2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題 (四)

1.復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,2),(0,-1),貝UziZ2=()

A.1+iB.2-iC.-2iD.-2-i

2.若集合A={x|xKl},且=則集合5可以是（）

A.B.C.{0,1,2}D.1-1,0,11

3.雙曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,企），其漸近線方程為y=±gx,則E的方程為（）

A--—丁=1B.x2--=lC,-匕=1D.《—士

442882

4.若a>0,b>Of貝『2+2"的一個(gè)充要條件是（）

A.—H—<1B.sfa<y/2—b

ab

C.a2+b2<2D.ab<l

5.已知圓C:d+y2=4,直線/過(guò)"(0,加)，若/被圓C所截得的弦長(zhǎng)最小值為2,則加=()

A.±^2B.±y/3C.±2D.土石

6.已知函數(shù)/(x)=2cosx,xe[0,兀)的圖象與函數(shù)g(x)=3tanx的圖象交于A,B兩點(diǎn)，貝U-Q4B(O

為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為()

A.-B.匝兀垂）71

C.—D.

442F

7.已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+log?。=入+23=2°+1082。=4,則以下結(jié)論正確是()

Ab>aB.a>2cC.c>bD.b>2c

8.已知圓錐頂點(diǎn)為尸，母線長(zhǎng)為2,底面半徑為小點(diǎn)A,SCD在底面圓周上,當(dāng)四棱錐尸—ABCD

體積最大時(shí)，r=

l832石

A.&B.耳C.D.

327

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分

9.下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個(gè)基底的是()

A.=(1,1),02=(1,2)B.eY=(-1,1)>02=(-2,2)

C.ex=(1,-2),=(3,6)D.ex=(1,2),e2=(-3,-4)

10.如圖，點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則直線MV//平面ABC的是

11.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐

光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個(gè)半徑為3米的簡(jiǎn)車按逆時(shí)針?lè)较蛎?/p>

分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位:

米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計(jì)算時(shí)間，設(shè)時(shí)間為單位：秒），已知

A.J=2-3cosf—/+其中COS6=2,且8e0,—

【30)3I2)

B.d=3sin[&f+6>]+2,其中sin8=—g,且，e[一],0

C.大約經(jīng)過(guò)38秒，盛水筒尸再次進(jìn)入水中

D.大約經(jīng)過(guò)22秒，盛水筒尸到達(dá)最高點(diǎn)

12.已知曲線G:/+,3一6盯=0(x〉0,y>0),則(

A.曲線G關(guān)于直線丁=》軸對(duì)稱

B.曲線G與直線x+y—6=0有唯一公共點(diǎn)

C.曲線G與直線x—y+l=。沒有公共點(diǎn)

D.曲線G上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為3亞

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(x+y)(x—的展開式中的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

14.已知甲、乙兩人三分球投籃命中率分別為0.4和0.5,則他們各投兩個(gè)三分球，至少有一人兩球都投中的

概率為.

15.如圖中的三角形稱為謝爾賓斯基三角形.每個(gè)圖都是取前一個(gè)圖中的每個(gè)黑色三角形三邊的中點(diǎn)將其分

成四個(gè)小三角形，并將中間三角形變?yōu)榘咨?，白色三角形不?若第一個(gè)三角形的面積為1,第九個(gè)圖中白

色部分的面積記為4,則為=.

22

16.橢圓E:J+與=l(a〉6〉0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、F2,E上存在兩點(diǎn)A、2滿足耳4=2b8,

ab

\AF2\=^a,則E的離心率為.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

c—b

17.在①sin?—=--；②acos_B=csinC-bcosA；?b2+crcos2A=2/JCCOSA>這三個(gè)條件中任

22c

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下面問(wèn)題.問(wèn)題：在&A5C中，內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別是。，b,

(1)判斷的形狀；

(2)點(diǎn)、D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。與點(diǎn)A位于直線的異側(cè)，AB=2,ABrBD,

BD=6CD=6AC，求四邊形ABOC的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.如圖，四邊形ACDE為矩形，平面ACDEJ_平面ABC,產(chǎn)是AC中點(diǎn)，”是所中點(diǎn)，點(diǎn)N在線

段上，旦DN=3NB.

(1)求證：MN//平面ABE；

jr

(2)若NBAC=—,AB=AE=1,求MN與平面BOE所成角。的正弦值.

3

19.已知函數(shù)/(x)=(ax-l)e*,czeR.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若a=l,求證：當(dāng)%>-1時(shí)，/(x)>erln(x+1)-x-1.

20.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，q=2,Aan+l=+2,neN*.

(1)是否存在實(shí)數(shù)X,使得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列？若存在，求出4的值；若不存在，說(shuō)明理由；

(2)記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為北，當(dāng)4=1時(shí)，求證：Tn<2.

21.在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男?/p>

號(hào)，通過(guò)信道傳送到接收端.有干擾無(wú)記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸

的信息失真.在有干擾無(wú)記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值石,天的隨機(jī)變量，分別記作X和

y.條件概率=X=xJ工)=1,2,,〃，描述了輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了

信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量X的平均信息量定義為："(X)=—才，(X=xjlog?p(X=xj.當(dāng)九=2

i=l

22

時(shí)，信道疑義度定義為"(■x)=—￡Zp(x=Xj,y=xjiog2p(y="x=%,.)

日j二l

=-[P(X=%,丫=Xj)log2p(Y=x｛\X=芯)+尸(X=x2)log2p(Y=x2\X=玉)

+尸=jq)log=%I=%2)+尸=%2，丫=%2)log2%21=%2)]

(X=X2,Y2p(YX(X