2024屆遼寧省遼陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2024屆遼寧省遼陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是S3的中點(diǎn)，則AE,所成的角的余弦值為()

2.設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和為S"，且$8=0,%=-3,貝！)$9=()

A.9B.12C.-15D.-18

3.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論，其中關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹

長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序圖，若a=32,b=12,則輸出的“=

()

A.3B.4C.5D.6

0,

4.已知復(fù)數(shù)二^=1—初，其中。，北火，i是虛數(shù)單位，^\a+bi\=()

i

A.-l+2zB.1C.5D.V?

5.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)/(x)滿足/(x)=/(x+4)，且%e(0,1］時(shí)，/(%)=log2(x+l),

貝!)/(2018)+/(2019)=()

A.2B.-2C.1D.-1

6.某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)e的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)4。,0）作x軸的垂線與曲線

y=/相交于點(diǎn)過3作y軸的垂線與y軸相交于點(diǎn)C（如圖），然后向矩形Q鉆C內(nèi)投入M粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出

這些豆子在曲線丁=/上方的有N粒則無理數(shù)e的估計(jì)值是（）

7.函數(shù)/(%)=2%—攸尤+1］在［—2,1］上的最大值和最小值分別為()

22

A.-2B.——，-9C.-2,-9D.2,-2

33

8.關(guān)于函數(shù)/（x）=|cosx|+cos|2x|,有下列三個(gè)結(jié)論:①萬是/Xx）的一個(gè)周期；②Ax）在上單調(diào)遞增;

③/（X）的值域?yàn)閇-2,2].則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

9.命題。：存在實(shí)數(shù)X。，對任意實(shí)數(shù)x,使得sin（尤+X0）=-^11兀恒成立；q：\/a>Q,/（x）=In——^為奇函數(shù),

a-x

則下列命題是真命題的是（）

A.pzqB.（可）v（->q）c.pA（-><7）D.Jp）八q

10.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=&，E是4。的中點(diǎn)，將ZkABE沿3E折起至A,BE,記二面角A-BE-。

的平面角為a,直線AE與平面3COE所成的角為￡,AE與3c所成的角為/,有如下兩個(gè)命題：①對滿足題意的

任意的A'的位置，a+(3<7i.②對滿足題意的任意的A'的位置，a+y<7i,貝！|()

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

11.如圖，在ABC中，AD±AB,BD=xAB+yAC(x,yG7?),|AD|=2,且ACAD=12，則2x+y=()

A

334

1?

12.若函數(shù)/(%)=3*3+*2一孑在區(qū)間3,。+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(一3,0)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.過圓d+/+2%—4y=0的圓心且與直線2x+3y=0垂直的直線方程為.

14.某校為了解家長對學(xué)校食堂的滿意情況，分別從高一、高二年級隨機(jī)抽取了20位家長的滿意度評分，其頻數(shù)分布

表如下:

滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合計(jì)

高一1366420

高二2655220

根據(jù)評分，將家長的滿意度從低到高分為三個(gè)等級:

滿意度評分評分<70分70W評分＜90評分290分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

假設(shè)兩個(gè)年級家長的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從高一、高二

年級各隨機(jī)抽取1名家長，記事件A：“高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級”，則事件4發(fā)生的概率為

15.(1—2力(1+力6的展開式中犬的系數(shù)為

16.(5分)函數(shù)/0)=111(17)+"+^^的定義域是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在等比數(shù)列｛氏｝中，已知4=1,%=:?設(shè)數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和為S“，且々=T,%+2,=—〈S“T

82

(n>2,nGN*).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

'b

(2)證明：數(shù)列」是等差數(shù)列；

(3)是否存在等差數(shù)列｛%｝,使得對任意〃eN*，都有S“<g<4?若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列｛&｝；

若不存在，請說明理由.

18.(12分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,4c,已知疝b,且

cos2A-cos2B=A/3sinAcosA-^3sinBcosB?

(I)求角C的大??；

(II)若。=石，求AABC面積的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/'(￡)=63—xQaeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+7nx+1.

(1)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，％["*)+司之8(%)對任意的行(0,茁)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

20.(12分)在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為1:3,且成績

分布在[40』00],分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到

成績的頻率分布直方圖如圖所示.

(I)求。的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值最(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(H)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并判斷在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎與女生、男生有關(guān)”.

女生男生總計(jì)

獲獎5

不獲獎

總計(jì)200

附表及公式:

P(K』。)0.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.7063.8415.0246.6357.87910.828

其中心一^——,n=abcd.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)+++

22

21.(12分)已知橢圓。：二+3=1(。〉人〉0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳,耳，直線/：y=Ax+m與橢圓C相交于RQ

ab

兩點(diǎn)；當(dāng)直線/經(jīng)過橢圓C的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)B時(shí)，八耳「。的周長為4夜，且/與橢圓。的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

出4

%

(1)求橢圓。的方程；

(2)點(diǎn)M為△POQ內(nèi)一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足MP+MO+MQ=0,若點(diǎn)以恰好在圓。%2+/=-±,求

實(shí)數(shù)加的取值范圍.

22.(10分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是《，且是否

休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè)，否則該店就停業(yè).

(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；

(2)設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

試題分析：設(shè)AC、6。的交點(diǎn)為。，連接EO,則NAEO為所成的角或其補(bǔ)角；設(shè)正四棱錐的棱長為。，

AE2+O42—石。2

則AE=-a,EO=-a,OA=-a所以cosNAE。=

2222AEOA

~~＞故C為正確答案.

考點(diǎn)：異面直線所成的角.

2、A

【解析】

由§8=0,%=-3可得以及為，而S9=S8+a9,代入即可得到答案.

【詳解】

q+2d——3,

q=-7,

設(shè)公差為d,貝!In8x7,八解得

8%+一1-.d=0,d=2,

a。=%+8d—9,所以Sg-Sg+—9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力，是一道基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

分析：根據(jù)流程圖中的。=。+@可知，每次循環(huán)。的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2；根據(jù)流程圖中的〃=%可知,

22

每次循環(huán)力的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為2,根據(jù)每次循環(huán)得到的。力的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.

詳解：記執(zhí)行第〃次循環(huán)時(shí)，”的值記為有4,則有a“=321|］；

記執(zhí)行第〃次循環(huán)時(shí)，b的值記為有則有包=12x2".

令321|[<12x2%則有圖<|>故

n>4,故選B.

點(diǎn)睛：本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合，屬于中檔題，解題時(shí)注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項(xiàng)

滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前幾和、前〃項(xiàng)積等).

4、D

【解析】

0?

試題分析：由——-二1一次，得2—5二=a=—l,b=2,貝!|

a+bi=-l+2i,:.\a+bi\=|-1+2i\=/—if+2?=非,故選D.

考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.

5,D

【解析】

/(x)=/(x+4)說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.

【詳解】

由/(幻=/(x+4)知函數(shù)Ax)的周期為4,又Ax)是奇函數(shù)，

/(2)=/(-2),又/(—2)=—八2),.?.*2)=0,

.-./(2018)+/(2019)=/(2)+/(3)=0+/(-1)=0-/(1)=-1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).

6、D

【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形Q43C中位于曲線V=/上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于e的等式，

解出e的表達(dá)式即可.

【詳解】

在函數(shù)y=，的解析式中，令x=l,可得y=e,則點(diǎn)8(1,e),直線的方程為丁=6,

1

矩形Q鉆C中位于曲線y="上方區(qū)域的面積為S=J(e—公ntx-eOLnl,

矩形Q鉆C的面積為lxe=e,

N1M

由幾何概型的概率公式得一=一，所以，e=—.

MeN

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算e的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域

的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7、B

【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在［-2,1］上的最大值和最小值.

【詳解】

5x+1,—2Vx<—

依題意，/(x)=2x-|3x+l|=］3,

-x-1,——<x<1

I3

作出函數(shù)/(X)的圖象如下所示；

12

由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x=-1時(shí)，/(%)有最大值-

當(dāng)x=—2時(shí)，/(X)有最小值-9.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出.

【詳解】

①因?yàn)?(尤)=/(%+》)，所以〃是/(X)的一個(gè)周期，①正確；

②因?yàn)?(乃)=2,所以/(x)在上不單調(diào)遞增，②錯誤；

JT

③因?yàn)?(—X)=/(%),所以“X)是偶函數(shù)，又〃是"X)的一個(gè)周期，所以可以只考慮XC0,-時(shí)，/(X)的值域.當(dāng)

xe0,3時(shí)，?=COS^G[0,1],

f[x}=|cosx|+cos12x|=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-l=2r+t-l

丁=2/+"1在[0』上單調(diào)遞增，所以/(%)<—1,2],人尤)的值域?yàn)閇—1,2],③錯誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.

9、A

【解析】

分別判斷命題〃和q的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】

對于命題P,由于sin(x+?)=—sinx,所以命題。為真命題.對于命題q,由于。>0,由葉江>。解得—a<x<a,

a—x

且/(—x)=lnX=ln[9]=—In史三=—/(x),所以/(%)是奇函數(shù)，故4為真命題.所以2八4為真命題.

a+xa-x

(r?)v(-)a)、。A(「(?)、(「「)Aq都是假命題.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

作出二面角a的補(bǔ)角、線面角￡、線線角/的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示，過4作平面3CDE，垂足為。，連接0E，作連接AM.

由圖可知NA'MO=萬一o，/AEO=/3"AMO=7i—a,所以。+月〈萬，所以①正確.

②由于BC//DE,所以AZ與BC所成角7="—NA'EO〈NA'MO=?—。，所以￡+所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11、C

【解析】

由題可AO?AB=0,AC?=12,所以將已知式子中的向量用A。,AfiAC表示，可得到的％，V關(guān)系，再由瓦C三

點(diǎn)共線，又得到一個(gè)關(guān)于羽y的關(guān)系，從而可求得答案

【詳解】

由Br>=xAB+yAC，貝！I

AD=(x+l)AB+yAC,ADAD=AD[(x+AB+yAC]=(x+l)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=§,

又B,Q,C共線，則x+l+y=l,x=—g,2x+y=—g.

故選:C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.

12、C

【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.

【詳解】

由題意，f(x)=x2+2x=x(x+2),故｛x)在(一s,—2),(0,+向上是增函數(shù)，在(-2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如

圖所示.

_—3<a<0

則結(jié)合圖象可知，\uc解得“G[-3,0),

a+5>0

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于常考題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3x—2y+7=0

【解析】

根據(jù)與已知直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，將已知圓圓心坐標(biāo)代入，即可求解.

【詳解】

x-+y2+2x—4y—0圓心為(-1,2),

所求直線與直線2x+3y=0垂直，

設(shè)為3x—2y+C=。，圓心(—1,2)代入，可得。=7,

所以所求的直線方程為3x—2y+7=0.

故答案為：3x-2y+7=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的方程、直線方程求法，注意直線垂直關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14、0.42

【解析】

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況，分別求出三種情況的概率，再利用加法公式即可.

【詳解】

131

由已知，高一家長滿意等級為不滿意的概率為《，滿意的概率為非常滿意的概率為《，

211

高二家長滿意等級為不滿意的概率為二，滿意的概率為大，非常滿意的概率為一，

5210

高一家長的滿意度等級高于高二家長的滿意度等級有三種情況:

1.高一家長滿意，高二家長不滿意，其概率為3義2=9；

5525

172

2.高一家長非常滿意，高二家長不滿意，其概率為-x—=一；

5525

3.高一家長非常滿意，高二家長滿意，其概率為工x^=L.

5210

由加法公式，知事件A發(fā)生的概率為三+三+]=三=0.42.

25251050

故答案為：0.42

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中檔題.

15、3

【解析】

分別用1和(-2%)進(jìn)行分類討論即可

【詳解】

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含爐的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：lxC；=C；=15；

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取-2%時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含x的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：(-2)xC：=-12；

故(1一2x)(1+x)6的展開式中x2的系數(shù)為仁+(―2)C：=3.

故答案為：3

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題

16.[-1,1)

【解析】

l-x>0fx<1

要使函數(shù)/(X)有意義，則，、,C，即，/解得—1WX<1,故函數(shù)f(X)的定義域是HM).

4+3%-%->0[-!<%<4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)%=(￡)⑵見解析⑶存在唯一的等差數(shù)列｛g｝,其通項(xiàng)公式為c〃=0,“eN*滿足題設(shè)

【解析】

11/?Z?

⑴由％=1,可得公比彘即得；⑵由⑴和4+2=—彳可得數(shù)列也｝的遞推公式，即可知二包一

82an+lan

結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式，"=—2（4+]+2用），設(shè)出等差數(shù)列｛%｝,再根據(jù)不

等關(guān)系Sn<cn<an來算出｛%｝的首項(xiàng)和公差即可.

【詳解】

⑴設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的公比為g,因?yàn)閝=l,%=：，所以q=L解得q='.

882

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：?

（2）由（1）得，當(dāng)〃22,“eN*時(shí)，可得+優(yōu)=—gs'T①，

修+》=」S②

（2）2

②—①得，,

bb

因?yàn)閭?T,由①得，4=0,所以二一-L=0-（-l）=1,

bh

所以4一"=1,neN*.

a

4+1n

b

所以數(shù)列1是以-1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

⑶由⑵得卜=〃一2,所以d=Z|^,s,=—2（%+1+〃+1）=—21（+=—六.

假設(shè)存在等差數(shù)列｛%｝,其通項(xiàng)c“=dn+c，

使得對任意〃eN*，都有S“<c?<an,

〃1

即對任意〃wN*，都有一萬^^dn+c<-―^.③

首先證明滿足③的4=0.若不然，dwO,則d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,則當(dāng)〃〉——,〃EN*時(shí)，c=dn+c>l>――=a,

d2"T

這與gVg矛盾.

1+c

(ii)若d<0,則當(dāng)〃,------,〃wN*時(shí)，c=dn+c<-l.

dn

而S〃+「s〃=—號+券=展20,51=s2<s3<，所以S.2H=—L

故c“=d〃+c<—1<S“，這與S“<c”矛盾.所以d=O.

其次證明：當(dāng)％之7時(shí)，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因?yàn)槭?x)=ln2—,>ln2—工>0,所以/(x)在［7,+8)上單調(diào)遞增，

x7

64

所以，當(dāng)龍之7時(shí)，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以當(dāng)“eN*時(shí)，2“T>”2.

再次證明c=0.

1n1

(iii)若c<0時(shí)，則當(dāng)n>一一，〃wN*，S=~—T>—>c,這與③矛盾.

cn2n

(iv)若c>0時(shí)，同(i)可得矛盾.所以c=0.

當(dāng)g=0時(shí)，因?yàn)镾〃=呆WO,a〃=,［〉0,

所以對任意〃eN*，都有S“<g<4.所以c.=0,〃eN*.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列{g},其通項(xiàng)公式為q,=0,〃eN*滿足題設(shè).

【點(diǎn)睛】

本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推

理能力.

7i

18、⑴C=-;(II)S“(0,苧

【解析】

(I)根據(jù)co根A-cos?5=若sinAcosA-J^sinBcos/，利用二倍角公式得到

1+c°s2A—1+c°s2B=好sin2A一3sin2B,再由輔助角公式得到5由卜4一?］=sin卜,然后根據(jù)正

2222I6jk6J

弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

(II)根據(jù)(I)由余弦定理得到3=4+02—",再利用重要不等式得到然后由S樹c=；仍sine求解.

【詳解】

2

(I)因?yàn)閏os2A-cosB=A/3sinAcosA-^3sinBcosB,

所以3絲一320=tin2A—立sin2B,

2222

且sin2A=&n23一期辿

2222

sin12A—?J=sin126—7J,

2A-工=23-2或2A-2+23-工=〃，

6666

9

A=JB或A+3=T^

因?yàn)閍】b,

所以4+8=等

TT

所以c二二；

3

(II)由余弦定理得：c?=/+人2-2O6COSC,

所以/+/=3+ab>2ab，

所以a》W3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號，

又因?yàn)槌鯾,

所以a5<3,

所以S“BC=—absinc=

2哈

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

19、(1)0,()；(2)(—8,1]

【解析】

(1)將/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程。=皿有兩個(gè)相異實(shí)根，令G(x)=比求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；

XX

Inx1InY1

(2)將問題轉(zhuǎn)化為加-上」」對一切尤w(0,a)恒成立，令E(x)=/——-——(x>0),求導(dǎo)，研究單調(diào)性,

XXXX

求出其最值即可得結(jié)果.

【詳解】

(1)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)0關(guān)于工的方程6網(wǎng)=工有兩個(gè)相異實(shí)根

由e"'>。，知尤>0

??.〃尤）有兩個(gè)零點(diǎn)o。=—有兩個(gè)相異實(shí)根.

X

人?、Inx1-lnx

令G（x）=——，則G'（x）=——,

X

由G（x）>0得：0<x<e,由G'（x）<0得：X>e,

.?.G（x）在（0,e）單調(diào)遞增，在（e,a）單調(diào)遞減

???GGL=G（e）=j

又G（l）=0

.二當(dāng)Ovxvl時(shí)，G（x）<0,當(dāng)x>l時(shí)，G（x）>。

當(dāng)％—>H~oo時(shí)，G（x）—>0

???/（%）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為10,（）;

（2）當(dāng)a=l時(shí)，f[x）=ex-x,

原命題等價(jià)于xex>lnx+mx+l對一切尤e（0,”）恒成立

<------------------^m<ex---------對一切xe（0,+00）恒成立.

xx

令/x）=e'_地—工（x>0）

XX

:.m<F（x\.

\zmin

廣（…+*止萼

XX

令//（%）=fd+lnx,x￡（0,+oo）,貝（I

“（%）=2xe+x2ex+—>0

.,.力(%)在(0,+8)上單增

又/z(l)=e>0,her'-l<e0-1=0

plL使力(毛)=0即%;e%+ln%o=0①

當(dāng)xe(0,尤o)時(shí)，&(x)<0,當(dāng)xe(面,+oo)時(shí),7z(x)>0,

即網(wǎng)X）在（0,不）遞減，在5,+8）遞增,

AoAo

由①知焉靖。

=-lnx0

nIn—

?_1__1b1-,與

?.AxrjC-——111—

九0九0冗0I

函數(shù)財(cái)力=xe，在（0,+。）單調(diào)遞增

?1

%。=In—即x=-lnx

Jr。00

=-+1-—=1,

\/min

:.m<l

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值，最值問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.

20、(I)a=0.025,元=69；(II)詳見解析.

【解析】

（I）根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于1列式可解得;

（II）由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為40,不獲獎的人數(shù)為160,從而可得2x2列聯(lián)表，再計(jì)算出K2,與臨界值比

較可得.

【詳解】

解：

(i)a=-Lx[i_(0,01+0.015+0.03+0.015+0.005)xl0]=0.025,

x=45x0.1+55x0.15+65x0.25+75x0.3+85x0.15+95x0.05=69.

(II)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎的人數(shù)為40,不獲獎的人數(shù)為160,

2x2列聯(lián)表如下：

女生男生總計(jì)

獲獎53540

不獲獎45115160

總計(jì)50150200

因?yàn)椤?0常2竄45)~67>3.841,

所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎與女生，男生有關(guān).”

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題，熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，以及平均數(shù)的計(jì)算方法

即可，屬于?？碱}型.

21、(1)—+y2=1；(2)或》1<—1

【解析】

(1)由橢圓的定義可知，焦點(diǎn)三角形的周長為4a=40，從而求出a=0.寫出直線A8的方程，與橢圓方程聯(lián)立,

4

根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為求出。和從而寫出橢圓的方程；

(2)設(shè)出產(chǎn)、。兩點(diǎn)坐標(biāo)，由MP+MO+MQ=0可知點(diǎn)M為△POQ的重心，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)以用尸、

。兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示.由點(diǎn)"在圓。上，知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓。的方程，得(*)式.RQ為直線/與橢圓C的