北京西城2024屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測卷數(shù)學(xué)試卷含解析

北京西城八中少年班2024屆高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學(xué)試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移￡個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,?］上單調(diào)遞增,

則a的最大值為().

71冗5兀7萬

A.—B.-C.—D.—

231212

V

2.已知正四面體的內(nèi)切球體積為v,外接球的體積為V,則一=()

V

A.4B.8C.9D.27

3.已知命題P：任意都有l(wèi)og2x22；命題q：a>b,則有標(biāo)>〃.則下列命題為真命題的是()

A.P^qB.pA(->(/)C.(「p)A(->4)D.q

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/

2X,(x<0)

x2+2x,(x>0)

C.〃%)=<0,(x=0)

-x2+2x,(x<0)

dm，(x〉

3

5.已知。，b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,。的對邊，a=l,4csinA=3cosC,AABC的面積為一，則c=(

2

A.272B.4C.5D.3拒

6.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ZBAD^120,AB=AD=1,

若點E為邊CD上的動點，則的最小值為()

B

A

7.〃是拋物線V=4x上一點，N是圓（x—iy+（y-2）2=l關(guān)于直線x—丁一1=。的對稱圓上的一點，貝!最

小值是（）

A.半-1B.73-1C.272-1D.|

8.集合A={—2,-1,1},3={4,6,8},M={x\x=a+b,bB,x^B}，則集合M的真子集的個數(shù)是

A.1個B.3個C.4個D.7個

9.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果y=2,則輸入的x值為（）

A.3B.-2

C.3或一3D.3或-2

10.若不等式aln（x+l）-3+2/〉0在區(qū)間（0,+co）內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

932932)

21n2'芾21n2'ln5j

9329

D.,+oo

21n2'ln521n2

11.設(shè)/(%)函數(shù)/(%)(無>0)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足廣⑴〉宜3,若在AABC中，NA=+，則()

A./(sinA)sin2B</(sinB)sin2AB./(sinC)sin2B</(sinB)sin2C

C.f(cosA)sin2B>/(sinB)cos2AD.f(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

12.已知直三棱柱中ABC—aAG，ZABC=120°,AB=2,BC=CC.=19則異面直線A及與5G所成的角的

正弦值為().

AV3RVw「岳nV6

2553

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：

不喜歡喜歡

男性青年觀眾4010

女性青年觀眾3080

現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取“個人做進(jìn)一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取

了8人，則”的值為.

14.若函數(shù)/(%)=沙-24一心+4在區(qū)間(-2,y)上有且僅有一個零點，則實數(shù)。的取值范圍有.

15.在(x+^)6的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

X

_71]71

16.若sin(6r+—)=一一e(0,7i),貝！]cos(---a)=___________.

6312

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=%+a(l—e"),aeR.

(1)討論了(九)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)aNl時，證明：/(x)-?lna+a<l.

18.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學(xué)生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

06

6013345

712367778

RI12459

900123*

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

(II)從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(IU)記P(a<x<b)表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間［a,可的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)。――<1?0.5時

培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由.

19.(12分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=2cos0

已知曲線G的參數(shù)方程是「.〃(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線a

的極坐標(biāo)方程是O=2sin，.

(1)寫出G的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點M］、AG的極坐標(biāo)分別為和(2,0),直線與曲線02相交于P，。兩點，射線。尸與曲線

G相交于點A,射線。。與曲線G相交于點3,求示二+3上的值.

20.(12分)隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利

地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學(xué)員有5次參加科目二考試

的機(jī)會(這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新

報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費.

某駕校對以往2000個學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計，得到下表：

考試情況男學(xué)員女學(xué)員

第1次考科目二人數(shù)1200800

第1次通過科目二人數(shù)960600

第1次未通過科目二人數(shù)240200

若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率，且

每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫

妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機(jī)會為止.

(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費的概率；

(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費用之和為

X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)已知直線/的參數(shù)方程：\,°(才為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程：夕=2sin，

〔y=l+2/

(1)將直線I的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2)已知點直線/與圓C相交于A、B兩點,求|他4|+|又8|的值.

22.(10分)已知函數(shù)=耳+m工+21nx,meR.

(1)討論函數(shù)/(九)的單調(diào)性；

(2)已知/(九)在X=1處的切線與y軸垂直，若方程"尤)=，有三個實數(shù)解為、%、(石<%<%3)，求證：

再+2>%3?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由題意利用函數(shù)丁=45旭(。X+0)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出。的最大值.

【詳解】

解：把函數(shù)/(%)=sin2x的圖象向右平移營個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-￡)的圖象，

63

若函數(shù)g(%)在區(qū)間［0,〃］上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［0,上，2%----G\~~~92a-----］,

333

則當(dāng)a最大時，2。-工=生，求得“=舁，

3212

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin（s+e）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

設(shè)正四面體的棱長為1,取的中點為。，連接AO,作正四面體的高為PW,首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RtMMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)正四面體的棱長為1,取的中點為。，連接A。，

作正四面體的高為

PM=y/PA^-AM2=—,

3

__1gV6_V2

c34312

設(shè)內(nèi)切球的半徑為廠，內(nèi)切球的球心為。,

則VP-ABC=4VO-ABC=4X；X￥r，

解得：r=顯;

12

設(shè)外接球的半徑為R,外接球的球心為N，

則或忸_。閭，AN=R,

在處AAAW中，由勾股定理得：

AM~+MN~=AN2>

+-7?^=R2,解得R="，

33

IJ4

:.-=3,

r

VR3

—=27

vr

故選：D

【點睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

先分別判斷命題，a真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

0為真命題；命題q是假命題，比如當(dāng)0>a〉Z?,

或a=LZ?=-2時，則4?>/不成立.

貝!)。人4,(可)A(—iq),(「p)vq均為假.

故選:B

【點睛】

本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

對于A，/(—x)=lnQT+l)=ln(N+l)=/(x),.?./(%)是偶函數(shù),故選項A錯誤

對于3,f(x)=x-l=-,定義域為{x|x#O},在R上不是單調(diào)函數(shù)，故選項3錯誤;

X

對于C,當(dāng)x〉0時，一x<0,/(―尤)=_(—x)+2(_尤)=_12_2%=_(r+2x)=_/(尤)；

當(dāng)x<0時，~x>0,;./(―x)=(―x)~+2(—x)=x?—2x=—(―X?+2x)=—/(無)；

又％=0時,/(-o)=-/(o)=o.

綜上，對xeR,都有/(r)=—/(%),??.〃尤)是奇函數(shù).

又“0時，/(x)=V+2x=a+l)2—1是開口向上的拋物線，對稱軸x=—1,.?./(力在［0,+8)上單調(diào)遞增，

“X)是奇函數(shù)，.??/(九)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項C正確；

對于D,/(%)在(—8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+。)上單調(diào)遞增，但/(—l)=g>/(l)=-g,..?/(同在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

341.3

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,從而可求出sinC=—,cosC二'.通過鼠女--ctbsmC=5可求出

5=5,結(jié)合余弦定理即可求出。的值.

【詳解】

解：4csinA=3cosC,BP4csinA=3tzcosC

4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

-,sin2C+cos2C=l，貝！JsinC=《,cosC=1.

1133

/.S=—absinC=—xlxZ?x—,解得〃=5.

A4Rr2252

.-ff-5418…小

故選:D.

【點睛】

本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過

正弦定理結(jié)合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

6、A

【解析】

分析：由題意可得"BD為等腰三角形，5cD為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)。E=rDC(O<r<l),

數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為O,可知人45。為等腰三角形，而ABLBCAOLCD,所以一BCD為等邊三角形,

BD=V3o設(shè)。E=/￡>C(0<t<l)

-------232

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3Z2--Z+-(O<?<1)

22

121

所以當(dāng)f=一時，上式取最小值一，選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用

向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

7、C

【解析】

求出點(1,2)關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓(％-行+(y-2『=1關(guān)于直線x-y-1=0的

對稱圓C的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出iMN/n=|AfC|mn-1,即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)點(1,2)關(guān)于直線x-y-l=0的對稱點為點C(a,b),

。+1b+21八

22a-b-3=0a=3/、

則,整理得,cc，解得,c，即點。（3,0）,

b-2.a+b—3=0b=0

、a—I

所以，圓（x—l）?+（y—2）2=1關(guān)于直線x—y—1=。的對稱圓C的方程為（x-3y+y2=i,

設(shè)點則|MC|=J『3]+y2=照—）+9=出廣4）2+8,

當(dāng)'=±2時，MC取最小值20,因此，|ACV[n=|MCL—「2后-上

故選：C.

【點睛】

本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等

題.

8、B

【解析】

由題意，結(jié)合集合A,3,求得集合得到集合M中元素的個數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合A={—2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

則"={x|x=a+b,xeA,/?eB,xeB}=14,6},

所以集合M的真子集的個數(shù)為22-1=3個，故選B.

【點睛】

本題主要考查了集合的運算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解，其中作出集合的運算，得到集合再由真子集個數(shù)

的公式2〃-1作出計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.

9、D

【解析】

根據(jù)逆運算，倒推回求“的值，根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.

【詳解】

?

因為y=2,所以當(dāng)（%+1）5=2,解得％=3>0,所以3是輸入的X的值；

當(dāng)=2時，解得％=-2<0,所以—2是輸入的x的值，

所以輸入的x的值為-2或3,

故選：D.

【點睛】

本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用，通過結(jié)果反求輸入的值，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=%3—2d,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)

aln(x+1)-X3+2X2>0在區(qū)間(0,+s)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(%)>g(x)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)的解集

中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)^x3-2x2

因為g'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

-4

...尤=0或%=一,

3

4

因為0<%<一時，g"(x)<0,

3

其圖象如下:

”3)>g⑶

當(dāng)。>0時，/(%)>g(x)在(0,+8)內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需

7(4)?g(4)

tzln4>33-2x32

"aln5?43-2x42j

932

所以----<%---.

2In2In5

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

11、D

【解析】

根據(jù)尸(x)〉如的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)8(力=/段，求導(dǎo)g，(x)=xf'(x)-2f\x

，則g'(x)>。，g(x)在

XXx3

(0,+。)上是增函數(shù)，再根據(jù)在AABC中，=y,得到0</3〈:，0<NC<；,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得

到cosZC>sinZB,再利用g(x)的單調(diào)性求解.

【詳解】

設(shè)g(x)=萼,

X

xf'(Jr)-2f\x

所以g''(x)=

X3

因為當(dāng)x>0時，/⑺〉2/。),

X

所以g'(x)>0,g(x)在(0,+。)上是增函數(shù)，

311TC7T

在AABC中，因為NA=一,所以0</B<—,0<ZC<-,

444

jr\jrrr

—+NB,且0<ZB<—+ZB<—,

(4)42

所以sinZB<sin|—+ZB

即cosZC>sinZB，

所以EMO

cos2Csin“B

即/(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

故選：D

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

設(shè)M,N,P分別為A3,網(wǎng)和與G的中點，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理,

結(jié)合余弦定理求出ACM2,M尸和NWP的余弦值再求其正弦值即可.

【詳解】

根據(jù)題意畫出圖形:

A\

設(shè)M,N,尸分別為43,3片和用0的中點,

則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

可知=且，NP^-BC=—

212212

作3c中點。，則一PQW為直角三角形;

PQ=1,MQ=^AC

ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=4+l-2x2xlx7

AC=^1，MQ=4

在△MQP中，MP=J"。+pC=半

故選：c

【點睛】

此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、32

【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.

【詳解】

Q1

由題可知，抽取的比例為一=—,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為40+10+30+80=160人，

405

則分層抽樣的樣本容量是gx160=32人.

故答案為：32

【點睛】

本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.

14、〃=0或〃，

2

【解析】

M

函數(shù)/(x)=2k3一心+4的零點o方程2k母=4的根，求出方程的兩根為王=-4。，x2=0,從而可得Ta=0

或TaW-2,即。=0或a2」.

2

【詳解】

函數(shù)f(x)=2|x-2fl|-4|x+fl|在區(qū)間(-2,+w)的零點=方程2ka=心+司在區(qū)間(-2,y)的根，所以|x—2a|=2|x+a|,

解得：%=-4。,%=0，

因為函數(shù)/(x)=沙田一戶4在區(qū)間(-2,y)上有且僅有一個零點，

所以Ta=0或TaW-2,即。=0或

2

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，在求含絕對值方程時，要注意對絕對值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.

15、20

【解析】

6

(X+-)的展開式的通項為Tr+1=C>6-2r,取r=3計算得到答案.

x

【詳解】

(%+1)6的展開式的通項為：T=C"6fm=r6-2

r+1cx取/'=3得到常數(shù)項c：=20.

故答案為：20.

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學(xué)生的計算能力.

16、

6

【解析】

因為(0+^)+(2一夕)=9，所以患一［二?一(a+?)?因為ae(0,兀)，所以c+geC，?),Xsin(?+y)=-^<0,所

6124124666663

以。+工￡(兀,三)，所以

o6

cos(a+6)=-J1-(―^)2=?cos(^|-a)=cos［：-(cr+7C7T7T7T

—)]=cos—cos(a+—)+sin—sin(a+—)

64646

_A/2(2以A/2,1_-4-A/2

—x()+X()—?

23236

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)得/'(x)=1—ae',分類討論“40和。>0,利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；

(2)根據(jù)⑴中求得的/(%)的單調(diào)性，得出/(%)在x=-Ina處取得最大值為

/(—lna)=—lna+a[l—L]=a—lna—l,構(gòu)造函數(shù)g(a)=a—lna_l_alna+a,利用導(dǎo)數(shù)，推出

g(a)Wg(l)=l,即可證明不等式.

【詳解】

解：⑴由于〃x)=x+a(l-eX),得/'(x)=l-ae*,

當(dāng)a40時，/(龍)>0,此時/(%)在R上遞增；

當(dāng)a>0時，由/''(x)=0,解得x=-lna,

若-Ina),貝！

若xe(-lna,+co),/'(x)<0,

此時/(%)在(—8,—Ina)遞增，在(—Ina,+<?)上遞減.

(2)由(1)知/(%)在x=—Ina處取得最大值為：

f(—Ina)=—lna+a[l]=ci—Ina—1,

設(shè)g(a)=a-lna—1—alna+a,貝!]g[a)=1一工一Ina,

令/z(a)=1一工一Ina,貝!=《一工<0,

aaa

則h(a)在[l,+oo)單調(diào)遞減，h(a)</i(l)=0,

即g'(a)KO,則g(a)在[1,+8)單調(diào)遞減

g(?)^g(l)=h

:.〃-lna)-alna+a<l,

:./(%)—alna+aWl.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論和構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計

算能力.

73

is,(I)—(ID-(ni)見解析

305

【解析】

(I)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(II)結(jié)合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可;

V_Q<

(in)求出滿足<1的成績有16個，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：(I)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件A,

由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，

7

所以所求概率P(A)約為.

(II)設(shè)從圖中考核成績滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，

至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件B,

因為表中成績在［80,89］的6人中有2個人考核為優(yōu)，

所以基本事件空間Q包含15個基本事件，事件3包含9個基本事件，

93

所以尸(3)=m

x-85

cm)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足Z5一41的成績有16個，

、

x-85”>。.5

所以P<1

10

73015

所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動有效.

【點睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題.

丫2115

19、(1)線G的普通方程為L+y2=i,曲線C,的直角坐標(biāo)方程為x2+(y_l)2=l；(2)—p+—^=-.

4|OA||OD|4

【解析】

x=pcosO

試題分析：(1)(1)利用cos28+sin2?=l,即可曲線Ci的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而利用八即可化為極坐

y=psinO

標(biāo)方程，同理可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)由此此過V+(y—1『=1的圓心，得OPLOQ得Q4LO5,設(shè)4(8，。)，B^p2,0+^,

1111

Iz-j4|2+||22+2代入P+p2sin20=1中即可得解.

\OA\\OB\0P24

試題解析:

(1)曲線C1的普通方程為亍+丁=1,化成極坐標(biāo)方程為夕c；s0+夕2sin2°-1

曲線的直角坐標(biāo)方程為尤2+(y—1)2=1

(2)在直角坐標(biāo)系下，必(0,1),M(2,0),必”2：x+2y-2=0

恰好過d+(y—1)2=］的圓心,

2

.?./尸0。=90。由0?，0。得04，。5A,3是橢圓r匕+/點上的兩點,

4-

百誓+p；sin2，=l中,

在極坐標(biāo)下，設(shè)A(夕J。),0分別代入

有互誓+夕落/6=1和空］

2

+P>^+|=1

4

1cos2^H-sin2^,上7v

P；4P?

115115

則^+下=1，即----7-----T——

APi4|(9A|2\OB\24

9

20、(1)—；(2)見解析.

10

【解析】

事件4表示男學(xué)員在第i次考科目二通過，事件及表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(其中，=1,2,3,4,5)(1)這對

夫妻是否通過科目二考試相互獨立，利用獨立事件乘法公式即可求得；(2)補(bǔ)考費用之和為X元可能取值為400,600,

800,1000,1200,根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

事件4表示男學(xué)員在第i次考科目二通過,

事件與表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(其中，=1,2,3,4,5).

(1)事件〃表示這對夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費.

P（M）=44+ABB+A44+44男員）

=P（A4）+P（4瓦§2）+*44）+尸（44耐

4341314314139

二——X——I--X—X——F—X—X——F—X—X—X—=—.

54544554554410

（2）X的可能取值為400,600,800,1000,1200.

433

P（X=400）=P（A3B3）=-X-=-

41314327

P（X=600）=尸（A瓦§4+44員）二-X—X——|——X—X—=-------,

544554100

141341111311

P（X=800）=p（A4瓦旦+A瓦瓦+44員）=—X—X—x——I——X—X—H—X—X—=-------,

5544544554100

141111137

p(x=woo)=網(wǎng)A4瓦瓦+A4瓦氏)二—X—X——X——F—x—X—X—=--------,

55445544400

P(X=1200)=P(A4瓦瓦卜？？卜卜二

則X的分布列為:

X40060080010001200

3271171

p

5100100400400

3271171

ttEX=400x-+600x—+800x—+1000x—+1200x—=510.5（元）.

5100100400400

【點睛】

本題以實際問題為素材，考查離散型隨機(jī)變量的概率及期望，解題時要注意獨立事件概率公式的靈活運用，屬于基礎(chǔ)

題.

21、（1）I：y=2x+l,c：x2+（y-l）2=l；（2）2逐

【解析】

(D消去參數(shù)/求得直線/的普通方程，將夕=2sin夕兩邊同乘以夕，化簡求得圓C的直角坐標(biāo)方程.

(2)求得直線/的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義，求得

|舷4|+|MB|的值.

【詳解】

(1)消去參數(shù)乙得直線/的普通方程為y=2r+l,

將°=2sin6兩邊同乘以「得"=20sin6,x2+（y-l）2=1,

...圓C的直角坐標(biāo)方程為X?+(y-1)2=1；

x=l+旦t

x=t5?,

(2)經(jīng)檢驗點M(L3)在直線/上，<Ic可轉(zhuǎn)化為r

[y=i+2t

5

22

將①式代入圓C的直角坐標(biāo)方程為X?+(y-1)2=1得，+半f

%+21=1,

|+

化簡得『+26+4=0,

設(shè)乙,，2是方程/+2，5/+4=0的兩根，則4+/2=—2，^,乙彳2=4,

；幫2=4>0,二％與與同號，

由才的幾何意義得|版4|+|知5|=可+卜2|=,+寸=2岔.

【點睛】

本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用直線參數(shù)的幾何意義求解距離問題,

屬于中檔題.

22、⑴①當(dāng)機(jī)2-2后時，/(月在(0,+8)單調(diào)遞增亳當(dāng)機(jī)<一2應(yīng)時，/(九)單調(diào)遞增區(qū)間為

-m-y/m2—8-m+「信-8—m—yjm2-8—m+dm2-8

,+8，單調(diào)遞減區(qū)間為

，222

\72

(2)證明見解析

【解析】

(1)先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對參數(shù)樣分類討論，分析出每種情況下函數(shù)/(%)的單調(diào)性即可;

(2)根據(jù)條件先求解出加的值，然后構(gòu)造函數(shù)0。)=/(；0-/(2-；0(0<%<2)分析出外,尤2之間的關(guān)系，再構(gòu)造

函數(shù)%(%)=/(x)-/(4-x)(l<x<4)分析出x2,x3之間的關(guān)系，由此證明出%+2>%.

【詳解】

2,2“2+卬+2=-42+根+2點

(1)/(%)=-x-l-mx+21nx,/(x)