專(zhuān)題04 動(dòng)點(diǎn)相切與最值（解析版）

專(zhuān)題04動(dòng)點(diǎn)相切與最值典例分析典例分析：典例1如圖，∠ABC＝70°，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，12OB長(zhǎng)為半徑做⊙O，要使射線BA與⊙O相切，應(yīng)將射線繞點(diǎn)典例1A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°試題分析：設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OD，則可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度數(shù)．答案詳解：解：如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OD，∵OD=12∴∠OBD＝30°，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上方時(shí)，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC下方時(shí)，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，所以選：B．典例2如圖，已知線段OP交⊙O于點(diǎn)B，且OB＝PB＝4，點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)B到直線AP距離的最大值為2典例2試題分析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于H，過(guò)點(diǎn)O作OT⊥AP于T．利用三角形中位線定理證明BH=12OT，求出答案詳解：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于H，過(guò)點(diǎn)O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，∴BH∥OT，∵BP＝OB，∴TH＝HP，∴BH=12當(dāng)PA與⊙O相切時(shí)，OT＝4，此時(shí)BH的值最大，最大值為2，所以答案是：2．實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一．動(dòng)點(diǎn)與相切1．如圖，半圓O的直徑DE＝10cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝10cm，半圓O以1cm/s的速度從右到左運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，D、E點(diǎn)始終在直線BC上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝0（s）時(shí)，半圓O在△ABC的右側(cè)，OC＝6cm，那么，當(dāng)t為1或6或11或26s時(shí)，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切．試題分析：分四種情形分別求解即可解決問(wèn)題．答案詳解：解：如圖，∵OC＝6，DE＝10，∴OD＝OE＝5，CD＝1，EC＝11，∴t＝1或11s時(shí)，⊙O與直線AC相切；當(dāng)⊙O′與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，連接O′M，在Rt△BMO′中，BO′＝2MO′＝10，∴OO′＝6，當(dāng)⊙O″與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，連接O′N(xiāo)，同法可得BO″＝10，OO″＝26，∴當(dāng)t＝6或26s時(shí)，⊙O與AB相切．所以答案是1或6或11或262．如圖，在矩形ABCD中，AB＝43cm，AD＝12cm，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1cm的速度從點(diǎn)C沿折線C﹣D﹣A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)停止．以P為圓心作半徑為3cm的⊙P，當(dāng)⊙P與對(duì)角線BD相切時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為43-2或63s試題分析：由矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，分兩種情況①當(dāng)⊙P與對(duì)角線BD相切，點(diǎn)P在CD上時(shí)；②當(dāng)⊙P與對(duì)角線BD相切，點(diǎn)P在AD上時(shí)；由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．答案詳解：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AB＝43，∴BD=AB2+AD∴∠ADB＝30°，∠BDC＝60°，①當(dāng)⊙P與對(duì)角線BD相切，點(diǎn)P在CD上時(shí)，如圖1所示：設(shè)QD為E，連接PE，則PE⊥BD，∴∠DPE＝30°，∴DE=33PE＝∴PD＝2DE＝2，∴CP＝43-2∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1cm的速度從點(diǎn)C沿折線C﹣D﹣A勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為43-2②當(dāng)⊙P與對(duì)角線BD相切，點(diǎn)P在AD上時(shí)，如圖2所示：設(shè)QD為F，連接PF，則PF⊥BD，∵∠ADB＝30°，∴PD＝2PF＝23，∴CD+PD＝63，∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1cm的速度從點(diǎn)C沿折線C﹣D﹣A勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為63秒；綜上所述，⊙P與對(duì)角線BD相切時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為43-2（秒）或63所以答案是：43-2或633．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點(diǎn)A（4，m）出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝1或3或5秒時(shí)，⊙P與坐標(biāo)軸相切．試題分析：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為D，根據(jù)已知條件得到A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），求得AB＝22，AC＝22，OB＝OC＝2，推出△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P只與y軸相切時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．答案詳解：解：設(shè)⊙P與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為D，∵直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（4，m），∴x＝0時(shí)，y＝﹣2，y＝0時(shí)，x＝2，x＝4時(shí)，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝22，AC＝42，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，∵點(diǎn)D是切點(diǎn)，⊙P的半徑是1，∴PD⊥x軸，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB=2∴AP＝AB﹣PB=2∵點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t＝1；②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，∵PB=2∴AP＝AB+PB＝32，∵點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t＝3；③當(dāng)點(diǎn)P只與y軸相切時(shí)，∵PC=2∴AP＝AC+PC＝52，∵點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t＝5．綜上所述，則當(dāng)t＝1或3或5秒時(shí)，⊙P與坐標(biāo)軸相切，所以答案是：1或3或5．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，23），動(dòng)點(diǎn)B、C從原點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓；以BC為一邊，在x軸上方作等邊△BCD．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切時(shí)，t的值為43+6試題分析：作AH⊥BD于H，延長(zhǎng)DB交y軸于E，如圖，利用切線的性質(zhì)得AH＝OB＝t，再利用等邊三角形的性質(zhì)得∠DBC＝60°，則∠OBE＝60°，所以O(shè)E=3OB=3t，AE＝2AH＝2t，從而得到23+3t＝2t答案詳解：解：作AH⊥BD于H，延長(zhǎng)DB交y軸于E，如圖，∵⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD為等邊三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE=3OB=3在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，23），∴OA＝23，∴23+3t＝2∴t＝43+6所以答案是：43+65．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8．M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作⊙P．當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為（）A．3 B．43 C．3或43 D．不確定試題分析：分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時(shí)；如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時(shí)．設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形；答案詳解：解：如圖1中，當(dāng)⊙P與直線CD相切時(shí)，設(shè)PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴PC＝5，BP＝BC﹣PC＝8﹣5＝3．如圖2中當(dāng)⊙P與直線AD相切時(shí)．設(shè)切點(diǎn)為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝4，PM＝8，在Rt△PBM中，PB=82-綜上所述，BP的長(zhǎng)為3或43．所以選：C．二．圓中最值與相切6．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)圓O與斜邊AB相切于動(dòng)點(diǎn)P，連接CP．隨著切點(diǎn)P的位置不同，則圓O的半徑最小值為（）A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2試題分析：如圖，作CP⊥AB于點(diǎn)P，當(dāng)C、O、P在同一條直線上時(shí)半徑最小，利用圓的切線性質(zhì)得出⊙O的半徑r的最小值，進(jìn)而得出答案．答案詳解：解：如圖，作CP⊥AB于點(diǎn)P，當(dāng)C、O、P在同一條直線上時(shí)半徑最小，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=AC∵S△ABC=12AB?CP=12即5CP＝3×4，解得：CP=12即半徑最小值為：1.2，所以選：D．7．如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3試題分析：取OP的中點(diǎn)N，連接MN，OQ，如圖可判斷MN為△POQ的中位線，則MN=12OQ＝1，則點(diǎn)M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M在ON上時(shí)，OM最小，最小值為答案詳解：解：設(shè)OP與⊙O交于點(diǎn)N，連接MN，OQ，如圖，∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中點(diǎn)，∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴MN為△POQ的中位線，∴MN=12OQ=12∴點(diǎn)M在以N為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)M在ON上時(shí)，OM最小，最小值為1，∴線段OM的最小值為1．所以選：B．8．如圖，已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，且OP＝2．若PT是⊙O的切線，T為切點(diǎn)，連結(jié)OT，則PT＝3．試題分析：根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出△OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得PT長(zhǎng)度．答案詳解：解：∵PT是⊙O的切線，T為切點(diǎn)，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∴PT=OP故：PT=39．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（6，8），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．點(diǎn)A、B在x軸上，且OA＝OB．點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為32．試題分析：連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大，根據(jù)勾股定理和題意求得OP＝16，則AB的最大長(zhǎng)度為32．答案詳解：解：連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C上一點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A、B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大，∵C（6，8），∴OC=62∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切．∴⊙C的半徑為6，∴OP＝OA＝OB＝16，∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，∴AB長(zhǎng)度的最大值為32，所以答案是32．10．如圖，半徑為1的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，C為⊙O上的一點(diǎn)，CB⊥l于點(diǎn)B，則AB+BC的最大值是（）A．2 B．12+3 C．2+1試題分析：延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD＝BC，則AB+BC＝AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，AD最大，則此時(shí)連接AO并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AE⊥AD，根據(jù)∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根據(jù)勾股定理可得OE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論．答案詳解：解：如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，使BD＝BC，則AB+BC＝AD，當(dāng)DC與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，AD最大，則此時(shí)連接AO并延長(zhǎng)交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AE⊥AD，∵CB⊥l，∴∠DBC＝90°，∵BD＝BC，∴∠CDB＝45°，∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，∴OA⊥l，∴∠OAD＝90°，∴∠AED＝45°，連接OC，則OC⊥DE，在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根據(jù)勾股定理，得OE=O∴AD＝AE＝AO+OE＝1+2則AB+BC的最大值是2+1所以選：C．11．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為3．試題分析：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切線的性質(zhì)得到答案詳解：解：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=1∴BH=12AB＝2，CH=32BC=3∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ=C∵點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，CP最小，即CP的最小值為23，∴PQ的最小值為12-3所以答案是：3．12．如圖①，半徑為2的圓O外有一點(diǎn)P，且OP＝6，點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn)，則線段PA長(zhǎng)的最大值為8，最小值為4；問(wèn)題解決（2）如圖②，在Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，求線段PB的距離的最小值；（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，求線段PB的距離的最小值．試題分析：（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得；（2）由PF＝CF＝2得，點(diǎn)P在以F為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，由（1）結(jié)論可得；（3）設(shè)CF＝x，對(duì)應(yīng)PB的最小值