2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：截面、交線問題練習(xí)（3大考點+強化訓(xùn)練）

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練習(xí)★★

截面、交線問題（3大考點+強化訓(xùn)練）

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給

靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)

合求解，二是利用空間向量的坐標運算求解.

知識導(dǎo)圖

?考點一：截面問題

★截面、交線問題

?考點二交線問題

ill考點分類講解

考點一：截面問題

規(guī)律方法作幾何體截面的方法

（1）利用平行直線找截面.

（2）利用相交直線找截面.

考向1多面體中的截面問題

[例1]（2024?四川?模擬預(yù)測）設(shè)正方體ABCD-44GA的棱長為1，與直線垂直的平面夕截該正方

體所得的截面多邊形為〃，則M的面積的最大值為（）

A.-A/3B.-A/3C.—D.6

842

【變式1】（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體A8CD-AqGR中，點N分別

為棱4。，。上的動點（包含端點），當M,N分別為棱4G，。的中點時，則過4，M,N三點作正

方體的截面，所得截面為邊形.

【變式2】（23-24高三下?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，M為PC的中

點，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.

【變式3］（多選）（2023,河北承德?模擬預(yù)測）如圖，正六棱柱A3CDE尸-4耳GREE的各棱長均為1,下

列選項正確的有（）

A.過A,G，￡三點的平面a截該六棱柱的截面面積為生反

12

B.過A,G，用三點的平面。將該六棱柱分割成體積相等的兩部分

C.以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為g兀

D.以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為）+亭卜

考向2球的截面問題

【例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為4,若將△ABD沿8。翻折到A3。的位

置，使得二面角A-BD-C為60。，N為AO的四等分點（靠近。點），已知點A,B,C,。都在球。的

表面上，過N作球。的截面a,則a截球所得截面面積的最小值為（）

A.把兀B.兀C.扃D.3K

4

【變式1】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）己知一平面截球。所得截面圓的半徑為2,且球心。到截面圓所在平面的

距離為L則該球的體積為.

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知球。的直徑SC=4,A、8是該球面上的兩點，且AB=2,

ZASC=30°,/BSC=45。，則三棱錐S-ABC的體積為（）

八近R2V2_4^/2n5V2

3333

考點二交線問題

規(guī)律方法找交線的方法

（1）線面交點法：各棱線與截平面的交點.

（2）面面交點法：各棱面與截平面的交線.

考向1多面體中的交線問題

【例3】（23-24高三上?遼寧?階段練習(xí)）已知在正方體A3CO-ABCQ中，AB=4,點〃Q,T分別在

棱3月，CG和A3上，且男尸=3，GQ=1，BT=3,記平面PQT與側(cè)面，底面ABCD的交線分別

為加，”，則（）

A.機的長度為述B.m的長度為生叵

33

C.〃的長度為撞D."的長度為巫

33

【變式1］（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）已知正方體ABC。-平面C滿足AC//a,2G//a,若直

線AC到平面1的距離與到平面a的距離相等，平面a與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為

（）

A.三角形B,四邊形C,五邊形D.六邊形

【變式2】（23-24高三下?北京海淀?階段練習(xí)）"十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱"垂直貫穿"構(gòu)成

的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條

相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）若某"十字貫穿體"由兩個底

面邊長為2,高為3行的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（）

M

A.一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直

B.該"十字貫穿體"的表面積是320

C.該"十字貫穿體"的體積是密旦

3

D.一只螞蟻從該"十字貫穿體"的頂點A出發(fā)，沿表面到達頂點B的最短路線長為4夜

【變式3］（多選）（23-24高三上?湖北,期中）如圖，正方體A8CD-4耳￡，的棱長為4,點E、F、G分

別在棱RG、A4上，滿足=g=:，黑="%>°），記平面跖G與平面ABC。的交線

/1.JLX.T-A

A.存在丸￡（0,1）使得平面EFG截正方體所得截面圖形為四邊形

33

B.當2=—時，三棱錐3-￡FG體積為一

42

3

C.當4時，三棱錐4-EFG的外接球表面積為34%

4

D.當2=1時，直線/與平面A3CD所成的角的正弦值為2叵

233

考向2與球有關(guān)的交線問題

【例4】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形ABC。尸為圓柱底面圓弧CD的

中點，在圓柱內(nèi)放置一個球。，則當球。的體積最大時，平面與球。的交線長為（）

VL5TI2?^兀4石兀4A^5TI

A?----D.-----------。.----L）.-----

12555

【變式1］（2023?河南?模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐A-BCD中，A5,AC,AZ）兩兩垂直，且

AB=AC=AD=3,以A為球心，指為半徑作球，則球面與底面3c。的交線長度的和為（）

D

5/371

~2~。?李

【變式2］（22-23高三上?河北保定?期末）己知三棱錐D-ABC的所有棱長均為2,以為直徑的球面與

A5C的交線為L則交線乙的長度為（)

A2石兀473712指兀4癡兀

9999

【變式3］（多選）（23-24高三上?遼寧?開學(xué)考試）若平面與一個球只有一個交點，則稱該平面為球的切平

面.過球面上一點恒能作出唯一的切平面，且該點處的半徑與切平面垂直.已知在空間直角坐標系。-孫z

中，球。的半徑為L記平面xOy,平面zOx,平面yOz分別為過球面上一點作

切平面陽），且兀。與。的交線為4,下列說法正確的是（）.

A.的一個方向向量為（0,-1,0）.

B.的方程為x+0y+n=0.

C.過Z正半軸上一點N（0,0,〃）作與原點距離為1的直線廠，設(shè)=={加|河=/'八0},若rc/°=0,則

〃的取值范圍為（0,+8）.

D.過球面上任意一點P（x,y,z）作切平面兀，記P=兀。＞。，m=xc（3,n=TiC\y,dp,dm,dn分另”為

p,根〃到原點的距離，則dp，dm，dnN-^~

8

口強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（22-23高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知正四面體A3CD的棱長為。，E為CD上一點,且

CE:ED=2:1,則截面的面積是（）

.412R夜2r2口M2

A.aD.—aC.------aD.------a

421212

2.（23-24高三下?江西?開學(xué)考試）已知一正方體木塊ABC。-44G〃的棱長為4,點E在校人片上，且

AE=3.現(xiàn)過RE,4三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（）

5^/17C.2726D.晅

2

3.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）若平面a截球。所得截面圓的面積為12兀，且球心。到平面a的距

離為也,則球。的表面積為（）

A.48兀B.50兀C.56兀D.64兀

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）在正方體A5CD-4與CQ1中，E,尸分別為棱4月，。，的中點，過直線反的

平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為「最大值為S,則.=（）

s

AV6R3A/309

2255

5.（2024?陜西榆林,一模）已知//是球。的直徑AB上一點，AH:HB=1:2,AB人平面a,H為垂足，?

截球。所得截面的面積為兀，M為。上的一點，且〃”=變，過點M作球。的截面，則所得的截面面積

4

最小的圓的半徑為（）

&V14a而r^4n而

A?---------D.C.---------U.

2442

6.（2024?四川成都?二模）在正方體ABCD-AAGA中，P、。分別是棱AA、CQ靠近下底面的三等分

點，平面口尸。1平面ABCZ）=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A./過點5

B.1//AC

C.過點",P,Q的截面是三角形

D.過點S，P,Q的截面是四邊形

7.（22-23高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知三棱錐尸-ABC的棱A3,AC,AP兩兩互相垂直，

AB=AC=AP=6,以頂點A為球心，1為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線最長

為（）

.2En石兀r2&兀n26Tl

2333

jr

8.（2024?廣西?模擬預(yù)測）在三棱錐V—ABC中，平面01C,VA=1,AB=AC=E，ZVAC=-,點

產(chǎn)為棱AV上一點，過點尸作三棱錐卜-ABC的截面，使截面平行于直線和AC,當該截面面積取得最大

值時，CF=()

A?----------D.c.6

342

二、多選題

1.（23-24高三上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為現(xiàn)準備將該木塊鋸

開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）

A.過棱AC的截面中，截面面積的最小值為叵

4

B.若過棱AC的截面與棱3。（不含端點）交于點尸，貝igvcos/APCwg

2

C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為幺

4

D.與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，已知正三棱臺ABC-A與G是由一個平面截棱長為6的正四面體所得,

其中的=2,以點A為球心，2a為半徑的球面與側(cè)面BCC內(nèi)的交線為曲線為「上一點，則下列結(jié)論

中正確的是（）

A?點4到平面BCC{B{的距離為2瓜B.曲線「的長度為4兀

D.所有線段AP所形成的曲面的面積為生也

C.CP的最小值為2括-2

3

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2,E為A8的中點，將△AED沿QE折起，連

接AB,AC,得到四棱錐則（）

A.存在使4?，短＞的四棱錐

B.四棱錐體積的最大值是半

C.平面ABE與平面ACD的交線平行于底面

D.在平面ABC與平面ADE的交線上存在點尸，使得斯="

2

三、填空題

1.（23-24高三下?江西,開學(xué)考試）在正四面體P-ABC中，/為出邊的中點，過點M作該正四面體外接

球的截面，記最大的截面半徑為R,最小的截面半徑為r,則￡=；若記該正四面體和其外接球的

體積分別為匕和匕，則9=.

2.（23-24高三下?江蘇?開學(xué)考試）在正三棱錐A—中，底面△BC。的邊長為4,E為AD的中點，AB回CE,

則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線長為.

3.（2024?河南?模擬預(yù)測）在三棱柱ABC-A4G中，四面體AABC是棱長為2的正四面體，。為棱CG的

中點，平面夕過點。且與42垂直，則a與三棱柱ABC-A4G表面的