2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)（二）試卷及答案

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試試題

數(shù)學(xué)（二）

本試卷共4頁(yè)，19題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

L答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答:用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服

務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選取

A.8人B.6人C.4人D.2人

2.若集合乂={⑹3；=111（4—12））,雙=[—2,2],則MCN=

A.[—2,2]B.（—2,2）C.（—8,2]D.[—2,In4]

3.最早的測(cè)雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為

“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積

驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地

降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝籧m）,則平地

降雪厚度的近似值為

A."cm

1.乙

D31

D.—cm

c95

C.—cm

,L乙

97

nD.五cm

2

4.拋物線。：y=2〃（40）的焦點(diǎn)為F,且C與橢圓r號(hào)十丁口在第一象限的交點(diǎn)為A,

若軸，則p=

2

AA.U3LB.1C.2D.j

5.如圖1,兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕,

然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長(zhǎng)方形

短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把

右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2,

是二個(gè)”巴車示意圖，則

A.OC=OE

B.OA-OB>0

C.dA+OD=2OE

D.OA+OC+OD=0

數(shù)學(xué)（二）第1頁(yè)（共4頁(yè)）

9Q-1

6.設(shè)A,B為兩個(gè)事件，已知P(A)=^,P(B)=守P0B)=2,則P⑷B)一

7.幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M,N是銳角NAQB的一邊QA上的兩點(diǎn)，

試在邊QB上找一點(diǎn)P,使得NMPN最大.”如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M,N兩點(diǎn)且和

射線QB相切的圓與射線QB的切點(diǎn).根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系

彳?！分?，給定兩點(diǎn)M(0,2),N(2,4),點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)NMPN取最大值時(shí)，點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)是

A.2B.6C.2或6D.1或3

8.若a=0.001+sin0.001,6=In1.001,c=-1,則

A.6>c〉aB.c>a>6

C.c>b>aD.a>c>6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線平面a,則下列說法錯(cuò)誤的是

A.,Z〃a,則m//a

B.Z〃⑶汨〃￡,/Ua,利Ua,則a〃/?

C.，〃根"Ua,wU6,則allB

D./〃⑶根〃B"Ua,根Ua,/n〃？=M，貝I]a〃尸

10.已知/(J;)=sin2了十9cos2處則

A.函數(shù)/(z)的最小正周期為兀

B.將函數(shù)/(丁)的圖象向右平移關(guān)個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.函數(shù)/(z)在區(qū)間指上單調(diào)遞減

_-L乙乙_

D.若")=；,則8tan(汁?一tan2(^+f)=1

11.若滿足(1+))2—*z;y=2,則

A.y-1》一y3~B.y—久<2

33

C.xy^>-D.——

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)z=3—4i+|3—4i|，貝U|之|=.

13.已知數(shù)列｛4｝滿足a】=1,2a葉1—an+〃+1=0OWN*)，則數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公

式為.

22

14.已知P是雙曲線C：卷一?=義(以>0)上任意一點(diǎn)，若P到C的兩條漸近線的距離之積

o4

為:，則C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為.

數(shù)學(xué)(二)第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知在△ABC中，三邊a,6,c所對(duì)的角分別為已知a（cosA+cosBcosC）=

y3-6sinAcosC.

（1）求C;

（2）若a^2,AABC外接圓的直徑為4,求△ABC的面積.

16.（本小題滿分15分）

某高中為了了解高中學(xué)生暑假期間閱讀古典名著的時(shí)間工（小時(shí)/每周）和他們的語(yǔ)文

成績(jī)'（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查,得到一些數(shù)據(jù)（表一）.

表一

編號(hào)12345

學(xué)習(xí)時(shí)間7247710

語(yǔ)文成績(jī)V829395108122

（1）請(qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出語(yǔ)文成績(jī)》的平均數(shù)和方差；

（2）基于上述調(diào)查，學(xué)校為了確認(rèn)學(xué)生喜歡閱讀古典名著與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，抽樣調(diào)

查了200位學(xué)生.按照是否喜歡閱讀古典名著與語(yǔ)文成績(jī)是否優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)，得到下列數(shù)據(jù)，

請(qǐng)依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“喜歡閱讀古典名著與語(yǔ)文成績(jī)

優(yōu)秀”是否有關(guān).

表二

語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀合計(jì)

喜歡閱讀7525100

不喜歡閱讀5545100

合計(jì)13070200

2—71(ad—be￥

■X(a+6)(c+c/)(a+c)(6+H)，

a0.100.050.010

4-ra2.7063.8416.635

17.（本小題滿分15分）

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD〃BC,AD，AB,AC

與BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作平行于平面PAB的平面a.

（1）若平面a分別交PC,BC于點(diǎn)E,F,求△OEF的周長(zhǎng)；

（2）當(dāng)PD=2"時(shí),求平面a與平面PCD夾角的正弦值.

數(shù)學(xué)（二）第3頁(yè)（共4頁(yè)）

18.（本小題滿分17分）

已知橢圓c：（+4=i,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓C'與橢圓C的離心率相同，焦點(diǎn)都在

O乙

同一坐標(biāo)軸上，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為

（1）求橢圓C'的方程；

（2）已知點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)A,B在橢圓C'上，若9=示十。瓦則四邊形OAPB的

面積是否為定值？若是，求出定值;若不是，請(qǐng)說明理由.

19.（本小題滿分17分）

若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為4,則稱m為“好數(shù)”.

⑴求證:對(duì)任意“好數(shù)”，加一16一定為20的倍數(shù);

（2）若加="—q2,且力，q為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)（”q）為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：

例如24=52—I?,稱數(shù)對(duì)（5,1）為“友好數(shù)對(duì)”，則”（24）=5,求小于70的“好數(shù)”中，所有

0

“友好數(shù)對(duì)”的H（7〃）的最大值.

數(shù)學(xué)（二）第4頁(yè)（共4頁(yè)）

參考答案及解析數(shù)學(xué)(二)

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試試題

數(shù)學(xué)(二)參考答案及解析

一、選擇題7.A【解析】由題M(0,2),N(2,4)可知，則線段MN

1.D【解析】由題可知，男居民選取卷卷X12=5人，的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),易知兒MN=1,則經(jīng)過M,N兩點(diǎn)、

的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=4一1上.

女居民選取12—5=7人，則女居民比男居民多選取

設(shè)圓心為C(a,4—a),則圓C的方程為：(]一

2人.故選D.

(3；—4+(2)2=a2+(2—<2)2,當(dāng)/MPN取最大值時(shí)，

2.D【解析】M={y\y=\n(4—x2)}=

圓C必與迎軸相切于點(diǎn)P(由題中結(jié)論得)，此時(shí)P

(—oo,ln4],所以M(~]N=[-2,ln41.故選D.

的坐標(biāo)為(a,0),代入圓C的方程，得(-4+。)2=。2

3.C【解析】如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為

+(2—a)?,解得a=2或a=~6,即對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別

竺cm,所以平地降雪厚度的近似值為

為尸(2,0)和尸N—6,0).因?yàn)閷?duì)于定長(zhǎng)的弦在優(yōu)弧

上所對(duì)的圓周角會(huì)隨著圓的半徑減小而角度增大，又

—不廠二相皿故選C.

過點(diǎn)M,N,P1的圓的半徑大于過點(diǎn)M,N,P的圓的

4.A【解析】由題設(shè)F(g,0),且A在第『象限,AF

半徑，所以/MPN>/MPIN,故點(diǎn)P(2,0)為所求，

軸，則A(冬，力)，又A在橢圓上，故"+02=1即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.故選A.

8.D【解析】令/(①)=x+sin(1)=ln(i+l),

。力z=[■，而/>>0,故力=當(dāng)工故選A.

4(尤)=e"-l,2(1)=/1(丁)一/(1)=61—1一丁一

5.C【解析】不妨設(shè)=|(走|=|9|=1,則sin1,口(2)=無(1)—g(i)=e①一l—

|OA|=|OD|=展,顯然慶與走方向不一致，所以

//(2)=e*—1—cosx,q(丁)=e“一；],令

前片既，A錯(cuò)誤；示-OB=|OA|?

m(j：)=p'(1),m(1)=e"+sinJC?，當(dāng)JCG

|逮|cos/AOB<0,B錯(cuò)誤；根據(jù)平行四邊形法則，

示+苗=205,C正確；示+反錯(cuò)誤.[o,9時(shí)，0>°，所以/⑺在[o,9時(shí)單

故選C.

調(diào)遞增，所以當(dāng)HC時(shí),“9<豕(y)=

6.B【解析】根據(jù)題意,P(3)=5,則P(B)=1—

7e—1—cos—1—cos?='/e-1一年<0,所

ONoZ

看，因?yàn)镻(A)=P(B)P(A|B)+PgP(A|8),所以

以力⑺在ie[°，十)時(shí)單調(diào)遞減，所以

春=春「08)+春><4,所以P(A|B)=(故

5515Z13

pg001)〈力(0)=0,所以Ya；當(dāng)[o，+)時(shí)，

選B.

1

數(shù)學(xué)（二）參考答案及解析

q'（2）=e，一不耳＞0,所以在4）上單調(diào)tan，（?+*）=1,所以D正確.故選ACD.

遞增，所以q（0.OOI）＞q（0）=0,所以c＞6,綜上，11.ABD【解析】令》一1=八即y=工+"代人

Q＞C＞6.故選D.（x+＞）2—=2得,，+力工+.（r—2）=0,

二、選擇題

所以△=——3〈/-2）＞0,解得一乃《公偌,所以

9.ABC【解析】選項(xiàng)A中，利可能在Q內(nèi)，也可能與Q

O

平行，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，a與￡也可能相交，故BA正確，B正確；由Qx+yV--xy=2可變形為

錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中，a與￡也可能相交，故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D

/+；/=告了了+2,因?yàn)橐还ぃü?？＜h.y,所

中，依據(jù)面面平行的判定定理可知a〃魚故D正確.

故選ABC.以一置號(hào)+1，解得—〈告，所以

10.ACD【解析】由/（i）=sin21+西cos2配得/（?。〤不正確，D正確.故選ABD.

=21sin2工+岑cos2工）=25山（2工+手），對(duì)于三、填空題

12.475【解析】因?yàn)閦=3-4i+，3…42=8—4i,所

A：最小正周期為7=學(xué)=欠,所以A正確；對(duì)于B：

以|z|=782+（-4）2=475.故答案為&展.

將函數(shù)/（①）的圖象上所有點(diǎn)向右平移點(diǎn)，所得圖象

13.an=【解析］***2＜2?+I—an+anan+1=0,

式

的函數(shù)解析式為g（N）=2sin|2紀(jì)一至+f

2sin2工,而g（z）為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C：令2旅+今&21+手《竽...誓2—=2,又工+1=2,.?/上+1］是以2為

1■Q1IQ”J

a”

+2后,-2,化簡(jiǎn)得標(biāo)+令《?。ū?蒜花eZ,當(dāng)

首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，...工+l=2"，.\a“=

a”

k=0時(shí).考＜得7T7TU7C77t

129~212912

2.）］.故答案為=

7T7T

所以函數(shù)在12f~2c正確；對(duì)于

14.73-72【解析】所求的雙曲線方程為q―4=入

o4

D選項(xiàng):因?yàn)?⑻=。,所以sin（2?+1_）=+，所

（A＞0），設(shè)點(diǎn)P（力°,y），則等一平=入=忌一2/=

Qo4

cos4，所以

o

81,點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為

*即

得|片（）|一（）—|曷一2y（1_8A=

A/12+（72）2712+（72）233

91J

可，解得：4=了，故雙曲線C方程為：2一式=1,故

春，也就是

1+tan2（6+-^-）O

■，故雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最

2

參考答案及解析數(shù)學(xué)（二）

小值為c-a=43—^.故答案為點(diǎn)一隹.有關(guān).（15分）

四、解答題17.解：（1）由題意可知，四邊形ABCD是直角梯形，

15.解：（1）因?yàn)閍（cosA+cosBcosC）=用bsinAcosC,.??AAOD與△COB相似,AD=-yBC,

由正弦定理得sinA（cosA+cosBcosC）=

/.AO=yOC,OD=-^OB,（3分）

V^sinBsinAcosC,

因?yàn)檫^點(diǎn)O作平行于平面PAB的面a分別交PC,

因?yàn)锳G（0,兀），sinAWO,

BC于點(diǎn)E,F,由面面平行的性質(zhì)定理得OE〃PA,

所以cosA+cosBcosC=V3sinBcosC,

OF〃AB,EF〃PB,所以△OEF與△PAB相似，相

因?yàn)閏osA=—cos（B+C）

似比為3：2,因?yàn)椤鱌AB的周長(zhǎng)為6,所以三角形

=sinBsinC—cosBcosC,

△OEF的周長(zhǎng)為4.（6分）

所以sinBsinC=V3-sinBcosC,

（2）；a〃平面PAB,.,?平面a與平面PCD的夾角

又sinB力0,則tanC=6"，因?yàn)镃G（0,冗），

與平面PAB與平面PCD的夾角相等，?..AD=2,

所以C=q.（7分）

PA=2,PD=272PD2=AD2+PA2,

???AD，PA,又AD，AB,ABDPA=A,I.AD，平

（2）因?yàn)閏=4sinC=2Vy,所以cosC=；,二

Lab

面PAB,（7分）

4，得b=4或6=—2（舍去），（10分）

ADU平面ABCD,?'.平面PABJ_平面ABCD,取

所以△ABC的面積S=}a6sinC=2翼.（13分）AB的中點(diǎn)G,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，???PG_L

AB,：.PG_L平面ABCD（8分）

16.解：（1）丁=82+93+9：108+122=1QQ,*=卷

以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為i軸，AD為N軸，過

[（82—100）2+（93-100）2+C95-100）2+（108-點(diǎn)A與PG平行的直線為z軸，建立如圖所示空間

100）2+（122—IO。/]=189.2,直角坐標(biāo)系，

所以語(yǔ)文成績(jī)）的平均數(shù)為100,方差為189.2.

（7分）

（2）零假設(shè)為H。：喜歡閱讀古典名著與語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)

秀無關(guān).

2=200X（75X45—55X25）2

根據(jù)數(shù)據(jù)，因?yàn)閄130X100X70X100

品48.791>6.635=^o,oi,（12分）

（0,2,0）,虎=（2,2,0）,豬=（1,—2,乃），（9分）

所以依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，Ho不成立，故

可以認(rèn)為“喜歡閱讀古典名著與語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀”設(shè)平面PCD的法向量〃=（x,y,z）,

3

數(shù)學(xué)（二）參考答案及解析

（DC?n=0（2i+2j/=0因?yàn)榇?示+5在所以四邊形0APB為平行四

5",n=（1,—1,

（DP?n=012一2jy+①2=0邊形，

一星）,（11分）所以（了0,？0）=（了1+I2.+）2），（8分）

平面PAB,?,?翁是平面PAB的法向量，所以（―》+5y=1,（9分）

oZ

（12分）

又乎+乂=1,苧+乂=1,所以要衛(wèi)+“屹=0,

cos行望"=?？谑?sin

AD||?|展5（11分）

所以平面a與平面PCD夾角的正弦值為華.

（15分）

18.解：⑴設(shè)橢圓C'的方程為＜+1=1（46＞0）.

ab所以（31丁當(dāng)『=1,則a22一四色|=2,

橢圓C：?+q=l中，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2乂提=4混，離心

O乙（13分）

直線OA：yx—xy=0,

率為上暫，（2分）11

782

因?yàn)辄c(diǎn)B到直線OA的距離"=小三蘭」，

因?yàn)闄E圓C'的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為，田+乂

（分）

1：展，15

所以平行四邊形OAPB的面積S°APB=\OA\d=

所以2a：4/?=l：展，解得a=2.（4分）

r^~\FxzI處"―四亞|_??_o

因?yàn)闄E圓C'與橢圓C的離心率相同，，了1十X------/,=?芍-------111v2—）1I-乙

，石+5

所以，=§，解得c=\[3.

所以四邊形OAPB面積是定值，定值為2.（17分）

19.解：（1）證明：設(shè)相=10z+4,l&力&9且力為整數(shù)，

所以b=/a?—c?=1,（5分）

/.m2-16=（102+4）2—16=100/+802+16—16

故橢圓C的方程為]+丁=1.（6分）

=20（5產(chǎn)+42）.（2分）

（2）設(shè)A（丁1,）1）,B（了2,y2），尸（,丁0）.???1&方＜9,且％為整數(shù)，??.5於+4方是正整數(shù)，（4分）

，蘇—16一定是20的倍數(shù).（5分）

（2）???加=力2-92,且力，q為正整數(shù)，.??10%+4=

Qp+q）Qp—q），（6分）