小學奧數(shù)-排列組合教案

PAGEPAGE5站法：第一位5種選法、第二位4種選法、第三位3種選法、第四位2種選法、第五位1種選法。其余5人所站位置其余5人所站位置小新和阿呆所站位置2112435解：根據(jù)乘法原理得：（5×4×3×2×1）×（2×1）＝240（種）注：用排列公式寫作：(種)．（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，也就是邊上的兩個位置5人去站，第一個位置有5種選法，第二個位置有4種選法，根據(jù)乘法原理得：5×4＝20（種）。再排剩下的5個人，有5×4×3×2×1＝120（種）。解：根據(jù)乘法原理得：20×120＝2400（種）注：用排列公式寫作：（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的．現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列．解：根據(jù)乘法原理得：7×6×5×4×3×2×1＝5040（種）注：用排列公式寫作：（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在后，阿呆在前”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可．排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。解：根據(jù)乘法原理得：4×3×（5×4×3×2×1）×2＝2880(種)注：用排列公式寫作：4×3××2=2880(種)．【例題十】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【解析】個位數(shù)字已知，問題變成從個元素中取個元素的排列問題，三位數(shù)的個位已確定為5，那么，1、2、3、4、6可以任意選擇十位或百位，百位有5種選法，十位有4種選法。如圖：5種選法4種選法1種選法5千位百位個位解：根據(jù)乘法原理得：5×4＝20（種）注：用排列公式解題：已知，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個)符合題意的三位數(shù)?！纠}十一】用、、、、這五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析】按位數(shù)來分類考慮：首先要知道3的倍數(shù)的數(shù)的各位數(shù)值之和的規(guī)律:各位數(shù)值之和為3的倍數(shù),則這個數(shù)是3的倍數(shù).⑴一位數(shù)只有個；⑵兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成(個)不同的兩位數(shù)；⑶三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)；⑷四位數(shù)：可由，，，這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)；⑸五位數(shù)：可由，，，，組成，共有(個)不同的五位數(shù)．解：根據(jù)加法原理得：一共有(個)能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)．【例題十二】某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜最多要試幾次？【解析】用排除法分析：四個非數(shù)碼之和等于9的組合數(shù)位上不能有9、8、7數(shù)字，否則，其和大于9。首先，從合題意的大數(shù)6尋找有1，1，1，6一種組合；從5尋找有1，1，2，5一各組合；從4尋找有1，1，3，4；1，2，2，4；二種組合；從3尋找有1，2，3，3；2，2，2，3二種組合；從1、2分析其和小于9；因此分析得共有六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮的位置就可以了，可以任意選擇個位置中的一個，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)，選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇．最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇．解：根據(jù)加法原理得：一共可以組成(個)不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜最多要試次．【例題十三】兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？【解析】第一個位置在個人中任選一個，有(種)選法，第二個位置在另一胞胎的人中任選一個，有(種)選法．同理，第，，，個位置依次有2，2，1，1種選法．如圖：6選13選32選22選21選11選1632211甲乙胞乙胞甲胞 乙胞 甲胞 乙胞解：根據(jù)乘法原理得：6×3×2×2×1×1＝72（種）注：用排列公式寫作：(種)?！纠}十四】一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24：30，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【解析】設(shè)A:BC:DE是滿足題意的時刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有6×5=30種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有7×6=42種選法.如圖：7選2ABCDE16756確定為86選2解：根據(jù)乘法原理得：所以共有×=1260種選法。從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個?！纠}十五】一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的．將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11整除的六位數(shù)?【解析】設(shè)這個六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)．且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序；再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個能被11整除的數(shù)(包含原來的)。所以最少還能排出72-1=71個能被11整除的六位數(shù)?！纠}十六】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍．”對乙說：“你當然不會是最差的．”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉(zhuǎn)化．仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法．解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)不同的排法。【例題十七】名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：⑴甲不在中間也不在兩端；⑵甲、乙兩人必須排在兩端；⑶男、女生分別排在一起；⑷男女相間．【解析】⑴先排甲，個位置除了中間和兩端之外的個位置都可以，有種選擇，剩下的個人隨意排，也就是個元素全排列的問題，有(種)選擇．解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法．⑵甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個人隨意排，有(種)排法．解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法．⑶分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有(種)不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是個元素與個元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法．解：根據(jù)乘法原理得：共有(種)排法．⑷先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個空檔中，有(種)排法．解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)排法?！纠}十八】一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目．求：⑴當個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？⑵當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】⑴先將個舞蹈節(jié)目看成個節(jié)目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有(種)方法．第二步再排個舞蹈節(jié)目，也就是個舞蹈節(jié)目全排列的問題，有(種)方法．解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法．⑵首先將個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，是個元素全排列的問題，一共有(種)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再將個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當于從個“×”中選個來排，一共有(種)方法．解：根據(jù)乘法原理得：一共有(種)方法。【例題十九】⑴從1，2，…，8中任取3個數(shù)組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）⑵從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？⑶3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？⑷8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？⑸一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？⑹8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】⑴按順序，有百位、十位、個位三個位置，8個數(shù)字（8個元素）取出3個往上排，有種．⑵3種職務(wù)3個位置，從8位候選人（8個元素）任取3位往上排，有種．⑶3位同學看成是三個位置，任取8個座位號（8個元素）中的3個往上排（座號找人），每確定一種號碼即對應(yīng)一種坐法，有種．⑷3個坐位排號1，2，3三個位置，從8人中任取3個往上排（人找座位），有種．⑸3列火車編為1，2，3號，從8股車道中任取3股往上排，共有種．⑹土地編1，2，3號，從8種菜籽中任選3種往上排，有種?！纠}二十】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】第一階段中，每個小組內(nèi)部的個人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第三階段賽場．解：根據(jù)乘法原理得：整個賽程一共有場比賽?！纠}二十一】由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求，，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；⑵，，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)．符合題意的五位數(shù)共有(個)．(法2)從反面想，由，，組成的五位數(shù)共有個，由，，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)。【例題二十二】個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】(法1)乘法原理．按題意，分別站在每個人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個人相鄰的情況有種，所以共有(種)。【例題二十三】8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：（種）?！纠}二十四】小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?【解析】我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！纠}二十五】某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例題二十六】從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？

⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；

⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。【解析】⑴恰有名女生入選，說明男生有人入選，應(yīng)為種；⑵要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求．運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；⑶人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人，有種；⑷從所有的選法種中減去這個人同時入選的種：．⑸分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：。【例題二十七】在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設(shè)備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設(shè)備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設(shè)備要人，共有多少種不同的選人方案？【解析】按具有雙項技術(shù)的學生分類：⑴兩人都不選派，有(種)選派方法；⑵兩人中選派人，有種選法．而針對此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會安裝音響設(shè)備的人全選派上，只有種選法．由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從人中選人安裝音響設(shè)備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法．由乘法原理，有(種)選法．根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法．⑶兩人全派，針對兩人的任務(wù)可分類討論如下：①兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會安裝音響設(shè)備的人全選上安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；②兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案；③兩人全安裝音響設(shè)備，有(種)選派方案．根