湖南省2024年高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷含解析

湖南省明德中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說(shuō)

法錯(cuò)誤的是（）

10305

10265

10225

10185

10145

10105岫

±W?J市

JH■2u019^4Ai

圖表一圖表二

（注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過(guò)102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

2.已知集合4={刈1。82（兀—1）<2},3=N，則AB=（）

A.{2,345}B.{2,3,4}C.{123,4}D.{0,1,2,34}

3.已知函數(shù)/（x）=3sin（ox+0）,（0>0,0<0<兀），若/"［一?J=0,對(duì)任意xeR恒有W,在

區(qū)間上有且只有一個(gè)Xj使/（%）=3,則。的最大值為（）

123105117

A.——D.

4~4~

a+i

4.a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位,—2,則a=()

A.2B.73C.V2D.1

x+y-l<0

5.若X,y滿足約束條件X-V+3W0,則％2+y2的最大值是（）

x+2>0

9R3V2

A.C.13D.V13

22

6.在LABC中，。為BC邊上的中點(diǎn),且|AB|=1,AC|=2,ABAC=：120°,則|麗|=（

V313幣

A.BC.-D.

224

7.已知直線也川和平面。，若根_La,則“加J_〃”是“M/a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.不充分不必要

8.若函數(shù)/（》）=必"-。恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（―,+co）B.（0,—）C.（0,4e2）D.（0,+00）

9.在AABC中，內(nèi)角A的平分線交8C邊于點(diǎn)。，AB=4r,AC=S,BD=2,則AA5D的面積是（）

A.1672B.V15C.3D.8A/3

x<1

10.已知函數(shù)/（x）=｛J1,若方程—如—1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）

J[x—2）,x>1

A.1—,1）一（1迷—1）B.1—』]（Le-1]

C.f^，l]u（l,e-l）D.f^,lL（l,e-l]

IJ/\J

11.數(shù)列｛〃〃｝滿足：?！?2+%=?！?1，4=1，%=2,為其前〃項(xiàng)和，貝！|52019二（）

A.0B.1C.3D.4

2

12.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為（0,5）,且與雙曲線3-丁=1的漸近線相同，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

,2222,22

A.丁_工=1B.乙_±=1C.工-匕=1D.丁―土二1

45202054

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若a=log231=log32，則ab=_____,lga+lgb=______.

14.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C:孫=6上任意一點(diǎn)P到直線/:x+百>=0的距離的最小值為.

15.在正奇數(shù)非減數(shù)列｛1,3,3,3,5,5,5,5,5,…｝中，每個(gè)正奇數(shù)上出現(xiàn)上次.已知存在整數(shù)力、c、d,對(duì)所有的整數(shù)九

滿足%=>［而+其中［可表示不超過(guò)x的最大整數(shù).則b+c+d等于.

x>1,

16.若變量X,y滿足約束條件卜2羽則Z=2x+y的最大值是.

3%+2y<15,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(九)=以一(a+l)lnx—工+2(〃￡R).

x

(1)討論函數(shù)/(%)單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=—2時(shí)，求證：f(x)<ex-2x--.

X

C2

18.(12分)已知在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,。，AABC的面積為-----.

2cosC

(1)求證：tanC=sinAsinB；

(2)若。=工，求cos(A—5)的值.

19.(12分)如圖，在四棱錐尸-A3CD中，平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)歹為線段PC上的點(diǎn)，

過(guò)A,Z),歹三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)E.將①AB=AP,②BE=PE,③尸3LED中的兩個(gè)補(bǔ)充到已知條件中，解答

下列問(wèn)題:

(1)求平面ADEE將四棱錐分成兩部分的體積比；

(2)求直線PC與平面ADEE所成角的正弦值.

20.(12分)已知直線/的參數(shù)方程：\,ca為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程：Q=2sin。

b=i+2?

(1)將直線/的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點(diǎn)M(l,3),直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求的值.

21.（12分）已知橢圓C:三+/=1（。〉5〉0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（61），離心率為乎.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M（4,0）的直線交橢圓于人、B兩點(diǎn),若=21加，在線段AB上取點(diǎn)。，使AD=—ZDB，求證：

點(diǎn)。在定直線上.

22.（10分）已知三棱錐P—A5C中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=下,設(shè)點(diǎn)E為Ri中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)為必上一點(diǎn)，且PF=2FB.

（1）證明：BD//平面CEF；

（2）若求直線CE與平面尸5C所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A,由交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】

集合4={%|現(xiàn)2（"1）＜2},解得4={祖＜%＜5},

B二N,

由集合交集運(yùn)算可得Ac3={巾＜x＜5}cN={2,3,4},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

IJTJT\

根據(jù)/（%）的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得8,（P的表達(dá)式（用人表示），根據(jù)〃下）在上有且只有一個(gè)最大值,

求得。的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)攵的取值范圍，由左為整數(shù)對(duì)左的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得。的最大值.

【詳解】

兀73(2左+1)

----CD(p—左］兀，=---------

3

由題意知＜k°k,eZ,貝卜,4其中左=匕一左,，k'=匕+%.

兀,71(24'+1)兀

—CD+(P=kTl+—.

29=-4—，

上有且只有一個(gè)最大值，所以工—上=@＜2T,得0＜。430,即3（2左+1）?30,所以

515154

左＜19.5,又左eZ,因此左V19.

71.

----CD(p—左］兀，

11r7Q

①當(dāng)左=19時(shí)，。=——，此時(shí)取夕=三可使＜3成立，當(dāng)xe7171

5時(shí),

44兀771157

1口+/=42兀+5，

當(dāng)x+弓e(2.7兀,6.6兀)，所以當(dāng)當(dāng)王+中=4.5?；?.5兀時(shí)，〃%)=3都成立，舍去;

---兀-CD(p—k7］7l,

②當(dāng)左=18時(shí)，。=山，此時(shí)取"=色可使＜3成立，當(dāng)xe兀兀時(shí)，工+M

?(2.1兀,5.8兀),

44兀,兀15?44

+/=42兀+'，

所以當(dāng)手占+；=2.5?；?.5兀時(shí)，/(%)=3都成立，舍去;

兀7

----3+(p=左］兀，

③當(dāng)％=17時(shí)'0=受’此時(shí)取展?可使'3成立，當(dāng)XC兀兀1053兀

9時(shí),-------XH--------G(2.5兀，6兀),

兀7兀15?44

-a)-\-(p=42兀+~，

所以當(dāng)竽為+亨=4.5兀時(shí)，/(%)=3成立;

綜上所得。的最大值為限

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)

學(xué)思想方法，屬于中檔題.

4、B

【解析】

|a+11=2\/a2+1=2a=+V3a＞。,:.a=也,選B.

5、C

【解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.

【詳解】

°。％

解：V+y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由+y"—1=0

J%+2=0

點(diǎn)A(-2,3)到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離最大，即(x2+/),四=(一2)2+3?=13.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

由。為邊上的中點(diǎn)，表示出=+然后用向量模的計(jì)算公式求模.

【詳解】

解：。為邊上的中點(diǎn)，

AD=^AB+AC)

|AD|=|(A5+AC|(A5+AC2

=曲AB?+AC?+2AB-AC)

^^1(12+22+2X1X2XC<9S120-

故選：A

【點(diǎn)睛】

在三角形中，考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

由線面關(guān)系可知加，〃，不能確定〃與平面a的關(guān)系，若M/1一定可得加，〃，即可求出答案.

【詳解】

不能確定〃ua還是〃aa,

m-Ln^nila,

當(dāng)〃〃or時(shí)，存在aua,nila,,

由-Ltzn7〃_La,

又M/a,可得加J_〃，

所以"mVn"是"nila"的必要不充分條件，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

8、B

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)/(幻=必/一。恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

函數(shù)y=x%"的導(dǎo)數(shù)為y'-2xex+x2ex-xex(x+2),

令y'=。，則x=0或-2,

-2<x<0上單調(diào)遞減，(-*-2),(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以0或-2是函數(shù)y的極值點(diǎn)，

函數(shù)的極值為：/(0)=0,/(-2)=4^2=—,

e

函數(shù)/(刈=必"-。恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0,2).

e

故選B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)確定參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象

的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，難度不大.

9、B

【解析】

利用正弦定理求出CD,可得出BC,然后利用余弦定理求出cos6,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計(jì)算出的面積.

【詳解】

AD為N54C的角平分線，則N&LE)=NC4。.

ZADB+ZADC=71,則NADC=%—NAD6,

sinZADC=sin(?一ZADB)=sinZADB,

ABBD42

在中,由正弦定理得,即,①

sinZADBsinZBADsinZADBsinZBAD

ACCD8CD

在AACD中,由正弦定理得,即,②

sinZADCsinZADCsinZADCsinZCAD

2

①十②得解得CD=4,..6。=5。+8=6,

CD2

』人吃占日nAB-+BC2-AC21,nr-------7TV15

由余弦定理得cos3=---------------------=——，smB=Vl-cos-B=------

2ABBC44

因此'"的面積為%BL；，.加仙3=厲.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10、D

【解析】

當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)/(%)和y=陽(yáng)+1有圖像兩個(gè)交

點(diǎn)，計(jì)算服c=\l,&c=e-1,根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)尤>1時(shí)，f(x)=f(x-2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示:

方程/(%)-如一1=0,即/(x)=mx+l,即函數(shù)/(x)和y=“+l有兩個(gè)交點(diǎn).

f(x)=ex,f\x)=ex,故/(0)=1,3(1,e),C(3,e),現(xiàn)=丁，L=e—L

根據(jù)圖像知：

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

11、D

【解析】

用〃+1去換4+2+4=4+1中的％得?！?3+?！?1=%+2，相加即可找到數(shù)列｛4｝的周期，再利用

$2019=336s6+q++。3計(jì)算.

【詳解】

由已知，申2+4=4+1①，所以4+3+4+1=4+2②，①+②，得4+3=一％，

從而4+6=。"，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以S6=0,

S2019=336(%+ci]++t/g)+%+/+43=0+1+2+1=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求S2019時(shí)，先算出一個(gè)周期的和即$6,再將S2019表示成336s6+%+%+%即可，本題

是一道中檔題.

12、B

【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.

【詳解】

丫2

?.?雙曲線C與L-丁2=1的漸近線相同，且焦點(diǎn)在y軸上，

4

22

..?可設(shè)雙曲線C的方程為/-一個(gè)焦點(diǎn)為(。,5)'

22

.?.左+4左=25,.?.左=5,故。的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕—上=1.

520

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、10

【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解；

②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.

【詳解】

①由題：tz=log23,/?=log32,

貝?。輆b=log23-log32=log23.詈1=1.

1鳴3

②由①可得：lga+lg》=lgab=lgl=O.

故答案為：①1,②0

【點(diǎn)睛】

此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

14、石

【解析】

解法一：曲線c上任取一點(diǎn)尸1七,走］,利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線/的距離的最小值；

IxoJ

解法二：曲線C函數(shù)解析式為y=Y3,由y=-求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線/的距離即可所求答案.

x3

【詳解】

解法一（基本不等式）：在曲線c上任取一點(diǎn)尸1%,無(wú)］,

IXoJ

該點(diǎn)到直線/的距離為,卜+/lf||3V1JI3

當(dāng)且僅當(dāng)|%|=；]時(shí)，即當(dāng)/=±6時(shí)，等號(hào)成立,

因此，曲線C上任意一點(diǎn)P到直線/距離的最小值為出;

解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線C的函數(shù)解析式為丁=—,貝物'=—4，

XX

設(shè)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)pX。,，1的切線與直線/平行，則-g=-解得/=±6,

當(dāng)％=j§時(shí)，尸（石,1）到直線/的距離』=￥=6；

當(dāng)時(shí)，尸卜后1）到直線/的距離1=乎=百.

所以曲線C:孫=百上任意一點(diǎn)到直線/:x+3y=0的距離的最小值為V3.

故答案為：瓜

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來(lái)找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離,

也可以設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等

題.

15、2

【解析】

將已知數(shù)列分組為⑴，（3,3,3）,（5,5,5,5,5）,…，（2左—1,2左—1,…,2左—1）,

共2Z-1個(gè)組.

設(shè)/在第左組，a“=2k-T,

則有1+3+5+…+2Z—3+lW〃<l+3+5+…+2左一1+1,

即（左一iy+l</<F+i.

注意到人>0,解得不二I（女<+

所以，A==1]+1.

因此，a”=2鞏-1]+1.

故》+。+1=2+（-1）+1=2.

16、9

【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形，即可求出z=2x+y的最大值.

【詳解】

做出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示，

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最大值，

y=xx=3

聯(lián)立，解得，即A(3,3),

3x+2y=15B=3

所以z=2x+y最大值為9.

故答案為9

【點(diǎn)睛】

本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論/(九)單調(diào)性

(2)欲證/(x)</—2X—L只需證lnx+2<Q,構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx—/+2,證明g(x)1mx<0,這時(shí)需研究

g(x)的單調(diào)性，求其最大值即可

【詳解】

解：(1)/(x)=ax-(a+l)lnx-』+2的定義域?yàn)?0,+oo),

X

〃+11ax2-(t?+l)x+l(ox-l)(x-l)

f\x)=a-

①當(dāng)oWO時(shí)，由/''(尤卜。得無(wú)>1,由/''(x)>。，得尤<1,

所以/(九)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)單調(diào)遞減;

②當(dāng)0<a<l時(shí)，由/''(x)<0得由/"(x)>。，得無(wú)<1,或x>,,

所以在(0,1)上單調(diào)遞增，在J單調(diào)遞減，在，,+，|單調(diào)遞增；

③當(dāng)a=l時(shí)，/⑴」尤-2I'2所以/(%)在(°，+。)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)”>1時(shí)，由/'(元)<0,得:<x<l,由/''(x)>0,得x<:，或無(wú)>1，

所以“X)在上單調(diào)遞增，在&,1]單調(diào)遞減，在。,+⑹單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)。=—2時(shí)，欲證/(x)<e*—2x—工，只需證lnx+2</，

令g(x)=lnx—e*+2,xe(0,-Hx>),則g[x)=1一

X

因存在％e(0,1),使得,=*成立，即有鼠=—In%,使得g'(Xo)=O成立.

當(dāng)x變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化如下:

X(0,天)D

g'(x)+0—

g(x)單調(diào)遞增g(%)單調(diào)遞減

所以=8(％)=111%0_6苑+2=_/_工+2=_x0+—+2.

%\%oJ

因?yàn)榫舘?O,l),所以無(wú)o+，>2,所以g(x)

1mx<-2+2=0.

即g(x)=lnx—e，+2Wg(x)1mx<0,

所以當(dāng)a=—2時(shí)，〃x）<e'—2x—」成立.

X

【點(diǎn)睛】

考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.

18、（1）證明見解析；（2）&

6

【解析】

21

（1）利用‘c一=-absinC,利用正弦定理，化簡(jiǎn)即可證明tanC=sinAsin3

2cosC2

（2）利用（1）,得到當(dāng)c=￡時(shí)，sinAsin3=且，

63

得出cos（A+B）=-cosC=-cos—=一^->得出cosAcosB=,

''626

然后可得cos（A—5）

【詳解】

c21

證明：（1）據(jù)題意，得「一=-absinC,

2cosC2

：?c2=absinCcosC，

：?sin2C=sinAsinBsinCcosC?

又???Ce(O,?),

:.sinC=sinAsinBcosC,

:.tanC=sinAsinB.

解：(2)由(1)求解知，tanC=sinAsin

???當(dāng)C=§時(shí)，sinAsinB--

63

Xcos(A+B)=-cosC=_cos?=~~~9

■73

..cosAcosB-sinAsinB=----

2

cosAcosB=

6

:.cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

=_V3好

___T+T

_V3

一6,

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

19、(1)-；(2)逅.

33

【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面從而有結(jié)合PBLFD，可得

平面ADEE,故有PBLAE,而BE=PE,得到AB=AP,②③成立與①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意補(bǔ)充兩個(gè)條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析；

(1)設(shè)AP=A3=1,可得AE,進(jìn)而求出梯形AEED的面積，可求出％.A〃E，％.ABS，即可求出結(jié)論;

(2)AB=AD=AP=1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出EC。坐標(biāo)，由(1)得為平面ADE尸的

法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.

【詳解】

第一種情況：若將①=②BE=PE作為已知條件，解答如下：

(1)設(shè)平面ADEE為平面戊.

,/BC//AD,二BC//平面?,而平面a平面PBC=EF,

/.EF//BC,又E為尸3中點(diǎn).

設(shè)AP=AB=1,則跖=』BC=L.

22

在三角形R鉆中，PB=^2,AE=—=^,

22

由AD，Z4,，AB知AD，平面R43,

AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面積

1

AD+EF_i+2V23立,

SAEFD--------------xAE=-x——=

2228

AB=AP,BE=PE,PB_LAE,AD_LPB,

AD4￡=4,..尸§,平面4￡尢0,

1372V21^P-ABCD=1X1X1=1'

—X------x-----二—，

3828

**EF—ABCD3g24'

1

-HrVP-AEFD_8_3%F-ABCD=9

ftX--------------—~9V-2.

^EF-ABCD__5P-AEFD

24

(2)如圖，分別以AB,AD,AP所在直線為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

^AB=AD=AP=1,貝！IC(1,1,O),P(O,O,1),8(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由（1）得PB為平面ADEE的一個(gè)法向量,

PCPB2A/6

因?yàn)閏os〈PC,PB〉=

\PC\\PB\~y/2-^3~3

所以直線PC與平面ADEE所成角的正弦值為逅.

3

第二種情況：若將①AB=AP,③尸5LED作為已知條件,

則由AD,ARAD,AB知平面ABP,ADLPB,

又PB1FD，所以。3,平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E為P5中點(diǎn)，即班=PE,解答如上不變.

第三種情況：若將②班=PE,③尸3LED作為已知條件，

由尸8,FD及第二種情況知？8,AE,又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不變.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

20、(1)I：y=2x+l,C：x2+(y-l)2=1；(2)2#)

【解析】

(1)消去參數(shù)f求得直線/的普通方程，將夕=2sin，兩邊同乘以「，化簡(jiǎn)求得圓C的直角坐標(biāo)方程.

(2)求得直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得

+的值.

【詳解】

(1)消去參數(shù)乙得直線/的普通方程為y=2x+l,

將Q=2sind兩邊同乘以「得"=2夕sin。，x2+(y-l)2=T,

.?.圓C的直角坐標(biāo)方程為一+(y-=1；

x=(x=l+—t

(2)經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)M(1,3)在直線/上，_]+2f可轉(zhuǎn)化為,5①，

廣3+鳴

/5

將①式代入圓C的直角坐標(biāo)方程為X?+(y-1)2=1得)+N

化簡(jiǎn)得『+2?+4=0，

設(shè)44是方程產(chǎn)+2而+4=0的兩根，則4+芍=—26=4,

；%/=4>0,二"與『同號(hào),

由?的幾何意義得|MA|+|人①|(zhì)=1+/21=,+寸=2q.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問(wèn)題,

屬于中檔題.

22

21、(1)—+^=1;(2)見解析.

62

【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于。、b、c的方程組，解出/、的值，進(jìn)而可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)及為弘）、3（如％）、D（x0,y0）,設(shè)直線A5的方程為工=沖+4,將該直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)

立，并列出韋達(dá)定理，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)表達(dá)式，并代入韋達(dá)定理，消去X,可得出點(diǎn)。的橫坐標(biāo),

進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

c_R

a3

（1）由題意得31,，解得“2=6，b2=2.

*=1

7a+

c2=a2-b2

22

所以橢圓C的方程是上+乙=1；

62

（2）設(shè)直線的方程為x=7盯+4,4（%,%）、8（尤2,%）、。（%，為），

x=my+4

22

由＜xy,得(加之+3)/+8協(xié)+10=0.

[62

-—8m10

A=(8/n)—40(療+3)>0=>>5,則有%+%

/+3'3