2022北京海淀區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京海淀高二（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合A=，2，，4，，B={x|x，則A)A．，B．，2，C．，4，D．，，34，2．設(shè)命題p:xR，exx+1，則p為()A．xR，exx+1B．xR，exx+1C．xR，exx+1D．xR，exx+123．在(x?)6的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為(B．)xA．C．?160D1604．如果ab0，那么下列不等式成立的是()11aA．B．a(chǎn)2b2C．1D．b2abb5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2)，且P(02)=0.3，則P=()A0.6B．C．D0.26．某班周一上午共有四節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有(A24種)B．種C．種D6種7．小王同學(xué)制作了一枚質(zhì)地均勻的正十二面體骰子，并在十二個(gè)面上分別畫(huà)了十二生肖的圖案，且每個(gè)面上的生肖各不相同，如圖所示．小王拋擲這枚骰子2次，恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率為()11116A．B．C．D．144128．若曲線y=f(x)在某點(diǎn)(x，f(x))處的切線的斜率為1，則該曲線不可能是()001A．y=?B．y=sinxC．y=xD．y=x+x9．已知a}是等比數(shù)列，則“0aa”是“a}為遞減數(shù)列的()n12nA．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)f(x)=lnx?ksinx，x(0，]，給出下列三個(gè)結(jié)論：①f(x)一定存在零點(diǎn)：②對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)k，f(x)一定有最大值；③f(x)在區(qū)間(0,)上不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(A0)B．1C．2D3二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?，則iz=．3x?212．不等式?1的解集是．13．若函數(shù)f(x)=x3+ax2+2在區(qū)間，+)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．14．某地要建造一批外形為長(zhǎng)方體的簡(jiǎn)易工作房，如圖所示．房子的高度為m，占地面積為6m2，墻體和DCGH的造價(jià)均為80元/m2，墻體和BCGF的造價(jià)均為元/m元．2，地面和房頂?shù)脑靸r(jià)共2000元．則一個(gè)這樣的簡(jiǎn)易工作房的總造價(jià)最低為15．已知數(shù)列a}的每一項(xiàng)均不為，其前n項(xiàng)和為S，且S=aa+10．nnnnn1①當(dāng)a=1時(shí)，a=；13②若對(duì)任意的nN*，SnS恒成立，則a的最大值為．41三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。169分）已知等差數(shù)列a}的公差為d，前n項(xiàng)和為S，滿足a=1，d0，且a，a，S成等比數(shù)列．nn1123（Ⅰ）求數(shù)列n}的通項(xiàng)公式：（Ⅱnn=+2n，求數(shù)列b}的前n項(xiàng)和n．n1710分）研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問(wèn)題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從年至2021:汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比1.5%2%3%5%8%9%20%（Ⅰ）從20152021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于萬(wàn)輛的概率；（Ⅱ20152021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過(guò)萬(wàn)輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）對(duì)該地區(qū)連續(xù)三年的新能源汽車銷量作統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，若第三年的新能源汽車銷量大于前兩年新能源汽車銷量之和，則稱第三年為“爆發(fā)年”．請(qǐng)寫(xiě)出該地區(qū)從20172021年中爆發(fā)年=x2?alnx．18分）已知函數(shù)n（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱf(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．19分）已知n為正整數(shù)，數(shù)列X:x，x，，x，記S(X)=x+x+，對(duì)于數(shù)列X，總有x，，12n12k=1，2，，n，則稱數(shù)列X為n項(xiàng)0?1數(shù)列．若數(shù)列A:a，a，，a，B:b，b，，b，均為n項(xiàng)0?1數(shù)列，定義數(shù)列A*B:m，m，，n，其中12n12n12m=?|a?b|，k=1，，，n．kkk（Ⅰ）已知數(shù)列A:1，0，，B:0，1，1，直接寫(xiě)出S(A*)和S(A*B)的值；（Ⅱ）若數(shù)列A，B均為n項(xiàng)0?1數(shù)列，證明：SA*B)*)=S（B；（Ⅲ）對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，是否存在n項(xiàng)0?1數(shù)列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n，并說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1【解答】解：集合A=，2，，4，，B={x|x，則A，，．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)命題p:xR，e故選：A．xx+1，則p為xR，xex+1，【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，注意全稱命題和特稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3x的冪指數(shù)等于，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值．2【解答】解：在(x?)6的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為r16=r(2)rx6?2r，x令6?2r=0，求得r=3，可得常數(shù)項(xiàng)為4=63(2)=?160，3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．411【解答】解：選項(xiàng)A，0，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；ab選項(xiàng)B，選項(xiàng)C，0，a2?b2=(ab)(ab)0，+?a2bB2，選項(xiàng)錯(cuò)誤；a0，1，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；b選項(xiàng)D，0，abb，選項(xiàng)D正確．2故：選D．答案為：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5【解答】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,P(02)=0.3，2)，且P4)=P0)=0.5?P(02)=0.5?0.3=0.2故選：D．．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．63種選擇，剩下的3節(jié)課全排，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：先安排體育課，體育不排在第一節(jié)有3種方法，剩下的3節(jié)課有A33=6種方法，則該班周一上午不同的排課方案共有36=18種．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合公式的運(yùn)用，特殊元素優(yōu)先安排是基本的指導(dǎo)思想．7P（AP（B求1P（）?A?P（）即可．B【解答】解：設(shè)A表示兩次都是龍朝上，B表示兩次都不是龍朝上．C表示恰好出現(xiàn)一次龍的圖案朝上的概率．1111111121則PA）==；P（B）==．12121441212144112111故PC）=1?故選：C．?=．14414472【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題．81是否有根即可．1【解答】解：對(duì)于A，令y==1得x=1，故A不符合題意；x2對(duì)于B，令y=x=1得x=2k，kZ，故B不符合題意；對(duì)于C，令y=(xe+x=1，易知，x=0是該方程的一個(gè)根，故C不符合題意；1對(duì)于D，令y=1+=x0)，顯然該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故D滿足題意．x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．921【解答】解：是等比數(shù)列，由0aa可得公q=1且10，12a=aqn1單調(diào)遞減，an}為遞減數(shù)列，n1反過(guò)來(lái)，由a}為遞減數(shù)列可得到aa，aa，但不能得到0aa，nnn11212“0aa”是“a}為遞減數(shù)列”的充分而不必要條件，12n故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分與必要條件的概念，數(shù)列的單調(diào)性概念，屬基礎(chǔ)題．10f(x)的零點(diǎn)判斷①；利用導(dǎo)數(shù)并分類討論判定f(x)是否有最大值判斷②；舉反例否定③．【解答】解：①當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=lnx，由f（）=1=0，可得f(x)在(0，]存在零點(diǎn)，當(dāng)k0時(shí)，f(x)=lnx?ksinx，由f（）=1?ksin1=?ksin10，f)=?ksin=0，可得f(x)在(0，]存在零點(diǎn)，當(dāng)k0時(shí)，y=?ksinx在(0，單調(diào)遞減，值域[ksin1，0)，又y=lnx在(0，單調(diào)遞增，值域(，0]，則y=?ksinx與y=lnx的圖象在(0，必相交，則f(x)=lnx?ksinx在(0，]存在零點(diǎn)，綜上，f(x)一定存在零點(diǎn)判斷正確；②當(dāng)k=0時(shí)，f(x)=lnx，x(0，]，f(x)在(0，]單調(diào)遞增，存在最大值；1當(dāng)k0時(shí)，f(x)=lnx?ksinx，則f(x)=?kcosx,x(0,]x11y=在(0，]上單調(diào)遞減，值域[,+)，x111當(dāng)|k|0時(shí)，y=kx在(0，]上值域[?,]1則f(x)=?kx在(0，]上恒成立，則f(x)在(0，]單調(diào)遞增，存在最大值；x1當(dāng)k?時(shí)，y=?kx在(0，]上單調(diào)遞減，121則f(x)=?kx在(0，]上單調(diào)遞減，f()=f)=+k0，x21則x(,)，使得f(x)=?kx=0，02x則x(0,x)時(shí)，f(x)0，x(x，)時(shí)，f(x)0，00則f(x)在(0,x)單調(diào)遞增，在(x，)單調(diào)遞減，f(x)存在最大值；001當(dāng)k時(shí)，y=?kx在(0，]上單調(diào)遞增，1當(dāng)x[,]時(shí)，y=?kcosx恒成立，2則f(x)在[,]單調(diào)遞增，21當(dāng)k時(shí)，y=?kx在(0，]上單調(diào)遞增，1當(dāng)x[,]時(shí)，y=?kcosx恒成立，2則f(x)在[,]單調(diào)遞增，2當(dāng)x(0,)時(shí)，y=?kx單調(diào)遞增，值域?yàn)??k,0)212又當(dāng)x(0,)時(shí)，y=單調(diào)遞減，值域?yàn)?,+)2x則當(dāng)x(0,)時(shí)，21若f(x)=?kx，則f(x)在)單調(diào)遞增，x2則f(x)在(0，]單調(diào)遞增，f(x)存在最大值；若0(0,)，使得x(0,x)時(shí)f(x)0；x(x,)時(shí)f(x)0；0022則f(x)在(0,x)單調(diào)遞增，在(x,)單調(diào)遞減，又f(x)在[,x)單調(diào)遞增，00022則f(x)在(0，]有最大值；綜上，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)k，f(x)在(0，]有最大值．判斷正確；6.516.5③令k=，則f(x)=lnx?sinx,x(0,f(x)=?x，x11y=在(0，]上單調(diào)遞減，值域[,+)，x6.56.56.5y=?x在(0，]上單調(diào)遞增，值域[?,]，66.5336.52又f()=?f()=?f()=0，632則x(,x(,)，使得f(x)=f(x)=0，12126332則當(dāng)xx)，或x(x，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，12當(dāng)x(x，x)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，12則f(x)在區(qū)間(0,)上有兩個(gè)極值點(diǎn)．判斷錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。【解答】解：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?，z=?2+i，zi=(?2+ii=?1?i．故答案為：?1?2i．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．x+1x?2120，即(x+x?0，由此求得它的解集．3x?2x+1x?2【解答】解：不等式?1，即0，即(x+x?0，求得x2，或x?1，+?)(故不等式的解集為(2，，，故答案為：(2，+)(?，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式不等式的解法、一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．313a在，+)上恒成立，從而求出a的取值范圍．2【解答】解：若函數(shù)f(x)=x3+ax2+2在區(qū)間，上單調(diào)遞增，+)則f(x)3x+2ax在，=2+)上恒成立，32則a在，+)上恒成立，332而y=?x在，+)上的最大值是?，23故a的取值范圍是[?，+)，23故答案為：[?，+)．2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．61814=xm(x0)，由題意可得BC=m，則矩形的面積為32，矩形BCGF的面積為2m，xx寫(xiě)出總造價(jià)，再由基本不等式求最值．6【解答】解：設(shè)=xm(x，由題意，ABBC=BCx=6，可得BC=m，x18則矩形的面積為32，矩形BCGF的面積為2m，x18可得簡(jiǎn)易工作房的總造價(jià)為y=23x80+2120+2000x43204320=480x++2000+2000=4880，xx當(dāng)且僅當(dāng)480x=，即x=3時(shí)取等號(hào)．x一個(gè)這樣的簡(jiǎn)易工作房的總造價(jià)最低為故答案為：4880．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15n1?n1=3，可求a3的值；②由①知序號(hào)為奇數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成以a為首項(xiàng)公差的等差數(shù)列，序號(hào)為偶數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成以a為首項(xiàng)公差的等差數(shù)列，設(shè)a11210為m，可得2=3?，由題意計(jì)算可得結(jié)論．m【解答】解：①由S=aa+10．得3Sn1=an1an+10(n．nnn1可得Sn?Sn1=nn1?n1a，a=aa?n1an，nnnn1n1?n1=n，a?a=3，當(dāng)a=1時(shí)，a=4；3113②由①知序號(hào)為奇數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)公差的等差數(shù)列，序號(hào)為偶數(shù)的項(xiàng)構(gòu)成以a2為首項(xiàng)公差的等差數(shù)列，10設(shè)a為m，可得a=3?，12m對(duì)任意的nN*，SnS4恒成立，1010故有m+m+3+3?①，mm101010+m+3+3?②，m+3?mmm101010m+3?+m+3+m+3+3?③，mmm同時(shí)成立，解之可得m，經(jīng)驗(yàn)證，m=1時(shí)，對(duì)任意的nN故1的最大值為．*，SnS4恒成立，故答案為：4；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，屬中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16Ⅰ）先根據(jù)已知條件及等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于公差d的方程組，解出d的值，即可計(jì)算出等差數(shù)列an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）先根據(jù)第（Ⅰ）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列b}的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和T．nn32）由題意，可知a=1+d，S=31+d=3+d，232，a，S成等比數(shù)列，23a22=aS，即+d)2=1+d)，13化簡(jiǎn)整理，得d2?d?2=0，解得d=?1d=2，n=1+2(n?=2n?1，nN*．（Ⅱ）由（nan=+2=2n?1+22n?n1，則T=b+b++bn12n=+21)++23)++(2n?1+22n1)=+3++(2n?+(21+2++22n13)n+2n?21?22n1==+21?2222n123+n2?．3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用分組求和法求前n項(xiàng)和問(wèn)題．考查了方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．17Ⅰ）根據(jù)汽車銷量圖可知7年中有6年汽車總銷量不小于萬(wàn)輛，根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可；（）根據(jù)圖表算出新能源汽車每年的銷量，再求出X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布列及期望公式計(jì)算即可；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中計(jì)分別算出前兩年的銷量與第三年比較即可．）由汽車銷量圖可知7年中有6年汽車總銷量不小于萬(wàn)輛，6則這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于萬(wàn)輛的概率為；7（Ⅱ）根據(jù)圖表可知新能源汽車2015?2021年的銷量如下表：年份2015201620172018201920200.5420211.16新能源汽車0.06250.1680.2750.456銷量由表可知新能源汽車銷量超過(guò)萬(wàn)輛的年份有2個(gè)，不超過(guò)萬(wàn)輛的年份有5個(gè)，則隨機(jī)變量X可能取值為：，1，，521021C157C121021C221P(X=0)==；P(X===；P(X=2)==；7227221X的分布列為：XP01210211021121101014E(x)=0+1+2=．2121217（Ⅲ）由（）中表可知：20152016年新能源汽車銷量之和為0.0625+0.112=0.17450.168，2017年不符合要求，20162017年新能源汽車銷量之和為0.112+0.168=0.280.275，2018年不符合要求，20172018年新能源汽車銷量之和為0.168+0.275=0.4430.456，2019年符合要求，20182019年新能源汽車銷量之和為0.275+0.456=0.7310.54，2020年不符合要求，20192020年新能源汽車銷量之和為0.456+0.54=0.9961.16，2021年符合要求，故“爆發(fā)年為20192021．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，是中檔題．18Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；a（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f(x)min=f()0，解關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍即可．2【解答】解：f(x)=x2?alnx，定義域是?a(0,+)，a2x2（Ⅰ）f(x)=2x?=，xx①a時(shí)，f(x)0，f(x)的遞增區(qū)間是(0,+)，無(wú)遞減區(qū)間，aa②a0時(shí)，令f(x)0，解得x，令f(x)0，解得0x，22aa故f(x)的遞減區(qū)間是(0,)，遞增區(qū)間是(，+)，22綜上，a時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(0,+)，無(wú)遞減區(qū)間，aa②a0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是(0,)，遞增區(qū)間是(，+)；22（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰf(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，aa則a0，f(x)的遞減區(qū)間是(0,)，遞增區(qū)間是(，+)，22aaaaf(x)min=f()=?ln0，解得a2e，2222即a的取值范圍是(2,+)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想．是中檔題．19(I)易求S(A*)和S(A*B)的值；(II)記數(shù)列A*B:c，c，，c，分a=1與a=0，進(jìn)行討論可得結(jié)論成立；12nkk(III)若n是奇數(shù)，則不存在n項(xiàng)0?1數(shù)列A，B，C，使得S(A*B)+S(A*C)+S(B*C)=2n，若n是偶數(shù)，即n=2k(kN)，可構(gòu)造：A:，