湖南省邵陽市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題（含答案解析）

湖南省邵陽市2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.一組數(shù)據(jù)：130,31,25,20,32,41的第30百分位數(shù)為（）

A.30B.31C.25D.20

2.若集合/={x|2，>8,xwN*},集合八{x1/-7x-8<0},則的真子集個數(shù)為

（）

A.14B.15C.16D.31

若sina=L,貝!Jcos24=

3.已知G為銳角，()

42

、4+V15B4-而「4-V15

D

'.88.44

4.某市舉行鄉(xiāng)村振興匯報會，六個獲獎單位的負責人甲、乙、丙等六人分別上臺發(fā)言，

其中負責人甲、乙發(fā)言順序必須相鄰，丙不能在第一個與最后一個發(fā)言，則不同的安排

方法共有（）

A.240種B.120種C.156種D.144種

5.“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，

AB=2,CD=\,ZA=45。.點P在線段AB與線段BL上運動，則麗.而的取值范圍為（）

A.[-4,6]B.[0,6]C.[0,8]D.[4,8]

6.已知三棱錐尸中，尸/，平面4BC,NABC=60°,PA=AC=2,則此三棱錐外

接球的表面積為（）

14兀287t一=

A.-----B.-----C.10KD.5兀

33

22

7.已知直線/：x-2y-2=0與橢圓+=\（a>b>0）相交于43兩點.若弦AB被

ab

直線冽：x+2>=0平分，則橢圓。的離心率為（）

試卷第1頁，共4頁

8.已知函數(shù)/（x）的定義域為RJ'（x）為〃x）的導函數(shù).若〃l）=e,且/，（x）+e，</（x）

在R上恒成立，則不等式1（x）<（2r聲的解集為（）

A.(f2)B.(2,+00)

fl)D.(1,+?)

二、多選題

9.已知函數(shù)/（x）=sin3x+Gcos3x+JI,則下列結論正確的有（

B./（x）關于點，

A./（x）的最小正周期為手小0）對稱

TT77r

C.“X）關于直線x=V對稱/（X）在區(qū)間?三上單調(diào)遞減

1O01o

10.已知復數(shù)4/2滿足：㈤=1,"|=匕2-2-方|（其中i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的

有（）

Z[_5/2

A.|(l-i闖=2

C.|z「聞的最小值為后一1D.|z「Z2怕勺最大值為行+1

11.已知函數(shù)“X）在R上可導，且/（X）的導函數(shù)為gG）.若

/（力=4-/（尤+2）,g（2x-l）為奇函數(shù)，則下列說法正確的有（

A.g(l)=0B./(2)=0

C/（2）=48）D.^/(0=4048

12.已知等差數(shù)列｛“J的前〃項和為S”.若工=25,$5=60,則%+%=.

13.在“3C中，/=巴,N8邊上的高為立45，貝i]cosC=________.

33

14.已知x>0,y>0,若d4x。+3xy+'+7”^/^>2工+〉恒成立，則實數(shù)加的取值范圍

是.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.如圖所示，在四棱臺43co-44G2中，底面A8CD是菱形，平面/BCD

⑴證明：BDLCCX.

⑵若AB=2,=區(qū)4月=LN4BC=60。，棱BC上是否存在一點P，使得平面gP與

平面ND。的夾角余弦值為姮.若存在，求線段CP的長；若不存在，請說明理由.

17

16.為了選拔創(chuàng)新型人才，某大學對高三年級學生的數(shù)學學科和物理學科進行了檢測(檢

測分為初試和復試)，共有4萬名學生參加初試.組織者隨機抽取了200名學生的初試成

績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求。的值及樣本平均數(shù)的估計值；

(2)若所有學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(〃，人)，其中〃為樣本平均數(shù)的估計

值，10.5.規(guī)定初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人

數(shù)；

(3)復試筆試試題包括兩道數(shù)學題和一道物理題，已知小明進入了復試，且在復試筆試中

答對每一道數(shù)學題的概率均為x,答對物理題的概率為兒若小明全部答對的概率為，，

O

答對兩道題的概率為P,求概率尸的最小值.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布貝(］尸(〃-b4X4〃+b)y0.6827,

P(/Z-2CT<X<//+2a)?0.9545,//-3cr<X<//+3cr)?0.9973.

17.設函數(shù)/(x)=^(x+l)e”,加〉0.

⑴求/(%)的極值;

試卷第3頁，共4頁

⑵若對任意xe（-l,+s）,有l(wèi)W（x）42e，恒成立，求加的最大值.

Y22

V（。）的左焦點為占上百）點屈口指）在雙曲線

18.已知雙曲線r：二-2r=1>0,6>0,0,

ab

上，直線/與雙曲線「交于42兩點.

（1）若/經(jīng)過點（-2,0）,且402=%。，求|/邳;

（2）若/經(jīng)過點片，且43兩點在雙曲線「的左支上，則在x軸上是否存在定點。，使得

記?誣為定值.若存在，請求出AQ/B面積的最小值；若不存在，請說明理由.

19.給定整數(shù)“23,由〃元實數(shù)集合戶定義其隨影數(shù)集。=*-川若

min（2）=1,則稱集合P為一個〃元理想數(shù)集，并定義尸的理數(shù)/為其中所有元素的絕對

值之和.

⑴分別判斷集合S={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；（結論不要求

說明理由）

（2）任取一個5元理想數(shù)集P,求證：|min（尸）|+]tnax（尸）花4；

（3）當尸={無尤2,…，尤202J取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)f的最小值.

注：由"個實數(shù)組成的集合叫做〃元實數(shù)集合，11??（尸）,而11（尸）分別表示數(shù)集尸中的最

大數(shù)與最小數(shù).

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】

從小到大排列后，由第百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為11,20,25,30,31,32,41,

因為7x30%=2.1,

所以第30百分位數(shù)為第三個數(shù)，即為25,

故選：C.

2.B

【分析】

先化簡集合4瓦再求交集從而確定真子集個數(shù).

【詳解】由2*>8,得x>3,故/={x|x>3,xeN*}；

由一一7X-8<0,得一1<尤<8,故8={x|-l<x<8},

則/AB={4,5,6,7},故的真子集個數(shù)為2’一1=15.

故選：B.

3.A

【分析】

由平方關系以及半角公式（二倍角公式）運算即可求解.

【詳解】已知，為銳角，若sm*；,

所以a1+cosa*44+.

cos2

~22-2-

故選：A.

4.D

【分析】

將甲乙捆綁，并確定丙的位置，排序即可.

【詳解】將將甲乙捆綁看做一個元素，由丙不能在第一個與最后一個發(fā)言,

則丙的位置有3個，將剩余4個元素再排序有A；A；=48種方法,

故不同的安排方法共有3義48=144種.

答案第1頁，共15頁

故選：D.

5.C

【分析】

建立平面直角坐標系，標出A,F,E,H四個點的坐標，寫出向量而，麗的坐標，即

可表示出麗.麗，進而可求得其范圍.

【詳解】

如圖，以C為原點建立平面直角坐標系，

易知/(-2,1),3(0,1),F(0,-l),￡(-1,-2),7/(1,0),“1,2)

當尸在線段N3上運動，設P(x,D,其中-2VxV0,

所以麗=(2,2),而=(x,2),

貝1J麗?麗=2x+4，

因為一24x40,所以麗?麗e[0,4],

當尸在線段取上運動，設尸(仕y)(04x41),則麗玩=(1,1),且加〃反，

貝!|x=y-l,故尸(x,x+l)(0Wx41),FP=(x,x+2),

貝lJM^=4x+4，

因為OVxVl,所以麗?而44,8],綜上，麗.而的取值范圍為[0,8].

故選：C.

L

6.B

【分析】

根據(jù)題意，利用正弦定理求得。BC的外接圓的半徑r=爰，再由球的截面的性質(zhì)，求得外

接球的半徑，結合球的表面積公式，即可求解.

【詳解】因為三棱錐尸-43C中，尸/，平面4BC,ZABC=60°,PA=AC=2,

答案第2頁，共15頁

設底面“BC的外接圓的半徑為「，三棱錐外接球的半徑為我，

4c242

由正弦定理得2-嬴萬=前=國'可得一國

7.C

【分析】

由點差法解出/=4廿，再由結合橢圓的性質(zhì)和離心率的定義解出即可.

【詳解】設/（周,必）,8（無2，72），因為弦4B被直線加：x+2y=0平分，設中點坐標（%,%））,

所以2^+2義^^^=%+2%=0,①

因為點43在直線，：x-2y-2=0上，代入可得

%=2乂+2

，兩式相減可得再-迎=2（%一%）,

x2=2y2+2

2EL+2￡=1

a2b12_22_2

又點48在橢圓上，代入可得＜,兩式相減可得不工紅+工/=0,

a2b2

=1

la2b2

代入①②可得與+券=0n/=4/,又橢圓中/=°2+c2,

ab

所以離心率e=￡

a

故選：c

8.D

答案第3頁，共15頁

【分析】

設g(x)=4)+x,利用導數(shù)求得g(x)在R上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為g(x)<g⑴，即

可求解.

【詳解】

設函數(shù)g(x)二紳+x,可得g<x)=/'((e：/.)?+J/'J)-<?開心<0,

eee

所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，

由f(x)<(2-x)e，，可得f(x)+xe，<2e，，即#。+》<2=四+1,

exe

可得g(x)<g(l)，所以X>1,即不等式/(x)<(2-*戶的解集為(1,+co).

故選：D.

9.ACD

【分析】

由輔助角公式化簡求出函數(shù)/(X)的解析式，再周期，對稱性及單調(diào)性逐項判斷各選項.

【詳解】f(x)=sin3x+A/JCOS3X+貶=2sin1x+也,

對于A,/(x)的最小正周期為鼻，故A正確；

對于B,2sin[-；+]+逝=乃，故B錯誤；

對于C,4l]=2sin[+W+收=2+后為函數(shù)最大值，故C正確；

對于D,xe—，則3x+^e—，故/'(x)在區(qū)間—上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】

設％=x+yi(尤jeR),z2=a+bi(a,beR),根據(jù)已知條件求出兩個復數(shù)對應點的軌跡，從

而依次計算可得正確答案.

【詳解】

設4=x+yi(無jeR),貝生i|=J尤2+丁=i,即/+丁=1,

它表示以原點為圓心，半徑為1的圓；

答案第4頁，共15頁

設z?=a+bi(a,beR),則由同卜民-2-2i|,得加++=-2了+(6-2了，

即。+6-2=0,它表示一條直線；

對于選項A：|(1-i)zj=|l-帖|=行，故選項A錯誤；

對于選項B：J'?=,故選項B正確；

1-1|1-1|2

對于選項C和D：Iz-Zzl表示圓/+/=1上點與直線x+y-2=0上點的連線段的長度，

該距離最小為圓心到直線距離減去圓的半徑，即為應-1;該距離無最大值(直線上的點可

離圓上的點無窮遠)；

故選：BC.

11.ACD

【分析】

根據(jù)已知條件可得了=/(力的周期，由g(2x-l)為奇函數(shù)可得g(無)的對稱性，利用導數(shù)公

式及函數(shù)的周期性、對稱性可判斷各選項.

【詳解】對于D,由/(x)+/(x+2)=4,所以/(x+2)+/(x+4)=4,即/(x)=/(x+4),

所以V=/(x)的周期為4,

且/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=[〃1)+〃3)]+[〃2)+〃4)]=8,

20244

所以=5062/(，)=4048,故D正確；

i=li=l

對于A,由g(2x-l)為奇函數(shù)知g(x)關于(-1,0)對稱,所以g(-1)=0,

由/(x)+/(x+2)=4得r(x)+/(x+2)=0,即g(x)+g(x+2)=0,

故g(H的周期為4且g(-l)+g⑴=0,可得g⑴=0,故A正確；

對于BC,由上知g(x)的周期為4且g(x)關于(TO)對稱,所以g(x)關于(3,0)對稱,

則有g(x)+g(6-x)=0,即有(x)+/〈6-x)=0,所以/(x)-/(6-x)=c,

令x=3,得c=0,故〃“一/(6-力=故所以/(x)關于x=3對稱,

又/⑵+/(4)=4,所以/(2)=/(4)=2,故B錯誤；

答案第5頁，共15頁

又7(4)=/■⑻，所以八2)=/⑻，故C正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題關鍵是利用函數(shù)的周期性和對稱性，結合函數(shù)的導數(shù)即可判斷各選項.

12.9

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質(zhì)求出。3，再由&+%=%+%計算可得.

【詳解】因為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S"且豈=25,$5=60,

所以S5=鞏=25,&=1"“；—)=1取=60,

所以的=5,心=4,

所以％=%+。8=9.

故答案為：9

【分析】

作出圖形，利用真假三角形邊角關系求出sinB,cos8,再利用誘導公式及和角的余弦公式計

算得出結果.

【詳解】令alBC的內(nèi)角/4CB所對邊為c,過C作CDL48于。則CD=@c,

3

在直角△BCD中，BC=ylCD2+DB2=+(gc]=￡c,

y.nDC也a_DB_2

從而sin3=---=—j=c,cos5=——=—r=,

BCV7BCV7

答案第6頁，共15頁

在中，C=7T?[§+BJ,

121

所以cosC=+=-cos5sinB—X-----------X

2214

故答案為：立.

14

14.(2V2-V7,+e)

【分析】

根據(jù)題意，將原不等式分離參數(shù)，然后換元，由函數(shù)的單調(diào)性可得最值，即可得到結果.

【詳解】

原不等式等價于m>2"了々4>3-+廣

且此2行，

1

Z42C+近=272-6,:.m>2也-6

故加的范圍是(2亞-新.

故答案為：(272-V7,+e)

15.(1)證明見解析

13

(2)存在，CP=5或。=萬.

【分析】(1)利用線面垂直證線線垂直.

(2)根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，利用空間向量求平面與平面所成角，構造方程求

解即可.

答案第7頁，共15頁

【詳解】（1）

證明：連接/c,因為底面48co是菱形，所以8OL/C,

又44]_L平面/BCD,BOu平面/BCD,所以8O_LN4；

又/CC441=N,所以工平面//C.

因為四棱臺/BCD-44GA中，44、CG延長線交于一點,

所以4，￡,c,/四點共面，所以應），CG.

（2）由（1）知，建立如圖所示空間直角坐標系/-xyz,

則/（0,0,0）,0（0,2,0）Q（0,1,百），

若存在點尸滿足題意，則設尸隰

易知平面/DQ的一個法向量為=0,0,0）,

設平面ADXP的法向量而=（X。,%,z（））.

函=(0,1,6)，9=(6,H0).

m?AD,=0,fy+V3z=0,

則r回。則in…n…

令比二百,則Z。=—1,/=—歹,應二卜歹,百,一1）.

小°'成*|品|=卷=乎’解之得尸士?

13

故在棱5C上存在點。滿足題意，此時。尸=：或。尸=

22

16.（1）0.02；69；

(2)910(人)

3

3)8-

答案第8頁，共15頁

【分析】

(1)由矩形面積和為1求出。=0.02,再由平均數(shù)公式計算；

(2)由正態(tài)分布求解尸(X290),即可確定人數(shù)；

(3)由題意有x2y=：,計算出答對兩道題的概率為尸，利用換元思想得到關于x的函數(shù),

8

求導判斷函數(shù)單調(diào)性求出最值

【詳解】(1)-??10x(0.012+0.026+0.032+fl+0.01)=l,

a=0.02.

樣本平均數(shù)的估計值為50x0.12+60x0.26+70x0.32+80x0.2+90x0.1=69.

(2);4=69,b=10.5.

1-09545

P(X>90)=尸(X2//+2b)=——-——=0.02275.

???能參加復試的人數(shù)約為40000x0.02275=910(人).

(3)由題意有x2y=.

8

答對兩道題的概率尸=%2(1一y)+(1-x)歹=—+2xy-3x2y.

而21,2」3

而=p=x

令/W=x2+；-京0<xWl)，貝"'(x)=2x-工=*,

4%84x4x

.?.當xe(0,￡|時，/(x)<0,/(x)在(0,￡|內(nèi)單調(diào)遞減；

尤eg,1］時，/'(x)>0J(x)在&J內(nèi)單調(diào)遞增.

133

.?.當％=時，/⑴*=I.故概率P的最小值為9.

2o3

IYI

17.(1)極小值--7,無極大值；

e-

(2)e2.

【分析】

(1)求導，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值；

(2)分離參數(shù)并構造新函數(shù)，求導，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.

答案第9頁，共15頁

【詳解】(1)/,(x)=w(x+2)e\/n>0.

令/'(x)>0,得x>-2,令/''(x)<0,得x<-2.

故/(x)在(-雙-2)單調(diào)遞減，在(-2,+8)單調(diào)遞增.

???/(X)在尤=-2處取得極小值/(-2)=~,無極大值.

e

(2)Inf(x)<2ex對Vx￡(—1,+。)恒成立,即Inm<2e“一In(x+1)—x對Vxe(—1,+8)恒成立.

令g(%)=2e“—In(x+1)—x,x￡(―1,+8),則只需lira<即可.

g，(x)=2ex----G(-!,+<%)).

x+1

易知y=2e、,y=-一均在(-1,+s)上單調(diào)遞增，

故g'G)在(T+s)上單調(diào)遞增且g'(o)=0.

.??當xe(-1,0)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當xe(0,+8)時,g[x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

,gaimin=g(0)=2.故In加(2=Ine?,;.0<機<e2,故機的最大值為

18.(1)46；

(2)存在，2出.

【分析】

(1)先利用點在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討

論，存在時，設出直線方程，利用韋達定理法表示出國%,無1+x2,再代入直線方程表示出必%,

最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率上再代入弦長公式求出弦長；

(2)假設存在，設直線方程x=)-括，利用韋達定理法表示出諼?諉，要使逅?西為定

值，則一8-4月"解出加后得到點。的坐標，再用弦長公式表示出三角形的面積，最

2-1

后利用換元法和分離常數(shù)法結合復合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.

答案第10頁，共15頁

【詳解】（1）

:一g=i,又耳卜6,01.c=6.

+b2=c2f解得Q=1,6=V^.

2

J雙曲線方程為——匕=1.

2

若直線/的斜率不存在時，/：x=-2,此時不妨設4卜2,卡）,5卜2,-而）.

方?礪=4-6=-2。0，舍去.

2

若/的斜率存在，設/方程為>=上卜+2）,代入f一三=],化簡得

（2-）x2-4k2x-（4^2+2）=0,A=16左4+4（2—陰（41+2）=24—+16>0,

設/（網(wǎng),乂）,3（網(wǎng),%）,則%=當3丙/=匕?，

，KZt一，

6左2

yxy2=左（石+2）?左（馬+2）=:2忖/+2g+%-4]=------.

2

設/方程為片夕一道，代入Y一春=1,化簡得（2〃-1）/一4G夕+4=0.

答案第11頁，共15頁

由題意2--1片0,4=48?-16(2產(chǎn)-1)=16/2+16>0.

454

由題意“%<0，，2?2-l<0,r<^.

QA-QB=(xl-m,%}(x2-m,y2)

^~m,y

-m,y1-2

=（f2+1）%%—（6+%卜仇+為升（G+m）2

=（/+1）^17-（6+加）'.1f；?（加+橋

[-8-4A/3,MV2+4「

=------T——+（切+回

2r-l

要使諼?誣為定值，則土生包=±，解之得m=0.

2—1

???存在。（o,o）,使得四?誣為定值T.

令Jr+i=u21,H2=r+]<_,]_2t2=3—2u2,

2

2yl3u_2V3

3

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知:y=--2〃在遞減,

u

3

.?.片——2〃在〃=1時取得最大值1.

u

**,S40AB的最小值為2百.

【點睛】關鍵點點睛：

（1）求弦長時，可用弦長公式|/卻=而手）（占+尤2）2_4中2，韋達定理表示出兩根之和和

答案第12頁，共15頁

兩根之積；

(2)對于直線過定點問題時，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關于參數(shù)的方程，再討論

定點問題；

(3)求圓錐曲線中三角形的面積最值問題時，可用弦長公式表示出面積，再結合換元法或

基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.

19.(1)集合S是理想數(shù)集，集合T不是理想數(shù)集

⑵證明見解析

(3)1024144

【分析】(1)由理想數(shù)集的定義即可判斷；

(2)為了方便說明，假定元素間一個有序關系為再<迎<…<%，從而分三種情況，^>0,

X5<0,占<0,%>0討論即可得證；

(3)首先通過分類討論證明，對〃元理想數(shù)集P,有阿山(尸)|+|0^(尸)上”-1.從而有

|min仍)|+|max(^.)|>2025-2j,即上|+|x20241>2023,民|+|x2023|>2021,---,|x1012|+|x1013|>1,

通過放縮與等差數(shù)列求和即可得解.

【詳解】(1)設5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}的隨影數(shù)集分別為01，2,

則min(0j=l>min(Q)=O.9,

所以集合S是理想數(shù)集，集合T不是理想數(shù)集.

(2)不妨設集合尸={項,尤2，了3，七,工5}且無1<迎<…<匕，即min(尸)=X],max(尸)=%.

?.?尸為理想數(shù)集，二\/於]\",14,44,則占+i-x,Nl,J=L3z06N*,l<z0<