2023屆天津市部分區(qū)高三二模考試數(shù)學試題 （解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市部分區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，即，，因此由能推出，當時，顯然當時成立，但是不成立，因此由不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為,又，故函數(shù)為奇函數(shù)，排除A,B.又，故排除D，選C.故選：C.4.已知，則（）A.3 B.5 C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.5.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，由于為上的單調增函數(shù)，故，故，故選：C6.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點.敦敦和融融在步行街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準備分著吃.如圖，該紅薯可近似看作三個部分：左邊部分是半徑為的半球；中間部分是底面半徑是為、高為的圓柱；右邊部分是底面半徑為、高為的圓錐，若敦敦準備從中間部分的處將紅薯切成兩塊，則兩塊紅薯體積差的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，兩塊紅薯體積差絕對值為.故選：A.7.若函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，；若在上單調遞增，則，解得：，又，若不等式組有解，則解得：，，則；若在上單調遞減，則，解得：，又，若不等式組有解，則，解得：，與矛盾，在上單調遞減不成立；綜上所述：，則的最大值為.故選：B.8.已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（）A.16 B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，故雙曲線的漸近線方程為，又與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設直線的斜率為，又，故的直線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程得：，所以，所以.故選：D.9.設函數(shù)，.當時，與的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A.4051 B.4049 C.2025 D.2023〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的最小正周期為2，直線為其一條對稱軸，，其圖象關于直線對稱，故可作出函數(shù)函數(shù)，得圖象如圖：由圖像可知，在直線的右側，包含的1012個周期，在每個周期內和的圖象都有2個交點，則共有2024個交點，根據(jù)對稱性可知，在直線的左側，和的圖象也有2024個交點，且在直線的兩側的交點是關于直線兩兩對稱的，故這4048個交點的橫坐標之和為，而也是這兩函數(shù)圖象的一個交點的橫坐標，故與的圖象所有交點的橫坐標之和為，故選：B.第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.是虛數(shù)單位，復數(shù)_______________.〖答案〗〖解析〗復數(shù)，故〖答案〗為：.11.在的展開式中，常數(shù)項為______________.（結果用數(shù)字表示）〖答案〗〖解析〗展開式通項為：，令，解得：，，即常數(shù)項為.故〖答案〗為：.12.經過點的圓的方程為___________.〖答案〗〖解析〗設圓的一般方程為，代入點可得：，解得故圓的一般方程為：故〖答案〗為：13.某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是①每人進行5個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為0.6，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲第一輪通過的概率為________；甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是_____________.〖答案〗〖解析〗“第次投中”，，則甲第一輪通過的概率為.的可能取值為，服從二項分布，則甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是.故〖答案〗為：；.14.已知實數(shù)、滿足，則的最小值為________.〖答案〗##〖解析〗因為，即，所以，，所以，，當且僅當或時，等號成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.15.在中，，角為銳角，且向量在向量上的投影向量的模是3，則________；若，則函數(shù)的最小值為_______________.〖答案〗〖解析〗由向量在向量上的投影向量為，得向量在向量上的投影向量的模為，所以，又因角為銳角，所以，如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，則，在上取，使得，則，在上取點使得，則，直線的方程為，設點關于直線的對稱點，則，解得，所以，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.（1）解：由正弦定理及可得，則，由余弦定理，可得，故.（2）解：因為，，則，由正弦定理可得.（3）解：由（1）可知，則，故為銳角，所以，，所以，，，所以，.17.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為，若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.（1）證明：依題意，以D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，可得,,,,,.依題意，,,從而,所以，即（2）解：依題意，,,設為平面ACF的法向量，則，不妨設可得，因為,設直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.（3）解：假設線段DE上存在一點，使得直線BG與AD所成角的余弦值為，則.依題意則，，解得.所有存在點滿足條件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一個法向量為，所以點G到平面ACF的距離為

18.已知橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，是軸上一點，且滿足，若直線的斜率為，求直線的方程.（1）解：由題意可得，解得，，所以，，所以，橢圓的方程為.（2）解：設直線的方程為，設點，聯(lián)立可得，則為方程的一根，所以，，可得，則，即點，由，得，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令可得，即點，所以，，即，解得或，因為，解得或，所以，直線的方程為或.19.已知為等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，，.（1）求和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）設的前項和為，證明：.（1）解：由及可知，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，設等差數(shù)列的公差為，由，可得，，所以，.（2）解：，設數(shù)列的前項和為，，記，，所以，，，①，②①②可得，所以，，因此，.（3）證明：先證明柯西不等式，構造函數(shù)，顯然且，所以，，即，當且僅當時，等號成立，本題中，由（1）可得，所以，，且，所以，，，所以，，但不恒為常數(shù)，所以等號不成立，則.20.已知，函數(shù).（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）當時，設的導函數(shù)為，若恒成立，求證：存在，使得；（3）設，若存在，使得，證明：.（1）解：由函數(shù)，可得其定義域為，當時，可得，則，當時，可得，單調遞減；當時，可得，單調遞增，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間.（2）解：當時，可得，則，因為恒成立，即恒成立，令，若，則，存在，使得，即，不符合題意，所以，取，則，可得，即存在，使得.（3）證明：由函數(shù)，可得，設，因為，可得則又由，可得，所以函數(shù)為單調遞增函數(shù)，所以，即，所以，即，設，可得，所以當時，，即，所以，即，所以，代入可得：，則，所以.天津市部分區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，即，，因此由能推出，當時，顯然當時成立，但是不成立，因此由不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的定義域為,又，故函數(shù)為奇函數(shù)，排除A,B.又，故排除D，選C.故選：C.4.已知，則（）A.3 B.5 C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.5.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，由于為上的單調增函數(shù)，故，故，故選：C6.紅薯于1593年被商人陳振龍引入中國，也叫甘薯、番薯等，因其生食多汁、熟食如蜜，成為人們喜愛的美食甜點.敦敦和融融在步行街買了一根香氣撲鼻的烤紅薯，準備分著吃.如圖，該紅薯可近似看作三個部分：左邊部分是半徑為的半球；中間部分是底面半徑是為、高為的圓柱；右邊部分是底面半徑為、高為的圓錐，若敦敦準備從中間部分的處將紅薯切成兩塊，則兩塊紅薯體積差的絕對值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，兩塊紅薯體積差絕對值為.故選：A.7.若函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，；若在上單調遞增，則，解得：，又，若不等式組有解，則解得：，，則；若在上單調遞減，則，解得：，又，若不等式組有解，則，解得：，與矛盾，在上單調遞減不成立；綜上所述：，則的最大值為.故選：B.8.已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（）A.16 B. C.8 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，故雙曲線的漸近線方程為，又與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設直線的斜率為，又，故的直線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程得：，所以，所以.故選：D.9.設函數(shù)，.當時，與的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A.4051 B.4049 C.2025 D.2023〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的最小正周期為2，直線為其一條對稱軸，，其圖象關于直線對稱，故可作出函數(shù)函數(shù)，得圖象如圖：由圖像可知，在直線的右側，包含的1012個周期，在每個周期內和的圖象都有2個交點，則共有2024個交點，根據(jù)對稱性可知，在直線的左側，和的圖象也有2024個交點，且在直線的兩側的交點是關于直線兩兩對稱的，故這4048個交點的橫坐標之和為，而也是這兩函數(shù)圖象的一個交點的橫坐標，故與的圖象所有交點的橫坐標之和為，故選：B.第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.是虛數(shù)單位，復數(shù)_______________.〖答案〗〖解析〗復數(shù)，故〖答案〗為：.11.在的展開式中，常數(shù)項為______________.（結果用數(shù)字表示）〖答案〗〖解析〗展開式通項為：，令，解得：，，即常數(shù)項為.故〖答案〗為：.12.經過點的圓的方程為___________.〖答案〗〖解析〗設圓的一般方程為，代入點可得：，解得故圓的一般方程為：故〖答案〗為：13.某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是①每人進行5個輪次的投籃；②每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為0.6，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲第一輪通過的概率為________；甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是_____________.〖答案〗〖解析〗“第次投中”，，則甲第一輪通過的概率為.的可能取值為，服從二項分布，則甲5個輪次通過的次數(shù)的期望是.故〖答案〗為：；.14.已知實數(shù)、滿足，則的最小值為________.〖答案〗##〖解析〗因為，即，所以，，所以，，當且僅當或時，等號成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.15.在中，，角為銳角，且向量在向量上的投影向量的模是3，則________；若，則函數(shù)的最小值為_______________.〖答案〗〖解析〗由向量在向量上的投影向量為，得向量在向量上的投影向量的模為，所以，又因角為銳角，所以，如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，則，在上取，使得，則，在上取點使得，則，直線的方程為，設點關于直線的對稱點，則，解得，所以，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為.故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.（1）解：由正弦定理及可得，則，由余弦定理，可得，故.（2）解：因為，，則，由正弦定理可得.（3）解：由（1）可知，則，故為銳角，所以，，所以，，，所以，.17.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為，若存在，求出點到平面的距離，若不存在，請說明理由.（1）證明：依題意，以D為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，可得,,,,,.依題意，,,從而,所以，即（2）解：依題意，,,設為平面ACF的法向量，則，不妨設可得，因為,設直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.（3）解：假設線段DE上存在一點，使得直線BG與AD所成角的余弦值為，則.依題意則，，解得.所有存在點滿足條件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一個法向量為，所以點G到平面ACF的距離為

18.已知橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于另一點，是軸上一點，且滿足，若直