新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)零點(diǎn)問(wèn)題全套培優(yōu)練習(xí)題（選填題8種考法）

專(zhuān)題06零點(diǎn)（選填題8種考法）

考法解讀

零函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a,b］上的圖象是否連續(xù)，是否有

點(diǎn)存在性定理—

f（a）?f（b）＜0.若有,則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)必有零點(diǎn)

區(qū)

間若一個(gè)函數(shù)（或方程）由兩個(gè)初等函數(shù)的和（或差）構(gòu)成,

數(shù)形結(jié)合法

則可考慮用圖象法求解

零直接法直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍

點(diǎn)

求分離參數(shù)法—先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決

參粉的線人注_解析式變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)

奴形㈤口缶系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

零

點(diǎn)

雙

參

數(shù)第一步消參：通過(guò)設(shè)零點(diǎn)，代入方程，得到其中一個(gè)參數(shù)的表達(dá)式,

的

第二步主元法求最值：將所求表達(dá)式通過(guò)主元法（關(guān)于另一個(gè)參

零

點(diǎn)數(shù)）構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.

嵌

r①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)

套

函_②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)

數(shù)個(gè)數(shù)或范圍

零

點(diǎn)③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同

范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

典例剖析

考法一零點(diǎn)區(qū)間f-考法五比較零點(diǎn)的大小

考法二零點(diǎn)區(qū)間求參數(shù)——考法六零點(diǎn)之和

_零

點(diǎn)

考法三判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)—考法七零點(diǎn)之和的范圍

考法四根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)考法八嵌套函數(shù)的零點(diǎn)

考法一零點(diǎn)區(qū)間

[例1](2023?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？家荒?方程logsx+x=2的根所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】設(shè)"x)=bg3X+x-2,則方程1叫工+尤=2根所在區(qū)間即為零點(diǎn)所在區(qū)間，

.y=iog3尤與>=%-2在(0,+e)上均為增函數(shù)，\/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

對(duì)于A,/(l)=log3l+l-2=-l,.?.當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(%)<-!,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(1)=-1<0,/(2)=log32+2-2=log32>0,即〃1)〃2)<0,

.?.訓(xùn)?1,2),使得〃通)=0,B正確;

對(duì)于CD,當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>/(2)>0,\/'(x)在區(qū)間(2,3)和(3,4)上無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式】

1.(2023?海南?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/Q)=L-lnx+2的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為()

X

A.(l,e)B.(e,e2)C.(e2,e3)D.(e3,e4)

【答案】C

【解析】/(x)=：-lnx+2在(0,+s)連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，

/(l)=3>0,/(e)=l+l>0,/(e2)=l>0,/(e3)-^-l<0,/(e4)=l-2<0,

所以零點(diǎn)位于(e2,e3),故選：c

2.(2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測(cè))函數(shù)"幻=彳一現(xiàn)產(chǎn)+1的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

2

A.

C.

【答案】C

【解析】y=x+i在（0,+8）上單調(diào)遞增，y=-l°g/在（0,+向上單調(diào)遞增,

，函數(shù)/⑺=尤Tog；犬+1在（0,+“）上單調(diào)遞增,

111113八

J44

0114--

=--logi.+1=鼻-log?3=log216370g2273<0,

35JJ

1,111c

=log.bl=—>0,

2122

，函數(shù)/（X）=X-log』X+1的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

2

故選：C

3.（2。23?廣東梅州?統(tǒng)考二模）用二分法求方程1叫》-￡。近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】令〃x）=log4X-5，

因?yàn)楹瘮?shù)y=iog4=-（在（。,+°°）上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)〃x）=log4X-［在（0,+8）上是增函數(shù)，

〃1）=-；<°，"2）=。42-；=3-；=:>0,

所以函數(shù)〃X）=1。8.-：在區(qū)間（1，2）上有唯一零點(diǎn)，

所以用二分法求方程log8x-：=0近似解時(shí)，所取的第一個(gè)區(qū)間可以是（1,2）.

3x

故選：B.

考法二零點(diǎn)區(qū)間求參數(shù)

【例2-1］（2023?寧夏銀川?銀川一中?？既＃┖瘮?shù)/（尤）=log?x+f+m在區(qū)間（2,4）上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m

的取值范圍是（）

A.B.（5,+oo）

C.(5,18)D.(-18,-5)

【答案】D

【解析】由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)/5）=1。82天+苫2+機(jī)在區(qū)間（2,4）上存在零點(diǎn),

顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿(mǎn)足7（2）?/（4）＜0,即（加+5）（加+18）＜0,

解得-18＜相＜-5,所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-18,-5）.

故選：D

【例2-2】（2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃"=lnx+加+6,若在區(qū)間［2,3］上有零點(diǎn)，則油的

最大值為.

【答案】:

【解析】設(shè)/Oo）=0，A:0G［2,3］,則1IU：O+QX；+O=O,

2

止匕時(shí)b=-lnx0-ax^,貝!]ab=-alwc0-ax1,

lnx、

當(dāng)a=一百■n時(shí)，g（z"）"-

記3尸等則如）二歲，

所以M無(wú)）在［2,e）上遞增，在［e,3］上遞減,

故以X)max=〃(e)=(，所以g(?)max

所以ab的最大值為■

故答案為：

【變式】

L⑵23?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)4）/IY2的-5+x＜2）,-2＞2'若方程—實(shí)根在區(qū)間（3D,P

上，則女的最大值是（）

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【解析】當(dāng)2時(shí)，/(X)=X2-5,當(dāng)/(x)=l時(shí)，解得了=一直；

當(dāng)x>-2時(shí)，/(x)=xlg(x+2),其中/?⑴=lg3<l,/(2)=21g4=lgl6>l,

當(dāng)/（x）=l時(shí)，解得xe（l,2）,綜上人的最大值是1.

故選：C.

2.（2023?安徽滁州??？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=sinx+2x+機(jī)在區(qū)間（0,力上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)根的取值

范圍是________

【答案】（一1一兀,0）

【解析】因?yàn)閥=sinx與y=2元+機(jī)在上都單調(diào)遞增,

所以〃x）=sinx+2x+機(jī)在卜上單調(diào)遞增，

因?yàn)?（x）=sinx+2x+?z在區(qū)間（0,。）上有零點(diǎn)，

/（0）＜0sin0+2x0+m<0

所以血＞。m<0

.71-71?角軍得一1-兀＜機(jī)＜0,

sin—+2x—+m>0l+7i+m>0

22

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（-I-兀,0）.故答案為：（-1-兀,0）.

3.（2023?吉林通化梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=?i（lnx-2）+（〃+1卜在區(qū)間［e?,e［上

存在零點(diǎn),則m2+n2的最小值為.

【答案】J

1+e6

【解析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為乙則7+加（1皿-2）+加=。，則點(diǎn)（加川在直線了（山一2）+?+/=0上.

因?yàn)槎?表示（0,0）與（m,用的距離，所以則/+/的最小值即為原點(diǎn)到直線x（lnf-2）+*+f=0的距

2

離的最小值平方，即耐+/N

(ln/-2)2+r2

min

令y=(ln/2)2+r[ln-2[JQe，eJ,

令==當(dāng)xe(e2,e3)時(shí),g'(t)>0,g(/)單調(diào)遞增,

,1e6

當(dāng)xe（e3,e，時(shí)，g'（r）＜O,g（/）單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=e3時(shí)，一1"i+e6

e7+

66

所以蘇+〃2W蘇+/的最小值為'.

1+e61+e6

6

故答案為：'e

1+e6

考法三判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【例3-1】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/■。）=|（；）”1|-1嗎》的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由f（x）=。，Ml（1r-I|=iog2x,因此函數(shù)Ax）的零點(diǎn)即為函數(shù)y=iog/與y=l（g）x-i|的圖象交點(diǎn)

橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=iog2x與y=l（g）'-i|的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)，=iog?x與＞=|（：廠-1］的圖象有唯一公共點(diǎn)，

所以函數(shù)/（尤）=1（；）'-11-log/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B

【例3-21（2023?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)"X）=sin（3X-"在［0,7t］內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

7TTT/sir

【解析】由％$［0,兀］,得3x—彳￡,

由/（九）=0,得3%—m=0或3x-g=?；?%一三二2兀，

貝I了=^或犬二事或尤二爺

所以在［0,可內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

【例3-3】（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/（%）是定義在R上的周期為5的奇函數(shù)，/（3）=0,則/（%）在［0,10］

內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是（）

A.4B.6C.7D.9

【答案】D

【解析】因?yàn)锳x）是定義在R上的周期為5的奇函數(shù)，

所以/（。）=/（5）=/（10）=0,又/（3）=0,所以/（3）=八8）,

則3）=/（2）"（7）=0,（|卜一佃,則+

所以（I［佃=。"圖=4+5，/圖=0,

故零點(diǎn)至少有0,22,3,5,7,8,2,10,則Ax）在［0,10］內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是9.

22

故選：D

【變式】

1.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)“工卜仔-工加內(nèi)與在區(qū)間已用上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】求函數(shù)〃尤）=（/-x）ln|2x-3|在區(qū)間［-2,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

轉(zhuǎn)化為方程（無(wú)2-x）ln|2x-3|=0在區(qū)間［-2,2］上的根的個(gè)數(shù).

由（尤2_x）in|2x-3|=0,得/_》=0或ln|2x-3|=0,

解得：x=0或X=1或九=2,

所以函數(shù)〃x）=（x2-x）ln|2x-3|在區(qū)間［-2,2］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：A.

2.（2023?陜西咸陽(yáng)?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知方程（x-l）e*=x的解個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】易知尤=。不是方程（》一1）爐=》的解，所以方程（x—l）e*=x等價(jià)于-1=。，

構(gòu)造函數(shù)-1,刀€（-8,0）5。，+8）,

所以“X)在(y,0),(0,y)上單調(diào)遞增，

又〃一1)=1一"°"［一;加1°，

所以方程(1-三|「，-1=。在區(qū)間［1,上有且僅有一個(gè)解,

/(i)=-i/o,/(2)=^-ik

所以方程(1-—)e*-1=0在區(qū)間(1,2)上有且僅有一個(gè)解,

所以方程(1——)e'-1=。的解的個(gè)數(shù)為2，即方程(x-1)e'=x的解個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

3.(2023?江蘇揚(yáng)州?江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=sin(0x+$),0>O在上單調(diào)遞

664_

增，則/(X)在(0,2兀)上的零點(diǎn)可能有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

TT717r

【角星析1由---F2kli<cox+—<—+2kit,keZ,

262

--<x<-,:.--+2ht<--co+-<o）x+-<-co+-<-+2ht,即左只能取0,W--<X<—,

6426664623?3?

2兀兀

------1—,

6解得

因?yàn)?(%)在一上單調(diào)遞增,則300<04,

兀兀3

5

由xw（0,2兀）,則+q￡（q,20兀+q］,設(shè)才=刃%+看，

E?「兀C兀\Edc兀（7117兀11771兀871c271c

貝U/￡|—,2。兀H,因?yàn)?。兀HE—,-----,----------==2兀H-----<3兀,

166}6166」6633

所以函數(shù)丫=5可在上的零點(diǎn)最多有2個(gè)；

故選：A.

4.(2023?寧夏銀川?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),f(x)=x,

f(l+x)=/(l-x),令g(x)=/■(%)—Igx,則函數(shù)g(元)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為￡)

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由〃1+X)=〃1T)可得，〃尤)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

又由"l+x)=y(l—x)可得/(2+x)=f(r)=-y(x),

所以〃4+x)=—/(2+x)="r),所以〃尤)以4為周期，

g(x)=/(x)-lgx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程〃x)=lgx的根的個(gè)數(shù)，

也即“X)的圖象與y=lgx圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

因?yàn)閘g9<l,lgl0=l,

所以數(shù)形結(jié)合可得“X)的圖象與y=lgx圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，

故選:B.

5.(2023?江西上饒?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=sin2x+2sinx-l,則尤)在xe[0,2023可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x+27t)=sin2(x+27r)+2sin(x+27i)—l=sin2x+2sinx-l=/(x),

所以函數(shù)〃x)=sin2x+2sinx-l是周期為2兀的周期函數(shù)，

又/'(%)—2cos2%+2cosx=2(2cosx—l)(cosx+1),

當(dāng)x￡[0,2TT]時(shí)，令fr(x)=2(2cosx-l)(cosx+1)=0,

可得或X=g或X=n

當(dāng)OWxw1時(shí)，r（x）>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=g時(shí)，/（x）=O

函數(shù)〃x）在xe0,1上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤啊＃?-1，（雪=竽T>°，所以函數(shù)〃x）在存在一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng):<x<g時(shí)，/（x）W0,當(dāng)且僅當(dāng)X=7t時(shí)，尸（2=0,

所以函數(shù)〃元）在xegg）上單調(diào)遞減，

因?yàn)?'）=孚T>。，〃兀）=一1<。，

所以函數(shù)/（無(wú)）在存在一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)g<xW2兀時(shí)，制勾>0,所以函數(shù)“X）在尤（，2兀上單調(diào)遞增，

因?yàn)?一孚一1<0,〃2兀）=一1<0,

所以函數(shù)〃尤）在［g，27r不存在零點(diǎn)；

所以當(dāng)xe［0,2可時(shí)，函數(shù)AM有兩個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)位于區(qū)間（0㈤內(nèi)，

所以/（X）在xe［0,2023兀］上共有2x1012=2024個(gè)零點(diǎn).

故選：B.

考法四根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)

【例4-1】（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃無(wú)）=855-1（。>0）在區(qū)間［0,2可有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則

。的取值范圍是.

【答案】［2,3）

【解析】因?yàn)?W%W2TT,所以。WgxW2詼，

令/（%）=coss—1=。,貝"coss=l有3個(gè)根，

令t=a）x,則cos，=l有3個(gè)根，其中，￡［0,2師］,

結(jié)合余弦函數(shù)y=cos,的圖像性質(zhì)可得4兀02師〈6兀，故2WG<3,

故答案為：［2,3).

【例4-2］(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)oeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記=min{國(guó)-2,/一辦+3.-5}.若/'(x)

至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a>10

［解析］設(shè)g(x)=x2-ar+3a—5,〃(尤)=國(guó)一2,由,一2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)〃x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g⑺至少有一個(gè)零點(diǎn)，則公=片-124+2020,

解得aW2或a210.

①當(dāng)a=2時(shí)，g(尤)=/-2尤+1,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)/(X)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為4、馬(不〈當(dāng))，

要使得函數(shù)/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，貝。馬4-2,

a小

一<-2

所以，2,解得4G0；

g(-2)=4+5fl-5>0

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=%2-10x+25,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,合乎題意；

④當(dāng)。>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為W、尤4(毛<%)，

要使得函數(shù)/(X)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則三22,

a一

—>2

可得彳2,解得々>4,此時(shí)a>10.

g⑵=4+a-520

綜上所述，實(shí)數(shù)，的取值范圍是［10,y).

故答案為：［io,y).

【變式】

1.(2023?廣西梧州??？家荒?若函數(shù)〃x)=24加+4X—1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是__?

【答案】R搞］【一2

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=4x-l=0=>x=1w(-1,1),符合題意，

4

當(dāng)aw0時(shí)，二次函數(shù)/(x)=24ax2+4x-1的判別式為：A=16+96a,

11

若AR,”-：,此時(shí)函數(shù)/(x)=24/+4x—l的零點(diǎn)為x=；,符合題意；

62

當(dāng)時(shí)，只需/(1>/(-1)=(244+3)(24。-5)<0,所以-：<。<三且“中()；

6824

當(dāng)/⑴=0時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；當(dāng)/(-1)=0時(shí)，。=三，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；

824

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-］同

故答案為：一：，￡；1一；1

2.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)『(x)=ln2x-"有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取

值范圍是______.

【答案】［。，小

【解析】由〃司=0得，a=—,

X

所以若函數(shù)〃x)=ln2x-儀有三個(gè)零點(diǎn)，則方程。=電七有三個(gè)根,

X

設(shè)g(無(wú))=史，則,(x)=電％

XX

令g'(%)=。得,I=1或九=?2,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g[x)<0,g(x)遞減，

當(dāng)xe(l,e2)時(shí)，g,(x)>0,g(x)遞增，

當(dāng)尤式e[+oo)時(shí)，g,(x)<0,g(x)遞減,

作出函數(shù)g(元)的大致圖像，如圖,

3(2023春?湖北)設(shè)函數(shù)/(x)=e，-2mx在區(qū)間［1,3上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

「ee3l

【答案】

26

【解析】令/(x)=eJ2%x=0,貝iJ%=G,函數(shù)/(x)=e,—2M在區(qū)間［；,3］上有零點(diǎn)等價(jià)于直線丁=根

2x2

QX「1一

與曲線gU)=1在彳€-,3上有交點(diǎn)，

2xL2.

則gG)=(l產(chǎn),當(dāng)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,3］時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

2x/

g(xL=g⑴=,g［：］=e5,g(3)=，,顯然?>丁,二g(x)e,

乙、乙)OoZO

e匕3］「11

即當(dāng)加￡時(shí)，函數(shù)/(%)在上有零點(diǎn)；

2OJ_

-3-

ee

故答案為：~.

4.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力="一log.Movavl)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為.

【答案】I。,5)

【解析】設(shè)。=6一'(/>0),貝lj/(x)=e-"

設(shè)“x)=l+W^(x>0),則〃(x)=e(lnx+￡|,

設(shè)夕(無(wú))=in尤+-!-(x>o),則e'(x)=，--L=^l)

Zxxtxtx

當(dāng)xe］o,J］時(shí)，9'(x)<0,當(dāng)xe］；,+oo］時(shí)，°'(x)>0,

所以"(x)在(0,［上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則夕(x)mi?=?'=Tnr+l,

①當(dāng)0<rWe時(shí)，(p(x)>0,則勿(x)20,

所以力⑺在(。,+向上單調(diào)遞增，

所以〃(x)在(0,+8)上至多一個(gè)零點(diǎn),

所以/'(X)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;

②當(dāng)c>e時(shí)，°(x)1111n=-山/+1<0,

令加?)=e'—(/>e),

則m\t)=ez-1>0,

所以m(0在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以m(t)>m(e)=ee-e>0,

所以e'>t>e

所以e7<：<L

te

又因?yàn)橄?e-')=e:>0,"([二—^—<0,^(1)>0,

所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在冊(cè)?(。,，，使得6(%)=。；存在Xzeg」)

使得。(w)=。,

所以當(dāng)xe(o,可)時(shí)，°(x)>0,當(dāng)時(shí)，夕(x)<0,當(dāng)了?孫小)時(shí),e(x)>o,

所以/7(x)在(0,為)上單調(diào)遞增，在(X]，W)上單調(diào)遞減，在(％,內(nèi))上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閑"<x<-<—<x<l,

lte2

ft（e9=1-e，e<0,3）>出）=1_^'，M%）（個(gè)）=1-3<0，硝）=1>。，

令丁=邛（f>e）,貝uy="^<。，

所以y=皿在（e,+s）上單調(diào)遞減，

匚匚2In11

所以——<-,

te

所以i一旦U>o,

t

所以〃（xj>〃]「>。，

所以由零點(diǎn)存在性定理知，人（無(wú)）在（0,占），（X],X2）,（吃,長(zhǎng)0）上各有一個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)f>e時(shí)，〃尤）在（0,占）,（占,%）,（%,+oo）上各有一個(gè)零點(diǎn)，

即：當(dāng)0<“<尸時(shí)，/（力在（0,%）,（jq,x2）,（凈田）上各有一個(gè)零點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍為/，：）

故答案為：,，5]

考法五比較零點(diǎn)的大小

【例5-1】（2022?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=2'+x,g（x）=log2x+x,

%（x）=2sinx+x的零點(diǎn)分另lj為a,6,c則a,b,c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】由/z（x）=2sin尤+尤=0得x=0,二。=0,

由/（x）=0得2,=一x,由g。）=0得log?x=Ix.

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2*、j=iog2%,y=-x的圖象,

由圖象知a<0,b>0,:.a<c<b.

故選：D

【例5-2](2023?江西南昌)己知函數(shù)/'(尤)=x-&(x>0),g(x)=x+e',〃(x)=x+lnx的零點(diǎn)分別為4,

々，%,則().

A.x；<x2<x3B.x2<xt<x3

C.x2<x3<D.x3<x；<x2

【答案】C

【解析】函數(shù)/(尤)=尤-?5>0),g(x)=x+ex,/z(x)=x+lnx(x>o)的零點(diǎn)，即為y=落與y=6(了>0),

J=~ex,y=-lnx(x>0)的交點(diǎn)，

作出y=x與y=?(x>0),>=-螳，y=—lnx(x>0)的圖象，

故選：C

【變式】

1.（2022?重慶沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足&=（g：=lnc,則下列不等式

一定不成立的為（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】由y=?,y=[,y=ln尤的圖象如下:

y=V^

X.y=

0/?

由圖知：當(dāng)G=（g）=lnc￡（O,〃）時(shí)，a<c<b,D可能；

當(dāng)y[a=（g）=Inc￡（〃,㈤時(shí)，a<b<c,B可能；

當(dāng)&=[g）=lnc￡（w,+co）時(shí)，b<a<c,A可能.

故選：c

2.（2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（冗）=2"+冗-4,g（x）=e”+x-4,力（無(wú)）=lnx+x-4的零點(diǎn)分別

是〃，b,c,貝!]4,b,c的大小順序是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<l

【答案】C

【解析】由已知條件得

/（x）的零點(diǎn)可以看成y=2*與y=4-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，g（x）的零點(diǎn)可以看成y=^與〉=4-%的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)，"（%）的零點(diǎn)可以看成y=ln%與y=4-%的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在同一坐標(biāo)系分別畫(huà)出y=2",y=e、，y=lnx,y=4-％的函數(shù)圖象,如下圖所示,

可知C>Q>b,

故選：C.

fc

3.（2023?陜西西安）己知函數(shù)/（x）=2，+x,g（x）=log2x+x,〃（尤）=丁+x的零點(diǎn)分別為。、b、c,則。、

b、c的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)>=2晨y=x均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)F（x）=2，+x為R上的增函數(shù)，

因?yàn)?（-1）=3-1<。，/（0）=1>0,所以，

因?yàn)楹瘮?shù)>=廄2尤、y=X在（0,+8）上均為增函數(shù)，故函數(shù)g（X）=log2X+X在（0,+8）上為增函數(shù)，

因?yàn)間（；）=-l+g<0,g⑴=1>0,所以，

由/7?=°卜2+1）=0可得c=0,因此，a<c<b.

故選：A.

考法六零點(diǎn)之和

【例6-1】（2023青海西寧?統(tǒng)考二模）函數(shù)〃尤）=4sin］尤-|尤-1|的所有零點(diǎn)之和為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】令f（x）=。，得4singx=|x-l|,解得x=-3或x=5,即為零點(diǎn)，

令g（%）=4sin］x,/z（x）=|x-l|,

2兀A

g（x）的周期T=N=4,對(duì)稱(chēng)軸尤=1+4匕左eZ,且九⑺的對(duì)稱(chēng)軸尤=1,

2

做出g（x）=4sin］尤和雙力=卜7的圖象如圖所示：

顯然，在(0,1)和(1,2)上各存在一個(gè)零點(diǎn)，

57r

g(5)=4sin—=4=/J(5)=|5-1|,〃(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上兩函數(shù)必存在一個(gè)交點(diǎn)，

/(x)在(4,5］上有兩個(gè)零點(diǎn),同理/(%)在［-3,-2)上存在兩個(gè)零點(diǎn)，

所以f(x)在［-3,5］上存在6個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)間(x)和〃(x)關(guān)于尤=1對(duì)稱(chēng)，則/⑴零點(diǎn)關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，

所以“X)的所有零點(diǎn)之和為6x1=6.

故選：C

【例6-2】(2023?河南?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃尤)滿(mǎn)足〃2+0=-〃-X)，且曲線y=/(x)與

曲線y=-一)有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=〃尤)+—1的零點(diǎn)之和是()

x—1x—1

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【解析】由題意定義域?yàn)镽的函數(shù)“X)滿(mǎn)足〃2+力=-/(-力，

則“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，

函數(shù)y=的圖象是由>=-工的圖象向右平移一個(gè)單位得到，

X-1X

故、=-二7的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，。)成中心對(duì)稱(chēng)，

x-1

又曲線y=/(x)與曲線>=-一二有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，故這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2,

而函數(shù)g(x)=〃x)+—1的零點(diǎn)即為曲線y=〃x)與曲線y=——二交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

X~LX~1

故函數(shù)g(x)=〃x)+—1的零點(diǎn)之和是2,

X—1

故選:A

【變式】

1.(2023?河南?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿(mǎn)足了(x+3)=/(x),當(dāng)xe[0,1時(shí),

o315

f(x)=x2,則關(guān)于犬的方程/(尤)=弓31\|在[—-]上所有實(shí)數(shù)解之和為()

4344

2123

A.9B.—C.—D.7

22

【答案】B

333

【解析】函數(shù)〃x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0，t時(shí)，f(x)=x2,則當(dāng)xe[-1章時(shí)，f(x)=x2,

又〃x+3)=〃x),則函數(shù)y=f(x)的周期是3,顯然〃x+3)=〃r),

即直線X=；是“X)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，因此直線x=3，%eZ是“X)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，

Q27r__7_1__33927r

函數(shù)y=l；cos?x|的最小正周期是2兀一2,直線X=：匕左eZ是y=|：cosqx|圖象的對(duì)稱(chēng)軸,

43-243

函數(shù)＞=/(元)與y=lj9cos2：Kx|在當(dāng)x34歡eZ時(shí)取得相同最大值9

4324

92兀

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)y=/(x)與＞=l：cos〒尤|的圖象，如圖，

43

觀察圖象知，函數(shù)＞=/(x)與y=|9[cos2兀?x|在3上15有7個(gè)公共點(diǎn)，對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)依次為

4344

玉，X2，玉，*4，*5，，6，X1，

321

由對(duì)稱(chēng)性知，%+%7=%2+%6=無(wú)3+%5=2%4=3,于是玉+%2+X3+X4+X5+X6+X7=3x3+—=—,

所以關(guān)于尤的方程/(尤)=Ecos§xI在上所有實(shí)數(shù)解之和為3.

43442

故選：B

2.(2022?江西?江西師大附中?？既?定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足〃-尤)+〃力=0,〃力=〃2-尤)，且

當(dāng)xe[0,l]時(shí)，〃力=爐.則函數(shù)y=7〃x)—x+2的所有零點(diǎn)之和為()

A.7B.14C.21D.28

【答案】B

【解析】依題意，〃尤)是奇函數(shù).又由〃x)=〃2-x)知，的圖像關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng).

/(%+4)=/(1+(X+3))=/(1-(X+3))=/(-2-X)=-/(2+X)

=-/(2-(-^))=-/(-x)=/(%),

所以是周期為4的周期函數(shù).

/(2+%)=/(l+(l+%))=/(l-(l+x))=/(-%)=-/(%)=-/(2-x),

所以關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng).

丫一2

由于V=7〃X)-X+2=0O〃X)=——

從而函數(shù)y=7〃x)-x+2的所有零點(diǎn)之和即為函數(shù)/(x)與g(x)=]的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

而函數(shù)g(x)=子的圖像也關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng).

畫(huà)出y=〃x)，g(尤)=寸的圖象如圖所示.由圖可知，共有7個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y=7〃x)-x+2所有零

點(diǎn)和為7x2=14.

2H-1,0<X<2

3.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(*)=1

-/(x-2),x>2

則函數(shù)80)=才'。)-1在[-6,+00)上的所有零點(diǎn)之和為()

A.-32B.32C.16D.8

【答案】D

【解析】函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),/(-x)=-/(x).

又.,函數(shù)g(x)=—g(—x)=(-x)/(一元)一1=V(x)-l=g(尤)

函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，

，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的.

函數(shù)g(x)在［-6,6］上所有的零點(diǎn)的和為0,

函數(shù)g(x)在［-6,+oo)上所有的零點(diǎn)的和,即函數(shù)g(x)在(6,+oo)上所有的零點(diǎn)之和.

即方程fix)=工在(6,+8)上的所有實(shí)數(shù)解之和.

X

21-1,0〈龍41

由0<2時(shí),〃尤)=2H-1,故有/(x)=.2X1-I,l<x<2

1/(^-2),X>2

???函數(shù)/(X)在(0,2］上的值域?yàn)椋?』,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)=

又當(dāng)x>2時(shí),=；〃尤一2),如圖：

???函數(shù)/("在(2,4］上的值域?yàn)椋?號(hào)；

函數(shù)/'(%)在(4,6］上的值域?yàn)?,；；

函數(shù)〃x)在(6,8］上的值域?yàn)椤?11當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=8時(shí),"》)=：,

LOJO

即方程7。)=!在(6,8］上的又一個(gè)實(shí)數(shù)解X=8.即g⑺=獷⑺-1有一個(gè)零點(diǎn)X=8；

函數(shù)“X）在（8,10］上的值域?yàn)?,（，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，〃尤）=《＜$,

故〃尤）〈工在（8,10］上恒成立,g⑺=獷⑺-1在（8,10］上無(wú)零點(diǎn)，

同理g（x）=遮（力—1在（10,12］上無(wú)零點(diǎn)，

依此類(lèi)推涵數(shù)g（尤）在（8,—）無(wú)零點(diǎn).

綜上函數(shù)8（句=獷（%）-1在［-6,+8）上的所有零點(diǎn)之和為8,

故選：D.

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)/'（X）滿(mǎn)足：/卜-1^為偶函數(shù)，且

-8sinx,<x<0

〃尤）=12;函數(shù)g（x）=lgx+]則當(dāng)xe［-4%,3司時(shí)，函數(shù)y=/（%）-g（x）的所有零點(diǎn)

之和為（）

A.—77rB.一6兀C.D.—3%

~2

【答案】A

【解析】因?yàn)椤队?1^為偶函數(shù)，所以〃尤）關(guān)于》=￡對(duì)稱(chēng),

所以當(dāng)%￡（一肛0）時(shí)，/（x）=-8sinx,

當(dāng)九￡（0,乃）時(shí)，了—1￡（—匹0）,/（%）=^?［-8sin（x-=4sinx,

當(dāng)了￡（兀,2兀）時(shí)，了—乃￡（0,萬(wàn)）,/-［4sin（x-TT）］=-2sinx,

當(dāng)龍￡（2匹3?）時(shí)，九一》￡（肛2兀）,/（%）=g?［-2sin（x-?）］=sin%,

當(dāng)了￡（—乃,0）時(shí)，工+%￡（0,萬(wàn)）,/（x）=；1-8sin（x+?）］=4sinx,

函數(shù)g（x）=lgx+g為＞=lg|x|的圖象向左平移g個(gè)單位,

〃x）,g（無(wú)）的圖象如下圖所示,

〃力心（力均關(guān)于％=-^對(duì)稱(chēng)，〃x）,g（x）有14個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=〃x）-g（x）的所有零點(diǎn)之和為：71-1X2）=-7%.故選：A.

考法七零點(diǎn)之和的范圍

【例7-1X2023?上海嘉定,?？既＃┮阎瘮?shù)〃x）=J[og"-I）xe（2+功’若滿(mǎn)足〃"）=〃"）="""、

b、c互不相等），則a+6+c的取值范圍是（）

A.（3,2023.5）B,（3,2024）C,[3,2024）D.[3,2025）

【答案】D

因?yàn)椤╝)=〃/7)=〃c),

由函數(shù)的性質(zhì)得o