2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（數(shù)學(xué)）

2024年全國(guó)普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（數(shù)學(xué)）

一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

.兀.兀

z=sm—+1COS—

1.若33,則z=（）

A.1B.—1C.iD.—i

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算求解即可.

【詳解】^sinj+icos-|-^^^cos^+isin^=cos^3x+isin^3x=i.

故選：C

2.設(shè)｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，%,以4,4（）成等比數(shù)列，則才■=（）

511

A.3B.—C.—D.2

25

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得裙=4,%（），運(yùn)算可得6=0,再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)可求得%1，。5得解?

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,d/0,由題意可得力=4?aio，

即（q+3d）2=（q+d）（q+9d）,解得aQ=0,又d/0,

q=0,則0n=q+lOd=10J,%=4d,

a”_lOd_5

a54d2'

故選：B.

3.已知正方體ABC。—A4GA,平面A4c與平面A4Q。的交線(xiàn)為/,則（）

A.I//\DB.l//ByDC.l//C｛DD.I//DXD

【答案】A

【解析】

【分析】由面面平行的性質(zhì)可判斷.

【詳解】如圖，在正方體ABCD—中,

平面BCCEI/平面4,4。=平面BCC[B]n平面ABXC,

平面A4C'平面ADD]A=/，

對(duì)于A,\DIIB^C,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)槎?。與瓦。相交，所以/與耳。不平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)镚。與四。不平行，所以/與￡￡>不平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?。。與耳。不平行，所以/與。。不平行，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

4.若函數(shù)〃力=八平+⑵一1>2工有最小值,則f的取值范圍是（）

A"B.陷C.["JD.

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)機(jī)=2*，將/（九）轉(zhuǎn)化為關(guān)于g（根）的函數(shù)，討論開(kāi)口方向與對(duì)稱(chēng)軸判斷即可.

【詳解】設(shè)〃2=2"，則m>0,f（x）=g（m）=t-rrr+（2f-l）-m,（m〉0）有最小值.

當(dāng)/<0時(shí)，二次函數(shù)g（m）開(kāi)口向下，無(wú)最小值；

當(dāng)t=0時(shí)，g（機(jī)）=一機(jī)無(wú)最小值；

2（—11

當(dāng)方>0時(shí)，若g（m）在（0,+8）上有最小值，則對(duì)稱(chēng)軸-——>0,解得0</</.

故選：A

5.設(shè)羽y,z,(sinx+cosx)(siny+2cosy)(sinz+3cosz)=10,則()

717171Tl

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.—=x>y>z

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域、正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】sin%+cosx=y/2sin+^<^2,

因?yàn)楣に援?dāng)1+工=工時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)％=：；

I1)424

siny-t-2cosy=y/5sin(y+a)<y/5,其中tana=2ae\0,—

kI2

因?yàn)閥e0,-,所以當(dāng)丁+戊=孑時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)y=—戊；

I22

sinz+3cosz=JI5sin(z+/)<JIU,其中tan/?=3^/?

兀)JTjr

(o,-L所以當(dāng)Z+Q=5時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)z=]—4；

因?yàn)?sinx+cosx)(siny+2cosy)(sinz+3cosz)<y/2xyf5xy/10=10，

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=；,y=--a,z=?一4時(shí)取等號(hào),

4，22

因?yàn)閠ana=2,tan/?=3,

所以有

所以即一尸<—a<—烏一殳一萬(wàn)〈女一a〈火一Cnz<y<x=火，

4422244

故選：D

6.向量小/,滿(mǎn)足|6|=1,〈d+6,&+2方〉=3?！?，貝力。|的取值范圍是（）

A.[72-1,V2+1]B.[A/3-1,A/3+1]C.51,逐+1]D.[^-1,76+1]

【答案】B

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，令8=(1,0),〃=(%/),利用向量夾角公式建立方程，再求出方程所對(duì)

曲線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離即得.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，不妨令Z?==(x,y),貝！+b=(x+Ly),Q+2Z?=(x+2,y),

(〃+/?)?(〃+2b)(x+l)(x+2)+y2_A/3

由〈〃+/?,〃+28〉=30°,得cos30°=

I〈Q+51|a+261J(x+1)2+y2.J(x+1)2+y22

整理得4[(x+l)(x+2)+/]2=3[(x+1)2+y2][(%+1)2+y2],

即[(%+1)(X+2)+y2]2=3y2,于是(1+])(%+2)+y2二61y|,

顯然方程(冗+1)(%+2)+、2=y|對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨令y20,

則方程化為(X+|)2+(y—?)2=l(y20)，表示以點(diǎn)C(-|，F(xiàn))為圓心，1為半徑的圓在X軸及上方部

分，

73

點(diǎn)C到原點(diǎn)。的距離|。。|=6,直線(xiàn)OC:y=—3工，由<y=_-^-x

消去y得：

3(x+尹+(y-^了=1

4,

—x+4%+2=0,

3

顯然△=42—4xgx2=［〉0,即直線(xiàn)OC與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(王,以),(々，上)，

有％+%2<0,%工2>0，即有西<0,X2<0，從而%>0,%〉0，

因此直線(xiàn)OC與曲線(xiàn)(x+,)2+(y—孚)2=1(y>0)交于兩點(diǎn)，

而|a|=J%2+y2,貝!]1alm^Moci—in^—LiaiaKOCI+luG+l,

所以IaI的取值范圍是[百-1,否+1].

故選：B

7.暗箱中有編號(hào)為1,2的2個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸1個(gè)球，若摸到2號(hào)球，則得2分，并停止摸球；若摸

到1號(hào)球，則得1分，并將此球放回，重新摸球.記摸球停止時(shí)總得分為X,則石(X)=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得X的可能取值為2,3,4,5…,％求出對(duì)應(yīng)的概率并運(yùn)算得E(x).

【詳解】由題意可得X的可能取值為2,3,4,5…”，

尸(X=2)=g,P(X=3)=；x；=；,p(X=4)=」...,尸(X=〃)=擊,

???E(X)=2xg+3x5+4x《+L+(〃-l)x.+〃xj,①

則gE(X)=2xg+3xg+4x/+L+(〃-l)x*+〃x?,②

①一②得，；E(X)=1+J+[+g+L+J—

2+%

即得E(X)=3—不丁.當(dāng)〃f+oo時(shí)，石(X卜3.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的，少選擇1個(gè)正確選項(xiàng)得3分，少

選擇2個(gè)正確選項(xiàng)得1分，否則得0分.

8.對(duì)于數(shù)集A,B,它們的Descartes積AxB={(%,>),則()

A.AxB^BxAB.若則(AXB)N(CXB)

C.Ax(BC)=(AxB)|](AxC)D,集合{0}xR表示y軸所在直線(xiàn)

E.集合AxA表示正方形區(qū)域(含邊界)

【答案】BCDE

【解析】

【分析】根據(jù)新定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題知，

AxB=[(x,y)\xeA,yeB}表示數(shù)集A中的數(shù)表示橫坐標(biāo)，

數(shù)集B中的數(shù)表示縱坐標(biāo)，組成的點(diǎn)的全體，

故A錯(cuò)；

若貝B正確;

Ax(8cC)={(x,A,ye(8cC)},

(AxB)n(AxC)={(x,y)|xeA,ye"c{(x,y)|xeA,yec},

貝ijAxCBC)=(AxB)(AxC),C正確；

集合{0}xR表示y軸所在直線(xiàn)，D正確；

集合AxA表示正方形區(qū)域(含邊界)，E正確.

故選：BCDE

9.已知直線(xiàn)y=左(x-l)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸，與C交于Af,N兩點(diǎn)，與。的準(zhǔn)線(xiàn)交

于P點(diǎn)，若|尸M尸N|成等差數(shù)列，貝I()

A.2=2B.FP=NFC.FN=3MFD.攵=6E.|PN|=8

【答案】ABCE

【解析】

【分析】由直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)R可求出拋物線(xiàn)。的解析式，然后利用數(shù)型結(jié)合及拋物線(xiàn)定義逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】由題知直線(xiàn)y=M1T)過(guò)定點(diǎn)。，0)且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)八得廠。，°)，所以P=2,拋物線(xiàn)C

方程：y2=4x,

根據(jù)題意作出圖形NT，準(zhǔn)線(xiàn)并交準(zhǔn)線(xiàn)于T,MS，準(zhǔn)線(xiàn)且交準(zhǔn)線(xiàn)于S,如圖所示.

對(duì)B、c：由,凡|網(wǎng),|則成等差數(shù)列，所以a則=|網(wǎng)+阿卜WM，所以|叫=3網(wǎng)

且由斗網(wǎng)成等差數(shù)列，MI+M+WMTM，得同卜；網(wǎng)，,利=曰必

所以|兒研+忖70卜怛4=3人以卜故B正確，,N|=3|M@,故C正確；

對(duì)D：由B、C及拋物線(xiàn)定義知加刀=|入叼=:八叼，

所以在RtPNT中，|NT|=[NP],所以NTPN=工,所以NPRS=L

263

此時(shí)斜率k=tan|=百，又考慮到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性當(dāng)斜率k=-也時(shí)也成立，故D錯(cuò)誤.

對(duì)E：由B、C、D知點(diǎn)/為NP的中點(diǎn)，且焦距p=2,所以|NT|=4,得|入陽(yáng)=8,故E正確.

故選：ABCE.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與相交有關(guān)的向量問(wèn)題的解決方法

在解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的向量問(wèn)題時(shí)，一般需利用相應(yīng)的知識(shí)，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為

線(xiàn)段滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.

10.存在定義域?yàn)镽的函數(shù)/*)滿(mǎn)足()

A./⑺是增函數(shù)，力/(%)]也是增函數(shù)

B./5)是減函數(shù)，/[/(x)]也是減函數(shù)

C.對(duì)任意的aeR,/(a)wa,但/"(x)]=x

D./⑺是奇函數(shù)，但/"(%)]是偶函數(shù)

E./⑺的導(dǎo)函數(shù)/'(%)的定義域也是R,且/"(x)]=-x

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)的定義求解.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，I。)是增函數(shù)，/"(%)]也是增函數(shù)，則A正確；

對(duì)于B,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(x)是減函數(shù)，力/(%)]也是增函數(shù)，則B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令/(x)=—x+2,則/[/(%)]=—(—%+2)+2=%,即存在定義域?yàn)镽函數(shù)/(x)=—x+2滿(mǎn)

足題意，則C正確；

對(duì)于D,由/⑴是奇函數(shù)，令g(x)=/"Q0],

則g(r)=/"(—?jiǎng)?chuàng)=/T—/(x)]=—/"(x)]=—g(x)，即/"(詡為奇函數(shù)，則D錯(cuò)誤；

對(duì)于E，令〃尤)=/,則其反函數(shù)為％=廣()，

由/"(x)]=—x可知/?)=—尸⑺，即/(x)=—尸⑺，則函數(shù)〃九)不存在，則E錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】解決抽象函數(shù)的問(wèn)題可以通過(guò)舉一些常見(jiàn)的初等函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.

三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.

3J_

11.曲線(xiàn)y=J匚嚏在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.

4,2

【答案】4x+4y-5=0

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】y=Ji—x=>y'=-I,

2y/1-x

所以曲線(xiàn)y=JT二三在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為

所以方程為y-g

=4%+4y—5=0,

故答案為：4x+4y-5=0

12.寫(xiě)出一個(gè)正整數(shù)〃>1,使得瓶+—產(chǎn)的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)：

【答案】5（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】由題知，

（）-k（）、2-5-

融+國(guó)）的通項(xiàng)為4+1=c（融y]&j

2n-5k

要使展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，只需一丁一二0有解，

6

又正整數(shù)〃>1,0<k<n,

則2n=5k,

所以不妨令〃=5,則％=2

故答案為：5（答案不唯一）

2

13.設(shè)雙曲線(xiàn)C:f—3=1（?！?）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,《，田弓|=6,點(diǎn)尸在C的右支上，當(dāng)

a

1

心，28時(shí)，歸用.歸引=;當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，忙與I+歷［的最小值為.

9

【答案】①.16②.一##4.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理和雙曲線(xiàn)定義求解可得|/岑卜|%|;利用定義消元，然后由對(duì)勾函數(shù)求解可得.

【詳解】由題知，疔匚=20，歸閭“，

當(dāng)Pf；_LPK時(shí)，|尸耳「+盧閭?=36,

由定義知，忸周一|尸詞=2,則忸周2+|尸閭2_2歸耳卜戶(hù)周=4,

所以36-2忱周忖閭=4,得忸耳卜盧閭=16；

|/|耳|+：---:—2+|P7^|+；---：

11121

|^2|\PF2\'

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)忸閭=2時(shí)，歸工|+而取得最小值g,

所以|產(chǎn)用+即7的最小值為2.

\rfA9

9

故答案為：16；—.

2

14.已知某圓臺(tái)的側(cè)面是一個(gè)圓環(huán)被圓心角為90°的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺(tái)的側(cè)面積為2兀，則該圓臺(tái)

體積的取值范圍是.

【答案】（曼3+8

【解析】

2i

【分析】先利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式及弧長(zhǎng)公式可得、j-f和/=44-44，進(jìn)而得出后-R；=—,

4+K]2

結(jié)合圖形利用勾股定理得出圓臺(tái)的高；再根據(jù)臺(tái)體的體積公式計(jì)算圓臺(tái)的體積；最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求出函數(shù)的最值即可求出答案.

【詳解】圓臺(tái)及側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，

設(shè)圓臺(tái)上底面為圓半徑為凡，下底面為圓半徑為氏2,圓臺(tái)母線(xiàn)為/.

/2

由圓臺(tái)的側(cè)面積為2兀，可得：（2兀&+2兀4）x—=2兀，整理可得：、萬(wàn)~-

2火2+火1

3=2哂

由側(cè)面展開(kāi)是圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，可得：，,整理可得：/=4尺—4片

7T

—?（；1+/）=2叫

所以圓臺(tái)的高力=J/2_（凡_RJ2=岳（&_R）

所以圓臺(tái)體積V=成;+兀代+RR；.叫.h

=§（7lR；+7lR^+7lR[，

=（R；+店+&&）,（4-飛）.

2i

由/=j一f和/=4鳥(niǎo)—44可得：&—R；=—.

火2+%2

因?yàn)轼B(niǎo)＞片＞0,

所以&+鳥(niǎo)〉牛.

令x=7?2+鳥(niǎo),x>—^―，

用=土.工

124.x

則

CX1

R,=—+—

'24x

所以v=

令/'(x)=3》+驍~，x>V，

所以函數(shù)/在

■(x)=3x+&,+8上單調(diào)遞增,

7

則“X）〉/圖=2萬(wàn)

所以八號(hào)X20,即心嚕.

則該圓臺(tái)體積的取值范圍是

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓臺(tái)的側(cè)面積及體積等相關(guān)量的計(jì)算.解題關(guān)鍵在于結(jié)合圓臺(tái)及側(cè)面展開(kāi)圖找

到相關(guān)幾何關(guān)系，列出關(guān)系式，表示出體積；難點(diǎn)在于求體積的取值范圍，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的最值.

四、解答題：本題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.在_ABC中，sinlA+^IsinfB+^-1=cosAcosB.

（1）求C；

（2）若AB=6.，求C4CB的最小值.

3兀

【答案】15.—

4

16.—y[2+1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩角和正弦余弦公式化簡(jiǎn)可得$抽（人+5）=85（人+5）,再根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得;

（2）由余弦定理求出出7的取值范圍后即可求出.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閟in]A+^jsinlB+^I=cosAcosB

所以Y^sinA+Y^cosA叵42)

sinBH-----cosB=cosAcosB

I22

27

g(sinA+cosA)(sinB+cosB)=cosAcosB,

即sinAcosB+cosAsinB=cosAcosB-sinAsinB

即sin(A+B)=cos(A+B),

因?yàn)锳5。是ABC的內(nèi)角，所以sinC=—cosC,即tanC二一1,

所以c=型.

4

【小問(wèn)2詳解】

Vr4r?r+t"(J2b2-2A/2

在^,ABC中，cosC---------------------，

lab2

得/+/=__血必+2,因?yàn)椤?是二ABC的邊長(zhǎng)

所以〃2+/>2ab，所以-也加+2>2ab,

即0<"W2-夜

因?yàn)镃A,CB=abcosC=----ab，

2

所以CA-a?￡[—0+1,0),

所以CA?C5的最小值為-萬(wàn)+1.

16.己矢口數(shù)歹!]｛〃〃｝和｛2｝滿(mǎn)足5也%+1=$也％+(：052,(\^或+1=(\^或一5111%.

2222

(1)證明：sinan+l+cosbn+x=2(sinan+cosbj；

(2)是否存在q出，使得數(shù)列｛sin2%+cos22｝是等比數(shù)列？說(shuō)明理由.

【答案】16.證明見(jiàn)解析

17.不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)兩式平方相加，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得；

(2)假設(shè)存在，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0,則由通項(xiàng)公式與三角函數(shù)有界性可推出矛盾.

【小問(wèn)1詳解】

222

由題意得，sinan+1=sinan+cosbn+2sinancosbn,

222

cosbn+1=cosbn+sinan-2sinancosbn,

2222

兩式相加得，sinan+l+cosbn+i=2(sinan+cos2J,得證.

【小問(wèn)2詳解】

222

若sin2al+cos=0,則數(shù)列｛sinan+cosb.不是等比數(shù)列；

若sin2%+cos2仄=m>0,

22

假設(shè)存在%也,使得數(shù)列｛sinan+cos2｝是等比數(shù)列.

222222

由(1)結(jié)論得，sinan+1+cosbn+1=2(sinan+cosbn),sinan+cos>0,

.22i

則sm,+i+cosi=2,故數(shù)列｛sir?%+cos2b\是公比為2的等比數(shù)列，

1J

sinan+cosbn

22n-1

則sinan+cosbn=m-2,

但當(dāng)〃〉2—叫時(shí)，24+2一臉小，

1msincosbn>m,22="2-=2

由Isin%區(qū)1,|cos2區(qū)1,則sinZ+cos/K2,產(chǎn)生矛盾，

22

故不存在%，4,數(shù)列｛sinan+cos4｝是等比數(shù)列.

17.設(shè)。>0,函數(shù)/(x)=x"Inx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若求a的取值范圍；

(3)若/求a.

c2A

【答案】(1)/⑺在o,ea單調(diào)遞減，在e-"+8單調(diào)遞增

、77

(2)(0,1-叫

(3)a=—

2

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解;

(2)構(gòu)造函數(shù)g(%)=%"Tln%,分類(lèi)討論與,結(jié)合(1)中結(jié)論即可得解;

(3)構(gòu)造函數(shù)/i(x)=/'(%),利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論々的取值范圍，結(jié)合以工)的單調(diào)性即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=x"lnx的定義域?yàn)?0,+oo),a>0,

則(九)=必尸lnx+=xa~l(tzInx+1),

令廣⑴<0,得0vxvA；令/'(x)〉0,得x〉A(chǔ)；

c二、

所以/(x)在0,e二單調(diào)遞減，在ea,+oo單調(diào)遞增.

I)7

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)闊o(wú)>。，所以等價(jià)于fTlnxWl，

記函數(shù)g(%)=%"TInx,

當(dāng)時(shí)，g(e?)=2e2("-1)>l,不合題意;

心《1，解得ae(O,l-e—[；

當(dāng)Ovavl時(shí)，由(1)矢口g(%)?g

\7\k-Cl)C

【小問(wèn)3詳解】

記函數(shù)丸(x)=f'(x)=xa~x(aInx+1),

則h'(x)=靖-[(a2-a)ln龍+2。-1],

若a=',/(%)=一l%5In%,

24

令"(x)>0,得0cx<1；令"(x)<0,得了>1；

領(lǐng)X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,y)單調(diào)遞減，故躍期4城1)=1,符合題意；

(1-2(—'

若ae0,彳，當(dāng)時(shí)，〃(無(wú))<。，則/i(x)單調(diào)遞減，

',\7

(l-2aA

故丸e—>/J(1)=1,不合題意；

I)

門(mén)、\-2a(I)

若。￡不1,當(dāng)1八/°巖時(shí)，hf(x)>0,則必元)在單調(diào)遞增,

v7\7

/1-2a、

故/?e7-〉丸(1)=1,不合題意；

I)

若aw[l,+8),當(dāng)x>l時(shí)，/。)>0,則縱x)在(L+8)單調(diào)遞增，

故/?(%)>丸(1)=1,不合題意.

綜上，a=—.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

18.己知二面角。-/-/，點(diǎn)Pea,尸與棱/的距離為JR,與半平面/所在平面的距離為3.

(1)求二面角。一/一，的余弦值；

(2)設(shè)A3e/,AB=1,動(dòng)點(diǎn)。在半平面世所在平面上，滿(mǎn)足尸。=5.

(i)求。運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度；

(ii)求四面體P-2鉆體積的最大可能值.

【答案】(1)2姮或—冬叵

1313

(2)(i)則或包；(ii)3

33

【解析】

【分析】(1)作出圖形，利用數(shù)型結(jié)合及二面角知識(shí)即可求解.

(2)(i)作出。在。內(nèi)的平面運(yùn)動(dòng)軌跡圖，然后分類(lèi)討論，從而求解.(ii)中點(diǎn)P到平面A5Q的距離

為定值3,則只需求解的取值，又因43=1為定值，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)。到直線(xiàn)/距離，從而求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)P在/,/所在平面的射影分別為M,N,連接MN,則PN=3,PMU

且PN人平面/，因?yàn)?u平面/，所以因?yàn)镻McPN=P,PM,PNu平面。，

所以/工平面PMN,又因?yàn)镸Nu平面PMV,所以/LMN,所以或其補(bǔ)角即為所求二面角

"一/一尸的平面角，

所以此二面角正弦值為力==之叵，所以余弦值為±J1—]垃3]=±2叵.

713131I13J13

故余弦值為名叵或-冬叵.

1313

【小問(wèn)2詳解】

(i)因?yàn)镻NL分，所以NQ=JPQ2_pN2=4,此時(shí)。在。平面內(nèi)的平面圖如下圖

①若則以N為圓心，4為半徑的圓在月中的部分是一段優(yōu)弧，

八MN217i

此時(shí)可知所對(duì)的劣弧角的一半設(shè)為。，則cos。=麗=7=5,得。=耳

兀

4A冗4__

所以?xún)?yōu)弧對(duì)應(yīng)圓心角為丁，因此。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為c316兀.

32兀xNQx3-=

2兀3

②若Q色0,則以N為圓心，4為半徑的圓在月中的部分是一段劣弧，

兀

?2JT_2__

此時(shí)由①知劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角為二，因此。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為。38兀

32兀xNQx-^―-——

.2兀3

(ii)四面體P—QAB的體積V=gs/z,其中/z=/W=3為P到平面QA3的距離，

S=gA3xd=：為Q3的面積，d為。到直線(xiàn)/的距離，其在夕中的平面圖如下圖,

由(i)知若Qe戶(hù)，則當(dāng)QN，/時(shí)，d取最大值6,止匕時(shí)丫=！5/2=!><3><g=3；

332

112

若Q龜B，則當(dāng)QV，/時(shí)，d取最大值2,止匕時(shí)V=—S/z=—x3x—=1；

332

所以四面體尸-2鉆的最大值為3.

19.設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值,它們的分布列分別為P(X=%)=%,p(y=w)=",

4>0,%>0,k=1,2,，幾,之Z=1>=1.指標(biāo)。(XII丫)可用來(lái)刻畫(huà)X和y的相似程度，其定

左=1k=l

義為。(X||y)=￡xJnE.設(shè)乂~5(〃,夕),0<夕<1.

yyk

(1)若丫~55心),0<4<1,求。(xl|y)；

(2)若”=2,P(y=k—l)=g?=l,2,3,求。(Xll丫)的最小值；

(3)對(duì)任意與X有相同可能取值的隨機(jī)變量F,證明：D(X||y)>0,并指出取等號(hào)的充要條件

【答案】(1)

式l-p)1-q

3

(2)In3——In2

2

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用定義，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；

(2)利用定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到。(XII丫)關(guān)于。的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得

解；

(3)先利用導(dǎo)數(shù)證得恒不等式lnxNl-1，從而結(jié)合定義即可得證.

X

【小問(wèn)1詳解】

k

不妨設(shè)ak=k,則Xk=C：pkQ—Py~,yk=C"(1—q)i.

nkpkP

所以axily)=Sc>^(l-p)~Ink^~L

，=iq(i-q)

kk

=in駕二2-Ekc：/(I-Py-+〃inmSc/(1-Py-

qQ-p)k=01一9k=0

ip(l-q)i1-p

=npIn-----+“In———

q(i-p)1-q

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)〃=2時(shí)，P(X=2)=p2,P(X=1)=2p(l-p),P(X=0)=(1-p)2,

記/(p)=r)(X||y)=/in3P2+2XI-p)In6p(l-p)+(l-p)2In3(1-pf

=p~Inp2+2p(l-/?)In2p(l-p)+(l-p)~ln(l-y?)2+ln3,

貝Uf'(p)=4/?Inp+2/?+(2-4/?)[ln2p(\-/?)+1]-4(1-p)ln(l-p)-2(1-p)

=2[lnp-ln(l-p)+(l-27?)ln2],

令g(p)=lnp-ln(l-p)+(l—2p)ln2,則gX/?)=—+-^---21n2>0,

P1-P

令9(°)=1+「--2In2,則。'(P)=::

P1-PP~()-P)

當(dāng)o<_p<g時(shí)，d(0)<o,o(p)單調(diào)遞減；

當(dāng)g<p<l時(shí)，0’(夕)>0,0(p)單調(diào)遞增；

所以0(0)〉9[3]=4-21112〉0,則g(p)單調(diào)遞增，而g|；)=o,

所以，（p）在（0,；］為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，

則/（。）在］0,；］單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

3

所以。（XIIV）的最小值為ln3——ln2.

2

【小問(wèn)3詳解】

11_x

令/z（x）=lnx-x+l,則//（%）=——1=-----,

XJC

當(dāng)0cx<1時(shí)，〃（x）>0,從尤）單調(diào)遞增；

當(dāng)%>1時(shí),”（尤）<0,從整單調(diào)遞減；

所以刈司4可1）=0,即Inx—x+l<0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立,

則當(dāng)尤>0時(shí)，Inx<x—1,所以In—<—1,即InxNl—,

尤xx

故。岡y)=/jn里之)=七“￡"=0,

k=lykk=l卜X/c/k=lk=lk=l

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的%,4="時(shí)等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解新定義指標(biāo)。（XII丫），熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得

解.

本題分I、II兩部分，考生任選其中一部分作答.若多選，則按照I部分計(jì)分.

20.（1）如圖1,點(diǎn)A在直線(xiàn)/外，僅利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺，作直線(xiàn)AB〃/（保留作圖痕跡，不需說(shuō)

明作圖步驟）.

（2）證明：一簇平行直線(xiàn)被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡是一條線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）；

（3）如圖2是一個(gè)橢圓C,僅利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺，作出C的兩個(gè)焦點(diǎn)，簡(jiǎn)要說(shuō)明作圖步驟.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）利用尺規(guī)作圖的方法即可得解；

（2）利用點(diǎn)差法，分類(lèi)討論即可得解；

（3）熟悉掌握作圖方法，結(jié)合平面的性質(zhì)即可得解.

【詳解】⑴如圖，

（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使橢圓。的方程為二+與=1（4〉〃>0）.

a"b'

若該簇平行直線(xiàn)斜率不存在，它們被橢圓所截弦的中點(diǎn)均在x軸上，

因而軌跡是長(zhǎng)軸（不含左、右頂點(diǎn)）；

若該簇平行直線(xiàn)斜率存在且為3與橢圓交于A（玉,%）,5（%,%）兩點(diǎn)，

2222_

則有W+興=1（*）,冬+今=1（**）,&二顯=左（***）,

ababx2-jq

（*）（**）相減得，5+％）=o,

a1b2

結(jié)合（***）得21±竺=—上，這表明，弦A3的中點(diǎn)在定直線(xiàn)y=—O

x上,

玉+x2ka~'ka

因而弦中點(diǎn)的軌跡是該直線(xiàn)被橢圓所截得的弦（不含端點(diǎn)）.

（3）①任取橢圓。上4點(diǎn)A6RE；

②過(guò)A3作直線(xiàn)。石平行線(xiàn)，分別與橢圓交于點(diǎn)RG；

③作弦A”3G的垂直平分線(xiàn)，分別與弦AR3G交于點(diǎn)"，/,

則直線(xiàn)印經(jīng)過(guò)。的中心；

④同理過(guò)D,E作直線(xiàn)AB的平行線(xiàn)，重復(fù)以上步驟得到直線(xiàn)JK,

JK與HI