河南省鄭州市六校2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)4月期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

河南省鄭州市六校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

一'選擇題

1.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),則|)+3i|=()

A.8B.4C.2V2D.V2

2.已知+—i),則z=()

A.-l+iB.l-2iC.-l+2iD.-l-i

3.如圖，正三棱錐P-ABC中,4PC=20。,側(cè)棱長(zhǎng)為4,一只蟲子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐

的三個(gè)側(cè)面爬行一周后,又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是()

A.2夜B.4C.2GD.2

4.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(-2,1),(-1,3),(3,4)，則頂點(diǎn)

。的坐標(biāo)是()

A.(2,2)B.(3,l)C.(2,-2)D.(3,-l)

5.如圖,△ABC是斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的aABC的直觀圖,。是B'C'的中點(diǎn),

且A!D'//y'軸,B'C'/Zx'軸,A'。'=2,5'曲=2,則()

A.4ABC的面積為4B.BC的長(zhǎng)度大于AC的長(zhǎng)度

JT

C.Z\A?C的面積為2D.ZABC=-

3

6.已知。力為不共線向量,AB=o+5b,BC=—2a+8b,CD=3（a—4,則（）

AA3,C三點(diǎn)共線BAB,。三點(diǎn)共線

CAC,。三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

7.ZVLBC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3=巴,AB=4,ZVlBC的面積

3

為36,則AC等于（）

A.4B.25C.2^/10D.V13

8.已知復(fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z—i|,貝!!|z+l+2i|的最小值為（）

A.lB.3C.y/3D市

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.在△ABC中，若ABIC<0,則△ABC一定是鈍角三角形；

B.在445。中，角A、&C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=2acosB，則ZxABC的形狀是等腰三

角形；

C.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、。、0,,若085人=尻058,則4抽。一定

是等腰三角形；

D.在A4BC中，若sin2A+sin2B<sin2c，則/\ABC是一定鈍角三角形

10.已知兩個(gè)單位向量。和b的夾角為120。/6區(qū)則（）

A.向量。在向量b上的投影向量為-工人

2

B.向量a-b與向量b的夾角為30°

C.向量。-Z?在向量b上的投影向量為―-b

2

的最小值為去

11.點(diǎn)。為△回€：所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）

A.若。4+。8+OC=0,則點(diǎn)。為Z\ABC的重心

/、

ACABBCBA

=OB-=0,則點(diǎn)為△回（7的垂心

llAClRIJBC\BA

C.^（OA+OB）AB=（OB+OC\BC=Q.則點(diǎn)為△ABC的垂心

27

D.在△ABC中，設(shè)AC-AB'=2AMIC,那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心

12.在△ABC中，點(diǎn)尸滿足BP=3PC,過點(diǎn)P的直線與A3、AC所在的直線分別交于

點(diǎn)M、N,若聞0=彳48,川=44。(彳>0,4>0),則下列說法正確的是()

13

B.AP=——AM+——AN

424〃

D.4+〃的最小值為4+1

三、填空題

13.在A4BC中，角人B、C的對(duì)邊分別為a、。、c,若a=1,C=60。,c=G，則角A的值為

14.已知平面向量a=(0,l),b=("2b則向量a+匕與a的夾角為.

15.設(shè)機(jī),“eR,□為虛數(shù)單位，若1-百i是關(guān)于x的二次方程X?+W7x+〃=O的一個(gè)虛根，

貝!Jm+n=.

16.在矩形ABCD中A5=4,3C=2百，點(diǎn)E為邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段3c上的動(dòng)點(diǎn)，

則DEDF的取值范圍是.

四,解答題

17.回答下列問題

(1)已知z是復(fù)數(shù),z-3i為實(shí)數(shù)，三包為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，求復(fù)數(shù)z;

-2-i

⑵已知復(fù)數(shù)2=(l+i)毋-3而+2i-1,實(shí)數(shù)機(jī)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)Z表示的點(diǎn)位于第四象限.

18.平面內(nèi)給出三個(gè)向量a=(3,2),「=(-l,2),c=(4,1),求解下列問題：

(1)若向量。+匕與向量mc+b的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若(a+h)，(2b-a),求實(shí)數(shù)左的值.

19.如圖,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)、，凡G是AD,BC的三等分點(diǎn)

22-

(AF=-AD,BG=-BC).^AB=a,AD=b.

33

DC

G

(1)用Q,。表示EF,EG;

(2)如果卜|=gW，用向量的方法證明：EFLEG.

20.如圖，一個(gè)圓錐挖掉一個(gè)內(nèi)接正三棱柱ABC-AgG(棱柱各頂點(diǎn)均在圓錐側(cè)面或

底面上)，若棱柱側(cè)面BCGg落在圓錐底面上.已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為2月,高為2.

(1)求挖掉的正三棱柱A3C-A4G的體積；

(2)求剩余幾何體的表面積.

21.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏西75。的方向，與A距離2海里的3處有一艘走私船，在A處北

偏東45。方向，與A距離(73-1)海里的C處的緝私船奉命以10石海里/小時(shí)的速度追截

走私船.此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從3向北偏西30。方向逃竄，問：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，緝私船距離走私船多遠(yuǎn)？在走私船的什么方向？

(2)緝私船沿什么方向能最快追上走私船,？

22.在

@c2+ab=c(^acosB-bcos+2b2,?(Z?+c)?(sinB-sinC)=-a(sinA-sinB)，③

Z?sinC=G(a-cosB)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.

記ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a力,c,已知.

(1)求角C的大小.

(2)若c=2百，求4sin3-a的取值范圍.

參考答案

1.答案：C

解析：復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),則復(fù)數(shù)z=-2+i,所以W+3i=-2+2i,

則15+3i|=|-2+2i|=^(-2)2+22=272.

故選：C.

2.答案：D

解析：由題意得w=a±D-=2_=處*D=i—i,所以z=—i—i.

l-i1-i2

故選：D.

3.答案：B

解析：將正三棱錐A-BCD沿AC剪開可得如下圖形，

IT_

ABAD=20。,即NC4c=1,又ACBR的周長(zhǎng)為C\+DXBX+BXC,

：.要使△CBQ的周長(zhǎng)的最小，則C，2,B],C共線，即CD]+94+4C=cc,

又正三棱錐A-BCD側(cè)棱長(zhǎng)為4,4C4C'是等邊三角形，

??.(c〃+R4+4C'L=4.

故選：B.

4.答案：A

解析：

5.答案：A

解析：由圖象知：BC^B'C=2,AD=2Aiy=4,

ADLBCQ為3c的中點(diǎn)

所以AC=JF+42=而,B錯(cuò)誤；

△ABC的面積S=4義BCxAD=4,A正確；

2

因?yàn)镹A'DC'=45°,AD'=2,

所以△ABC的B'C上的高4E=AZ>'sin45。=后,

^A'B'C的面積S=Lx2x0=行,C錯(cuò)誤，

2

tanZABC=——=4,所以ZABCw/,D錯(cuò)誤.

BD3

6.答案：B

解析：

7.答案：D

解析：因?yàn)锽=m，AB=4,ZVLBC的面積為38，

所以SA/Wc=--AB-JBCsinB=-x4xBCxsin-=3V3，所以BC=3.

223

由余弦定理得：AC=-JAB2+BC2-2AB-BC-cosB=^42+32-2X4X3Xcos.

故選：D.

8.答案：B

解析：設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z+3i|=|z-所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z到點(diǎn)（0,-3）和（0,1）的距

離相等，

所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為x軸，

又|z+1+2i］表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(—1,—2)的距禺，

所以問題轉(zhuǎn)化為y=-1上的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)(—1,—2)距離的最小值,

所以|z+l+2i|的最小值為1,

故選：A.

9.答案：BD

解析：

10.答案：ACD

解析：依題意，

因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量。和匕的夾角為120°,

所以。力=|。卜缶|cosl2(r=1x1x［-工］=一，，

a-b\b=a-b-b2=---1=,

'22

a-b\'b

故向量a-b在向量b上的投影向量為-b=--b.

2

故選：D.

11.答案：AD

解析：A由于。4=-(O5+OC)=-28淇中。為的中點(diǎn)，可知。為邊上中線的

三等分點(diǎn)(靠近線段BC)，故。為△回(?的重心；

B向量理，差,分別表示在邊AC和A3上取單位向量AC和A9,它們的差是向量

M,H

ACAB

B'C,當(dāng)。4=0,即OALB'C'時(shí)，則點(diǎn)。在N84C的平分線上,同理由

UACI阿

OB-音二-善=0,知點(diǎn)。在NABC的平分線上，故。為△ABC的內(nèi)心；

同網(wǎng)J

C|Q4+?？墒且詾檫叺钠叫兴倪呅蔚囊粭l對(duì)角線的長(zhǎng)，而是該平行四邊形的

另一條對(duì)角線的長(zhǎng),（。4+0邛-45=0表示這個(gè)平行四邊形是菱形,即|。4卜|。耳,同理有

\OB\=pq,故0為△ABC的外心.

對(duì)于D,AC2-AB2=（AC+AB）（AC-AB）=2AO-BC=2AM-BC,

即（AO—AM）.3C=MO.3C=0,所以M。，BC

所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心

12.答案：BCD

解析：如下圖所示：

BP=3PC,^AP-AB=3(AC-AP),:.AP=-AB+-AC,

\)44

AM=AAB,AN=JUAC(A>O,JU>O],:.AB=-AM,AC=—AN,

'24

1313

/.AP=一AM+—AN,-M、尸、N三點(diǎn)共線，則一+—=1.

424//424〃

.-.2+//=(2+//)[—+—^=—+^+1>2J-.^+1--+1,

,4//)4〃42丫4〃422

當(dāng)且僅當(dāng)〃=四時(shí)，等號(hào)成立,因止匕工+〃的最小值為乎+1,

故選：B.

13.答案：30°

解析：因?yàn)閍=l,C=6(F,c=G,由正弦定理‘^=上，即，=及一

sinAsinCsinAsin60

所以sinA=±因?yàn)?。<4<120。,

2

所以A=30°.

故答案為：30°.

14.答案：-

6

解析：因?yàn)椤?匕=(6,3),

..a\a+b\3/

所以COS。,。+〃=-T-V；---r=-----7==—

卜,+,1x2^32

因?yàn)?<a,a+b<7i,

兀

所以<。,。+/7>=一.

6

故答案為：

6

15.答案：2

解析：將x=l—杳代入方程得：(1—百—3i)+〃=0,

即1-2百i+3i?+m-\/3mi+n=0,即^-2+m+n)+^-2\!3-=0,

-2+m+n=0m=-2

所以，解得｛

-2^-73m=0n=4

所以加+〃=2.

故答案為：2.

16.答案：[8,20]

解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系,

由題意得4（0,26）,3（4,26）,因?yàn)槭癁?3中點(diǎn),所以網(wǎng)2,26卜

設(shè)/（4,a）,則0<。426，

￡>石=（2,26）,￡>/=（4,。）,則。￡?。歹=8+2島，

:0<a<26,則8+26ae[8,20],

故答案為：[8,20].

17.答案：(1)z=l+3i

⑵(1,2)

解析：(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a/eR),

因?yàn)閦-3i=a+0-3)i為實(shí)數(shù)，所以人=3,則復(fù)數(shù)z=a+3i(aeR),

又因?yàn)閦—5ia—2i(a—2i)(—2+i)2—2a+(a+4)i2—2aa+4.

'-2-i--2-i-(-2-i)(-2+i)-5—5+51

.[2—2a=Qr

則1/，得a=l,

所以復(fù)數(shù)z=l+3i.

加2—1＞0

(2)復(fù)數(shù)z表示的點(diǎn)位于第四象限，可得，，解得1＜加＜2,

當(dāng)1<7〃<2時(shí)，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

.?.加的取值范圍為（1,2）.

14

18.答案：（1）冽〉一土且加w—

解析：（1）a+b=（2,4）,mc+Z?=（4m-l,m+2）,

因?yàn)镼+b與mc+b的夾角為銳角，所以（a+4.（加°+/7）=8加-2+4加+8>0,且〃+5與

mc+b不同向共線，即2（m+2）w4（4加-1）,解得根>-—且加。一.

(2)a+左c=(3+4左,2+左)，2Z?—a=(―5,2),

因?yàn)?a+既)L(2b—a),所以(a+公)?。人一a)=—5(3+4左)+2(2+左)=0,解得上=—3.

17-

19.答案：（1）-a+-b

23

（2）見解析

______1___1.

解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)石是的中點(diǎn)，所以4石=￡5=—AB=—a.

22

9922

因?yàn)?歹=一4。,36=—3。,所以36=4尸=-710=—/7.

3333

21,,1.2

所以所=AE—AE=—b——a,EG=EB+BG=-a+-b.

3223

—.2-1--.1.2-

(2)由(1)可得：EF=-b——a,EG=-a+-b.

3223

因?yàn)殁?：|4

所以E『EG=(gb—gm人+；4=三,一=0，

所以EFLEG.

20.答案：(1)6若；

(2)4兀+4屈兀+108.

解析：(1)因?yàn)檎庵鵄3C-4與G的底面邊長(zhǎng)為26,高為2,

則13c2五吟=；x(26)2x孝=3百，

所以正三棱柱ABC-45c的體積V=S△枷-M=3^x2=6V3.

(2)在正三棱柱ABC-4與￡中，由(1)知,SAABC=3百，SBCCB=?3C=2百x2=4百,

圓錐。。的底面圓圓心。是矩形3C￡用的中心，令圓。半徑為r,

有2/=,BB；+BC?=有+(26『=牝即廠=2,

令BC的中點(diǎn)為瓦連接AE,則AE，6C,且

AE//DO,AE=ABsin-=2島且=3,OE=1,

32

于是型=」—=2,解得。9=6,則圓錐的母線長(zhǎng)/=V53r彳=后百=2&5,

AEr-OE

2

圓錐的底面圓面積S]=Ttr=4兀，側(cè)面積S2=7irl=7tx2x2^10二4&6兀.

n

21.答案：（1）緝私船距離走私船6海里,在走私船的正東方向

（2）緝私船沿北偏西60。的方向能最快追上走私船

解析：（1）由已知條件得,AB=2,AC=6T,NBAC=120。，

BC=AB-+AC--2AB-AC-cosABAC="+4-2百+2百-2=娓.

在△ABC中,———=———,即——-——=卓，

sinZACBsinZBACsinZACB垂）

V

解得sinZACB=—ZACB=45°,

.??BC為水平線

剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí),緝私船距離走私船而海里，在走私船的正東方向.

（2）設(shè)經(jīng)過時(shí)間/小時(shí)后，緝私船追上走私船，則在△BCD中，

BD=10/,CD=1073/,NDBC=120°,

,小〃八BDsinNCBDxo1，八一二..石

sin/BCD=-----------------=------l—=—，易e