江蘇省南京秦淮2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

江蘇省南京秦淮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)模擬試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.a2+a2=2a4B.a2?a=aiC.（3a）~=60rD.a6+a2—as

【答案】B

【分析】

根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的乘法，積的乘方，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、???4+/=2",故本選項(xiàng)不符合題意；

3

B,Va\a=a,故本選項(xiàng)符合題意；

C>V（3a）2=9a2,故本選項(xiàng)不符合題意；

D、：/、/不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的運(yùn)算等，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒1300000KB以上.用

科學(xué)記數(shù)法表示1300000是（）

A.13xl05B.1.3xl05C.1.3xl06D.1.3xlO7

【答案】C

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中

1<|a|<10,"為整數(shù).確定”的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,

n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：,?,1300000=1.3x1（）6,

故選：C.

3.如果一組數(shù)據(jù)2,3,x,4,3,6（x為非負(fù)整數(shù)）的中位數(shù)為3,則x的值有幾

種可能（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】

本題考查了中位數(shù)的概念，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅?/p>

最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).根據(jù)中位數(shù)的概

念求出可能的值即可.

【詳解】解：將除X的數(shù)據(jù)從小到大排列為：2,3,3,4,6,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

3,

加入x后中位數(shù)為3,

x為非負(fù)整數(shù)，

??.X的值可能為：。，1,2,3.

故選：C.

4.如圖，矩形ABCZ）的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0,6）,（0,2）,（1,2）.將矩形ABCD向

右平移相個(gè)單位，若平移后的矩形ABCD與函數(shù)y=?（無(wú)＞0）的圖像有公共點(diǎn)，則機(jī)

的取值范圍是（）

A.0<m<4B.l<m<6C.l<m<5D.2<m<6

【答案】B

【分析】先求出。（1，6）,再根據(jù)平移方式求出平移后點(diǎn)2和點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為

（帆2）,（l+m,6）,再求出反比例函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1+加,6）和點(diǎn)（相,2）時(shí)m的值即可得到

答案.

【詳解】解：???矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（。，6）,（0,2）,（1,2）,

ACD=AB=4,CD//AB,

???平移后點(diǎn)2和點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為（利，2）,（1+m,6）,

1?

當(dāng)反比例函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1+m,6）時(shí)，則6=--,

m+l

解得“2=1（已檢驗(yàn)是原方程的解）；

1o

當(dāng)反比例函數(shù)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（相，2）時(shí)，貝IJ2=二，

m

試卷第2頁(yè)，共30頁(yè)

解得機(jī)=6(已檢驗(yàn)是原方程的解)；

17

???若平移后的矩形ABCD與函數(shù)y=—(x>0)的圖像有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是

X

l<m<6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化平移等

等，根據(jù)題意求出反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)平移后點(diǎn)D和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)m的值是解題的關(guān)鍵.

5.小嘉說(shuō)：將二次函數(shù)y=V的圖象平移或翻折后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)有4種方法：

①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度④沿?zé)o軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

你認(rèn)為小嘉說(shuō)的方法中正確的個(gè)數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可依此進(jìn)行求解問(wèn)題.

【詳解】解：①將二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到：y=(x-2『，把點(diǎn)(2,0)代

入得：y=(2-2『=0,所以該平移方式符合題意；

②將二次函數(shù)y=V向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到：

j=(x-l)2-l,把點(diǎn)(2,0)代入得：y=(2-l?-l=0,所以該平移方式符合題意；

③將二次函數(shù)y=/向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：y=x2-4,把點(diǎn)(2,0)代入得：

>=2^4=0,所以該平移方式符合題意；

④將二次函數(shù)y=V沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：y=-x2+4,把點(diǎn)(2,0)

代入得：>=-22+4=0,所以該平移方式符合題意；

綜上所述：正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關(guān)

鍵.

6.我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形，根據(jù)定義：

①等邊三角形一定是奇異三角形；②在RdABC中，NC=90。，AB=c,AC=b,BC=

a,且6>a,若RdABC是奇異三角形，則a：b-.c=l：?2；③如圖，A8是。。的

直徑，C是。。上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、2重合），D是半圓的中點(diǎn)，C、。在直徑A8

的兩側(cè)，若在。。內(nèi)存在點(diǎn)E,使AE=A。，CB=CE.則AACE是奇異三角形；④在③

的條件下，當(dāng)AACE是直角三角形時(shí)，ZAOC=120°,其中，說(shuō)法正確的有（）

r

【答案】B

【分析】①設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為。，代入檢驗(yàn)即可；②在RtAABC中，由勾股定理可

得儲(chǔ)+匕2=。2,因?yàn)镽tAA5c是奇異三角形，且6>a,所以4+°2=2廿，然后可得

2

6=亞°，c=6a,代入可求；③要證明△ACE是奇異三角形，只需證AC'+CEZ=2AE

即可；④由③可得AACE是奇異三角形，所以4。2+庭2=24序，當(dāng)AACE是直角三角

形時(shí)，由②可得AC：AE：CE=1：叵拒或AC：AE：CE=A/3：A/2：1,然后分兩種情況討

論.

【詳解】解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,

則片+片=2〃，滿足奇異三角形的定義，

二等邊三角形一定是奇異三角形，

故①正確；

在RtAABC中，a2+b2=c2,

*.*c>/?>a>0,

2c2X22+b292a2<b2+c2,

若.ABC是奇異三角形，一定有2〃="+，，

lb1="+（/+/），

?**b1=2Q2,得/?=y/2a.

,?*c2=b2+a2=33,

c=^3a，

a：b：c=1：V2：V3，

故②錯(cuò)誤；

在RtAABC中，儲(chǔ)+〃=。2,

試卷第4頁(yè)，共30頁(yè)

是。。的直徑，

，ZACB=ZADB=9Q°,

在RfAACB中,AC2+BC2=AB2;

在咫AAD3中，AD2+BD2=AB2.

。是半圓的中點(diǎn)，

AD=BD>

：.AD=BD,

AB2=AD1+BD2=2ADr,

又：CB=CE,AE^AD,

AC2+CE2=2AE2.

..?AACE是奇異三角形，

故③正確；

由③可得AACE是奇異三角形，

/.AC2+CE2=2AE2.

當(dāng)AACE是直角三角形時(shí)，

由②可得AC：AE-.CE=I：叵6或AC：AE；CE=60：1,

(I)當(dāng)AC：AE：CE=1：0：有時(shí)，

AC：CE=1:73,即AC：CB=1:73,

?/ZACB=90,

：.ZABC=3Q°,

：.ZAOC=2ZABC=60°.

(II)當(dāng)AC：AE：CE=""l時(shí),

AC：CE=73:1,即AC：CB=51,

:ZACB=90°,

：.ZABC=60°,

ZAOC=2ZABC=120°,

：.ZAOC的度數(shù)為60?；?20°,

故④錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了：L命題；2.勾股定理；3.圓周角定理及推論；4.直角三

角形的性質(zhì).能牢固掌握以上知識(shí)點(diǎn)并綜合運(yùn)用是做出本題的關(guān)鍵.

二、填空題

2

7.—在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無(wú)的取值范圍是

2x-l

【答案】

【分析】根據(jù)分式分母不為0列出不等式，解不等式即可.

【詳解】解：由題意得，2/1知，

解得，洋1,

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式分母不為0是解題的關(guān)鍵.

8.因式分解：ma2—6ma+9m—.

【答案】m(a-3)2

【分析】

本題考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前

提.先提取公因式加，再利用完全平方公式即可.

【詳解】

原式=—6a+9)

=m^a—Sy,

故答案為：加(。-3)

9.如圖，以邊長(zhǎng)為2的等邊ABC頂點(diǎn)A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好與8C邊

相切，分別交AB,AC于。，E,則圖中陰影部分的面積是.

試卷第6頁(yè)，共30頁(yè)

【答案】V3-j

【分析】

作A尸」BC,由勾股定理求出"，然后根據(jù)S陰影=SABC-S庸形ADE得出答案.

【詳解】解：由題意，以A為圓心、一定的長(zhǎng)為半徑畫弧，恰好與3C邊相切,

設(shè)切點(diǎn)為R連接則

等邊A6C中，AB=AC=BC=2,ABAC=60°,

：.CF=BF=1.

在RtACF中，AF=ylAB2-AF2=y/3,

60；rX（）2

-''S^=SABC-ADE=~x2xV3-^=A/3--,

陰影A8c屈形ADE23602

故答案為：A/3-|

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，求扇形面積，理解切線的性質(zhì)，將陰影部

分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積-扇形的面積是解題的關(guān)鍵.

10.在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”,

在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法,所做所將矩形窗框ABC。

分為上下兩部分，其中￡為邊的黃金分割點(diǎn)，^BE-=AE-AB.已知AB為2米,

則線段助的長(zhǎng)為米.

D

------------------1c

【答案】（6-1）/卜1+右）

【分析】根據(jù)點(diǎn)E是A8的黃金分割點(diǎn)，可得絲=—=理二1,代入數(shù)值得出答案.

BEAB2

【詳解】???點(diǎn)E是A3的黃金分割點(diǎn)，

.AEBEA/5-1

?.=__------.

BEAB2

：A8=2米，

3￡=（指-1）米.

故答案為：（6-1）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于C。，對(duì)角線AC是。的直徑，ZACD=30°,連接對(duì)

角線BD,則/C3D的度數(shù)是.

【答案】60。/60度

【分析】

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得ZADC=90°,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得ZCAD=60°,

最后依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)果.

【詳解】解：AC是:_O的直徑，

.-.ZADC=90°,

ZACD=30°,

ZC4D=60°,

:./CBD=NCAD=60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理，以及同弧所對(duì)的圓

周角相等；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

試卷第8頁(yè)，共30頁(yè)

12.如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,P是網(wǎng)格線的交點(diǎn),

則ZB4B+NPBA=.

【答案】45°/45度

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作尸D〃AB,延長(zhǎng)AP至點(diǎn)C,連接8c由平行線的性質(zhì)可證明出

ZPAB+ZPBA=ZBPC.再求出PC=BC=J?,PB=M,即可判定△BPC為等腰直

角三角形，即得出4PC=45。，即/PAB+NPBA=45。.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸D〃AB,延長(zhǎng)AP至點(diǎn)C,連接BC,

?/PD//AB,

：.ZPAB=ZCPD,ZPBA=ZBPD,

：.NPAB+NPBA=ZCPD+ZBPD=Z.BPC.

由圖可知尸C=8C=\產(chǎn)+22=也,PB=712+32=710，

PC2+BC2=PB2,

...△3PC為等腰直角三角形，

/.NBPC=45°,即NPAB+NPBA=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定

和性質(zhì).正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.

fX=1

13.已知｛c是方程辦+勿=3的解，則代數(shù)式2a+4b-5的值為_(kāi)_.

[y=2

【答案】1

(x—1

【分析】把J2代入〃x+by=3可得〃+2b=3,而2i+4b-5=2(a+2Z?)-5,再整體代

入求值即可.

（——]

【詳解】解：把c代入ox+by=3可得：

[y=2

a+2b—3，

2a+4b-5

=2"+2/?）-5

=2?35=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“方

程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關(guān)鍵.

14.若關(guān)于尤的方程x2+2kx+k2+k+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則上2+%+3的最小值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)題意得到判別式△加，解不等式即可求出4的范圍，再求出嚴(yán)+k+3最小

值，即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，A=⑵￥-4（左2+左+3）=-4*12/0

左W-3

設(shè)墳=/+左+3,貝1|卬=1+「）+—,對(duì)稱軸為4-L

I2；42

■:k0-3

在對(duì)稱軸左側(cè)

當(dāng)左=一3時(shí)，/小=[_3+；]+[=9,

故填：9.

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，和二次函數(shù)求最小值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根的判別

式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

15.如圖，點(diǎn)。在射線3c上移動(dòng)（不含8點(diǎn)），RtABCsRtADE,ZACB=90°,AB=10,

8c=8,若SAC0E=3.6時(shí)，貝l|3￡>=.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵

試卷第10頁(yè)，共30頁(yè)

是找到BAD^C4E的條件.設(shè)BD=x,因?yàn)镽tABC^RtADE,所以可設(shè)

CF=3a,EF=4a,則CE=5a,結(jié)合j.A40sC4E,得到〃與工之間的關(guān)系，根據(jù)面

積列方程即可得到答案.

【詳解】解：VZACB=90°,AB=10,BC=8,

*'-AC7AB2-BC?=6,

VRtABC^RtADE,

,ABA(J

—,ZBAC=ADAE,

ADAE

ABAD

：.ZBAD=ZCAE,

ACAE

:.BAD^CAE,

：.ZABD=ZACE,

過(guò)點(diǎn)E作EFJ.BC于一點(diǎn)F,

A

B

：ZECF+ZACE=90°,ZABD+ZBAC=90°,

??ZECF=/BAC,

OA

\tanZECF=tanZBAC=—=—二一，

AC63

設(shè)皮＞=無(wú)，CF=3a,EF=4a,

??CE=yjCF2+EF2=5a^

：BAD^CAE,

.ABBD

~AC~~CE，

.10x

65a

3

?a=—x,

25

,S叢CDE=3.6，

X—x=3.6,

225

解得％=5,%=3,

/.=3或5,

故答案為：3或5.

16.如圖，菱形ABCO中，ZABC=60°,AB=4,點(diǎn)尸是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在

直線PB上，若ZBEC=NBCP,則CE的最小值是—.

【答案】遞

3

【分析】連接作.45石的外接圓CO,連接OB,OC,OA,利用相似三角

形的性質(zhì)判斷出NAEB=120。，得出點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)軌跡，可得結(jié)論.

【詳解】連接AE,作一石的外接圓?O,連接OE,OB,OC,OA,

???四邊形ABCD是菱形，

AB=BC,AD//CB,

：.ZBAD=18O0-ZABC=120°,

?；/BEC=ZBCP,/CBE=/PBC,

；.EBCsCBP,

.BCEB

??而一拓’

:.BC2=BEBP,

AB?=BEBP，

.ABEB

??而一瓦’

試卷第12頁(yè)，共30頁(yè)

*.*ZABE=ZABP,

；?_ABEs.PBA,

：.ZAEB=ZBAP=120°,

在O任取一點(diǎn)尸，連接AT,BF,

???O是二ABE1的外接圓，

/.ZF+ZAEB=180°,

???點(diǎn)E在］。上運(yùn)動(dòng)，ZAOB=120°f

：.ZOBA=ZOAB=30°,0A=08=逑，

3

???ZOBC=NOBA+ZABC=30°+60°=90°,

22

?,?由勾股定理得：OC=^OB+BC=4+42二蟲(chóng)I,

K3J3

?：EC+OENOC

?八口8A/34734g明”、4若

3333

的最小值為逑，

3

故答案為：生叵.

3

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及面積法的運(yùn)用，解決問(wèn)

題的關(guān)鍵是利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出當(dāng)點(diǎn)。，E,C三點(diǎn)共線時(shí)，CE最短.

三、解答題

5x-l>3x-4

17.求不等式組12的解集，并寫出它的自然數(shù)解.

——X<—X

133

【答案】-1.5<x<l,自然數(shù)解為0,1

【分析】

本題主要考查的是解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大

取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)解了，確定不等式組的解集，再寫出它

的自然數(shù)解.

5x—1>3x—4(J)

【詳解】解：124

——x<——Mg)

I33

由①式得x>—1.5,

由②式得xWl,

不等式組的解集為-L5<xVl.

它的自然數(shù)解為0,1

C3'r2-4x+4

18.先化簡(jiǎn)，后求值：上x(chóng)-1———,然后在0,1,2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)適合

\x-lJx-1

的數(shù)，代入求值.

X+2

【答案】-當(dāng)x=0時(shí)，原式=1

x-2

【分析】

先計(jì)算括號(hào)里面進(jìn)行通分運(yùn)算，再進(jìn)而利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】

x-Px2一4%+4

解:原式二

尤―1,x~l

2

-4-—--x--X----X-—--1-

)(x-2)7

(尤+2)(x-2)x-1

x-1

x+2

x—2

由題意知％W1且xw2,

x=0,

當(dāng)％=0時(shí)，原式=一詈1=1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法以及分式

有意義的條件.

19.在科學(xué)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)備考中，王老師為本班學(xué)生準(zhǔn)備了下面3個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目：A.測(cè)量物

質(zhì)的密度：B.實(shí)驗(yàn)室制取二氧化碳：C探究凸透鏡成像.并準(zhǔn)備了如圖的三等分轉(zhuǎn)盤，

規(guī)定每名學(xué)生可轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，并完成轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)赶虻膶?shí)驗(yàn)項(xiàng)目（若指針停在

等分線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)回答下列問(wèn)題：

⑴請(qǐng)直接寫出：小明同學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤,正好選中自己熟悉的“A”實(shí)驗(yàn)的概率是

（2）請(qǐng)你求出小明和小紅兩名同學(xué)各轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，都沒(méi)有選中"C'實(shí)驗(yàn)的概率（用樹(shù)狀

圖或列表法求解）.

試卷第14頁(yè)，共30頁(yè)

【答案】⑴g

4

(2)列表見(jiàn)解析，都沒(méi)有選中“。'實(shí)驗(yàn)的概率為

【分析】

(1)根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；

(2)先列出表格找到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到都沒(méi)有選中“。'實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù),

最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】(1)解：；一共有A、2、C三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目被選中的概率相同，

小明同學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，正好選中自己熟悉的“A”實(shí)驗(yàn)的概率是:，

故答案為：-

(2)解：列表如下：

ABC

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)QB,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表格可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中都沒(méi)有選中“。'實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù)有4種，

4

都沒(méi)有選中實(shí)驗(yàn)的概率為§.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，熟知概率的相

關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.隨著科技的進(jìn)步和網(wǎng)絡(luò)資源的豐富，在線學(xué)習(xí)已成為更多人的自主學(xué)習(xí)選擇某校計(jì)

劃為學(xué)生提供以下四類在線學(xué)習(xí)方式：在線閱讀、在線聽(tīng)課、在線答題和在線討論為了

解學(xué)生需求，該校隨機(jī)對(duì)本校部分學(xué)生進(jìn)行了“你對(duì)哪類在線學(xué)習(xí)方式最感興趣”的調(diào)查

(不可多選，也不可不選)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖

中信息，解答下列問(wèn)題：

A人數(shù)

48

42

36

30

24

18

12

6

0在線在線在線在線技

閱讀聽(tīng)課答題討論

(1)直接寫出本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“在線討論”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)該校共有學(xué)生3000人，請(qǐng)你估計(jì)該校對(duì)在線閱讀最感興趣的學(xué)生有多少人?

【答案】⑴90

(2)見(jiàn)解析

(3)48°

(4)800人

【分析】(1)利用在線答題的學(xué)生人數(shù)除以其所占百分比即得出總?cè)藬?shù)；

(2)用總?cè)藬?shù)減去其它在線學(xué)習(xí)方式人數(shù)即得出在線聽(tīng)課學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;

(3)求出在線討論學(xué)生所占的百分比，再乘以360。即得出答案；

(4)求出在線閱讀學(xué)生所占的百分比，再乘以該?？?cè)藬?shù)即可.

【詳解】(1)本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)：18+20%=90,

故答案為：90；

(2)在線聽(tīng)課的學(xué)生有：90-24-18-12=36(人)，

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示；

試卷第16頁(yè)，共30頁(yè)

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“在線討論”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是：360°x^=48°,

即扇形統(tǒng)計(jì)圖中“在線討論”對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是48。；

24

(4)3000X—=800(人)，

90

答：該校對(duì)在線閱讀最感興趣的學(xué)生有800人.

【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)聯(lián)，由樣本估計(jì)總體.根據(jù)題意，從統(tǒng)

計(jì)圖中找到必要的信息和數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在矩形ABCD中,對(duì)角線相交于點(diǎn)。，且NCOE=/3OC、ZDCF=ZACD.

⑴求證：DF=CF；

(2)若NCDF=60。，DF=6,求矩形ABCD的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵36g

【分析】(1)先證明△OC尸名AOCO得到。尸=OO,CF=CO,再由矩形的性質(zhì)證明OC=OD,

即可證明DF=CF=OC=OD；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得到/CDO=/CDF=60。，OD=DF=6,即可證明是等

邊三角形，得到8=0。=6,然后解直角三角形求出8C的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】(1)解：在和小。。。中，

ZDCF=ZDCO

<CD=CD,

ZCDF=ZCDO

:ADCFmADCO(ASA),

：.DF=DO,CF=CO,

:四邊形ABC。是矩形，

/.OC^OD=-AC^-BD,

22

：.DF=CF=OC=OD；

(2)解：:ADCF名ADCO,

：.ZCDO=ZCDF=60°,OD=DF=6,

又,：OD=OC,

...△OCD是等邊三角形，

：.CD=OD=6,

:四邊形ABC。是矩形，

ZBCD=90°,

：.BC=CD-tanZBDC=6V3,

?1?S^ABCD=BC-CD=36百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等

三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂AC是可伸縮

的(10mWACV20m),且起重臂AC可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角為

ZC4￡(90°<ZCAE<150°),轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面8。的高度AE為4m.

①②

(1)當(dāng)起重臂AC長(zhǎng)度為12m,張角/C4E為:120。時(shí)，求云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的

高度CF；

(2)某日、一居民家突發(fā)險(xiǎn)情，該居民家距離地面的高度為22m,請(qǐng)問(wèn)該消防車能否實(shí)

施有效救援？(參考數(shù)據(jù)：72-1.414,73-1.732)

【答案】(1)10m

(2)無(wú)法實(shí)施有效救援.

【分析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)知道邊相等，再利用直角三角形的正弦值得到CP；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)知道邊相等，再利用直角三角形的正弦值得到CB,進(jìn)而得到該消

防車能否可以實(shí)施有效救援.

【詳解】(1)解：如圖，作AGLCF于點(diǎn)G,

試卷第18頁(yè)，共30頁(yè)

ZAEF=ZEFG=ZFGA=90°,

???四邊形AEFG為矩形，

AFG=AE=4m,NE4G=90。，

???ZGAC=ZEAC-ZEAG=120°-90°=30°,

在RfACG中,sin/C4G=—

AC

???CG=AC.sinZCAG=12xsin30°=12x1=6（m）,

???CF=CG+GF=6+4=10（m）；

（2）解：如圖，作AGLC齊于點(diǎn)G,

,/ZAEF=ZEFG=ZFGA=90°,

???四邊形AEFG為矩形，

/.FG=AE=4mfNE4G=90。，

,//C4E的最大角度為150。，

???ZGAC=ZEAC-ZEAG=150°-90°=60°,

?/AC=20m,

???在心ACG中，sinZCAG=——

AC

：.CG=ACsinNC4G=20xsin6（T=20x2^=10^~17.32（m）,

???CF=CG+GF=17.32+4=21.32（m）；

最高救援高度為21.32m,

,該居民家距離地面的高度為22m,

22m>21.32m,

故該消防車無(wú)法實(shí)施有效救援.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，矩形ABC。中，AD>AB,

（如需畫草圖，請(qǐng)使用備用圖）

DD

BC

（備用圖）

（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）

①在8c邊上取一點(diǎn)E,使AE=BC；

②在CD上作一點(diǎn)F,使點(diǎn)尸到點(diǎn)D和點(diǎn)E的距離相等.

⑵在（1）中，若A8=6,AD=10,貝!]ZkAEF的面積=_.

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；

【分析】（1）①以A為圓心，8C的長(zhǎng)為半徑畫弧與8c交于點(diǎn)E；

②連接DE,作DE的垂直平分線與0c交于點(diǎn)F；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，^AE=AD,利J用SSSvE^AEF^^ADF,^ZAEF=ZADF=9Q°,

利用勾股定理得BE=8,再得EC=2,利用勾股定理求出進(jìn)而得出面積.

【詳解】（1）解：①如圖所示

點(diǎn)E即為所求

②如圖所示

點(diǎn)廠即為所求

（2）解:連接ERAF

在矩形ABCD中

試卷第20頁(yè)，共30頁(yè)

AD=BC=10

又AE=BC

：.AE=AD=10

又DF=EF

：.AAEF^AADF(SSS)

/.ZAEF=ZADF=90°

在RtAABE中

BE=yjAE2-AB2=>/102-62=8

：.EC=BC-BE=2

令DF=FE=x,則FC=6-x

在RtAFCE中

FE2=FC2+EC2

.■.x2=(6—x)2+22

解得x=T

AAEF的面積為5X7x10=1^

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了等線段的截取，垂直平分線的畫法及性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，利用勾股定理求邊長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)，熟練地掌握基本作圖是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

24.南京有著“天下文樞”“江南第一州”等美譽(yù).美麗環(huán)境來(lái)之不易為了美化環(huán)境，我市

加大了對(duì)綠化的投資，2021年用于綠化投資100萬(wàn)元，截止到2023年，這三年的綠化

總投資為331萬(wàn)元，求我市2022、2023這兩年綠化投資的年平均增長(zhǎng)率.

【答案】10%

【分析】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.

設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長(zhǎng)率為X,根據(jù)三年的綠化總投資錢數(shù)列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)我市2022、2023這兩年綠化投資的年平均增長(zhǎng)率為X,則2022年用于

綠化投資100（1+%）萬(wàn)元，2023年用于綠化投資100（1+療萬(wàn)元，

依題意得：100+100（l+x）+100（l+x）2=331,

整理得：100%2+300X-31=0.

解得：再=0.1=10%,X2=-3.1（不合題意，舍去）.

答：我市2022、2023這兩年綠化投資的年平均增長(zhǎng)率為10%.

25.如圖，AB為。。的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，C。與。O相切于點(diǎn)。.

【答案】（1）見(jiàn)解析;

（2）1A/6

【分析】（1）連接。。，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出OD_LCD,即NADO+NS4=90。，

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。，得出ZADO+ZBDO=90。，根據(jù)OB=OD,得出

ZB=ZBDO,即可得出=即可證明△C4Ds^CD8；

（2）設(shè)圓的半徑為廣，根據(jù)sinC=；,表示出C。，用r即可表示出AC、BC、利用

即可得出的長(zhǎng),再利用勾股定理求出A8的長(zhǎng),即可求出圓的半徑.

【詳解】（1）證明：連接0，

與。。相切于點(diǎn)。,

:.OD±CD,

:.ZCDO=90°,

:.ZADO+ZCDA=90°,

AB為。。的直徑，

:.ZADB^9Q0,

試卷第22頁(yè)，共30頁(yè)

:.ZADO+ABDO=90°,

:.ZCDA=ZBDO,

OB=OD,

:"B=/BDO,

:.NB=NCDA,

NC=NC,

:ACADsACDB.

(2)設(shè)圓的半徑為八

，C0=3r,

/.AC=CO—AO=3r—r=2r,

CB=CO+BO=3r+r=Ar,

ACAD^ACDB,

.ADCDAC

,BD~BC~CD9

;.CD~=ACBC=2r-4r=?,r2,

:6=府=2。，

AD2萬(wàn)

---=-----，

64r

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三

角形，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線工=機(jī)，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自

變量大于加的部分關(guān)于直線x=機(jī)的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于加的部

分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x的"鏡面函數(shù)

”.例如：圖①是函數(shù)y=x+i的圖象，則它關(guān)于直線X=o的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②

所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為黑）,也可以寫成尸N+1.

⑴在圖③中畫出函數(shù)y=2x+l關(guān)于直線x=i的“鏡面函數(shù)”的圖象.

(2)函數(shù)y=+2》+5關(guān)于直線x=-l的“鏡面函數(shù)”與直線丫=彳+%有三個(gè)公共點(diǎn)，求

m的值.

(3)已知4-1,0),B(3,0),C(3,-2),0(-1,-2),函數(shù)y=尤?-2〃x+2(">0)關(guān)于

直線x=0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【答案】(1)圖象見(jiàn)解析

⑵加的值為3或亍21

313

(3)”的取值范圍為二<"<2或

26

【分析】

(1)根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)y=2x+1的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；

(2)分直線y=x+7找過(guò)“鏡面函數(shù)，，圖象與直線x=_l的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況

求解即可；

(3)先求出y=f—2辦+2伍>。)關(guān)于x=o的“鏡面函數(shù)”解析式，再分x=T以及頂點(diǎn)

在產(chǎn)-2上的情況和尤=3時(shí)，列出不等式求解即可.

【詳解】⑴解：如圖③，即為函數(shù)函數(shù)y=2無(wú)+1關(guān)于直線x=l的“鏡面函數(shù)”的圖象,

試卷第24頁(yè)，共30頁(yè)

(2)對(duì)于y=-x2+2x+5,當(dāng)x=0時(shí)，y=5,

二函數(shù)y=-d+2x+5與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),

當(dāng)x=-l時(shí)，j=-(-l)2+2x(-l)+5=2,即函數(shù)y=-x?+2x+5與尸一1的交點(diǎn)為(T,

2),

當(dāng)直線y=x+機(jī)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(T,2)時(shí)，m=3,

根據(jù)對(duì)稱性，此時(shí)，函數(shù)y=-/+2x+5關(guān)于直線x=-l的“鏡面函數(shù)”與直線y=x+有

三個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)直線y=x+〃z與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，也有三個(gè)公共點(diǎn)，

,,X-\-YYl——X2+2x+5，

整理得，X2—x+2+m-5=0,

止匕時(shí)，A=(-l)2-4x(m-5)=0,

21

解得，m=；,

4

y=0時(shí)，A=(-1)2-4X(；77-5)>0,

71

綜上，加的值為3或?；

4

(3)解：函數(shù)y=f—2依+2(心0)關(guān)于1=0的“鏡面函數(shù)”解析式為

X2-2nx+2(〃>0,x<0)

y=〈c,

x+2nx+2(n>0,x>0)

當(dāng)了二—1時(shí)，y<0,

1—2fl+2<0,

3

解得，n>~；

2

cR-4n2

當(dāng)y=x-2依+2(〃>0)的頂點(diǎn)在8上時(shí)，------=-2

4

解得〃=2或〃=-2(舍),

此時(shí)，函數(shù)y=f—2砒+2(〃>0)關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形ABCD的邊有

5個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

3_

—v〃<2,

2

當(dāng)％=3時(shí)，yv—2,

/.9—6M+2v—2,

13

解得，;

6

綜上，〃的取值范圍為23〈幾<2或〃>y13.

試卷第26頁(yè)，共30頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能

夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

27.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】

CG1

如圖1,在矩形ABC。和矩形CEG尸中，一=-,AB=9,AD=12,小明將矩形CEG尸

AG2

繞點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2所示.

①問(wèn)：器4G的值是否變化?若不變，求A黑G的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

BEBE

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)2、E、尸在同一條直線上時(shí)，求AG的長(zhǎng)度.

(2)【類比探究】

如圖3,在ABC中，AB=AC=2,45,ZBAC=a°,tanZABC=1,G為BC中點(diǎn)，

點(diǎn)。為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且￡>G=如，將線段班>繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DE,則四

5

邊形54CE面積的最大值為.

（圖1）（圖2）（圖3）