O(shè)為圓心長(zhǎng)為半徑的圓與的交點(diǎn)上如圖所示：過點(diǎn)O作于點(diǎn)F連接∴∵∴∵∴∴過點(diǎn)O作∴∴∴∴∴點(diǎn)E符合題意∴在線段上存在一個(gè)點(diǎn)和滿足條件綜上可得：符合條件的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)共有6個(gè)故選：C．4（2023·江西·中考真題）如圖在中將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到連接．當(dāng)為直角三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】連接根據(jù)已知條件可得進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】解：連接取的中點(diǎn)連接如圖所示

∵在中∴∴是等邊三角形∴∴∴∴∴如圖所示當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)此時(shí)則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為

當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)如圖所示則

當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為如圖所示∵∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形∴即是直角三角形

綜上所述旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或故答案為：或或．5（2024·江西吉安·二模）如圖在矩形中為的中點(diǎn)點(diǎn)在下方矩形的邊上．當(dāng)為直角三角形且為直角頂點(diǎn)時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)矩形的性質(zhì)掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．若是直角三角形有三種情況：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)分別求解即可．【詳解】如圖當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)為的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)四邊形是矩形．設(shè)則由得解得．或．綜上的長(zhǎng)為或．6（2024·江西九江·二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系中已知矩形的頂點(diǎn)為的中點(diǎn)點(diǎn)為矩形邊上任意一點(diǎn)將沿折疊得若點(diǎn)在矩形的邊上則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】或或【分析】本題考查了矩形中的折疊問題勾股定理坐標(biāo)與圖形解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．分為三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)根據(jù)矩形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】解：點(diǎn)四邊形是矩形為的中點(diǎn)如圖當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)

四邊形是矩形由折疊可得：如圖當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)過點(diǎn)作于點(diǎn)

同理可證四邊形是矩形由折疊可得：如圖當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)

由折疊可得：為的中點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)與重合綜上所述點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．7（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖中射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角與射線相交于點(diǎn)D將沿射線翻折至處射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論利用折疊的性質(zhì)知再畫出圖形利用三角形的外角性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)由三角形的外角性質(zhì)得即此情況不存在當(dāng)時(shí)由三角形的外角性質(zhì)得解得當(dāng)時(shí)

∴由三角形的外角性質(zhì)得解得當(dāng)時(shí)

∴∴綜上的度數(shù)為或或．故答案為：或或．8（2024·江西贛州·二模）在中已知點(diǎn)在邊上點(diǎn)在邊上且連接當(dāng)為等腰三角形時(shí)．【答案】5或或【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形分三種情況結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)如圖1∵∴當(dāng)時(shí)如圖2作則有且即解得：當(dāng)時(shí)如圖3作則有且即解得：綜上所述答案為：5或或．9（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）如圖在矩形中E為邊上一點(diǎn)點(diǎn)P沿著邊按的路線運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中若中有一個(gè)角為則的長(zhǎng)為．【答案】或或【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)解直角三角形．分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P落在邊上時(shí)當(dāng)點(diǎn)P落在邊上時(shí)即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P落在邊上且時(shí)記為過點(diǎn)作于點(diǎn)F．∵四邊形是矩形∴在中∴可設(shè)則∴∵∴．∴．當(dāng)點(diǎn)P落在邊上時(shí)①若記為過點(diǎn)作于點(diǎn)G．則∴∵∴∴∴∴∴②若記為過點(diǎn)作于點(diǎn)H．∵∴．綜上所述或．10（2024·江西吉安·三模）如圖在中為上一點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)為直角三角形時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】3或6或7【分析】分三種情況計(jì)算即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)三角形相似的判定和性質(zhì)三角函數(shù)的應(yīng)用正確分類靈活應(yīng)用相似和三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵在中∴過點(diǎn)A作于點(diǎn)M∵∴∴．∵∴．①如圖1當(dāng)時(shí)則∴∴．在中∴∴∴②如圖2當(dāng)時(shí)分別過點(diǎn)作的垂線垂足分別為∴∴．設(shè)則．∵∴∴∴整理得解得∴∴③如圖3當(dāng)時(shí)在中∴∴．綜上所述當(dāng)為直角三角形時(shí)的長(zhǎng)為3或6或7．11（2024·江西吉安·一模）如圖矩形中E為的中點(diǎn)連接點(diǎn)P在矩形的邊上且在的上方則當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】或/或【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)余角的性質(zhì)證明得出設(shè)則得出求出最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形∴∵E為的中點(diǎn)∴∵是以為斜邊的直角三角形∴∴∴∴∴設(shè)則∴解得：即或當(dāng)時(shí)根據(jù)勾股定理得：當(dāng)時(shí)根據(jù)勾股定理得：故答案為：或．12（2024·江西九江·二模）如圖在等腰中D是線段上一動(dòng)點(diǎn)沿直線將折疊得到連接．當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)則的長(zhǎng)為．【答案】或或【分析】本題考查了解直角三角形勾股定理等邊三角形的判定及性質(zhì)分類討論：①當(dāng)時(shí)當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在的上方時(shí)作利用勾股定理可求得②當(dāng)時(shí)利用解直角三角形即可求解利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)如圖1當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)作交于點(diǎn)H．由折疊而來且．在中．在中則如圖2當(dāng)點(diǎn)E在的上方時(shí)作交于點(diǎn)H．同理可求得②如圖3當(dāng)時(shí)．是等邊三角形．．在中．綜上所述的長(zhǎng)為或或．13（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖在菱形中對(duì)角線相交于點(diǎn)OE為的中點(diǎn)F為線段上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】或或3【分析】先利用菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)分別求出再利用等腰三角形的性質(zhì)分類討論根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形∴∵∴是等邊三角形∴∴∴∵E為的中點(diǎn)∴∴當(dāng)時(shí)∴當(dāng)時(shí)如圖過E點(diǎn)作于G∵∴∵E為的中點(diǎn)∴由勾股定理得在中∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)此時(shí)則綜上的長(zhǎng)為或或3故答案為：或或3．14（2024·江西上饒·一模）如圖在三角形紙片中將三角形紙片折疊使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上折痕與分別相交于點(diǎn)當(dāng)為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)為．【答案】3或6或【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)勾股定理等腰三角形的性質(zhì)以及折疊性質(zhì)三角形內(nèi)角和性質(zhì)外角性質(zhì)綜合性較強(qiáng)難度較大正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先得出再進(jìn)行分類討論進(jìn)行作圖結(jié)合直角三角形的性質(zhì)勾股定理等腰三角形的性質(zhì)以及折疊性質(zhì)三角形內(nèi)角和性質(zhì)外角性質(zhì)逐一分析解答【詳解】解：∵∴如圖：時(shí)∴折疊∴∴是直角三角形的斜邊上的中點(diǎn)∴此時(shí)點(diǎn)與重合∵折疊∴如圖：時(shí)∵折疊∴∵∴∵∴此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合即如圖：時(shí)∵∴∵折疊∴則∵∴是等腰直角三角形∴∵∴即解得綜上：當(dāng)為等腰三角形時(shí)的長(zhǎng)為3或6或故答案為：3或6或15（2024·江西撫州·一模）課本再現(xiàn)（1）如圖1與相交于點(diǎn)是等腰直角三角形若求證：是等腰直角三角形．類比探究（2）①如圖2是等腰直角的斜邊G為邊的中點(diǎn)E是的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)過點(diǎn)E分別作與的垂線垂足分別為順次連接得到求證：是等腰直角三角形．②如圖3當(dāng)點(diǎn)E在邊上且①中其他條件不變時(shí)是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展應(yīng)用（3）如圖4在四邊形中平分當(dāng)時(shí)求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②是理由見解析（3）【分析】（1）分別證明即可得到結(jié)論（2）①如圖連接結(jié)合（1）可得：為等腰直角三角形證明結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論②如圖連接同理可得：可得進(jìn)一步可得為等腰直角三角形（3）如圖將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到過作于可得證明三點(diǎn)共線在等腰直角三角形中結(jié)合勾股定理求解再進(jìn)一步可得答案．【詳解】證明（1）∵為等腰直角三角形∴∵∴∴∴∴為等腰直角三角形（2）①如圖連接∵是等腰直角的斜邊G為邊的中點(diǎn)∴

∴∵∴結(jié)合（1）可得：為等腰直角三角形∴∵∴四邊形為矩形∴∴∴∴∵∴∴∴為等腰直角三角形②為等腰直角三角形成立理由如下：如圖連接

同理可得：∴∴同理可得：∴為等腰直角三角形（3）如圖將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到過作于

∴∴∵∴∴∴三點(diǎn)共線∴在等腰直角三角形中∴∴．16（2023·江西·中考真題）課本再現(xiàn)思考我們知道菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．(1)定理證明：為了證明該定理小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1）并寫出了“已知”和“求證”請(qǐng)你完成證明過程．已知：在中對(duì)角線垂足為．求證：是菱形．

(2)知識(shí)應(yīng)用：如圖在中對(duì)角線和相交于點(diǎn)．

①求證：是菱形②延長(zhǎng)至點(diǎn)連接交于點(diǎn)若求的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出同理可得則進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可得證（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形且得出即可得證②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出則過點(diǎn)作交于點(diǎn)根據(jù)平行線分線段成比例求得然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴在中∴∴同理可得則又∵∴∴四邊形是菱形（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形．∴在中∴∴是直角三角形且∴∴四邊形是菱形②∵四邊形是菱形∴∵∴∵∴∴如圖所示過點(diǎn)作交于點(diǎn)

∴∴∴．17（2022·江西·中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)與重合時(shí)重疊部分的面積為__________當(dāng)與垂直時(shí)重疊部分的面積為__________一般地若正方形面積為S在旋轉(zhuǎn)過程中重疊部分的面積與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中分別與正方形的邊相交于點(diǎn)MN．①如圖2當(dāng)時(shí)試判斷重疊部分的形狀并說明理由②如圖3當(dāng)時(shí)求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處該銳角記為（設(shè)）將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為請(qǐng)直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)1,1(2)①是等邊三角形理由見解析②(3)【分析】（1）如圖1若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)OF與OB重合時(shí)OE與OC重合此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1當(dāng)OF與BC垂直時(shí)OE⊥BC重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1一般地若正方形面積為S在旋轉(zhuǎn)過程中重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可（2）①結(jié)論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON可得結(jié)論②如圖3中連接OC過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN（SAS）推出∠COM=∠CON=30°解直角三角形求出OJ即可解決問題（3）如圖4-1中過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q當(dāng)BM=CN時(shí)△OMN的面積最小即S2最?。鐖D4-2中當(dāng)CM=CN時(shí)S2最大．分別求解即可．【詳解】（1）如圖1若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處在旋轉(zhuǎn)過程中當(dāng)OF與OB重合時(shí)OE與OC重合此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1當(dāng)OF與BC垂直時(shí)OE⊥BC重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1一般地若正方形面積為S在旋轉(zhuǎn)過程中重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．理由：如圖1中設(shè)OF交AB于點(diǎn)JOE交BC于點(diǎn)K過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)MON⊥BC于點(diǎn)N．∵O是正方形ABCD的中心∴OM=ON∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°∴四邊形OMBN是矩形∵OM=ON∴四邊形OMBN是正方形∴∠MON=∠EOF=90°∴∠MOJ=∠NOK∵∠OMJ=∠ONK=90°∴△OMJ≌△ONK（AAS）∴S△PMJ=S△ONK∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD∴S1=S．故答案為：11S1=S．（2）①如圖2中結(jié)論：△OMN是等邊三角形．理由：過點(diǎn)O作OT⊥BC∵O是正方形ABCD的中心∴BT=CT∵BM=CN∴MT=TN∵OT⊥MN∴OM=ON∵∠MON=60°∴△MON是等邊三角形②如圖3中連接OC過點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．∵CM=CN∠OCM=∠OCNOC=OC∴△OCM≌△OCN（SAS）∴∠COM=∠CON=30°∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°∵OJ⊥CB∴∠JOM=90°-75°=15°∵BJ=JC=OJ=1∴JM=OJ?tan15°=2-∴CM=CJ-MJ=1-（2-）=-1∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=-1．（3）如圖4將沿翻折得到則此時(shí)則當(dāng)在上時(shí)比四邊形的面積小

設(shè)則當(dāng)最大時(shí)最小即時(shí)最大此時(shí)垂直平分即則如圖5中過點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)QBM=CN當(dāng)BM=CN時(shí)△OMN的面積最小即S2最?。赗t△MOQ中MQ=OQ?tan=tan∴MN=2MQ=2tan∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如圖6中同理可得當(dāng)CM=CN時(shí)S2最大．則△COM≌△CON∴∠COM=∵∠COQ=45°∴∠MOQ=45°-QM=OQ?tan（45°-）=tan（45°-）∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-）∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1-tan（45°-）．18（2024·江西吉安·二模）如圖在和中且．連接．(1)求證：．(2)在圖2中點(diǎn)在同一直線上且點(diǎn)在上若求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）只需要證明．即可證明．（2）先根據(jù)對(duì)邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到．則．再證明．得到．則據(jù)此可得答案．【詳解】（1）證明：．．．（2）解：在圖2中點(diǎn)在同一直線上．．．即．．．．19（2024·江西九江·二模）初步探究（1）如圖1在四邊形中相交于點(diǎn)O且則與的數(shù)量關(guān)系為．遷移探究（2）如圖2在四邊形中相交于點(diǎn)O（1）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立請(qǐng)說明理由．拓展探究（3）如圖3在四邊形中相交于點(diǎn)O且求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）成立見解析（3）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)圓周角定理：（1）等積法判斷線段之間的關(guān)系即可（2）過點(diǎn)作過點(diǎn)作等積法得到證明即可得出結(jié)論（3）根據(jù)得到四點(diǎn)共圓進(jìn)而得到證明進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵∴∴（2）成立理由如下：過點(diǎn)作過點(diǎn)作則：∵∴∴又∵∴∴（3）由（2）可知：∵∴四點(diǎn)共圓∴∵∴∴∴∵∴∴即：∴∴．20（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1四邊形是菱形．（1）求的長(zhǎng)．應(yīng)用拓展（2）如圖2為上一動(dòng)點(diǎn)連接將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連接．①直接寫出點(diǎn)到距離的最小值②如圖3連接若的面積為6求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）①②【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得再進(jìn)一步的解答即可（2）①證明為等邊三角形可得求解如圖過作于可得當(dāng)最小時(shí)最小可得當(dāng)時(shí)最小再進(jìn)一步解答即可②證明可得證明可得再進(jìn)一步解答可得答案．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形．∴∴∴（2）①∵四邊形是菱形∴∴為等邊三角形∴由旋轉(zhuǎn)可得：∴如圖過作于∴當(dāng)最小時(shí)最小∴當(dāng)時(shí)最小此時(shí)∴∴∴點(diǎn)到距離的最小值為②∵四邊形是菱形∴∴∵∴∴∴∵的面積為6∴∴∴∴．21（2024·江西贛州·三模）某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中經(jīng)歷了如下過程：?jiǎn)栴}提出：如圖正方形中為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以為直角頂點(diǎn)向右作等腰直角．(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______最大值為_______(2)數(shù)學(xué)思考：求證：點(diǎn)在射線上(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)時(shí)求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)見解析(3)當(dāng)時(shí)【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)值最小當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)最大．（2）分點(diǎn)P在線段與兩種情況討論連接只需證明利用三點(diǎn)構(gòu)成的平角為時(shí)處在同一條直線上即可證明．（3）利用即可求解．【詳解】（1）如圖2由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與垂直時(shí)根據(jù)“垂線段最短”可知最短則最短此時(shí)與對(duì)角線重合與重合∴．由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)斜線段最長(zhǎng)因此最長(zhǎng)此時(shí)：則（2）連接連接交于點(diǎn)則是等腰直角三角形．①如圖2當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)

∵∴．∵∴∴．∴．∴點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．②如圖3當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)

同理．∴．∴．∵點(diǎn)在線段上．綜上所述點(diǎn)在射線上上．（3）如圖2設(shè)∵正方形邊長(zhǎng)為8∴∵∴即解得∴當(dāng)時(shí)．22（2024·江西贛州·二模）【課本再現(xiàn)】思考我們知道角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等反過來角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【定理證明】（1）為證明此逆定理某同學(xué)畫出了圖形并寫好“已知”和“求證”請(qǐng)你完成證明過程．已知：如圖1在的內(nèi)部過射線上的點(diǎn)作垂足分別為且．求證：平分．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2在中過內(nèi)部一點(diǎn)作垂足分別為且連接．①求的度數(shù)②若求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）①②【分析】此題考查了全等三角形的判定角平分線的性質(zhì)特殊角的三角函數(shù)和勾股定理判斷出角平分線并用角平分線的性質(zhì)求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）此問只需證明即可（2）①判斷出是角平分線用平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是即可求出的度數(shù)②由①得構(gòu)造特殊直角三角形從而求出,,在中用勾股定理即可求出．【詳解】解：（1）證明：．在與中即平分．（2）①由（1）中定理得：．．②過點(diǎn)作于點(diǎn)．．．．23（2024·江西吉安·模擬預(yù)測(cè)）一塊材料的形狀是銳角三角形下面分別對(duì)這塊材料進(jìn)行課題探究：課本再現(xiàn)：（1）在圖1中若邊高把它加工成正方形零件使正方形的一邊在上其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?類比探究（2）如圖2若這塊銳角三角形材料可以加工成3個(gè)相同大小的正方形零件請(qǐng)你探究高與邊的數(shù)量關(guān)系并說明理由．拓展延伸（3）①如圖3若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的4個(gè)相同大小的正方形零件則的值為_______（直接寫出結(jié)果）②如圖4若這塊銳角三角形材料可以加工成圖中所示的相同大小的正方形零件求的值．【答案】【小問1】【小問2】理由見解析【小問3】①②【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為則證明得到代入計(jì)算即可得出答案（2）設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為證明得出從而得到證明推出即可得證（3）①設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．證明得出從而得到證明推出即可得解②設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．證明得出證明推出即可得解．【詳解】解：（1）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為則∵∴．∴∴解得．∴正方形零件的邊長(zhǎng)為．

（2）．理由如下：如圖．設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．∵∴．∴∴．∴．∴∵∴∴∴．∴．

（3）①如圖設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．∵∴．∴∴．∴．∴∵∴∴∴．∴②如圖設(shè)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．∵∴．∴∴∴∵∴．∴．24（2024·江西吉安·三模）課本再現(xiàn)矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．定義應(yīng)用(1)如圖已知：在四邊形中用矩形的定義求證：四邊形是矩形．(2)如圖在四邊形中是的中點(diǎn)連接且求證：四邊形是矩形．拓展延伸(3)如圖將矩形沿折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處若圖中的四個(gè)三角形都相似求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)．【分析】（）先證明四邊形是平行四邊形再由即可證明四邊形是矩形（）證明根據(jù)性質(zhì)得證明四邊形是平行四邊形再由即可證明四邊形是矩形（）由折疊易知證明然后分當(dāng)時(shí)和時(shí)即可求解．【詳解】（1）證明：∵∴∴∴四邊形是平行四邊形又∵∴四邊形是矩形（2）證明：∵E是

的中點(diǎn)∴∵∴∴又∵∴∴四邊形是平行四邊形又∵∴四邊形是矩形（3）由折疊易知∴∴∵∴∴∴∴當(dāng)時(shí)∴∴∴∴當(dāng)時(shí)∴不符合題意綜上所述符合題意的．25（2024·江西吉安·一模）課本再現(xiàn)在學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念后進(jìn)一步得到平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（1）如圖1在平行四邊形中對(duì)角線與交于點(diǎn)O求證：．知識(shí)應(yīng)用（2）在中點(diǎn)P為的中點(diǎn)．延長(zhǎng)到D使得延長(zhǎng)AC到E使得連接．如圖2連接若請(qǐng)你探究線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系．寫出你的結(jié)論并加以證明．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到證明即可證明（2）過點(diǎn)B作交于H連接則先證明是等邊三角形得到進(jìn)而證明是等邊三角形得到接著證明四邊形是平行四邊形得到互相平分則證明得到則．【詳解】證明：（1）∵四邊形是平行四邊形∴∴∴∴（2）證明如下：如圖所示過點(diǎn)B作交于H連接∴∵∴即∴是等邊三角形∴∴是等邊三角形∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形∴互相平分∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)∴APH三點(diǎn)共線∴在和中∴∴∴．26（2024·江西九江·二模）問題提出在綜合與實(shí)踐課上某數(shù)學(xué)研究小組提出了這樣一個(gè)問題：如圖1在邊長(zhǎng)為4的正方形的中心作直角的兩邊分別與正