安徽合肥市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

安徽合肥市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知四棱錐E-A6CD,底面ABC。是邊長為1的正方形，ED=1,平面ECD平面ABC。，當(dāng)點C到平面ABE

的距離最大時，該四棱錐的體積為（）

A.—B.-C.-D.1

633

冗冗

2.已知函/（x）=（sinx+cosx）?+2COS?x,xe,則/（x）的最小值為（）

A.2-A/2B.1C.0D.-V2

3.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)

學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57'24。13，24。28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

4.（%--+1）5展開項中的常數(shù)項為

X

A.1B.11C.-19D.51

5.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則Ax）可能是（）

A./(%)=ln|sinx|

B.f(x)=In(cos%)

C./(x)=-sin|tanx|

D.f(x)=-tan|cos%|

6.已知拋物線C:V=6%的焦點為產(chǎn)，準線為/,A是/上一點，8是直線AF與拋物線。的一個交點，若E4=3EB，

則1所|=（）

75

A.—B.3C.一D.2

22

7.執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）

（開始）

a=0.A?l.w=1

h=a+2h

<0^

1/3/

1rr\

“rt+l1>-1-結(jié)--束-，）

A.12B.29C.70D.169

8.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)”,如果〃為偶數(shù)就除以2,如果九是奇數(shù)，就將其乘3再加1,

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=10,則輸出i的（）

/輸血/

CW)

A.6B.7C.8D.9

9.已知a，b，c是平面內(nèi)三個單位向量，^a±b,則卜+2c|+|3a+2A-c|的最小值()

A.aB.V29-3V2c.M—26D.5

10.方程/(x)=/'(x)的實數(shù)根%叫作函數(shù)/(x)的“新駐點”，如果函數(shù)g(x)=lnx的“新駐點”為。，那么〃滿足

()

A.a=lB.0<a<1C.2<a<3D.l<a<2

11.2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一

幅十字繡贈送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”

這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復(fù)如下：

小明說：“鴻福齊天”是我制作的；

小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；

小金說：“興國之路”不是我制作的，

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝！1“鴻福齊天”的制作者是()

A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明

12.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖

所示(單位：寸)，若萬取3,當(dāng)該量器口密閉時其表面積為42.2(平方寸)，則圖中x的值為()

5.4

正視圖例視圖

俯視圖

A.3B.3.4D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃x）=e'+以-1,若域I）"（x）。恒成立，則。的取值范圍是.

sin[2x+?J的最小正周期為.

14.函數(shù)/(x)=若函數(shù)/（力在區(qū)間（0,。）上單調(diào)遞增，則a的最大值為

15.在數(shù)列｛4｝中，4=1,。戶0,曲線y=V在點處的切線經(jīng)過點（。用⑼，下列四個結(jié)論：①的=|;

1465

②4=彳；③工4=刀7；④數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；其中所有正確結(jié)論的編號是

3i=\2/

16.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：。C）依次為8,-4,-1,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標準差為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

時間代號，123456789

廣告收入y（千萬元）22.22.52.832.52.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對f和V作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對/和）作線性相關(guān)性檢驗，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.984.

（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進行預(yù)測，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進行預(yù)測.

從實際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗的角度分析，你覺得哪個方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗的臨界值表：

小粒率

n-2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

(2)某購物網(wǎng)站同時銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計，在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電

子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比例為10%,現(xiàn)用此統(tǒng)計結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機調(diào)查了3位，求購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

18.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切.

(1)求圓的方程；

(2)設(shè)直線ax-y+5=0(a>0)與圓相交于A,8兩點,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)a,使得弦A3的垂直平分線，過點尸(-2,4),若存在，求出實數(shù)a的值；

若不存在，請說明理由.

22

19.(12分)如圖，橢圓c：J+2r=1(?！?〉0)的左、右頂點分別為4,4,上、下頂點分別為耳，與，且用(0,1),

ab

4用耳為等邊三角形，過點(1,0)的直線與橢圓C在y軸右側(cè)的部分交于4、N兩點.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求四邊形為g面積的取值范圍.

20.(12分)某中學(xué)準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學(xué)生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共

100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學(xué)生的問卷成績(單位：分)進行統(tǒng)計，將數(shù)

據(jù)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于

60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生.

理科方向文科方向總計

卜頻率

組距

男

0.0150110

0.0125

0.0100

0.0075女50

0.0050二

C□3406085T50成統(tǒng)/分總計

(1)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文

科方向”的人數(shù)為4,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求J的分布列、期望E(J)和方差。(￡).

參考公式：K2=-------------------------其中“=Q+j+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考臨界值：

P（Kj）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.（12分）已知。，b,c為正數(shù)，且"c=l,證明:

（1）（2a+l）（2Z?+l）（2c+l）＞27；

111/3

（2）-----------T-I--------------------T------------------7——

〃伍+c）/?（tz+c）c（a+b）4*

22.（10分）已知函數(shù)了（尤）=；|x—。|（。eR）.

(1)當(dāng)a=2時，解不等式x—；+/(x)21；

(2)設(shè)不等式》-；+/0)三》的解集為"，若,求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

過點E作垂足為77,過77作族垂足為尸，連接EE因為CD//平面A8E,所以點C到平面

7T

A5E的距離等于點"到平面A3E的距離〃.設(shè)NCDE=9(0<e<5),將〃表示成關(guān)于。的函數(shù)，再求函數(shù)的最值,

即可得答案.

【詳解】

過點E作E//1.CD,垂足為過H作毋'LAB,垂足為尸，連接EE

因為平面ECDL平面A3C。，所以平面A5C。，

所以EHA.HF.

因為底面A3C。是邊長為1的正方形，HF//AD,所以5=AD=1.

因為CD//平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.

易證平面EFH，平面ABE,

所以點H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離限

7Ti------------------------

不妨設(shè)NCDE=e(0<e<5),則E"=sin6,EF=71+sin2.

因為SEHF=3.EFh=3EH?FH,所以。JIT京萬=sin，，

7sin。1A/2

，——_———.<jr

所以一加荷筋一n~^~2，當(dāng)6=5時，等號成立?

Vsin26

此時?篦所以即=1,V…=*隈1].

故選：B.

E

BA

【點睛】

本題考查空間中點到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，

求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.

2、B

【解析】

/(x)=A/2sin(2x+-)+2,xe—,—至V2x+工〈網(wǎng)利用整體換元法求最小值.

4L44J444

【詳解】

由已知，/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x4-2=A/2sin(2x+￡)+2,

又一gwxwj,.工＜2x+工〈至，故當(dāng)2x+g=—g,即》=—：時，f(x)mn=l.

44444444

故選：B.

【點睛】

本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.

3、D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為春秋分日光與垂直線夾角為夕，

則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

,石、tana-tan￡1.6-0.66?，一

tan（a一￡）=----------------=----------------?0.457.

l+tanor.tan^1+1.6x0.66

0.455<0.457<0.461,

估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及

數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

4、B

【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.

【詳解】

展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：

(1)5個括號都出1,即T=l；

(2)兩個括號出x,兩個括號出(一工)，一個括號出1,即7=。1/.。；.(—A?.」？。；

XX

(3)一個括號出工,一個括號出(一工)，三個括號出1,即7=。卜公。>(—工)」=一20；

xx

所以展開項中的常數(shù)項為T=l+30—20=11,故選B.

【點睛】

本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.

5、B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：當(dāng)％=0時，sin0=0,In卜in0|無意義，故排除A；

又cosO=l,貝(J/(0)=—tan|cos0|=—tanlw0,故排除D；

對于C,當(dāng)曰時，|anx|>0,所以/(x)=—siHtanx|不單調(diào)，故排除C；

故選:B

【點睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得|”|=6,由此求得忸目的長.

【詳解】

過B作3CL,垂足為C,設(shè)/與x軸的交點為。.根據(jù)拋物線的定義可知忸司=忸。|.由于FA=3EB，所以

\AB\=2\BC\,所以NC4B=工，所以|AF|=2|ED|=6,所以忸司=gA刊=2.

本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量沙的值，計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.

【詳解】

〃=0,b=1,n=l9b=0+2=2,n<59滿足條件，

2-0

a=------=1,n=2,Z?=1+4=5,n<5,滿足條件，

2

5-1

a=——=2,n=3,>=2+10=12,n<5,滿足條件，

2

12-2

a=-------=5,“=4,Z?=5+24=29,n<5>滿足條件，

2

29-5

a=-------=12,n=5,Z?=12+58=70,n=5,不滿足條件，

2

輸出Z?=70.

故選：c

【點睛】

本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡單題.

8、B

【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結(jié)論.

【詳解】

循環(huán)前i=l,〃=10,循環(huán)時：n=5,i=2,不滿足條件〃=1；〃=16,，=3,不滿足條件〃=1；n=8,i=4,不滿

足條件〃=1；n=4,i=5,不滿足條件〃=1；n=2,i=6,不滿足條件〃=1；n=l,i=l,滿足條件〃=1,退出

循環(huán)，輸出i=7.

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結(jié)論.

9、A

【解析】

由于二上,，且為單位向量,所以可令“=(1,0)"=(0,1),再設(shè)出單位向量c的坐標,再將坐標代入|?+2c|+忸+2b-c\

中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)c=(九,y),?=(1,0),/?=(0,1),則d+>2=],從而

卜+2c|+13a+2》一c卜-^(2x+l)2+(2y)2+^(x-3)2+(y-2)2

=+力+/+y2+4x+l++(y-2)2

=J(x+2『+y2+&_3『+(y_2)2>752+22=后,等號可取到.

故選：A

【點睛】

此題考查的是平面向量的坐標、模的運算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題.

10、D

【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程/(x)=/'(x)的實數(shù)根毛叫做函數(shù)〃x)的“新駐點”，根據(jù)零點存在定理即可求出4的大致

范圍

【詳解】

解：由題意方程/(X)=f'(x)的實數(shù)根X。叫做函數(shù)/(X)的“新駐點”，

對于函數(shù)g(x)=/"x,由于g'(x)=」，

X

71

..lux—f

x

設(shè)/7(X)=/〃X-‘，該函數(shù)在(0,+CO)為增函數(shù)，

X

/z(l)=-1<0,介(2)=山2-；=ln2—ln-Je>0,

???丸。)在(1,2)上有零點,

故函數(shù)g(x)=〃吠的“新駐點”為。，那么1<"2

故選：D.

【點睛】

本題是一個新定義的題，理解定義，分別建立方程解出a存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于

基礎(chǔ)題..

11、B

【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.

【詳解】

依題意，三個人制作的所有情況如下所示：

123456

鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金

國富民強小紅小金小金小明小紅小明

興國之路小金小紅小明小金小明小紅

若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作

者是小紅，

故選：B.

【點睛】

本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).

【詳解】

由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為x,3,1和

一個底面半徑為工，高為5.4-x的圓柱組合而成.

2

該幾何體的表面積為

2(x+3x+3)+%?(5.4-%)=42.2,

解得x=4,

故選：D.

【點睛】

本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、［-1,+co)

【解析】

求導(dǎo)得到/，(x)=/+a,討論a+L.O和。+1<0兩種情況，計算。+1<0時，函數(shù)/(尤)在［0,%)上單調(diào)遞減，故

/(%)?/(0)=0,不符合，排除，得到答案。

【詳解】

因為/(x)=e'+?x—1,所以/'(x)="+a,因為第.0,所以/'(x)..a+l.

當(dāng)a+LO,即時，/(x)..O,則在［0,+8)上單調(diào)遞增，從而八九)..7(0)=0,故aN—1符合題意；

當(dāng)a+l<0,即。<-1時，因為/'(%)="+。在［0,+s)上單調(diào)遞增，且尸(0)=。+1<0,所以存在唯一的

/6(0,+8),使得「(%)=().

令/'(x)<0,得0,,x<x°,則/(x)在［0,%)上單調(diào)遞減，從而了(%),"(0)=0,故。<-1不符合題意.綜上，”的取

值范圍是［-1,+8).

故答案為：［T+8）.

【點睛】

本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.

71

14、n—

8

【解析】

直接計算得到答案，根據(jù)題意得到2x+f+2或+］解得答案.

4（44）42

【詳解】

/（X）=sin12x+：］,故7=葛=萬，當(dāng)xe（0,a）時，2x+?e",2a+（1,

故2a+fwg,解得

428

77

故答案為：兀；-

8

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

15、①③④

【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線y=%3在點（4,%）處的切線方程，由此求得與4的遞推關(guān)系式，進而證得數(shù)列｛q｝是等比

數(shù)列，由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號.

【詳解】

2

???y'=3x，，曲線y=好在點（%,4：）處的切線方程為y—a；=3d（x-an）,

則-G=3。；（4+「％）.

c2

；a“*0,an+l=§a”，

9

則｛4｝是首項為1,公比為§的等比數(shù)列，

從而%=g,%1寸65

3

故所有正確結(jié)論的編號是①③④.

故答案為：①③④

【點睛】

本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列，考查等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式,

屬于基礎(chǔ)題.

16、4

【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差.

【詳解】

解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位：。C)依次為8,-4,-1,0,2,

平均數(shù)為：1(8-4-1+0+2)=1,

該組數(shù)據(jù)的方差為：

S2=1[(8-1)2+(-4-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(2-1)2]=16,

該組數(shù)據(jù)的標準差為L

故答案為：1.

【點睛】

本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法，考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

Q1

17、(1)選取方案二更合適；(2)—

125

【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年

的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值Q984>0.959,所以有99%的把握認為V與/具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；⑵

32

求得購買電子書的概率為二,只購買紙質(zhì)書的概率為二,購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電

子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書，由此能求出購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

【詳解】

(1)選取方案二更合適，理由如下：

①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告

收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會接著下跌，前四年的增長趨勢已經(jīng)不能作為預(yù)測后續(xù)

數(shù)據(jù)的依據(jù).

②相關(guān)系數(shù)M越接近L線性相關(guān)性越強，因為根據(jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值0.243<0.666,我們沒有理

由認為y與r具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對值Q984>0.959,所以有99%的把握認為V

與r具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)因為在該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中，只購買電子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時購買的讀者比

113

例為10%,所以從該網(wǎng)站購買該書籍的大量讀者中任取一位，購買電子書的概率為一+一=—,只購買紙質(zhì)書的概率

2105

2

為弓，購買電子書人數(shù)多于只購買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購買電子書，2人購買電子書一人只購買紙質(zhì)書.概率

為Y||J+4|1X|喘.

【點睛】

本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能

力與運算求解能力，屬于中檔題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的

事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

進行解答.

53

18、(2)(x-2)2+y2=2.(2)(—,+?)).(3)存在，。=二

124

【解析】

l4m-29l

(2)設(shè)圓心為M(機，0),根據(jù)相切得到」_U5,計算得到答案.

5

(2)把直線ax-y+5=0,代入圓的方程，計算△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)I的方程為y=—U(x+2)+4,BPx+ay+2-4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.

a

【詳解】

(2)設(shè)圓心為0)(mGZ).由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5,

所以|4m—29|=5,即乩機-291=2.因為機為整數(shù)，故機=2.

5

故所求圓的方程為(X-2)2+^=2.

(2)把直線ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程，消去了，

整理得(層+2)x2+2(5a-2)x+2=0,

由于直線ax-y+5=0交圓于A,B兩點,故△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22/-5a>0,由于a>0,解得。>工，所以實數(shù)a的取值范圍是(9,+8).

1212

(3)設(shè)符合條件的實數(shù)。存在，則直線/的斜率為-l，

a

/的方程為y=--(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0,

a

由于/垂直平分弦A5,故圓心M(2,0)必在/上，

33(5、3

所以2+0+2-4.=0,解得。=了.由于丁目7,+oo故存在實數(shù)

44112rJ4

使得過點P(-2,4)的直線/垂直平分弦A5.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

、步,、(3,乖>「

19、(1)---Fy-=1；(2)—,1H----.

3-(23_

【解析】

(1)根據(jù)與坐標和的與均為等邊三角形可得a,0,進而得到橢圓方程;

(2)①當(dāng)直線斜率不存在時，易求坐標，從而得到所求面積；②當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為

y=k(x-l),與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，并確定左的取值范圍；利用S=SANOB,+SMMN+S^MOB2,代

出

入韋達定理的結(jié)論可求得S關(guān)于左的表達式，采用換元法將問題轉(zhuǎn)化為s=me（立+62@的值

m+--2A/3

m

域的求解問題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.

【詳解】

(1)4(o,i),."=1,

2

AA4a為等邊三角形，.?.。=技=百，.?.橢圓的標準方程為《+>2=1.

(2)設(shè)四邊形與加入代的面積為S.

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為丁=左(％-1),

設(shè)以(%，％)，N(%2，%)，

f2

尤?2_]

聯(lián)立T+-V=得：（3左2+1）尤2—6左2%+3左2—3=0,

y=^（x-1）

6k23k2—3，山72|=卜(再一々)|=26"：+1

.%1>0,x2>0,x{x2>0,/.|A;|>1,

面積

3k-幣\k\{2k2+T_3

（Xi+%）xl+；x|x-%

S=SANOB、+S&OMN+SAMOB?=5Xxl-3一+13k2+1]

3+F

?\/3x、2H—Q

+「「

3+F

令"‘卓，則5=胃，回"6)

令m=t+粗,則5=,——=—fvme（女+百,2百），

m2-2V3m+4加+2、3、

m

S(/n)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，二|<5<1+^

綜上所述：四邊形與面積的取值范圍是1,l+y^

【點睛】

本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問題；關(guān)鍵是

能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問題.

20、(1)列聯(lián)表見解析，有；(2)分布列見解析，連.

525

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在［60,80)、［80,100］之間的學(xué)生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算K?的值，結(jié)合

參考臨界值表可得到結(jié)論;

(2)從該校高一學(xué)生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率P.由題意6(3,p),求出分布列，根據(jù)公式

求出期望和方差.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)在［60,80)之間的學(xué)生人數(shù)為0.0125x20x200=50,在［80,100］之間的學(xué)生人數(shù)為

0.0075x20x200=30,所以低于60分的學(xué)生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為

理科方向文科方向總計

男8030110

女405090

總計12080200

200x(80x50-30x40)2

又K?=