四川省達州市萬源中學2022-2023學年高一下學期第一次月考數(shù)學試題

萬源中學高2025屆高一（下）第一次月考數(shù)學試題本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義求值即可.【詳解】設(shè)，則點到原點的距離為，則.故選：D.2.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案.【詳解】命題，為特稱命題，其否定是:，，故選：A3.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧AB和弦AB所圍成的圖中陰影部分，若弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，則此弧田的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點作，垂足為，求得，，分別求得扇形的面積和的面積，結(jié)合，即可求解.【詳解】解：由弧田所在圓的半徑為2，圓心角為，如圖所示，過點作，垂足為，可得，可得扇形的面積為，的面積為，所以此弧田面積為.故選：A.4.已知命題，，命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式結(jié)合命題成立可求出實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，當時，的最小值為，若命題，為真命題，則，因為“”“”，但“”“”，所以，是的必要不充分條件，故選：B.5.已知則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：C.6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，，所以，進而可判斷三者的關(guān)系.【詳解】由于，所以，而，所以，又，所以，因此，故選：D7.化簡的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先切化弦變形，再結(jié)合輔助角公式、二倍角公式、誘導公式化簡求值即可.【詳解】故選：A.8.在中，，且，，動點M在線段AB上移動，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知為等腰直角三角形，由，可得是中點，設(shè)，則,由向量的四則運算可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值即可.【詳解】解：如圖所示：由題意可知為等腰直角三角形，又因為，所以，由，可得是中點，又因為動點M在線段AB上，設(shè)，則,所以,所以，又因為，所以當時，.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是最小正周期為的函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和周期性逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：為奇函數(shù)，最小正周期，故A正確；對于選項B：為偶函數(shù)，最小正周期，故B錯誤；對于選項C：為奇函數(shù)，最小正周期，故C錯誤；對于選項D：為奇函數(shù)，最小正周期，故D正確；故選：AD.10.已知，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.的一條對稱軸方程為C.一個對稱中心為D.方程在區(qū)間上有3個實根【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)圖象的平移得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，討論的的單調(diào)性、對稱軸、對稱中心和零點.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則，時，，不是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故A選項錯誤；由，解得的對稱軸方程為，其中，時，B選項正確；由B選項可知，不是的對稱中心，C選項錯誤；時，，其中，，，所以方程在區(qū)間上有3個實根，D選項正確.故選：BD11.已知則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項：根據(jù)基本不等式變式，即可求解；對于B選項：根據(jù)基本不等式得到，即可求解；對于C選項：令，，即可判斷；對于D選項：利用“1”的妙用得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】對于A選項：因為，，，則，即，當且僅當時等號成立，所以A選項正確；對于B選項：因為，，則，當且僅當時等號成立，所以B選項正確；對于C選項：當且時，，所以C選項錯誤；對于D選項：，當且僅當，即時等號成立，所以D選項正確，故選：ABD.12.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱且滿足，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.是周期為4的函數(shù)C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于點對稱，得到，再由結(jié)合函數(shù)周期性的定義得到函數(shù)的周期為，可判斷B選項；再由對稱的定義判斷A選項，利用賦值法求得，，，即可判斷C、D選項.【詳解】因為定義在上函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則①，又，得②，將②代入①得：③，得④，由得：，得，所以函數(shù)的周期為，故B選項正確；則，即，所以關(guān)于直線對稱，故A選項正確；①中，令，得，所以，故C選項正確；①中，令，得，則，①中，令，得，所以，則，所以D選項錯誤，故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)的對稱性得到函數(shù)的周期，再利用賦值法求出以及和的值是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，向量，則___________.【答案】【解析】【分析】先進行向量的加減坐標運算，再利用向量模的坐標公式求解即可.【詳解】由已知向量，向量，得，則.故答案為：14.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)___________.【答案】##【解析】【分析】由偶函數(shù)定義得關(guān)系式恒成立，求解參數(shù)即可.【詳解】由題意，.為偶函數(shù)，對任意恒成立，即，即恒成立.化簡整理得，對任意，恒成立，則，解得.故答案為：.15.將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大為原來的兩倍（縱坐標不變），再向左移動個單位得到函數(shù)的圖象，若，且，則=___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性可得，代入運算求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上每個點的橫坐標擴大為原來的兩倍（縱坐標不變），得到，再向左移動個單位，可得：，因為，則，且直線為的對稱軸，又因為，則，可得，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)相鄰兩條對稱軸距離為3，且，函數(shù)，則方程的所有實根之和為___________.【答案】16【解析】【分析】先根據(jù)題意求，分析可知方程的實根為與的交點的橫坐標，根據(jù)圖象結(jié)合函數(shù)的對稱性運算求解.【詳解】設(shè)的最小正周期為，由題意可知：，可得，且，解得，又因為，且，則，可得，解得，所以，又因為，所以關(guān)于點對稱，且函數(shù)關(guān)于點對稱，由題意可知：方程的實根為與的交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)圖象，如圖所示，由圖象可知：函數(shù)與有8個交點，結(jié)合對稱性可知：方程的所有實根之和為.故答案為：16.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，函數(shù)的定義域是集合.（1）求;（2）若集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求，進而結(jié)合交集運算求解；（2）由（1）可得，結(jié)合題意即可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，令，解得或，可知，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，因為，且，則，所以實數(shù)的取值范圍為.18.已知向量與向量滿足，，.（1）求與的夾角；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件去括號合并同類項結(jié)合向量的數(shù)量積公式得到，再由向量的夾角公式即可求解；（2）根據(jù)向量垂直的關(guān)系得到，結(jié)合（1）中的得到關(guān)于方程，即可求解.【小問1詳解】因為，即，所以，則，又，則，故與的夾角為.【小問2詳解】由（1）知：，因為，所以，即，則，解得：，故實數(shù)的值為.19.已知函數(shù)的最小值是.（1）求實數(shù)的值.（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡可得出，由函數(shù)的最小值可得出實數(shù)的值；（2）由可得出，再利用誘導公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得的值.【小問1詳解】解：因為，所以，，則.【小問2詳解】解：因為，可得，所以，.20.已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之差為.（1）求實數(shù)a的值；（2），若，求不等式的解集.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性運算求解；（2）根據(jù)題意可得：是奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【小問1詳解】①當時，上單調(diào)遞增，則，所以，解得或（舍去）；②當時，上單調(diào)遞減則，所以，解得或（舍去）；綜上所述：或.【小問2詳解】因為，由（1）可知：，則，可知：定義域為，因為，則為奇函數(shù)，又因為在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，綜上所述：在R上是奇函數(shù)且為增函數(shù)，因為，可得，則，解得或，所以不等式的解集為.21.如圖是函數(shù)的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個不同交點，D是M、N之間的最高點且橫坐標為，點是線段DM的中點．（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由點是線段DM的中點，根據(jù)圖象確定，再將最值點代入解析式求角，最后利用整體角代換的方法求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）先求的值域，再利用整體換元法，題目轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，分類探究即可.【小問1詳解】D是M、N之間的最高點且橫坐標為，點是線段DM的中點，，.又，.代入點，，，，，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間為又在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由第（1）問知，若，則，令，，對稱軸，①當，即時，，解得（舍）；②當，即時，，解得；③當，即時，，得（舍）.綜上，.22.已知函數(shù)，（1）若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求