2024屆山西省祁縣高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆山西省祁縣二中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

a,a、ai

1.已知數(shù)列％,—,二，…，工是首項為8,公比為一得等比數(shù)列，則牝等于()

2

A.64B.32C.2D.4

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+?)上單調(diào)遞增的是()

A.y=GB./(x)=xsinxC./(x)=x2+|x|D.y=|x+l|

7

3.已知i是虛數(shù)單位，若——=2i+l,則|2|二()

1-z

A.72B.2C.V10D.10

4.在平行四邊形ABC。中，====若CP-CQ=12,則NADC=()

5.過拋物線。的焦點且與C的對稱軸垂直的直線/與。交于A，B兩點，|AB|=4,P為C的準(zhǔn)線上的一點，則AABP

的面積為()

A.1B.2C.4D.8

6.設(shè)集合A={—1,0,1,2},B={X|-2X2+5X+3>0},則AB=()

A.{0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1}

7.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(Xi,yi)(i=l,

2,n),用最小二乘法建立的回歸方程為夕=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點的中心(元，y)

C.若該大學(xué)某女生身高增加km,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

8.偶函數(shù)/(%)關(guān)于點(1,0)對稱，當(dāng)一時，/(%)=-x2+l,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

9.(x+l)(2x+l)(3x+l)…(nx+D(〃eN*)的展開式中x的一次項系數(shù)為()

A.C：B.C,；+1C.ChD.

10.已知函數(shù)/(x)=lnx+ln(3—x),則()

A.函數(shù)在(0,3)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/'(尤)在(0,3)上單調(diào)遞減

3r3A

C.函數(shù)/(X)圖像關(guān)于》=—對稱D.函數(shù)/■(*)圖像關(guān)于7,0對稱

2【2)

11.若+%(2x—1)+。2(2%—1)~+。3(2》—1)3+。4(2%—1)4+。5(2x—1)5=尤5,則小的值為()

5555

A.—B.—C.—D.—

481632

12.已知集合4={-1,0,1,2},B={x|y=lg(l-x)},則AB=()

A.{2}B.{-1,0}C.{-1}D.{-1,0,1}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,b，G滿足\b\=2,\c-b\=\,則|a+c|的取值范圍為.

14.平面向量G=(L2),Z?=(4,2),c=ma+bCR),且c與。的夾角等于c與匕的夾角，則加=—.

2

15.過M(-2,0)且斜率為，的直線/交拋物線。：/=2°底0〉0)于4,3兩點，產(chǎn)為C的焦點若""方的面積等于

的面積的2倍，則0的值為.

2

16.已知函數(shù)〃力=加+bx+cx,若關(guān)于x的不等式V0的解集是(-8,-l)u(0,2),則黑的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓。：=+3=1(?！?〉0)的左、右頂點分別為4、4,上、下頂點分別為5，B2,F為其

ab

右焦點，B1A-B1F=I,且該橢圓的離心率為J；

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點4作斜率為左的直線/交橢圓C于X軸上方的點P,交直線x=4于點。，直線4。與橢圓。的另一個交

點為G,直線。G與直線4。交于點若4。=彳4〃，求彳取值范圍?

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=me*

(1)當(dāng)m=1時，求曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程;

(2)若，(x)>0在(0,+s)上恒成立，求機的取值范圍.

19.(12分)在多面體A5CD所中，四邊形ABC。是正方形，。尸，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G為8尸的中點.

(1)求證：CGLAF；

(2)求平面BCb與平面所成角的正弦值.

20.(12分)如圖，A6c為等腰直角三角形，AB=AC=3,。為AC上一點，將沿5。折起，得到三棱

錐4-BCD,且使得A在底面3C。的投影E在線段3c上，連接AE.

(1)證明：BDlAEt

(2)若tan/ABD=g,求二面角C—網(wǎng)—。的余弦值.

~12"

21.(12分)已知矩陣知=。的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量.

_2a_

1

22.(10分)已知函數(shù)/(、)=—41nx+5%9.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論g(x)=3+"g]x零點的個數(shù).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意知：=8,-=4,故q=32,--2,a3=64.

a{a2

故選：A.

【點睛】

本題考查了數(shù)列值的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

2、C

【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.

【詳解】

A：y=為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

B：/（"=41%在（0,+8）上不單調(diào)，不符合題意；

C：>=f+|可為偶函數(shù)，且在（0,+“）上單調(diào)遞增，符合題意；

D：y=|x+［為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計算即可.

【詳解】

7

因為——=2，+1,

1-i

所以z=（l—，）（2，+1）,

|z|=|l—i|?|萬+l|=V^x君=癡，

故選:C

【點睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.

4、C

【解析】

9...-1-

由CP=C3+3P=-AD--AB,CQ=CD+DQ=-AB--AD，利用平面向量的數(shù)量積運算,先求得ABAD=1TC,

利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

如圖所示,

平行四邊形ABC。中，AB^3,AD=2,

一1——-1—-

AP=-AB,AQ=-AD,

:.CP=CB+BP=-AD--AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因為CPCQ=12,

所以CP.CQ=1―AD—gA3）1―A5—；AD

2-21-24

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=—x3293+—x292+—x3x2xcosZBAD=12,

323

Ijr

cos/BAD=—,/./BAD=—,

23

yr27r

所以NAOC=〃一一=—,故選C.

33

【點睛】

本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（1）平行四邊

形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是

和）.

5、C

【解析】

設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)2=2px（p〉0）,得焦點為尸0）對稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=-，，這樣可設(shè)A點坐標(biāo)為

］言,2,代入拋物線方程可求得0,而尸到直線的距離為0,從而可求得三角形面積.

【詳解】

設(shè)拋物線的解析式/=2Px（p>0）,

則焦點為歹］々,0：對稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=-T，

?；直線/經(jīng)過拋物線的焦點，A,B是I與C的交點,

又軸，.?.可設(shè)A點坐標(biāo)為［^二］,

代入y?=2px，解得"=2,

又?.?點尸在準(zhǔn)線上，設(shè)過點尸的的垂線與交于點。，|DP|=^+—^=。=2,

：.S^p=^\DP\-\AB\=^x2x4=4.

故應(yīng)選C.

【點睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出A點坐標(biāo)，從而求得參數(shù)。的值.本題難度一

般.

6、A

【解析】

解出集合3,利用交集的定義可求得集合AB.

【詳解】

因為8={耳―2尤2+5x+3>€)}={耳2/一5無一3<。}=<x-g<x<3>,又A={-4,0,l,2},所以AcB={0,l,2}.

故選：A.

【點睛】

本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x-85.71,貝!!

"b=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；

回歸直線過樣本點的中心(元,歹)，B正確；

該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確；

該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85x170-85.71=58.79kg,D錯誤.

故選D.

8、D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出“2020)=/⑼，代值計算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則〃f)=/(x),/(2+%)+/(-x)=0,

/(x+2)=-/(-x)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當(dāng)一IWXWO時，/(%)=-/+1,則〃2020)="4x505)="0)=1.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

9、B

【解析】

根據(jù)多項式乘法法則得出x的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前〃項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.

【詳解】

由題意展開式中X的一次項系數(shù)為1+2++〃==

2

故選:B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù).同時本題考查了組合數(shù)公式.

10、C

【解析】

3

依題意可得了(3-x)=/(%),即函數(shù)圖像關(guān)于X=G對稱，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;

2

【詳解】

解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-%)+In%=/(x),

3

:.f(3-x)=f(x),所以函數(shù)圖像關(guān)于X=G對稱，

2

]]23

又/"(x)=——--=X-/(x)在(0,3)上不單調(diào).

x3-xx(x-3)

故正確的只有C,

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

根據(jù)"5=([(2x-D+1F，再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.

【詳解】

因為爐=5[(2x-1)+1『，所以二項式[(2x-1)+1]5的展開式的通項公式為：

5r5r

Tr+1=C；-(2x-l)--r=C；-(2x-l)-,令r=3,所以《=C1(2x—1)2,因此有

-32532532216

故選：C

【點睛】

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了二項式展開式通項公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力

12、B

【解析】

求出集合3,利用集合的基本運算即可得到結(jié)論.

【詳解】

由i-x>0,得x<l,則集合5={X[%<1},

所以，AnB={-l,O}.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查集合的基本運算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合5是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、[0,4]

【解析】

設(shè)。=。4，b=OB>c=OC>-a=-OA=OA;，由\b\=2,\c-b\=\,根據(jù)平面向量模的幾何意義，

可得A點軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以5為圓心、1為半徑的圓，|。+。|為4c的距離，利用數(shù)

形結(jié)合求解.

【詳解】

設(shè)a=OA，b=OB>c=OC，—a=—OA=OA!>

如圖所示：

因為I。1=1,|6|=2,|c—Z?|=l,

所以A點軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以5為圓心、1為半徑的圓,

則|a+c|即AC的距離，

由圖可知，OW|AC|<4.

故答案為：[0,4]

【點睛】

本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.

14、2

【解析】

試題分析：c=zm+Z>=Ml,2)+(4,2)=(m+4,2m+2),c與a的夾角等于c與人的夾角，所以

a-cb-cm+4+4-m+447/z+16+4m+4

■j~j-j__7=-j_i---/.---------7=------=---------7=-------171—2

同卜||&||c|布V20

考點：向量的坐標(biāo)運算與向量夾角

15、2

【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.

【詳解】

如圖，設(shè)4和%),3(工2，%)，由S5=2S用以，則%=2%,

._2

由3""可得/-3py+4P=0,由/>0,則°〉3，

y-=2px9

16

所以M+%=3p,%%=2〃9=4p,得，=2〉§.

故答案為：2

【點睛】

此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

16、-3

【解析】

/7+C

根據(jù)題意可知〃%2+"+C=0的兩根為-1,2,再根據(jù)解集的區(qū)間端點得出參數(shù)的關(guān)系,再求解——即可.

a

【詳解】

解：因為函數(shù)/(尤)=+匕無2+CX=%(依2+Zzx+c),

關(guān)于X的不等式/(X)<0的解集是(-1)u(o,2)

/.ax2+Z?x+c=O的兩根為：T和2;

/?C

所以有：(7)+2=-/且(-1)x2=^；

b~-—CL且c~~；

b+c-a-2a、

----=-------=-3；

aa

故答案為：-3

【點睛】

本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

225

17、(I)—+^=1；(II)3).

433

【解析】

(I)由題意可得耳耳，男尸的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率，旦耳.用尸=1及隱含條件列式求得力的值，則橢圓方程

可求；(H)設(shè)直線4。：丫=左。+2),求得。的坐標(biāo)，再設(shè)直線4D：y=3左(X-2),求出點G的坐標(biāo)，寫出0G的

方程，聯(lián)立OG與A。，可求出〃的坐標(biāo)，由4。=九4tH，可得x關(guān)于左的函數(shù)式，由單調(diào)性可得彳取值范圍.

【詳解】

(I)4(-)0),耳(0)),F(C,O),

4A=(—tz,—b)9B[F=(c,—b),

c1

由耳4?耳尸=1,得Z?2—ac=l,又一=7，a2=b2+c2f

a2

解得：a=2,b—A/3,c=l.

22

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1；

43

(II)設(shè)直線4。：丁=以X+2)(左〉0),則與直線尤=4的交點。(4,6Q,

又4(2,0),.?.設(shè)直線&￡>:y=3左(X—2),

y-3k{x-T)

聯(lián)立22消J7可得(1+12%2)無2-48左2元+48左2—4=0.

土+匕=1

143

解得G(刀-12k

1+12左2)

y=k(x+2)

得尸尸8人212k

聯(lián)立/V

'3+4/3+442)

[—4+—3=1

直線。G：尸院"

-6k

y=------x-24k2+212次、

聯(lián)立1242—1,解得"(.

12k2+512^+5'

v=左(x+2)

4。=彳4人

.?.(%,+2,小)=九(%+2,yH),

yP=^yH，

2

.,yP12左2+512fc+9-4、4

yH3+4/4/+34/?+3

函數(shù)f(幻=3--^4―在(0,+co)上單調(diào)遞增，

4k+3

2=f(k)e(1,3).

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算求解能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平和分析推理計算能力.

18、(1)y=—X；(2)[2,+00)

【解析】

(1)m=1,對函數(shù)y=/(%)求導(dǎo)，分別求出/(0)和尸(0)，即可求出Z(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(2)對/(x)求導(dǎo)，分加22、0<7〃<2和m<0三種情況討論/(%)的單調(diào)性,再結(jié)合/(%)>0在(0,+8)上恒成立，可

求得旭的取值范圍.

【詳解】

(1)因為加=1,所以/(x)=e、—2x—1,所以/'(x)=e'—2,

則/(0)=0,/(0)=—1,故曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程為V=一%.

(2)因為/(x)=根e'—2x—m,所以(x)=me*—2,

①當(dāng)初》2時,/'(%)>0在(0,+8)上恒成立，則/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

從而/U)>/(0)=0成立，故m>2符合題意；

②當(dāng)0<機<2時，令尸(x)<0,解得0<x<ln2,即/⑴在(0/n2］上單調(diào)遞減，

m\mJ

則/［in</(0)=0,故0<加<2不符合題意；

③當(dāng)機K0時,/'(x)=me，—2<0在(0,+(x))上恒成立，即f(x)在(0,+<x>)上單調(diào)遞減，則f(x)</(0)=0,故機K0不

符合題意.

綜上，加的取值范圍為［2,+8).

【點睛】

本題考查了曲線的切線方程的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問題，利用分類討論是解決

本題的較好方法,屬于中檔題.

19、(1)證明見解析(2)巫

6

【解析】

(1)首先證明CGLAB,CG±BF,AB防=3,二CGL平面AB廠?即可得到Mu平面AB產(chǎn)，CGLAF.

(2)以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、V軸、二軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面人跖

和平面3C5的法向量，帶入公式求解即可.

【詳解】

(1)???。/，平面ABC。，ABI平面ABC。，：.CF±AB.

又四邊形ABC。是正方形，???AB±BC.

VBC=平面8CF.

；CGu平面BC尸，ACG±AB.

又,：BC=CF=2,G為5尸的中點，.??CG，3產(chǎn).

VABBF=B,...CG，平面AB廠.

；AFu平面AB產(chǎn)，，CGJ_AF.

（2）???CV，平面ABC。，CFDE,J.°EJ_平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,OE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

如圖所示:

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,石（0,0,1）。（0,2,2）.

AAE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,￡>C=（0,2,0）.

設(shè)〃=（九,y,z）為平面AEF的法向量,

n-AE—0—2X+z=0

2y+z=0

令x=l,則〃=（L-1,2〉

由題意知DC=（0,2,0）為平面尸的一個法向量,

n?DC-2_V6

\n\\DC\76x26

A/30

二平面BCF與平面AEF所成角的正弦值為J1-

【點睛】

本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中

檔題.

20、（1）見解析；（2）旺

【解析】

(1)由折疊過程知AE與平面5C。垂直，得AELBD,再取A4]中點"，可證AA】與平面兒哂垂直，得

A^IBD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點，以E為原點，E3,E4所在直線為羽z軸，在平面5C。內(nèi)過E作的垂線為V軸建

立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點坐標(biāo)，用平面的法向量計算二面角的余弦.

【詳解】

(1)易知AE與平面5C。垂直，...AELB。，

連接AA1,取AA|中點連接

由。4=%,癡=網(wǎng)得的朋_LMB,MBMD=M,

M，平面AffiD,應(yīng))u平面AffiD,，叫，^。，

又A414石=4，平面44乃，B￡)J_AE；

(2)由tanNAB￡)=」,知。是AC中點，

2

令BE=^BC，則AE=43+3石=(1—/1)A3+/IAC，

由=AD—AB=gAC-AB,BD_LAE，

：.((1-2)AB+2AC)-(-AC-AB)=0,解得2=],故3E=2&,CE=&.

以E為原點，E3,E4所在直線為羽z軸，在平面BCD內(nèi)過E作的垂線為丁軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

m-B\=-2A/2X+z=0

則9723^2?取x=l，則根=(1,3,20).

m-BD=-------xH-------y=0

44

又易知平面\BC的一個法向量為n=(0,1,0),

m-n3y/2

cos<m,n'>—~i—n~~r=----產(chǎn)=

MM1-3V22,

二面角C-BA.-D的余弦值為叵.

2

【點睛】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空

間角.

_1

21>另一個特征值為1,對應(yīng)的一個特征向量a=

-1

【解析】

根據(jù)特征多項式的一個零點為3,可得4=1,再回代到方程/“)=0即可解出另一個特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對應(yīng)的一個特征向量.

【詳解】

矩陣"的特征多項式為：

—2X—a

4=3是方程/(2)=0的一個根，

12

(3—1)(3—〃)—4二0,解得〃=1,即A/=2]

??方程/(丸)=。即(彳―1)(2—1)—4=0,九2_2%一3=0,

可得另一個特征值為：4=-1,

設(shè)4=-1對應(yīng)的一個特征向量為：a=