專題04 分式的加法和減法壓軸題八種模型全攻略（解析版）

專題04分式的加法和減法壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一同分母分式加減法】 1【考點(diǎn)二異分母分式加減法】 2【考點(diǎn)三整式與分式相加減】 4【考點(diǎn)四已知分式恒等式，確定分子或分母】 5【考點(diǎn)五分式加減混合運(yùn)算】 6【考點(diǎn)六分式加減的實(shí)際應(yīng)用】 10【考點(diǎn)七分式加減乘除混合運(yùn)算】 11【考點(diǎn)八分式化簡求值】 13【過關(guān)檢測】 15【典型例題】【考點(diǎn)一同分母分式加減法】例題：（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）化簡的結(jié)果是（）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即分母不變，分子相加減，最后再約分即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，關(guān)鍵是熟練掌握同分母分式的加減運(yùn)算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）化簡的結(jié)果是（

）A． B．0 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式加法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同分母分式的加法運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解此題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母的分式加法法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的減法法則，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握分式的減法法則．【考點(diǎn)二異分母分式加減法】例題：（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）計(jì)算：_______．【答案】2【分析】根據(jù)分式的加減法則，即可解答．【詳解】解：，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，分式的加減法法則是：同分母分式相加減，只把分子相加減，分母不變；異分母分式相加減，先通分變?yōu)橥帜阜质剑侔赐帜阜质较嗉訙p的法則運(yùn)算，熟知上述法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】/【分析】根據(jù)異分母分式減法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查異分母分式的減法運(yùn)算．熟練掌握其運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算：（1）_____________；（2）___________．【答案】【分析】（1）（2）根據(jù)異分母分式減法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式減法，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三整式與分式相加減】例題：（2023春·江蘇·八年級期中）化簡的結(jié)果為_________．【答案】【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的加法法則計(jì)算即可【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式和整式的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級期中）計(jì)算的結(jié)果是_________．【答案】【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是___________．【答案】【分析】先通分再化簡即可．【詳解】故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法運(yùn)算，平方差公式；當(dāng)分母不同時(shí)，要先通分化成同分母的分式，再相減，最后結(jié)果能約分的要約分．【考點(diǎn)四已知分式恒等式，確定分子或分母】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對應(yīng)項(xiàng)相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，則_________________．【答案】7【分析】根據(jù)題意可進(jìn)行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再根據(jù)分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是通分，對等式進(jìn)行整理，轉(zhuǎn)化為分母相同的形式，從而求解．【考點(diǎn)五分式加減混合運(yùn)算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：，===1；（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進(jìn)行計(jì)算；（2）分式的公分母為，先通分，在進(jìn)行計(jì)算；（3）直接進(jìn)行通分，在進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；（2）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）把看成是一項(xiàng)，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六分式加減的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）八年級某班同學(xué)原來計(jì)劃租一倆大巴車去研學(xué)，大巴車的租價(jià)為800元，實(shí)際又增加了3名同學(xué)，租車價(jià)不變，若設(shè)原來計(jì)劃參加研學(xué)的同學(xué)共有x人，實(shí)際每個同學(xué)比原來少分?jǐn)傑囐M(fèi)______元．【答案】【分析】根據(jù)題意列出分式，然后進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：實(shí)際每個同學(xué)比原來少分?jǐn)傑囐M(fèi)：（元）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出分式，熟練掌握分式加減運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，一艘輪船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水流的速度為b千米/時(shí)，輪船往返兩個港口一次共需______小時(shí).【答案】【分析】分別求出順流和逆流時(shí)的速度，利用路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系即可列式求解．【詳解】解：輪船在靜水中的速度為a千米/時(shí)，水流的速度為b千米/時(shí)，順流速度為千米/時(shí)，逆流速度為千米/時(shí)，甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，輪船往返兩個港口一次共需時(shí)間為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式加減的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出輪船順流和逆流時(shí)的速度，根據(jù)路程、時(shí)間、速度之間的關(guān)系列出分式．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）學(xué)校倡導(dǎo)全校師生開展“全科閱讀”活動，小亮每天堅(jiān)持讀書．原計(jì)劃用a天讀完b頁的書，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計(jì)劃要多讀__________頁．【答案】【分析】平均每天比原計(jì)劃要多讀的頁數(shù)=新工作效率-原工作效率．【詳解】解：按原計(jì)劃每天讀頁，實(shí)際每天讀頁，故每天比原計(jì)劃多讀的頁數(shù)是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查分式加減的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的關(guān)系．【考點(diǎn)七分式加減乘除混合運(yùn)算】例題：（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）化簡：．【答案】【分析】先通分括號內(nèi)的式子，然后計(jì)算括號外的除法，然后約分即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）化簡：【答案】【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序直接求解即可得到答案．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式混合運(yùn)算，涉及到因式分解、通分、約分及運(yùn)算順序，熟記相關(guān)運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）化簡：．【答案】【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的，通分后利用同分母的分式運(yùn)算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算括號內(nèi)的部分，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算；（2）先計(jì)算括號內(nèi)的部分，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【考點(diǎn)八分式化簡求值】例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運(yùn)用乘法公式，分式的性質(zhì)對分式進(jìn)行化簡，再變形得，，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式與分式混合運(yùn)算的綜合，方程的變形，代入求值等知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：，其中：【答案】；【分析】運(yùn)用因式分解，約分等化簡，后代入求值即可．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡技能是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023·天津南開·統(tǒng)考三模）化簡的結(jié)果為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先將改寫為，再進(jìn)行合并，最后約分化簡即可．【詳解】解：原式；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵掌握分式通分計(jì)算的方法和約分的法則．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．3．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）若，則代數(shù)式的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則把原式化簡，把的值代入計(jì)算即可．【詳解】原式，，當(dāng)時(shí)，原式．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若的值為整數(shù)，則整數(shù)的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的加法運(yùn)算法則得到，再根據(jù)分式的值為整數(shù)列方程即可解答．【詳解】解：∵的值為整數(shù)，∴，即是整數(shù)，∴，∴，∵在，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加法運(yùn)算法則，分式有意義的條件，掌握分式加法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）對于，，有以下兩個結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．對于這兩個結(jié)論，說法正確的是（

）A．①對②不對 B．①不對②對 C．①②均對 D．①②均不對【答案】B【分析】先運(yùn)用作差法得到，然后再根據(jù)x的取值分類討論即可解答．【詳解】解：∵∴當(dāng)時(shí)，，則，即①不正確；當(dāng)，即時(shí)，，則，即②正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減、分式的大小比較等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）化簡：的結(jié)果為________．【答案】2【分析】根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算法則解答即可．【詳解】解：；故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了同分母分式減法計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）化簡：________．【答案】/【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則，先將括號里的通分后，化簡，再算除法，即可解答．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟知計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若恒成立，則______．【答案】2【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則將進(jìn)行變形，繼而由原等式恒成立得到關(guān)于A、B的方程組，解方程組即可得．【詳解】解：，又∵∴，解得，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，恒等式的性質(zhì)，解二元一次方程組，得到關(guān)于A、B的方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如果，那么代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】直接將括號里面通分運(yùn)算，再利用分式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代入計(jì)算得出答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算是解題關(guān)鍵．10．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）中國首例商用磁懸浮列車平均速度為，計(jì)劃提速，已知從A地到地路程為，那么提速后從A地到地節(jié)約的時(shí)間為________________．【答案】【分析】直接根據(jù)題意表示出提速前和提速后所用時(shí)間，進(jìn)而得出答案．【詳解】解∶由題意可得，故答案為∶．【點(diǎn)睛】此題主要考查了列代數(shù)式，分式的減法運(yùn)算，正確表示出行駛時(shí)間是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)和法則運(yùn)算即可．【詳解】解：原式【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)性質(zhì)、法則和方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）化簡：【答案】【分析】首先把括號里的分式進(jìn)行通分，然后進(jìn)行約分化簡．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇蘇州·八年級星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）先算括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法即可．【詳解】（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）先化簡：，若，請選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值．【答案】，取，則原式．【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，將合適的的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式，，，，0，2，若取，則原式．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．15．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，代入求值．【答案】，選擇，式子的值為（或選擇，式子的值為1）【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當(dāng)?shù)牡闹?，代入?jì)算即可得．【詳解】解：原