2023屆重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學期11月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市縉云教育聯(lián)盟2023屆高三上學期11月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，故，所以，故選：B.2.已知，，，下列說法正確的是（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，又在單調(diào)遞增，所以，即，所以；設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即所以；綜上所述：，故選：C3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，AD是∠A的平分線，，，則的最小值是（）A.6 B. C. D.10〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：由題意可得，AD是∠A的平分線，則.則，，而,代入化簡得，，即.則，當且僅當，即時，等號成立.故最小值為.故選：C4.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢一定.假設(shè)連續(xù)購買兩天該物品，第一天物品的價格為，第二天物品的價格為，且，則以下選項正確的為（）A.第一種方式購買物品的單價為 B.C.第一種購買方式所用單價更低 D.第二種購買方式所用單價更低〖答案〗D〖解析〗第一種策略：設(shè)每次購買這種物品的數(shù)量均為,則平均價格為，故A不正確；第二種策略：設(shè)每次購買這種物品所花的錢為，第一次能購得該物品的數(shù)量為，第二次能購得該物品的數(shù)量為，則平均價格為；，所以，故B錯誤，同時說明第二種購買方式所用單價更低；故選：D5.數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得：，；設(shè)，則，，，，即，.故選：B.6.已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數(shù)），則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖在矩形中，，在中，，，，．故選：A．7.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則（）A.999 B.749 C.499 D.249〖答案〗A〖解析〗由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項，5為公比的等比數(shù)列，則①，由得：，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立得.因為，所以，即，所以，故，所以，則.故選：A8.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)，則，即，令，則，∴在單調(diào)遞增，對恒成立，而恒成立，令，，則在單調(diào)遞減，∴，∴，的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.下列結(jié)論正確的是（）．A.若，且，則B.若，，，則的最小值為4C.函數(shù)的最小值為4D.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，〖答案〗AB〖解析〗對于A，若，且，因為，即，A正確；對于B,若，，,則，則，即，故，當且僅當是取得等號，故的最小值為4，B正確；對于C,當時，，令，則函數(shù)，單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最小值為2，C錯誤；對于D,各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則，滿足上式，所以,所以，當時，，當時，，由于，故D錯誤，故選：AB.10.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）A.平分B.C.延長交直線于點，則三點共線D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經(jīng)過拋物線焦點，故聯(lián)立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因軸，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因為，故，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點的縱坐標都相同，則三點共線，故C正確；對于D，由選項A知，故D正確.故選：ACD.11.在棱長為2的正方體中，P為線段上一動點（包括端點），則以下結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的外接球表面積為B.三棱錐的體積為定值C.過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形面積為D.直線與平面所成角的正弦值的范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，三棱錐外接球即為正方體的外接球，正方體的外接球直徑為，故三棱錐外接球的表面積為，A錯誤；對于B選項，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，，，B正確；對于C選項，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，又因為平面，，所以，平面平面，所以，過點平行于平面的平面被正方體截得的多邊形為，易知是邊長為的等邊三角形，該三角形的面積為，C正確；設(shè)點到平面的距離為，由知，點到平面的距離為，當點在線段上運動時，因為，若為的中點時，，，當點為線段的端點時，，即，設(shè)直線與平面所成角為，，D正確.故選：BCD．12.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點D在邊上，和的面積分別為和且，則（）A. B.C.面積的最小值是 D.的最小值為6〖答案〗AC〖解析〗如圖所示，因為,且,所以，所以，,因為為三角形內(nèi)角，所以，故，故A項正確，B項錯誤；，所以，在中，即；在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，因為，所以，當時，取得最小值8，所以，即面積的最小值是，故C項正確；，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，因為，故存在滿足，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故因此的最小值不是6，故D錯誤.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.考慮集合的非空子集，若其子集中的奇數(shù)的個數(shù)不少于偶數(shù)個數(shù)，則稱這個子集叫做“奇子集”，則S的“奇子集”的個數(shù)為_________．〖答案〗162〖解析〗由題意知的元素中有4個奇數(shù)和4個偶數(shù)，當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為1個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為2個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為3個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為4個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；故S的“奇子集”的個數(shù)為，故〖答案〗為：162.14.已知復數(shù)滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗，∴在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為以原點為圓心，以1為半徑的圓，的幾何意義為圓上的點到的距離，如圖，的最小值為．故〖答案〗為：．15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當時，，則方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是________.〖答案〗9〖解析〗因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，又因為，令，則，故，即，即，所以，即是周期為的周期函數(shù)，因為當時，，利用的奇偶性可作出在上的圖像，再利用的周期性可依次作出上的圖像，令，由得，故的定義域關(guān)于原點對稱，又，所以也是偶函數(shù)，當時，，由與易知在上單調(diào)遞增，；同理：當時，在上單調(diào)遞增，且恒成立；再利用的奇偶性，即可作出在上的圖像，又因為當時，由得，解得或，故與在上有兩個交點，特別地，當時，易知，由得，整理得，即，故與在上只有一個交點，至此，利用與的奇偶性可作出兩者的圖像（含交點情況）如圖，顯然共有個交點，所以方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為.故〖答案〗為：.16.已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則__________．〖答案〗〖解析〗取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準線），橢圓上點，右焦點，設(shè)點到直線的距離為d，則，所以，因為本題橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)n，使為整數(shù)．解：（1）條件可化為，因此為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項為，所以①因，由①式解出②（2）由①式有＝，為使為整數(shù)，當且僅當為整數(shù)．當n＝1，2時，顯然不為整數(shù)，當時，只需為整數(shù)，因為3n－1與3互質(zhì)，所以n為9的整數(shù)倍．當n＝9時，＝13為整數(shù)，故n的最小值為9．18.在平面四邊形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．（1）若cos∠CBD＝，求；（2）記四邊形ABCD的面積為,求的最大值．解：（1）如圖，，設(shè)，，得，整理得，，，解得，又由，則有，故，解得，（2）在中，設(shè)，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，四邊形ABCD的面積為，得.當且僅當時，即時，等號成立，此時的最大值為.19.為考查某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：患病未患病總計沒服用藥203050服用藥xy50總計MN100設(shè)從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人員曾計算過（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，y，M，N的值：（2）求與的均值（期望）并比較大小，請解釋所得結(jié)論的實際含義：（3）能夠以99%的把握認為藥物有效嗎？（參考公式，其中P（K2≥k）0.100.050.0100.001k2.7063.841663510.828解：（1），，，，，；即，，，；（2）取值為0、1、2，，012P∴取值為0、1、2，，，012P∴∴，即說明藥物有效.（3）∵，∵4.76<6.635，∴不能夠有99%的把握認為藥物有效20.已知圓?，點?是直線?上一動點，過點?作圓?的切線?，切點分別是?和?.（1）當點?的橫坐標為3時，求切線的方程;（2）試問直線?是否恒過定點，若是求出這個定點，若否說明理由.解：（1）由題可知，由圓?，可知圓心為，半徑為1，當切線的斜率不存在時，滿足題意，當切線的斜率存在時，可設(shè)切線為，則，解得，所以切線為，即，所以切線的方程為或；（2）直線?恒過定點?，設(shè)?，由題意知?在以?為直徑的圓上，又?，則以?為直徑的圓的方程為?，即?，又圓?，即?，兩式相減，故直線?的方程為?，即?，由?，解得?，即直線?恒過定點?.21.如圖，正三棱柱中，分別是棱，上的點，平面，且M是AB的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面BEF與平面BCE夾角的余弦值.（1）證明：過作的平行線交分別于點，連接，如下所示：因為是正三棱柱，故可得面面，故；又三角形為等邊三角形，為中點，故；又面，，故面；因為////，則確定一個平面，即面，又//面，面面，故可得//，則面，又面，故面面.（2）解：根據(jù)（1）中所證，可得////，故四邊形為平行四邊形，在△中，因為//，且點為中點，故可得，又，則；又兩兩垂直，故以為坐標原點，連接，建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，取，則，故平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，故平面的一個法向量；設(shè)平面所成二面角的平面角為，則.故平面BEF與平面BCE夾角的余弦值為.22.已知函數(shù)是方程的兩個根，是的導數(shù)，設(shè).（1）求的值；（2）已知對任意的正整數(shù)n，都有，記，求數(shù)列的前n項和.解：（1）由，解得方程的兩根為，又是方程的兩個根,且,（2），，且，，，即是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列前項之和為.重慶市縉云教育聯(lián)盟2023屆高三上學期11月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，故，所以，故選：B.2.已知，，，下列說法正確的是（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，又在單調(diào)遞增，所以，即，所以；設(shè)，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以，即所以；綜上所述：，故選：C3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，AD是∠A的平分線，，，則的最小值是（）A.6 B. C. D.10〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：由題意可得，AD是∠A的平分線，則.則，，而,代入化簡得，，即.則，當且僅當，即時，等號成立.故最小值為.故選：C4.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢一定.假設(shè)連續(xù)購買兩天該物品，第一天物品的價格為，第二天物品的價格為，且，則以下選項正確的為（）A.第一種方式購買物品的單價為 B.C.第一種購買方式所用單價更低 D.第二種購買方式所用單價更低〖答案〗D〖解析〗第一種策略：設(shè)每次購買這種物品的數(shù)量均為,則平均價格為，故A不正確；第二種策略：設(shè)每次購買這種物品所花的錢為，第一次能購得該物品的數(shù)量為，第二次能購得該物品的數(shù)量為，則平均價格為；，所以，故B錯誤，同時說明第二種購買方式所用單價更低；故選：D5.數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得：，；設(shè)，則，，，，即，.故選：B.6.已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數(shù)），則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖在矩形中，，在中，，，，．故選：A．7.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項和，則（）A.999 B.749 C.499 D.249〖答案〗A〖解析〗由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項，5為公比的等比數(shù)列，則①，由得：，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立得.因為，所以，即，所以，故，所以，則.故選：A8.已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)，則，即，令，則，∴在單調(diào)遞增，對恒成立，而恒成立，令，，則在單調(diào)遞減，∴，∴，的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.下列結(jié)論正確的是（）．A.若，且，則B.若，，，則的最小值為4C.函數(shù)的最小值為4D.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則取最小值時，〖答案〗AB〖解析〗對于A，若，且，因為，即，A正確；對于B,若，，,則，則，即，故，當且僅當是取得等號，故的最小值為4，B正確；對于C,當時，，令，則函數(shù)，單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最小值為2，C錯誤；對于D,各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，則，滿足上式，所以,所以，當時，，當時，，由于，故D錯誤，故選：AB.10.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點，則（）A.平分B.C.延長交直線于點，則三點共線D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)題意，由得，又由軸，得，代入得（負值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經(jīng)過拋物線焦點，故聯(lián)立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因軸，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因為，故，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯(lián)立，故，又軸，所以三點的縱坐標都相同，則三點共線，故C正確；對于D，由選項A知，故D正確.故選：ACD.11.在棱長為2的正方體中，P為線段上一動點（包括端點），則以下結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的外接球表面積為B.三棱錐的體積為定值C.過點P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形面積為D.直線與平面所成角的正弦值的范圍為〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項，三棱錐外接球即為正方體的外接球，正方體的外接球直徑為，故三棱錐外接球的表面積為，A錯誤；對于B選項，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，，，B正確；對于C選項，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，又因為平面，，所以，平面平面，所以，過點平行于平面的平面被正方體截得的多邊形為，易知是邊長為的等邊三角形，該三角形的面積為，C正確；設(shè)點到平面的距離為，由知，點到平面的距離為，當點在線段上運動時，因為，若為的中點時，，，當點為線段的端點時，，即，設(shè)直線與平面所成角為，，D正確.故選：BCD．12.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點D在邊上，和的面積分別為和且，則（）A. B.C.面積的最小值是 D.的最小值為6〖答案〗AC〖解析〗如圖所示，因為,且,所以，所以，,因為為三角形內(nèi)角，所以，故，故A項正確，B項錯誤；，所以，在中，即；在中，由正弦定理可得，即，所以，所以，因為，所以，當時，取得最小值8，所以，即面積的最小值是，故C項正確；，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，因為，故存在滿足，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故因此的最小值不是6，故D錯誤.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.考慮集合的非空子集，若其子集中的奇數(shù)的個數(shù)不少于偶數(shù)個數(shù)，則稱這個子集叫做“奇子集”，則S的“奇子集”的個數(shù)為_________．〖答案〗162〖解析〗由題意知的元素中有4個奇數(shù)和4個偶數(shù)，當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為1個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為2個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為3個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；當子集中的奇數(shù)的個數(shù)為4個時，S的“奇子集”的個數(shù)為個；故S的“奇子集”的個數(shù)為，故〖答案〗為：162.14.已知復數(shù)滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗，∴在復平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡為以原點為圓心，以1為半徑的圓，的幾何意義為圓上的點到的距離，如圖，的最小值為．故〖答案〗為：．15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當時，，則方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是________.〖答案〗9〖解析〗因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，又因為，令，則，故，即，即，所以，即是周期為的周期函數(shù)，因為當時，，利用的奇偶性可作出在上的圖像，再利用的周期性可依次作出上的圖像，令，由得，故的定義域關(guān)于原點對稱，又，所以也是偶函數(shù)，當時，，由與易知在上單調(diào)遞增，；同理：當時，在上單調(diào)遞增，且恒成立；再利用的奇偶性，即可作出在上的圖像，又因為當時，由得，解得或，故與在上有兩個交點，特別地，當時，易知，由得，整理得，即，故與在上只有一個交點，至此，利用與的奇偶性可作出兩者的圖像（含交點情況）如圖，顯然共有個交點，所以方程在區(qū)間上的解的個數(shù)為.故〖答案〗為：.16.已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則__________．〖答案〗〖解析〗取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準線），橢圓上點，右焦點，設(shè)點到直線的距離為d，則，所以，因為本題橢圓離心率:，設(shè)由焦半徑公式:得:,即中點，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)n，使為整數(shù)．解：（1）條件可化為，因此為一個等比數(shù)列，其公比為2，首項為，所以①因，由①式解出②（2）由①式有＝，為使為整數(shù)，當且僅當為整數(shù)．當n＝1，2時，顯然不為整數(shù)，當時，只需為整數(shù)，因為3n－1與3互質(zhì)，所以n為9的整數(shù)倍．當n＝9時，＝13為整數(shù)，故n的最小值為9．18.在平面四邊形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．（1）若cos∠CBD＝，求；（2）記四邊形ABCD的面積為,求的最大值．解：（1）如圖，，設(shè)，，得，整理得，，，解得，又由，則有，故，解得，（2）在中，設(shè)，由，可得，在中，由余弦定理可得，，可得，，四邊形ABCD的面積為，得.當且僅當時，即時，等號成立，此時的最大值為.19.為考查某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：患病未患病總計沒服用藥203050服用藥xy50總計MN100設(shè)從沒服用藥的動物中任取2只，未患病數(shù)為：從服用藥物的動物中任取2只，未患病數(shù)為，工作人