數(shù)學(xué)學(xué)案 三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型

專題02三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風(fēng)箏模型進

行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）

條件：如圖1,凹四邊形ABCD；結(jié)論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD；@AB+AD>BC+CD.

條件：如圖2,線段BO平分乙48C,線段0。平分乙4OC；結(jié)論：ZO=1（NA+/C）。

2

條件：如圖3,線段AO平分ND4B,線段C。平分NBCD；結(jié)論：/0=，（ZD-ZB）?

2

飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：

例1.（2023?重慶?八年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

有趣的"飛鏢圖"：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為"飛鏢圖".當(dāng)我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它

實際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通

俗地說，就是一個角"凹"進去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.

（即如圖1,EL4￡>B=04+EIB+回C）理由如下：

方法一：如圖2,連接AB,則在^ABC中，SC+QCAB+BCBA=180°,即回l+國2+（33+E）4+E）C=180。，又回在AABf）

中，回1+回2+區(qū)4。8=180°,0。4。8=1213+回4+團（？，BPa4DB=0C4D+（3CBD+[?IC.

方法二：如圖3,連接CD并延長至F,001和回3分別是△ACQ和△BCD的一個外角.......

大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？

任務(wù)：⑴填空："方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是；

⑵探索：根據(jù)"方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；

⑶應(yīng)用：如圖4,AE是0C4。的平分線，BF是回CB。的平分線，AE與BF交于G,若0/408=150。，

a4GB=110°,請你直接寫出I3C的大小.

【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）；（2）見解析；（3）70°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得自1/2+S4,團3國4+回B,

從而得到團1+回3=回2+財+04+回8,即可求證；（3）由（2）可得：^ADB=^CAD+^\CBD+^C,^AGB=^CAE+^CBF+^C,

從而得到ZICAE+ElCB/^llcr-EIC,E）CAD+0Cfi?=15O°-0C,再由4E是回CA。的平分線，8尸是I3CB。的平分

線，可得15O°-I3C=2（110°-G3C）,即可求解.

【詳解】（1）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）

（2）證明：連接CD并延長至F,

001和回2分別是EL4CD和EIBCD的一個外角，001=02+0A,03=04+06,

E01+03=02+l?L4+S4+aB,即&4￡)8=&4+團8+04c8；

(3)解：由(2)得：^ADB=^CAD+^iCBD+SC,EL4GB=0CA￡+0CBF+0C,

mADB=150°,EL4GB=110",E0C4D+13cBO+0C=150°,^CAE+^CBF+SC=110°,

00CAE+fflCBF=llO--0C,回CAO+E)C8D=150°-回C,

0AE是回CAO的平分線，8廠是13cB力的平分線，WCAD=2SICAE,&CBD=2^CBF,

^CAD+SCBD=2(0CAE+0CBF),015O°-0C=2(11O0-0C),解得：0C=7O°.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握三角

形內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?廣東河源?八年級?？计谀?）模型探究：如圖1所示的"鏢形"圖中，請?zhí)骄縉4汨與NA、

/B、/C的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2,DE平分NADB,CE平分NAC3,ZA=24°,

4=66°,請直接寫出—E的度數(shù).

C

圖1

【答案】（1）^ADB=^A+ZB+ZC,理由見詳解；（2）21°

【分析】（1）連接8并延長到點E,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可;（2）由（1）可知:財08-團C=a4+fflB=90。,

從而得0E。。-回8cO=gx90°=45°,結(jié)合E1EOO+I3E=Ii18co+回8,即可求解.

【詳解】解：（1）=++理由如下：

連接CZ）并延長到點E,

圖1圖2

0M￡)E=a4co+0A,^BDE=SBCD-\-^\B,

WADE+^BDE=SACD+&A+@BCD+SB,=XA+^B+ZACB.

(2)由第(1)題可得：ZADB=^A+^B+ZACB.EEL4QB-a4c8=陰+圖8=66°+24°=90°,

(3OE平分NAD3，CE平分NACB,03￡￡＞。-回BC0=；(EL4DB-0C)=gx90°=45°,

00DOE=0BOC,WEDO-^iE^BCO+SB,

題8-回E=!3E￡）0-（38co=45°,國E=!38-45°=66°-45°=21°.

【點睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形外角的性質(zhì)，

是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022秋?廣西八年級期中）如圖，NABD,/AC￡>的角平分線交于點尸，若NA=48。，ZD=10°,

則NT的度數(shù)（）

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延長尸C交8。于￡,設(shè)AC、PB交于F,根據(jù)二角形的內(nèi)角和定理得到a4+GL4BF+a4FB

=朋+朋6戶+朋"'=180°推出回/>+眇67:'=朋+&487?,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到團產(chǎn)+回P3E=E1PE。，推

出回P+回PBE=E1PCZ）-E）。，根據(jù)尸8、PC是角平分線得到I3PCF=E1PC￡>,^ABF=^PBE,推出2團尸=包4-回￡）,

代入即可求出自P.法二：延長DC,與A8交于點E.設(shè)AC與8尸相交于。，則財08=回產(chǎn)。C,可得WP+g

a4CD=a4+yBL4BD,代入計算即可.

【詳解】解：法一：延長PC交8。于E,設(shè)AC、PB交于F,

WA+^ABF+SAFB=^P+&PCF+&PFC^180°,

00AFB=0PFC,03P+iaPCF=a4+a4BF,

00P+0PBE=0PED,^PED=^PCD-QD,^\P-\-^PBE=QPCD-^D,

020P+@PCF+0PBE=[a4-0D+a4BF+BPCD,

B1PB、PC是角平分線EEPCF=I3PC。，SABF^PBE,13201P=EL4T3。

國EIA=48°,回力=10°,EBP=19°.

法二：延長DC,與AB交于點E.

西4c。是財CE的外角，04=48°,EB4CQ=ia4+a4EC=48°+a4EC.

EEL4EC是0BOE的外角，^EAEC=^ABD+^D=SABD+10°,

EEL4CD=48°+a4EC=48°+E]ABD+10o,整理得1aAec-13480=58°.

設(shè)AC與BP相交于0,則財0B=EIP0C,

a3P+ya4CD=GL4+yEL4fiD,即1ap=48。-/（SACD-SABD）=19。.故選A

【點睛】本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知

識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東?八年級期中）如圖，在三角形A8C中，AB>AC>BC,為三角形內(nèi)任意一點，連結(jié)AP,

并延長交BC于點D求證：（1）AB+AC>AD+BC；（2）AB+AC>AP+BP+CP.

【詳解】(1)VAB>AC,：.ZABD<ZACD

,：ZADB>ZACD,二ZADB>ZABD./?AB>AI)

VAC>BC,：.AB+AC>AD+BC

(2)過點尸作防〃8C,交AB、AC于E、F.則NAM=NA3C,ZAFE=ZACB

由(1)知A￡+A尸〉A(chǔ)P+E產(chǎn)

VBE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP

(幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論)

例5.（2023?福建三明?八年級統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號一一箭號.我們不妨把這樣

圖形叫做"箭頭四角形

AA

AA

探究：（1）觀察"箭頭四角形"，試探究NBDC與NA、/B、NC之間的關(guān)系，并說明理由；

應(yīng)用：（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XEZ放置在AA3C上，使三角尺的兩條直角邊XV、XZ恰好經(jīng)過點B、C,若

NA=60。，則NABX+ZACX=；②如圖。3,NABE、NACE的2等分線（即角平分線）BF、

C尸相交于點F,若ZBAC=60。，ZBEC=130°,求/8FC的度數(shù);

拓展：（3）如圖4,BO,,C。,分別是乙鉆。、NACO的2020等分線（i=1,2,3,,2018,2019）,它們的交點

從上到下依次為。I、。2、。3、…、COM.已知N30C=m°，NB4C=〃°,則ZB0KxMc=_度.

【答案】（1）N3Z）C=NA+N3+NC,理由見詳解；（2）①30；②95°；（3）常山

【分析】（1）連接AD并延長至點E,利用三角形外角的性質(zhì)得出NBDE=NBAD+NB,NCDE=NCAD+NC,

左右兩邊相加即可得出結(jié)論；

（2）①直接利用（1）中的結(jié)論有43XC=N4+NABX+NACX,再把已知的角度代入即可求出答案：

②先根據(jù)N8￡C=/R4C+N/WE+NACE求出ZABE+ZACE,然后結(jié)合角平分線的定義再利用

ZBFC=ZBAC+ZABF+ZACF=ZBAC+-（ZABE+ZACE）即可求解；

2

（3）先根據(jù)NBOC=/B4C+NABO+NACO求出4RO+NACO,再求出NA8。姬+NACQ0ao的度數(shù)，最

后利用NBQ000c=N8AC+ZA8aoM+ZACOl（m求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接AD并延長至點E

田NBDE=ZBAD+NB,2CDE=ACAD+ZC,

X0ZBDC=NBDE+NCDE,NBAC=NBAD+NCAD,?NBDC=NBAC+NB+NC

（2）①由（1）可知NBXC=ZA+ZABX+ZACX

團ZA=60°,NBXC=90°0ZABX+ZACX=ZBXC—ZA=90°—60°=30°

②由（1）uj-felZBEC=ZBAC+ZABE+ZACE

aZBAC=60。，NBEC=130°回ZABE+ZACE=NBEC-ABAC=130°-60°=70°

BF平分NABE,CF平分NACE/.ABF=-ABE,ACF=1ACE

NBFC=ZBAC+ZABF+ZACF=ZBAC+1（ZABE+ZACE）=95°

（3）由（1）nJ^11ABOC=ZBAC+ZABO+ZACO

l3NBOC=m°,NBAC=n00ZABO+ZACO=ZBOC-ABAC^nf-n°

0BO,.,CO,分別是4480、Z4CO的2020等分線（z=1,2,3,,2018,2019）

二八八,■一八—i八八八50/770-50n°

0Z-ABO.^+NACO10no=------x1000=----------

100010002020101

a平。00c=NBAC+ZABOt000+ZACOt000=喘網(wǎng)

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是

解題的關(guān)鍵.

模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）

圖1

1）風(fēng)箏（鷹爪）模型：結(jié)論：N4+NO=N1+N2；

2）風(fēng)箏（鷹爪）模型（變形）：結(jié)論：ZA+ZO=Z2-Z1?

例1.（2023?四川達州?八年級期末）如圖，Zl,N2,N3分別是四邊形A3C。的外角，判定下列大小關(guān)系:

（1）Z1+Z3=ZABC+ZD；（2）Z1+Z3<ZABC+ZD；（3）Zl+Z2+Z3=360°；（4）Z1+Z2+Z3>360°.其

中正確的是—.（填序號）

A1

D

2,、3

BC

【答案】①

【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為360。即可求解.

【詳解】解：如圖，連接BD，

A

BC

0Z1=ZABD+ZADB,Z3=NDBC+NBDC，

0Z1+Z3=ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC.故①正確，②不正確；

團多邊形的外角和是36（）。，0Z1+Z2+Z3<36O°,故③④不正確，故答案為：①.

【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形

是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1,銳角/BAC內(nèi)部有一點。，在其兩邊A8和AC上各取任

意一點E,F,連接。E,DF.求證：ABED+ZDFC=ABAC+ZEDF.

又團ZBAD+ZDAC=ZBAC,ABAC+NEDF=140°（計算所得）.

ZEDA+ZADF=ZEDF,⑦/BED+ZDFC=NBAC+NEDF（等量代換）.

⑦ZBED+NDFC=/BAC+NEDF.

任務(wù)：(1)小麗證明過程中的"依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：;

(2)下列說法正確的是.

A.小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

B.小麗的證法還需要改變N84C的大小，再進行證明，該定理的證明才完整

C.小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理

。.小紅的證法只要將點。在/B4C的內(nèi)部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理

⑶如圖，若點。在銳角N3AC外部，EQ與AC相交于點G,其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成

立，請說明理由；若不成立，請?zhí)剿鱊8EDNDFC,ABAC,N￡D尸之間的關(guān)系.

【答案】(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

(2)4(3)不成立，/BED=NBAC+NDFC+NEDF

【分析】(1)連接4。并延長至點根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；

(2)按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，即可得答案；

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得N4GE=4＞尸C+NEDF,ABED=ABAC+ZAGE,整理可得答案

【詳解】(1)小麗證明過程中的"依據(jù)"是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;

(2)根據(jù)定理證明的一般步驟，從己知出發(fā)經(jīng)過量角器測量，計算，證明，故A正確；

(3)不成立，N4GE是AGDF的一個外角，/.ZAGE=ZDFC+ZEDF,

NBED為XAEG的一個外角，/.ABED=^BAC+ZAGE,

ABED=ZBAC+ZDFC+ZEDF(或ABED-ZDFC=ABAC+NEDF).

【點睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于和它不

相鄰的兩個內(nèi)角的和.

例3.(2022秋?山東青島?八年級統(tǒng)考期末)三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個內(nèi)角的和等于180。如

何證明這個定理呢？我們知道，平角是180。，要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角中

去，請根據(jù)如下條件，證明定理.

(1)【定理證明】

圖①圖②圖③

己知：一A3C如圖①，求證：ZA+ZB+ZC=180°.

(2)【定理推論】如圖②，在_ABC中，有NA+N3+NC=180。，點。是8c延長線上一點，由平角的定

義可得NACD+NAC8=180。，所以NAC￡>=,從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等

于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

【初步運用】如圖③，點。、E分別是..48C的邊4B、AC延長線上一點.

(3)若NA=8()°,ZDBC=150°,則NAC8=.(4)若NA=80°,則NDBC+NECB=.

【拓展延伸】如圖④，點。、E分別是四邊形4加C的邊鉆、AC延長線上一點.

(5)若NA=80°,ZP=15()°,則NDBP+NECP=.

(6)分別作NDBP和NECP的平分線BM、CN,如圖⑤，若BM〃CN,則NA和NP的關(guān)系為.

(7)分別作尸和/ECP的平分線，交于點。，如圖⑥，求出NA,NO和/P的數(shù)量關(guān)系，說明理由.

【答案】([)見解析；(2)ZA+ZB；(3)70°；(4)260°：(5)230°；(6)Z4=NP：(7)ZA+2ZO=ZP,

理由見解析

【分析】(1)過點A作MV〃8C,根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義解決.

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義即可解答.

(3)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可解答；

(4)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得“3C+NECB=NA+NABC+NA+NACB,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得NA+/4BC+ZAC8=180。，以此即可求解.

(5)連接AP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可解答.

(6)過點戶作PQ〃8M,由(1)可知，NO3P+NECP=ZA+N3PC,則g(NOBP+NECP)=g(ZA+NBPC),

根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得;(ND8P+NECP)=ZBPC,則ZBPC=1(ZA+NBPC),以此即可求解.

(7)由(1)可知，NDBP+NECP=ZA+NBPC,則g(/OBP+NEC尸)=g(ZA+NBPC),根據(jù)角平分線

的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360。即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點A作

S1MN〃BC,.\ZMAB=ZB,NNAC=NC,

ZMAB+ZBAC+ZNAC=\80°,：.ZB+ZBAC+C=180°.

(2)ZA+Zfi+ZAC5=180°,ZACD+ZACB=1SO°,

:.ZACD=^A+ZB.故答案為：ZA+Zfi.

(3)ZDBC=ZA+Z4CB,Z4=80°,ZZ)BC=150°,

ZACB=ZDBC-ZA=150°-80°=70°；故答案為：70°；

(4)ZDBC=ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC,：.ADBC+ZECB=ZA+ZABC+ZA+ZACB,

ZA+ZABC+ZACB=\80°,ZA=80°,

ADBC+ZECB=ZA+ZABC+ZA+ZACB=180°+80°=260°.故答案為：260。.

(5)如圖，連接"，ZDBP=ZBAP+ZAPB,ZECP=ZCAP+ZAPC,

：.ZDBP+NECP=ABAP+ZAPB+ZCAP+ZAPC,

ZBAP+ZCAP=ZA=80°,ZAP3+NAPC=NP=150°,

ADBP+ZECP=ZA+ZP=80°+150°=230°.故答案為：230°.

(6)如圖，過點尸作PQ〃2M,則PQ〃CN,

由(1)知，ZDBP+ZECP=ZA+ZBPC,，g(NO8P+NECP)=；(N4+NBPC),

PQ//BM//CN,ZMBP=ZBPQ,NNCP=NCPQ,:"BPQ+NCPQ=NBPC=NMBP+NNCP,

BM、CN分為\是NDBP和/ECP,a(NDBP+NECP)=NMBP+NNCP=NBPC,

.?.N8PC=；(4+NBPC),,-.ABPC=ZA.故答案為：Z4=ZP.

(7)NA+2NO=NP,理由如下：

由(1)知，ZDBP+NECP=ZA+NBPC,，g(NO8P+NEC尸)=g(ZA+NBPC),

QOB、OC分別為ZD8P和ZECP的角平分線，

AOBP+Z.OCP=g(NDBP+NECP),NOBP+NOCP=g(ZA+NBPC),

.NOBP+NOCP+(Z360°-ZBPC)+NO=360°,1(^4+NBPC)-ZBPC+NO=0,

:.ZA+2ZO=ZBPC,即ZA+2NO=NP.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)

題干作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵.

模型3、角內(nèi)翻模型

B

圖2

條件：如圖1,將三角形紙片A8C沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，結(jié)論：2NC=Nl+/2；

條件：如圖2,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE外部時，結(jié)論：2/C=/2-/l。

例1.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A3C中，NA=67。，將.ABC沿DE翻折后，點A

落在8c邊上的點H處，如果NA'EC=74。，那么的度數(shù)為.

【答案】60°

【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得4'ED,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)得=ZAED=ZAED，

（aZ4=67°,ZA'EC=14°,0=67°,NA'EO=gzA'E4=g（180°-74°）=53°,

0ZA'DE=180°-ZDA'E-ZA'ED=180°-67°-53°=60°,故答案為：60°.

【點睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?遼寧撫順?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一MC中，4=30。，將沿直線，〃翻折，點8

落在點。的位置，則NI-N2的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可得NB=N￡>=30。，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】解：將一45c沿直線〃?翻折，交BC于點E、F,如圖所示：

由折疊的性質(zhì)可知：々="=30。，根據(jù)外角的性質(zhì)可知：Nl=NB+/3,Z3=Z2+ZD,

.-.Zl=ZB+Z2+Z￡）=Z2+2Zfi.r.N1—N2=2/3=60°,故選：C.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、翻折變換的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

例3.（2023春?重慶黔江?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,JWC中，ZA=64°,?890?,ZC=26°.點。是AC

邊上的定點，點E在BC邊上運動，沿折疊CDE,折疊后點C落在點尸處.下面我們來研究折疊后的

有一邊與原三角形/3C的一邊平行時NA￡>尸的值.

AA

圖1圖2

⑴首先我們來研究邊OE.因為?！旰虯BC的AC、8c相交，所以只有一種可能的情況（如圖2）,DE//AB,

此時ZAT>F=.

⑵其次，我們來研究邊EF.因為點E在8C上，所以E尸可能與一/WC的邊A3、AC邊分別平行.

當(dāng)防〃Afi時（如下圖），則NA"=.

當(dāng)所〃AC時（如下圖），則4。尸=.

⑶最后，我們來研究邊FD.因為點。在AC上，所以ED可能與.,/WC的邊A3、BC邊分別平行.

當(dāng)FE>〃AB時，ZADF=.當(dāng)尸3c時，ZADF=.

【答案】（1）52。（2）142?；?8。；26。⑶64。或116。；26°

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出HE=NC=26。，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出N/M>F=〃EE+NC計算得

出結(jié)論即可；（2）當(dāng)防〃時，分情況求出NAD尸的度數(shù)，當(dāng)砂〃AC時，根據(jù)平行線的性質(zhì)直接得出

NAZW的度數(shù)即可；（3）當(dāng)尸D〃AB時，分情況求出NA￡>尸的度數(shù)，當(dāng)F?〃BC時，根據(jù)平行線的性質(zhì)直

接得出NAZ）尸的度數(shù)即可.

【詳解】（1）解：由題意知，ZDFE=ZC=26°,

ElNAr>F=NDEE+NC=26°+26°=52。，故答案為：52°；

EZF+Z￡MF=90°,NF=NC,ZC+ZA=90°,0Z￡MF=ZDMB=ZA=64°,

0ZADF=180°-NA-NB-NDMB=360°-64°-90°一64°=142°；

當(dāng)砂〃AB（2）時，^ZANF=ZA=64-°,ZF=ZC=26°,

0ZAr>F=ZAVF-ZF=64o-26o=38o,故答案為：142?；?8°；

當(dāng)所〃AC時，ZAOF=ZF=ZC=26°,故答案為：26°：

（3）解：當(dāng)ED〃AB忖，//4￡>尸=44=64?；?4。尸=180。—/4=116。，故答案為：64?；?16。：

當(dāng)皿〃3c時，ZADF=ZC=26°,故答案為：26。.

【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是180。等知

識是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023?湖北武漢?八年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將N54C沿￡>￡折疊，使點A落在N84C的內(nèi)部

的點加處，當(dāng)NA=50。，N3DM=30。時，求NC&W的度數(shù)；

（2）如圖，將N54C沿OE折疊，使點A落在NA4c的外部的點M處.求圖中/A,ZBDM,NCEM

之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將NA、一起沿EF折疊，使點A、點B的對應(yīng)點M、N分別落在射線

8。的左右兩側(cè)，NCEM,ZDFN,NA、/B的數(shù)量關(guān)系（直接寫結(jié)果，不需要過程）

【答案】（1）700,（2）2ZA=ZBDM-ZCEM.（3）2（ZA+ZB）=ZCEM-ZDFN+360°

【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出N3、N4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得2/4=/1+/2,

問題隨之得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、Z4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式

整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出N3、N4,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【詳解】解：（1）如圖，ZBDM=〃，NCEM=N2,ZADE=N3,ZAED=Z4,

回翻折，回N3=NE￡)M=4(180°-/1),Z4=ZDEM=-(180°-Z2),

22

0ZA+Z3+Z4=18O°,ZA=5O°,Z1=ZB￡>M=30°,

aZA+l(180o-Zl)+^(180o-Z2)=180°,整理得，2ZA=Z1+Z2,

SZA=5O°,Nl=N3ZW=30°,團N2=2ZA—N1=7O°,即NCEM=70°；

(2)如圖，ZBDM=4,ZCEM=Z2,ZADE=Z3,ZAED=N4,

回翻折，0Z3=ZEDA/-^(18O°-Z1),Z4=AMED=1(180°+Z2),

(3ZA+Z3+Z4=180°.0ZA+-(18O0-Z1)+-(18O°+Z2)=18O°,

22

整理得，2ZA=N1-N2，BP2ZA=ZB￡>M-ZCEM；故答案為：2ZA="DM-NCEM；

(3)如圖，ZCEM=Z1,ZDFN=Z2,ZAEF=Z3,ZBFE=N4,

田翻折，回N3=NFEM=；(180°-Nl),Z4=ZNFE=^(180°+Z2),

回ZA+NB+Z3+N4=360°,0ZA+ZB+1(18O°-Z1)+1(18O°+Z2)=36O°,

整理得，2(ZA+ZB)=/l-N2+360。，即2(ZA+ZB)=NCEM-/O尸N+360。.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折的性質(zhì)，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內(nèi)角和

是180。，是解題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?四川綿陽?八年級?？计谥校┤鐖D，ABC中，ZC=90°,將.ABC沿折疊，使得點8落在AC

邊上的點F處，若/。7）=60。且44防=/4正，則N4的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】平角的定義，求出ZAFD的度數(shù)，翻折，得到ZDFE=ZB,等邊對等角，得到ZAFE=1（180。-ZA）,

三角形內(nèi)角和定理，得到“￡￡=/8=90。-/4,再根據(jù)Z4/N>=NAFE+N￡）莊列式求解即可.

【詳解】解:團..ABC中，ZC=90°,0ZB=9O°-ZA,

國將工ABC沿OE折疊，使得點8落在AC邊上的點尸處，E1ZDFE=ZB=9（）O-ZA,

0ZCFD=60°,0ZAFD=120°,^ZAEF=ZAFE,國NAFE=g（180°-NA）,

04尸。=/4尸E+NOFE=90°-NA+g（180°-NA）=120°,0ZA=4O°：故選B.

【點睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，等邊對等角.解題關(guān)鍵是理清角度之間的等量關(guān)系.

2.（2023?河南安陽?八年級校考期中）如圖，把MBC紙片沿￡）￡折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCE。的外部時,

則財與回1和回2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（）

A.2囪4=團1-回2B.3EL4=2（01-02）C.3&4=201-02D.&4=01-02

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NA=NA'，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得到

Z\=ZDOA+ZA,ZDOL4=Z2+ZA,,然后列式整理即可得解.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得NA=NA'.在△A8中，Zl=ZDOA+ZA,

在4AOE中，ZDO4=Z2+ZA,,I2N1=ZA'+N2+ZA,即2ZA=N1-N2.故選A.

A'

【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?重慶開州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將ABC沿BE翻折交AC于點。，又將△BCD沿BY翻折,

點C落在BE上的C'處，其中NA'=18。，NCZ>8=68。，則原三角形中NC的度數(shù)為（）

A

A.87°B.75°C.85°D.70°

【答案】A

【分析】設(shè)NCBL>=x。，由翻折得？ABE?&如?CBD乃，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到

180-18-3x=180-68-%,求出x=25,再利用三角形內(nèi)角和求出NC的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)NCBD=x。，由翻折得？ABE?A<fBE?CBD紀(jì)

回？A?AC18?,1CDB1C</DB6870180-18-3x=180-68-x解得x=25,

0?ABElA^BE?CBD25?0ZABC=3x=7500?C180??A?ABC87?故選：A.

【點睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?廣東八年級課時練習(xí)）如圖，在J3C中，/5=28。，將"WC沿直線”翻折，點B落在點。的

位置，貝l」Nl—N2=°.

//.

AJ\\

BC

2

m

D

【答案】56°

【分析】根據(jù)折疊得出00=回8=28。，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出如/8+EIBEF,0B￡F=02+E1D,求出

(ai=0B+l32+0D即可.

【詳解】解：如圖，

題8=28。，將AABC沿直線，〃翻折，點8落在點。的位置，物。=回8=28°,

gl01=0B+(3B￡F,0BEF=02+0D,0Hl=0B+02+0D,

團團1電12=132+回￡)=28°+28。=56。，故答案為：56°.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，能熟記三角形的外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

5.(2023?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期末)如圖，點A、B、C、O、E在同一平面內(nèi)，連接43、BC、CD、DE、EA,

若NSC。=80°,則N4+NB+ZD+NE=.

【答案】260。/260度

【分析】連接班)，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【詳解】如圖，連接B。，

則ZA+ZABC+ZCBD+ZCDB+ZCDE+ZE=360°,ZCBD+ZCDB+ZBCD=180°,

0ZBC￡>=80°.0ZCfiZ)+ZC￡)fi=lOOo,

E1NA+ZABC+NCDE+ZE=36O。—100。=260。，故答案為：260。.

【點睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵.

6.(2023秋?浙江?八年級專題練習(xí))如圖，在一ABC中，CO是43邊上的高，點E,F分別是A3,AC邊

上的點，連接EF,將△4￡：尸沿著EF翻折，使點人與人:邊上的點G重合，若NEGB=90。，

ZDCB+ZCFG=82°,則ZACD的度數(shù)為.

【答案】49°/49度

【分析】利用三角形內(nèi)角和求出ZB￡G=ZDCB,結(jié)合已知得到NB￡G+NCFG=82。，可求得

Z4FG+ZA￡G=278°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ZAFE=gwG,ZAEF=^ZAEG,進一步求出NA,再利用

三角形內(nèi)角和求出結(jié)果.

【詳解】解：EICO是48邊上的高，ZEGB=90°,0ZBZX?=ZADC=ZBGE=90°,

團NB=NB，0ZBEG=ADCB,13ZDCfi+ZCFG=82°,⑦NBEG+NCFG=82°,

0ZAFG+ZAEG=180°x2-82°=278°,由折疊可得：ZAFE=；ZAFG,ZAEF=；ZAEG,

0ZAFE+ZAEF=i(ZAFG+ZAEG)=139°,13Z4=180°-139°=41°,

SZACD=180°-ZA￡)C-ZA-49o.故答案為：49°.

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形的高，圖中線段較多，解題的關(guān)鍵是理清角之間

的關(guān)系，根據(jù)折盤得到相等的角.

7.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級?？茧A段練習(xí))如圖，中，44=67。，將“MC沿。E翻折后，點A落

在BC邊上的點W處，如果4'EC=74。，那么NA7)E的度數(shù)為

H

【答案】60。/60度

【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得N4S,再根據(jù)一角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)得mVE=NA，ZAED=ZAED-

0ZA=67°,ZA/EC=14°,0ZDA,￡=67°,^A'ED=|ZA'EA=-1(180°-74°)=53°,

^\ZADE=\80°-ZDAE-ZA'ED=180°-67°-53°=6()°,故答案為：60°.

【點睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

8.(2023?湖南永州?八年級統(tǒng)考期中)如圖，若△OADI3Z\O8C,且NO=60。，NC=20。，則/。4。=

O

【答案】10CT/100度

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求得NO5C=100。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NOLO=NC?C=100。即可.

【詳解】解：0ZO=6O°,ZC=20°,I2ZOBC=100°,

又回△OAO(3Z\O3C,^ZOAD=ZOBC=\m0.故答案為：100°.

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解全等三角形的對應(yīng)角相等.

9.(2023春?四川?七年級統(tǒng)考期末)在四邊形ABC。中，44=98。，。=140°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若N3=NC,則NB=度；

(2)如圖2,作NBC￡＞的平分線CE交A3與點E,若CE〃仞，求—3的度數(shù)；

⑶如圖3,作和/。C8的平分線交于點E,求/BEC的度數(shù).

【答案】⑴61。⑵42。(3)119°

【分析】(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和，NA=98°,"=140。求出NB+NC的值即可求解;

（2）根據(jù)平行的性質(zhì)及角平分線求出NECB=40。，NCE8=98。，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解;

（3）根據(jù)角平分線求出NEBC+/ECB=61。，再利用三角形內(nèi)角和定理求解.

【詳解】（1）解：在四邊形A8c。中，Z4+ZB+ZC+ZD=360°,

ZA=98°,ZD=14O°,ZB+ZC=36()°-98°-140°=122°,

ZB=ZC,AZB=1xl22°=61°；

(2)解：-.CE//AD,：.ZCEB=ZA=9S°,ZD+ZZX?￡=180°,

.1ZDCE=180°-/￡>=180°-140°=40°,

CE平分NBCD,/.NECB=ZDCE=40°,

在,BCE中，ZB+ZBCE+ZCEB=180°,

;.ZB=180°-NCEB-ZBCE=180°-98°-40°=42°；

(3)解：由(1)可知NAfiC+/BCD=122。，

BE平分/ABC,CE平分乙BCD,

NEBC=-ZABC,NECB=-NBCD,

22

NEBC+ZECB=-ZABC+-ZBCD=ZABC+ZBCD)=-xl22°=61°,

222、72

NBEC=1800-(ZEBC+ZECB)=180°-61°=119°.

【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和I,角平分線的定義，平行性質(zhì)，掌握相關(guān)定理性質(zhì)是關(guān)鍵.

10.(2023?浙江杭州?八年級專題練習(xí))(2018十三中開學(xué)考)已知,在J1BC中,04=60。，

(1)如圖①，(3ABC和?ACB的角平分線交于點O,則回BOC=；

(2)如圖②，回ABC和團ACB的三等分線分別對應(yīng)交于點。1,02,則/8。4=；

(3)如圖③,0ABC和團ACB的〃等分線分別對應(yīng)交于點01,5,…，Qi(內(nèi)部有n—1個點)，則

(4)如圖③，13ABe和團ACB的〃等分線分別對應(yīng)交于點Oi,02.0,,..,若NBO,_C=90°,求”的值.

n

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出團ABC+I3ABC,然后根據(jù)角平分線的定義即可求11旭0BC+B10CB,

再根據(jù)二角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出I3ABC+團ABC,然后根據(jù)

三等分線的定義即可求出回O2BC+回O2CB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；(3)根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理即可求出EIABC+回ABC,然后根據(jù)”等分線的定義即可求出回OniBC+ElOn-KB,再根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理即可求出結(jié)論；(4)根據(jù)(3)的結(jié)論列出方程即可求出結(jié)論.

【詳解】解：(1)田在中，IM=60",EH3ABC+aABC=18O°-0A=12O°

EBABC和團ACB的角平分線交于點。，0ISOBC=y0ABC,0OCB=^-0ACB

E10OBC+0OCB=y0ABC+0ACB=1(0ABC+H1ACB)=60°

[20BOC=18O°-(0OBC+0OCB)=120°故答案為：120°.

(2)回在—ABO中，EH=60°,E0ABC+13ABe=180°-EIA=120°

E0ABC和回ACB的三等分線分別對應(yīng)交于點。1,。2，

22222

00O2BC=-0ABC,0O2CB=-0ACB00O2BC+I2]O2CB=-0ABC+-0ACB=-(0ABC+0ACB)=80°

0ZBO2C=18O°-(團O2BC+團O2CB)=100°故答案為：100°.

(3)團在ABC中，0A=6O°,00ABC+0ABC=18O°-(?]A=12OO

西ABC和mACB的〃等分線分別對應(yīng)交于點Oi,02，……，Qi

〃-1n—l

團團0n-iBC=------0ABC,00-iCB=--------(3ACB

nnn

.n-\,n-\n-\..、(120n-120\

團團On—1BC+團On—1CB=——團ABCH---------E1ACB=——(0ABC+0ACB)=-----------------°

nnnynJ

故答案為：(竺審竺〉

^ZBOn_,C=180°-(0O2BC+0O2CB)

(4)由(3)知：/叫由=(60〃；120)

田60〃+120=90解得:n=4經(jīng)檢驗：n=4是原方程的解.

n

【點睛】本題考查了n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，掌握n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理

是解決此題的關(guān)鍵.

11.(2023