直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式14題型分類（原卷版）

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式14題型分類一、兩條直線的交點(diǎn)1．兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2A(a，b)．(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行二、兩點(diǎn)間的距離公式1．兩點(diǎn)間的距離公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)．2．原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).三、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在平行直線間公垂線段的長圖示公式點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))（一）求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1、兩直線的交點(diǎn)：已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，聯(lián)立方程即可求解.2、求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．題型1：求相交直線的交點(diǎn)11．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）判斷下列各組中直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)：(1)，；(2)，；(3)，．12．【多選】（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若三條直線，，交于一點(diǎn)，則a的值為（

）A． B．3 C．1 D．213．（2023秋·黑龍江雞西·高二雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是，則它的外心坐標(biāo)是.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，一條角平分線所在直線為，則點(diǎn)A坐標(biāo)為.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的高線所在的直線方程為.則邊所在的直線方程為.題型2：求過兩條直線的交點(diǎn)的直線方程21．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過如下兩條直線，的交點(diǎn)，求直線l的方程．22．（2023秋·安徽合肥·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是.23．（2023秋·遼寧丹東·高二鳳城市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）求經(jīng)過直線，的交點(diǎn)M，且滿足下列條件的直線l的方程：(1)過原點(diǎn)；(2)與直線平行；(3)與直線垂直.題型3：由兩條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)或位置求參數(shù)31．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為．32．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且33．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．34．（2023秋·全國·高二期中）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．35．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)a滿足的條件是.36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為37．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知直線與的交點(diǎn)在y軸上，求m的值．題型4：三條直線能否構(gòu)成三角形問題41．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為．43．（2023秋·全國·高二期中）已知直線，，．當(dāng)為何值時(shí)，它們不能圍成三角形？44．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求a應(yīng)滿足的條件．

45．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則．（二）兩點(diǎn)間的距離1、兩點(diǎn)間的距離公式：(1)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2、計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．題型5：求兩點(diǎn)間的距離51．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）已知點(diǎn)和，求；（2）已知的頂點(diǎn)為，，，求的周長．52．（2023秋·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為中點(diǎn)，則．53．（2023·全國·高二課堂例題）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．(1)求邊上的中線的長；(2)證明：為等腰直角三角形．54．（2023·全國·高二專題練習(xí)）以為頂點(diǎn)的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形題型6：由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)61．（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．或 D．1或62．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)，且，則a的值為（

）A．1 B． C．5 D．63．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、、，且，則.64．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)的距離為5，并求直線PM的方程.題型7：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求最值71．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）的最小值為．72．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)的最大值．73．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)：對于函數(shù)，求的最小值.（三）運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題1、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題：(1)建系；(2)坐標(biāo)表示；(3)幾何關(guān)系坐標(biāo)化；(4)將數(shù)“翻譯”為形．2、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．題型8：用坐標(biāo)法解決平面幾何問題81．（2023·全國·高二課堂例題）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．82．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在中，，D，E為斜邊AB的三等分點(diǎn)，，求斜邊AB的長．83．（2023·高一單元測試）已知：為實(shí)數(shù)，兩直線相交于一點(diǎn)．求證：交點(diǎn)不可能在第一象限及軸上．（四）點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離的求解方法：(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．題型9：求點(diǎn)到直線的距離91．（2023秋·北京昌平·高二?？计谥校c(diǎn)到直線：的距離是92．（2023·全國·高二課堂例題）分別求點(diǎn)到下列直線的距離：(1)；(2)．93．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值．94．【多選】（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線上，且點(diǎn)P到直線的距離為，則m的值可能是（

）A． B．10 C．5 D．095．（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)在直線上，求的最小值．96．（2023秋·重慶涪陵·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型10：直線圍成的圖形面積問題101．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積．102．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知平行四邊形中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求這個(gè)平行四邊形的面積．103．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的面積．104．（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知的邊所在直線方程為，邊所在直線方程為，邊的中點(diǎn)為.求：(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的面積.105．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三邊所在直線分別為，則（

）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形題型11：點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用111．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、，若點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離都為2，求直線的方程．112．【多選】（2023秋·全國·高二期中）若點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到直線的距離是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．113．【多選】（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4（五）兩平行線間的距離求兩條平行直線間距離的兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).題型12：求兩平行線間的距離121．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）求下列兩條平行線之間的距離：(1)，；(2)，．122．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）兩條直線：；：．則與之間的距離為．123．（2023秋·江蘇連云港·高二東海縣石榴高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A．1 B． C．3 D．4124．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．125．（2023秋·重慶綦江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．126．【多選】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條平行直線：和：之間的距離小于，則實(shí)數(shù)m的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．－1題型13：距離公式的綜合應(yīng)用131．【多選】（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角是B．若直線：，則C．點(diǎn)到直線的距離是1D．過點(diǎn)與直線平行的直線方程是132．【多選】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，P，Q分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)M到直線的距離為 B．若，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為C．點(diǎn)M關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．周長的最小值為133．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4134．【多選】（2023秋·江蘇·高二階段練習(xí)）已知直線，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)，到直線距離相等時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在C．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為2 D．當(dāng)時(shí)，直線與直線平行（六）直線的對稱問題有關(guān)對稱問題的兩種主要類型(1)中心對稱：①點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題來解決．(2)軸對稱：①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點(diǎn)A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決．題型14：直線的對稱問題141．（2023秋·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）已知直線，則點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.142．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．143．（2023秋·高二單元測試）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的值為．144．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．145．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程為．146．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.147．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線：與關(guān)于直線對稱，與平行，則（

）A． B． C． D．2148．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．149．（2023·全國·高二課堂例題）求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程．1410．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．1411．（2023秋·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線和點(diǎn)(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程.1412．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，則反射光線所在直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．1413．（2023·全國·高二專題練習(xí)）光線從射向軸上一點(diǎn)，又從反射到直線上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則BC所在的直線方程為．1414．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.1415．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)、，在直線上，則的最小值等于.1416．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直線上求兩點(diǎn)P，Q，使得：(1)P到與的距離之差最大；(2)Q到與的距離之和最?。弧芜x題1．（2023秋·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）不論實(shí)數(shù)取何值時(shí)，直線都過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北邢臺(tái)·高二河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C． D．5．（2023秋·全國·高二期中）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則P到直線的距離為（

）．A． B． C． D．6．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或7．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）兩平行直線和間的距離是（）A． B． C． D．8．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)，P在直線上，，則P點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過直線和的交點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為3，則的方程可以為（

）A． B．C． D．10．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是11．（2023秋·云南昆明·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D