2024屆江蘇省常州市高三年級(jí)上冊(cè)期末監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷及答案

常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)

高三數(shù)學(xué)2024年1月

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4={xM=x},B=Wlnx<0},貝l]AUB=

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(0,1)

1

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=--+Ji對(duì)應(yīng)的向量為。4,復(fù)數(shù)z+1對(duì)應(yīng)的向量為那么向

22

量A8對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

A.1B.-1C.giD.-在i

3.已知實(shí)數(shù)。，b滿足等式lga=lnb,下列三個(gè)關(guān)系式中可能成立的個(gè)數(shù)為

①a<b<\',(2)1<a<b③。=b.

A.0B.1C.2D.3

4.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,C,在下列命題中，真命題是

A.(iac2>bc2"是“a>b”的必要條件

B.%/=婷”是“a=b”的必要條件

C.“姆…”是“a=b”的充分條件

D.是的充分條件

5.已知扇形的半徑為5,以。為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，。4=(5,0),

08=(4,3),弧A3的中點(diǎn)為C,則OC=

（第5題圖）

93

'-（215）D.（2g,⑹

6.已知正三棱錐尸-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為3,當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，點(diǎn)A到平面PBC

的距離是

A.3MB.依C.3口.■

7.已知定義在R上的函數(shù)八尤）的導(dǎo)數(shù)為了（元），/（l）=e,且對(duì)任意的x滿足了（無(wú)）-五勸<3；則

不等式於）>在，的解集是

A.（-00,1）B.（-00,0）C.（0,+oo）D.（1,+oo）

8.已知圓C的直徑A2長(zhǎng)為8,與C相離的直線/垂直于直線垂足為且0<A8<

2,圓C上的兩點(diǎn)P,。到/的距離分別為4,詼且為不4.若4=”，d2=AQ,貝4

+4=

A.2B.4C.6D.8

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)尤1,%2,%（"24）,其中尤1<0<尤,，若由2尤*+1（左=1,

2,…，力）生成一組新的數(shù)據(jù)為，絲，…，y?,則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

10.對(duì)某城市進(jìn)行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當(dāng)天上午9:00開(kāi)始計(jì)時(shí)的連續(xù)24小時(shí)中，溫度。（單

1

位：°C）與時(shí)間r（單位：h）近似地滿足函數(shù)關(guān)系。=Asincox+B（A>0,B>0,0<?<-）,

其中0WW24.已知當(dāng)天開(kāi)始計(jì)時(shí)Q=0）時(shí)的溫度為25℃,第二天凌晨3：00時(shí)溫度最

低為19℃,則

兀

A.①二——

12

B.當(dāng)天下午3：00溫度最高

C.溫度為28℃是當(dāng)天晚上7:00

D.從當(dāng)天晚上23：00到第二天清晨5:00溫度都不高于22℃

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AfiCQi中，尸在線段2必上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），下列說(shuō)法

正確的有

A.存在點(diǎn)P,使得平面A1ZJ8

B.不存在點(diǎn)P,使得直線GP與平面MDB所成的角為30°

C.PC+P。的最小值為2g

D.以P為球心，B4為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形AOOHi截得的弧長(zhǎng)是咨

2x+1

12.關(guān)于函數(shù)八x）=y=,下列說(shuō)法正確的有

也+1

A.函數(shù)八x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-；,0）對(duì)稱

B.函數(shù)八功在（-*2）上單調(diào)遞增，在（2,+◎上單調(diào)遞減

C.若方程段）二1恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則f=近

D.若VxdR,都有八龍）＞,71,則mW-2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

xy

13?已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三十三小則該雙曲線的焦距是-

Va~X+x'尤＜0,市通）則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________

14.已知函數(shù)段）=logu-2,x＞0,）3

（第15題圖）

15.如圖，以等腰直角三角形54Ml的直角邊B4i為斜邊，在△BAMi外側(cè)作等腰直角三角

形區(qū)4自2,以邊8Ao的中點(diǎn)01為圓心，作一個(gè)圓心角是90。的圓弧AMi；再以等腰直角

三角形54^2的直角邊胡2為斜邊，在ABAA2外側(cè)作等腰直角三角形胡幺3以邊54

1

的中點(diǎn)。2為圓心，作一個(gè)圓心角是90。的圓弧44；…；按此規(guī)律操作，直至得到的

直角三角形氏4一4的直角頂點(diǎn)八首次落到線段54。上，作出相應(yīng)的圓弧后結(jié)束.若BA

0

=4,則：,所有圓弧的總長(zhǎng)度為.

16.已知二面角a-/-/為60。，a內(nèi)一條直線機(jī)與/所成角為30。，/內(nèi)一條直線w與/所

成角為45°,則直線m與直線n所成角的余弦值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

2

已知等差數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和為Sn=n+cn+c.cGR.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記6”為｛4｝在區(qū)間(0,2](%GN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式.

18.(12分)

某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似服從正態(tài)分布M6,『)，其中恰有114根金

屬棒長(zhǎng)度不小于6.04.

⑴求c；

(2)如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是(5.95,6.05),那么這批金屬棒中不合格的

金屬棒約有多少根？

說(shuō)明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布X~Na,4)來(lái)說(shuō)，通過(guò)Z=芻2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(7

Z-M0,I),從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到尸(X<X1)=①(Z).

可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①⑦

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

⑦(Z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8

我Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

19.（12分）

71

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AC邊上的圖為/?,已知8="

⑴若b=回,求￡的值；

a

⑵若c-a=〃，求sinA-gcosA的值.

20.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=AD,PD=2?M

是A8的中點(diǎn)，N是線段PC上一點(diǎn)，且〃平面以。，MNLPC.

⑴求證：CD_L平面E4D；

（2）求平面MNC與平面PBD所成的二面角的正弦值.

（第20題圖）

21.（12分）

已知函數(shù)/W=〃ze'+cosx+w,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,犬0))處切線方程為y=x.

⑴討論函數(shù)/(x)在[-兀，+8)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xd[0,+8)吐病)\3sinx-"恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22.(12分)

xy

已知橢圓c：-+『=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為凡離心率為e,A,B是C上的相異兩點(diǎn),

ab

P(2a,0).

⑴若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且陰，所，求e的取值范圍；

(2)若點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線外交C于另一點(diǎn)。直線2。與x軸的交點(diǎn)。的橫

坐標(biāo)為1,過(guò)。的直線交C于M,N兩點(diǎn).已知e=：求ON的取值范圍.

2

常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)

高三數(shù)學(xué)2024年1月

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|x2=x},B={x|lnx<0},則AUB=

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(0,1)

【答案】A

【解析】J={0,1},8={x[0<x<l},DU8=[0J,選A.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=+尚對(duì)應(yīng)的向量為立，復(fù)數(shù)z+1對(duì)應(yīng)的向量為心，那么向

量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

3.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式lga=lnb,下列三個(gè)關(guān)系式中可能成立的個(gè)數(shù)為

①a<b<1；②1<a<b；③a=b.

A.0B.1C.2D.3

【答案】(

【解析】"6=1時(shí)，lga=lgb=0,③可能成立

0<o<1,0<6<1時(shí)，lga=lnb,/.-^-=ln/>,lna<0,

In10

高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共16頁(yè))

lnlO>1,/.0<——<1,上巴>Ino,BPIn6>In,

In10InlO

此時(shí),①可能成立.

時(shí)，I”。=in],ln<7>0,lnl0>0,0<—!—<1,

InlOInlO

—<\na,即Inbvlnq即，②不可能成立，選C.

InlO

4.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,C,在下列命題中，真命題是

A."ac2>bc2”是“a>b”的必要條件

B."ac2=bc2”是“a=b”的必要條件

C."ac2=bc2”是“a=b”的充分條件

D.“ac2》bc2”是“a》b”的充分條件

【答案】B

【解析】a>b^>ac>bc2,"ac2>bc2"不是"a>b"的必要條件，A錯(cuò).

a=bnac1=be2,"ac1=be2"是"a=b"的必要條件，B對(duì)，選B.

5.已知扇形AOB的半徑為5,以0為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，0A=(5,0),

0B=(4,3),弧AB的中點(diǎn)為C,則次;=

高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共16頁(yè))

【答案】B

4I

【解析】令4A0C=a，則N/O8=2a,tan2a=—=——一,tana=-,

41-tan-a3

sin"?！?。=嚕'c[x嚕Ax*）‘即。[乎'平）‘選民

6.已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為3,當(dāng)該三棱錐的體積取得最大值時(shí)，點(diǎn)A到平面PBC

的距離是

A.3sB.#C.3D.歲

【答案】C

PM=J9f,九附W?汐J”+2=*出予.

令/(x)=9x、$3,八刈=18?犬=0,x=18,/(/,、=/(8)

91o

即=18時(shí)(J'PTM)11m=5,=5X3X3=5,

gin

月到面PBC距離。，則,h=3，選C.

232

7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f⑨，f(D=e,且對(duì)任意的x滿足f但-f(x)<ex,則

不等式f(x)>xex的解集是

A.(一8,1)B.(一8,0)C.(0,+2D.(1,+°°)

高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)（共16頁(yè)）

【答案】A

【解析】方法一：/V)-/U)<eT,二八刈二/(*)<[,即/叫/⑶一1<。,

ee

即(等—X)<0,8(刈=等—X,g(x)/,g⑴=0,

f(x)>xex,.-.g(x)>0=g(l),x<1

方法二:/(x)=e*滿足/(l)=e,f(x)-f(x)<e.

貝！1/(x)>xe'=>eT>xex=>x<1.

方法三：/(幻=。滿足/(1)=€,f(x)-f(x)<cx,

則/(x)>xer=>e>xe'nx<1,選A.

8.已知圓C的直徑AB長(zhǎng)為8,與C相離的直線1垂直于直線AB,垂足為H,且0<AH<

2,圓C上的兩點(diǎn)P,Q到1的距離分別為山，d2,且diWch.若di=AP,d2=AQ,則

di+d2=

A.2B.4C,6D,8

【答案】D

【解析】方法一：如圖建系P(N，y),。㈢,乃)，

圓C:(x-4)2+j?=]6,AP=d{,Jx：+y；=x1-t,

x；+16-(X[-4)~=x；—2/.Y|+1~,xf~(2/+8)X|+/?=0,

同理x；-(2/+8)毛+/=0，二不凡是V-(2/+8口+/=0的兩根

?\X+x2=2/+8t4+乩=$—/+w-/=8.

高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共16頁(yè))

方法二：以所在直線為x軸，以/1H中垂線所在直線為)，軸建系,

設(shè)力〃=2，〃，尸，。在/:x=-〃7上的射影分別為P',。'，

???PA=PP',AQ=QQ',:.P(%,yJ,Q(x”乃)碰物線V=4心上砌，

V—4/〃丫

■nf-(8+2m)x+(4+m)2+4mx=16

{[X-(4+〃?)『+J，2=16

.,.x?+(2〃?-8)x+〃/+8〃)=0兩根為x62,二4+4=M+占+8，選D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,…，Xn(n24),其中xi<0<Xn,若由yk=2xk+l(k=1,2,???,

n)生成一組新的數(shù)據(jù)yi,y2,yn,則這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)可能相等的量有

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D,標(biāo)準(zhǔn)差

【答案】BC

【解析】極差2倍關(guān)系不可能相等，標(biāo)準(zhǔn)差2倍關(guān)系不可能相等，

還2口1有解，平均數(shù)可能相等，B對(duì)；中位數(shù)也可能相等，C對(duì)，選BC.

10.對(duì)某城市進(jìn)行氣象調(diào)查，發(fā)現(xiàn)從當(dāng)天上午9：00開(kāi)始計(jì)時(shí)的連續(xù)24小時(shí)中，溫度。(單

位：。。與時(shí)間t(單位：h)近似地滿足函數(shù)關(guān)系。=Asinax+B(A>0,B>0,0<?<^),

其中0WtW24.已知當(dāng)天開(kāi)始計(jì)時(shí)(t=0)時(shí)的溫度為25C,第二天凌晨3：00時(shí)溫度最

低為19C,則

兀

A.s二一

12

B.當(dāng)天下午3:00溫度最局

C.溫度為28C是當(dāng)天晚上7：00

D.從當(dāng)天晚上23：00到第二天清晨5：00溫度都不高于22C

高三數(shù)學(xué)第5頁(yè)(共16頁(yè))

【答案】ABD

【解析】1=0時(shí)，0~25℃,:.B=25℃，第二天凌晨3:00最低為19%：，此時(shí)/=18,

-J+25=19

A=6

+

18<y=~k7r,keZ,/.兀tA對(duì).

0=一

12

八1

0<6）,-

2

/(x)=6si哈，+25,2=，即，=6時(shí)出取最大值，，=6對(duì)應(yīng)下午3:00,B對(duì).

/W=28,f=2或10，上午11:00或下午7:00,C錯(cuò).

I44Z420時(shí)，19W/(/)<22,D對(duì)，選ABD.

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，P在線段BDi上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，下列說(shuō)法

正確的有

A.存在點(diǎn)P,使得CPL平面A1DB

B.不存在點(diǎn)P,使得直線CiP與平面AiDB所成的角為30

C.PC+PD的最小值為2小

D.以P為球心，PA為半徑的球體積最小時(shí)，被正方形ADDiAi截得的弧長(zhǎng)是孚口

【答案】BCD

【解析】方法一：BP=ABD,，則P(2-24,2—24,22),

對(duì)于A,ACXJ■面48。,4G=(-2,2,2)是平面48。一個(gè)法向量

假設(shè)。尸，面4。8,則赤=(2-24-24,2/1)與(一2,2,2)共線矛盾，假設(shè)不成立，人錯(cuò)

對(duì)于B,若存在P,Cf與所成角為30°,則乙4Gp=60°,（C^,C7）=6O°,

高三數(shù)學(xué)第6頁(yè)(共16頁(yè))

1C.A,CiP4-44+44-44+4,—4+，216_

1--=，%=一/一>1不滿足條件，

2「』/『士用=2百r-/r-2--—---2-/1)丁2+4矛—+(2—4一2/：10

假設(shè)不成立，B對(duì).

對(duì)于C,PC+PD=7(2-2Z)2+(-22)2+(2/l)2+7(2-2/t)2+(2-2/l)2+(2Z)2

PE+PF>EF=\,PC+PD>2>/3,C對(duì).

對(duì)于D,"=7(-2A)2+(2-2A)2+(2A)2=J12/P—8巳+4,

1,442、，八半，唱。百

石工時(shí)"最小，尸不不彳

\JJJJ

絲為半徑的圓上，

球與面交于。，。在以N為圓心,

1,5

在正方形內(nèi)軌跡為半圓，長(zhǎng)度=；.2乃?學(xué)乃=

乎％選項(xiàng)D正確；

方法二：對(duì)于A,若CP，平面4DB，則CP，30,由三垂線定理知P為6。中點(diǎn)，但此

時(shí)C?不與4。垂直，故不存在這樣的?，A不正確；

高三數(shù)學(xué)第7頁(yè)（共16頁(yè)）

對(duì)于B,同法一，B正確；

對(duì)于C,可將面DDf與面攤平，:.PC+PD2CD=20C正確.

0。1=3,0在面上的射影為O「.??截面圓半徑苧一(9]=容,

過(guò)。1作MV〃4。分別交力。,441于〃,N,。/=?"=。|%=孚，

.?.球。被正方體力。。4截得的弧長(zhǎng)是半圓弧A/N,長(zhǎng)為萬(wàn)?一黃=(一萬(wàn)，D正確，

選：BCD.

2x+1

12.關(guān)于函數(shù)f(x)=F=,下列說(shuō)法正確的有

A/X2+1

A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-：0)對(duì)稱

B.函數(shù)f(x)在(-8,2)上單調(diào)遞增，在⑵+8)上單調(diào)遞減

C.若方程f(x)=t恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則t=」

D.若Vx￡R,都有f(x)>m,貝ljmW-2

【答案】BD

【解析】方法一:/(-l-x)+/(x)=廠一1-2：J(x)不是關(guān)于

J(一l-xf+lJx:+I12；

對(duì)稱，

A錯(cuò).

26+1-(2x+1)—^X——

rw=-----------2小

x~+1

=2(x")-：(2x+l)=,2亨，,*>2時(shí)，"x)<0J(x)/,

(x:+l)vx2+1(x2+\)y/x2+\

x<2時(shí)，f'(x)>0,f(x)7,B對(duì).

高三數(shù)學(xué)第8頁(yè)(共16頁(yè))

時(shí)，/(x)<o,x>；時(shí)，/(x)>0，/<0如1=一1時(shí)，〃x)=/只有一個(gè)根，

C錯(cuò)，選BD.

1A,1人十人T-

VxeR,/(*)>〃?求/&)最小值，x<—；,/”)=丹3=—2\—丁/■>—2

2V.v:+1V犬+1

21

]X+X+—

(X~+XHVX"+1),1)14-2,X-?+8時(shí)，----——>1,/(X)--2.

4JT+1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為」:十二二二1,則該雙曲線的焦距是

k-4k-5

【答案】2

2

【解析】c=k-4+5-k=2,c=l,2c=2.

y3

-a-xz+—,x<A0,

14.已知函數(shù)f(x)=<°—若f[fg)]=a,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.

log3x-2,x>0,3

【答案】-2

15.如圖，以等腰直角三角形BAoAi的直角邊BAi為斜邊，在ABAoAi外側(cè)作等腰直角三角

形BA1A2,以邊BA。的中點(diǎn)01為圓心，作一個(gè)圓心角是9G的圓弧AoAi；再以等腰直角

三角形BA1A2的直角邊BA2為斜邊，在ABAiAz外側(cè)作等腰直角三角形BA2A3,以邊BA

1

的中點(diǎn)。2為圓心，作一個(gè)圓心角是9G的圓弧A1A2；…；按此規(guī)律操作，直至得到的

直角三角形BAi」缶的直角頂點(diǎn)缶首次落到線段BA。上，作出相應(yīng)的圓弧后結(jié)束.若BA

=4,貝1Ji=,所有圓弧的總長(zhǎng)度為.°

高三數(shù)學(xué)第9頁(yè)(共16頁(yè))

【答案］8;匕與戶馬

16

【解析】嗚=2*.?.”8,即T；

44=，2=萬(wàn)>4/1,=y-V2=—

711--y-

［彳，二）是以萬(wàn)為首項(xiàng)，孝為等邊的等比數(shù)列，圓弧總長(zhǎng)=」一，-15(2+應(yīng))萬(wàn)

16

1------

2

16.已知二面角a-1-B為6G,a內(nèi)一條直線m與1所成角為3。，B內(nèi)一條直線n與1所成

角為45,則直線m與直線n所成角的余弦值是

瓜土6

【答案】2

~T~

【解析】如圖，過(guò)/上一點(diǎn)。作。EJJ交〃仔點(diǎn)E,。/1/交〃于點(diǎn)/

設(shè)PQ=&,:.QE=x,QF=y/3x,EF=&+(3)?一2乙.后?；=巧—底

/rDr4x?+6x2-4/+&2&S

：.cosZ￡rF=----------------T=------------=-----------------

2?2x.如8

如圖，設(shè)尸。=岳,：.QF=^x.PF=&,QE=x,PE=2x,ZEQF=\20°,

4x2+6x2-4/--Jix16-V3_2^-V2

2-2x-yf6x4y[68-

高三數(shù)學(xué)第10頁(yè)（共16頁(yè)）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn=n^+cn+c,c￡R.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵記上為｛aj在區(qū)間(0,2am](mdN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

【解析】

(1),.,Sn=if+cn+c，二〃22時(shí)，

22

an=Sn-S”_1=n+cn+c-(n-\)-c(n-1)-c=2〃-1+c

且q=H=1+2c也符合,/.1+c=1+2c,/.c=0,

an=2/z-1.

(2)九為｛/｝在區(qū)間(2,22"i]中項(xiàng)的個(gè)數(shù)，

^2m-\,i1

^0<2/7-l<22m-1,:.\<n<-~—=22m-2+-,

22

：A<n<22*2,.bm=22g2f...bn=221=4"-l

18.(12分)

某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似服從正態(tài)分布N(6,。9其中恰有114根金

屬棒長(zhǎng)度不小于6.04.

⑴求。；

⑵如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是(595,&05),那么這批金屬棒中不合格的

金屬棒約有多少根？

八產(chǎn)

說(shuō)明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布X?N(p,。今來(lái)說(shuō)，通過(guò)Z」~轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z~N(0,

1),從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到P(X<X1)=①(Z).

可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①⑵

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

0(z)0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.0212.2232.42526272.8

①(Z)0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

高三數(shù)學(xué)第11頁(yè)(共16頁(yè))

【解析】

114

(1)P(X>6,04)=^^=0,0228,/.P(%<6,04)=0.9772

=PZ〈等

:.P=0.992

66)

0.04

①=0.992,.-.—=2,?.o-=0.02.

a

(X-6

(2)尸(5.95<X<6.05)=P1-2.5<2,5

=2①(2.5)-1=2x0.9938-1=0.9876

.??不合格的金屬棒有：5000x(1—0.9876)=62根.

19.(12分)

7T

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,AC邊上的高為h,已知B=?

o

⑴若b=3h,求&的值；

a

⑵若c一a二h,求sinA-3cosA的值.

【解析】

(I)a2+c2-2ac--=b2,-acsin-=-bh=>—ac=,:.b2=-ac.

22322G2

1

:.cr+C=—ac，,2仕)-5--+2=0一?.￡=?!?或2.

2⑺aa2

(2)-ac—=-bh=>—ac=b(c-a)

2222

,73

sin/lsinlA+—]—=______<sinJ+--sin/1

,,232I3j

.1.sin/4f-sin/4+—cos/Jina

—cosJ-sin/1,

12222

7

n1n12/r

:.-sin\2A--+—=sin——A—cos-2A+—=sin

26432J4

高三數(shù)學(xué)第12頁(yè)(共16頁(yè))

：.2l-2sin-4sin|--A+1=0,

(3J

4sin2《司+4sm

7T/7T

-萬(wàn)---AA=

366

.?.sin力一追cos力

20.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=AD,PD=2也

M是AB的中點(diǎn)，N是線段PC上一點(diǎn)，且MN〃平面PAD,MN±PC.

⑴求證：CD，平面PAD；

⑵求平面MNC與平面PBD所成的二面角的正弦值.

【解析】

（T）過(guò)N作NG[/CD交PD于點(diǎn)G，連接/G

?；卜僅II平面PAD,八小匚平面/僅小。，平面/MNGn平面P/O=/G,

MNHAG，，四邊形4V/NG為平行四邊形，.?.NG=/JM=gc。,

??.N,G分別為PC/。的中點(diǎn)，

vMN1PC,:.AGLPC，又=,G為PQ的中點(diǎn)，

AG1PD,vPC[yPD=P,AG1平面PCD,

AG±CD，又?.?CQ1/O,AGC\AD=A，二?！?gt;1平面P/O.

(2)如圖建系,/.A/(l,0,0),C(2,2,0),P(0「l,由).

高三數(shù)學(xué)第13頁(yè)（共16頁(yè)）

.-.A7C=(1,2,0),而=(o,；,號(hào),而=(0,3,-G),BD=(-2,2,0),

設(shè)平面MNC與平面PS。的一個(gè)法向量分別為1=(不出,二|),它們所成二面角為8,

N+ly2=0

%=區(qū)，力，二2),，11y/3n〃|=(2叔-亞1).

k+v-=0

P為一任2=°n元=(1,1,拘，

.Hs創(chuàng)一晨m―2也一屈sin”

.[卜麗一前一記’

21.(12分)

已知函數(shù)fGO=meX+cosx+n,曲線y=f(R在點(diǎn)(0,f(0))處切線方程為y=x.

⑴討論函數(shù)f⑨在[-1+2上的單調(diào)性；

⑵當(dāng)xd[0,+8)時(shí)，fQ)N3sinx-ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】

[r(o)=im=1\m=1

(1)/'(%)=/?eT-sinx,■n=>\

/(0)=0加+1+〃=0[〃=—2

/(x)=e*+cosx-2,/'(x)=e*-sinx,

當(dāng)xwHr⑼時(shí),f\x)>0,/(