2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考1）：正弦定理、余弦定理

§4.7正弦定理、余弦定理

【考試要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單

的三角形度量問題.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.正弦定理與余弦定理

定理正弦定理余弦定理

==2+/一2Z?CCOSA；

a_____b_____c___

內(nèi)容按=/+層一2c〃cosB；

sinAsinBsinC

。2=層+按一241cosC

(l)〃=2RsinA,

b—2RsinB,爐+”一。2

cosA-2bc；

c—2RsinC；

理+層一步

變形(2)asinBCOsB-2ac；

=bsinA,

a2+b2~c2

COS

bsinC—csinB,C-2ab

“sinC—csinA

2.三角形中常用的面積公式

(1)5=%加(//°表示邊a上的高)；

(2)S=]absinC=]acsinB=-^bcsmA-,

(3)S=；r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

【常用結(jié)論】

在aABC中，常有以下結(jié)論：

(l)ZA+ZB+ZC=n.

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)tz>Z?<4A>BOsinA>sinB,cosA<cosB.

A+3CA+

(4)sin(A+8)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=—tanC；sin-j-=cos爹；cos-

,C

sin

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.(X)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB,則A>8.(V)

(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(X)

(4)當(dāng)〃+c2-a2>o時，/XABC為銳角三角形.(X)

【教材改編題】

1.在△ABC中，A3=5,AC=3,BC=7,則NBAC等于()

.兀兀

A.TOB.T3

一2兀一5兀

C.T3D.-TO-

答案C

解析因?yàn)樵凇鰽BC中，

設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,

所以由余弦定理得

乒+c2—49+25-49I

cosZBAC=-五—=30=

因?yàn)镹BAC為△ABC的內(nèi)角,

所以ZBAC=^.

2.在△ABC中，若A=60。，a=4事,b=4?則B=.

答案45°

解析由正弦定理知云=^，

心坐_啦

Z?sinA

則sinB=--------

a4小2-

又a>b,則A>2,所以2為銳角，故3=45。.

3.在△ABC中，。=2,6=3,C=60°,則c=,ZVIBC的面積=

答案于半

解析易知c=q4+9—2X2X3xT=市,

AABC的面積等于3*2X3義當(dāng)=歲.

■探究核心題型

題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1（12分）（2021?新高考全國I）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知扶=

ac,點(diǎn)D在邊AC上，BDsinZABC=asmC.

⑴證明：翅切入點(diǎn)：角轉(zhuǎn)化為邊］

⑵若AD=2DC,求cos/ABC.［關(guān)鍵點(diǎn)：ZBDA和ZBDC互補(bǔ)］

|思路分析由定理邊角轉(zhuǎn)化一用b表示AD,DC~求出角的余弦~由條件列等式~對解進(jìn)行討論~結(jié)論

答題得分模板規(guī)范答題不丟分

b

（1）證明由正弦定理知，___5____-2R

sin/.ABCsinZACB

b=2Rsin4ABC,c=2RsinZACB,1［2分］--一①處邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化

?/b2=ac,b,2Rsin/_ABC=a?2Rsin/_ACB,

如［第5gRsmd；q［3分］?——②處尋求與條件的聯(lián)系

,/BDsin/-ABC=as\nC.BD=b.［5分］

（2）解由（1）知8。=6，；4。=2。（?，；.4。=荽。，￡^=!。,@；［6分］?-③處用b表示AD,DC

I______6________3__j

在△AB。中，由余弦定理知，

2

r2④

cos/皿J即吐士1+像13b2-9c2

—=----——.④處用余弦定理表示4BDA

12b2

2BD?AD2b,

在△C8。中，由余弦定理知,

9az

C"BDS-BU，可射,［7分］

2BD?CD2b,qb6bz

Z_BDA+Z-BDC-TT,b.cos/_BDA+cosZ_BDC=0,⑤;［8分］?-⑤處利用兩角關(guān)系列式

即端手+半瀉肛得】】〃=3〃+M

12爐6bz

?.赤二。。，...3。2-11。。+6。2=（）,.。=3。或。=￡。,⑥:［10分卜⑥處解出兩種情況

22222

在△ABC中，由余弦定理知，cos4ABe=a+c-ba+c-ac

2ac2ac

當(dāng)c=3a時'C°s4BC磊＞1（舍⑦處對各種情況討論

當(dāng)c=苧a時，cosZ.ABC=y^-;

綜上所述，cos/ABC=倉;［12分徐⑧處給出結(jié)論

【高考改編】

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+asinA=bsinB+csinC.

⑴求A;

⑵設(shè)。是線段8C的中點(diǎn)，若c=2,AD=V13,求。

解(1)根據(jù)正弦定理，

由加inC+〃sinA=bsinB+csinC,

可得歷+〃2=按+°2,

即bc=b1+c1—d2,

按+(72—Q21

由余弦定理可得，COSA=2bc='

TT

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角，所以A=q.

(2)因?yàn)椤Ｊ蔷€段BC的中點(diǎn)，c=2,AD=V13,

所以ZADB+ZADC=n,

則cosZADB+cosZA￡)C=0,

AD2+BD2—AB2必+叱一松

所以2ADBD+2ADDC=0,

〃2“2

13+彳―2213+j-Z?2

即---------+----------=0,

2寸諾2g三

整理得層=2〃-44,

又a2=b2+c2—2bccosA=b2+4—2b,

所以爐+4—2。=2尼一44,

解得b=6或b=—8(舍)，

因此層=2^2—44=28,

所以。=26.

思維升華解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含

有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理

都有可能用到.

⑵三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊

和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)

行判斷.

2兀

跟蹤訓(xùn)練1(2021?北京)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求2的大小；

(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線

的長度.

①c=pb；②周長為4+2S；③面積為Szw;c=平.

解(1)Vc=2Z?cosB,

則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

sin28=sin專=坐，***。=

.?.Be(0,知,2Be(0,y),

.1.2B=1,解得

(2)若選擇①：由正弦定理結(jié)合⑴可得

亞

bsmB1"

2

與c=4，b矛盾,故這樣的△ABC不存在；

若選擇②：由⑴可得

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,

7T

則由正弦定理可得a=b=2Rsinq=R,

c=2Rsin牛=小凡

則周長為a+b+c=2R+小R=4+2小,

解得R=2,則〃=2,c=2小,

由余弦定理可得8C邊上的中線的長度為

弋(2小)2+12—2X2小XlXcos巾；

若選擇③：由⑴可得即a=6,

貝1S^ABC=^absinC=$X*=^^~,

解得。=小,

則由余弦定理可得5。邊上的中線的長度為

y按+⑨2—2XZ?X^Xcos號

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形形狀判斷

例2在△ABC中，Y=siE梟，匕，。分別為角A,B,C的對邊)，則AABC的形狀為()

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

B

解析由cosB=l-2sin2^-,

.B1-cosB

符sin'］一2，

―。-a1―cosB

所以舌=~^~

即cosB=-

c

〃2+02一爐口

方法一由余弦定理得￡=*

即a2+c2-b2=2a2,

所以/+62=02.所以△ABC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sinA=sin(B+Q=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosBsinC—sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin3WO,

所以cosC=0,又角。為三角形的內(nèi)角，

TT

所以C=5所以△A3C為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

延伸探究將“于=sin2§”改為“%=旦，S+c+a)(b+c—0=3反"，試判斷△A2C的

乙c乙sinDc

形狀.

sinAa

解因?yàn)?/p>

sinB~

所以A*所以6=a

又3+c+〃)(b+c—a)—3be,

221

所以b+c—a—bc9

Z72+c2—be1

所以cosA==

2bc2bc2'

TT

因?yàn)锳e(o,n),所以A=§,

所以AABC是等邊三角形.

思維升華判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A

+8+C=?i這個結(jié)論.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3(2022?滄州模擬)在①sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列；②a：b：c=4：3：2；③6cosA

=1這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積

的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在"BC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。6畝4一$析2)+加出2

=csinC,c=1,?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

解因?yàn)閍(sinA—sinB)+加inB—csinC,

由正弦定理得a(a—b)+b2—c2,

即a2-\~b2—c2=ab,

所以cosC=F^/

又Cd(0,7i),

jr

所以c音

選擇①：

因?yàn)閟inA,sinC,sin5成等差數(shù)列，

所以sinA+sinB=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2+b2—c2=a1+b2—1=ab,

得(〃+0)2—3次?=1,所以ab—1,

故存在滿足題意的△ABC,

c1..「1、-兀小

oAABc=2flosinC='X1Xsin.

選擇②：

因?yàn)?：。：c=4：3：2,

IT

所以A>B>C=y

這與A+B+C=TI矛盾，所以△ABC不存在.

選擇③：

因?yàn)閆?cosA=l,

Z?2+1-a2

所以萬2b=]，

得b2—l+a1=c2+a1,

冗

所以8=],此時△ABC存在.

又C=*所以A=*,

所以a—1Xtan

o3

缶i、j_1V3

所以Sc/^ABC——$.

思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則

(1)對于面積公式S=[a6sinC=^ocsinB=；bcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問題

TT2冗

例4如圖，在平面四邊形ABC。中，已知4=5，B=y,AB=6.在AB邊上取點(diǎn)￡,使得

2jr

BE=1,連接EC,ED.若/CED=w，EC=巾.

BEA

(1)求sin/BCE的值；

⑵求CD的長.

解(1)在△BEC中，由正弦定理

BECE

知sinNBC￡—sinB-

B==^,BE=1,CE=yfl,

婦

..BEsinB25

..smZBCE-CE-市—14

2K

(2)VZCEZ)=B=y,AZDEA=ZBCE,

cosZDEA=yj1—sin2ZDEA

=51—sii^N5c1一展=今a

4-

1?△A即為直角三角形，又A￡=5,

?二八AE______5___r=

??ihL)—/cla-I----2*\/7.

cosZDEA5小v

14

在ACED中，

CD2=CE2+OE2—2CE￡>EcosZCED

=7+28-2義6X2于義(一￡)=49.

ACD=7.

【教師備選】

1.在△ABC中，已知層+尻―c2=",且2cosAsinB=sinC,則該三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

答案C

解析a2+b2—c2=ab,

.6Z2+Z?2~c21

,"cosC=—Tab-=》

又Cd(O,7i),

C=y

由2cosAsin3=sinC,

sinCC___/+12_〃2

得cosA==

2sinB2b―2bc-

TT

b1=d1,即b=a,又C=y

故三角形為等邊三角形.

2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且tzcosC—ccos(B+C)—

3cos(A+B)

(1)求tanC；

(2)若c=3,sinAsin3=居,求△ABC的面積.

解(1):QCOSC—CCOS(B+C)

_b

=-3cos(A+8)'

flcosC+ccosA='b

3cosC

由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=^^^,

?-一」_csin8

..sin(A+C)-3cosc，

sin5

即sinB—

3cosC9

又,.?sin8W0,

(2)若c=3,由正弦定理」4=—%=";,

v7sinAsinBsinC

彩a_b_3_嶗

^sinA-sinB~2yj2~4'

3

第—名號

a—4sinA4,bh—96qsi.nB,

,隨..9^/2,162...

網(wǎng)」ab=~^~smA--sin6D=^~smAsmBD

16216_

16VX27-6A,

11

??SZ\ABC=］。匕sinC*—X6X當(dāng)=2皿

思維升華平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題，

通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決.在解決某些具體問題

時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.

跟蹤訓(xùn)練2(1)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c—acosB=

(2a-b)cosA,則△ABC的形狀為()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案D

解析因?yàn)閏—acosB=(2a—b)cosA,

C=7T-(A+B),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

—2sinAcosA—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinB—sinAcosB

—2sinAcosA—sinBcosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

TT

所以或B=A或5=兀一A（舍去）,

所以△A3C為等腰或直角三角形.

2

⑵（2022?鄭州模擬）如圖，在△ABC中，AB=9,cosB=?點(diǎn)。在BC邊上，AD=7,ZADB

為銳角.

A

BDC

①求BD-,

②若/BAD=/D4C,求sinC的值及CD的長.

解①在△ABO中，由余弦定理得

AB2+BD2-2.ABBDcosB^AD2,

整理得EM—1280+32=0,

所以80=8或BD=4.

16+49-812

當(dāng)BD=4時，cosZADB

2X4X771

7T

則不符合題意，舍去;

64+49-812

當(dāng)BD=8時，cos/ADB=

2X8X779

TT

則符合題意，

所以30=8.

②在△A3。中，

AB2+AD2—BD292+72—82

cos/BAD=2AB-AD=2X9X7

11

21,

所以sinZBAD=~^~,

又sinZADB=^~^,

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sin(NAOB—N3AO)

=sinZADBcosZBAD—cosZADBsinZBAD

=3^5X11_28^5

-7X217X21

_17下

—147，

CDAD

在△AC。中，由正弦定理得/0公八二；^/，

sinZCADsinC

口HAD./78A/5

即co=^Tc-sinZCAP=n^x2i

147

392

=~n-

課時精練

礎(chǔ)保分練

。2+。2一。2

1.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃"，c若△ABC的面積為————，則。等于（）

,7171

A.2B.§

_71一兀

C.4D6

答案C

解析根據(jù)題意及三角形的面積公式知

1tz*12+Z?2—c2

呼Z?sinC=---------，

次+按一

所以

sin2ab-=cosC,

jr

所以在△ABC中，C=[

2.（2022?北京西城區(qū)模擬）在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,則c等于（）

A.^35B.V31

C.6D.5

答案B

解析因?yàn)閟inA=6sinB,

由正弦定理可得a=66,

又a+2b=8,所以a=6,6=1,

因?yàn)镃=60。，

所以（^—c^+b2—2abcosC,

即C2=62+12-2X1X6X1,

解得c=yf31.

3.（2022?濟(jì)南質(zhì)檢）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為〃，b,c,〃=4,cos2A=

7

一石，則△ABC外接圓半徑為（）

53

A.5B.3C，2D.2

答案C

7

解析因?yàn)閏os2A=一不，

7

所以1—2sin2A=一石，

4

解得sinA=±予

因?yàn)锳￡（0,兀），

4

所以sinA=亍

n4

又〃=4,所以2R=i_7=7=5，

sinA4

5

所以R=|.

4.（2022?河南九師聯(lián)盟聯(lián)考）在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,若c=24sin2A

—3sin28=]sinAsinC,則角。等于（）

兀71

A.TB.T

o3

712兀

C，2D.亍

答案B

解析\*sin2A—3sin2B=^sinAsinC,

由正弦定理可得。2—3。2=%小

■:c=2b,

=

??—3羚'~^i，2b=ab,

層+建一。2m一3b11

由余弦定理可得cosC—

2ab2ab—2'

71

V0<C<K,???C=§.

5.（多選）（2022?山東多校聯(lián)考）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,26sinA=^acos2,

AB=2,AC=2。為BC的中點(diǎn)，E為AC上的點(diǎn)，且BE為NABC的平分線，下列結(jié)論

正確的是（）

A.cos/BAC一呼

B.SAABC=3鄧

C.BE=2D.AD=y15

答案AD

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=，^sinAcosB,

VsinA^O,

2sinB=yJ~5cosB.

又sin2B+cos2B=1,

；.sinB=坐,cos3=|,

在△ABC中,

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,

得5c=6.

A項(xiàng),

AB2+AC2~BC24+24-36

cosZBAC=~—=2義2又2水

6，

B項(xiàng)，SAABC—^AB-BCsinBX2X6Xj—2^5;

4FAR1

C項(xiàng)，由角平分線性質(zhì)可知前=加=§,

A/6

??*石=拳

BE2=AB2+A￡2-2AB-A￡COSA=4+|-2X2X^X15

~29

V30

：.BE=

2，

D項(xiàng)，在△A3。中，

AD2^AB2+BD2-2ABBDcosB

=4+9—2X2X3><|=5,

;.AD=4

6.（多選）（2022?張家口質(zhì)檢）下列命題中，正確的是（）

A.在△A2C中，A>B,則sinA>sinB

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cos2恒成立

C.在△ABC中，若acosA=bcosB,則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若8=60。，b2=ac,則△ABC必是等邊三角形

答案ABD

解析對于A,由A>8,可得a>6,

利用正弦定理可得sinA>sin2,正確；

對于B,在銳角△ABC中，A,8G（0,D，

71

.71,71-八

sinA>sinlI—cosB,

；?不等式sinA>cosB恒成立,正確；

對于C,在△ABC中，由acosA=bcos8,

利用正弦定理可得sinAcosA—sinBcosB,

sin2A=sin2B,

VA,Be（0,7i）,

.\2A—2B或2A=兀-25,

C.A—B或A+B—^

???△ABC是等腰三角形或直角三角形，

???是假命題，錯誤；

對于D,由于3=60。，b2=ac,

由余弦定理可得^—ac—c^+^—ac,

可得（〃一c）2=0,解得Q=C,

可得A=C=3=60。，故正確.

7.（2022?濰坊質(zhì)檢）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,c,且b=3,a-c=2,

2死,

4=至.則AABC的面積為.

答案呼

解析由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA,

,:b=3,a—c=2,A=與，

.?.（c+2）2=32+c2—2X3cX（一￡|,

解得c=5,

則△ABC的面積為

S=^bcsinA=1,X3X5X坐.

8.（2021?全國乙卷）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為B=60°,

a2+c2=3ac,則b—.

答案2\[2

解析由題意得S\ABC=%csinB=乎〃貝U〃。=4,所以〃2+02=3〃。=3*4=12,所以

/?2=tz2+c2—2tzccosB=12—2X4X^-=8,貝!j匕=2W（負(fù)值舍去）.

,V3

9.（2022?南平模擬）在①2ccos3=2〃一。，②△A8C的面積為力-（層+屬一理），③cos2A—cos2c

=sin2B—sinAsinB,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.（如果選擇

多個條件作答，則按所選的第一個條件給分）

已知△A5C的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且________.

（1）求角。的大小；

（2）若c=2且4sinAsinB=3,求△ABC的面積.

解（1）若選條件①2ccosB=2a—b,

.tz2+c2-Z72

貝I2c-k—2a~b,

lac

即a1+b2—c2=ab,

所以cosC=T，

IT

又因?yàn)镃￡（0,7i）,所以C=,

若選條件②AABC的面積為害（層+尻—02）,

1

則1層+扶一。2）=呼加inC,

即sinC=，§cosC,

所以tanC=y[3,

又因?yàn)镃e(O,7i),

冗

所以C=y

若選條件③cos2A—cos2C=sin2B—sinAsinB,

則(1—sin2A)—(1—sin2Q=sin2B—sinAsinB,

即sin2A+sin28—sin2c=sinAsin8,

222

即a-\~b—c=ab9

所以cosC=T，

jr

又因?yàn)镃￡(0,7i),所以C=§.

(2)因?yàn)閏=2,

濟(jì)”〃bc2___4_

sinAsinBsinC.兀小'

sin3

所以sinA=4a,sinB=4b,

又因?yàn)?sinAsin3=3,所以ab=4,

AABC的面積為:“AsinC—y[3.

10.(2022?湘豫聯(lián)盥聯(lián)考)如圖，在△ABC中，N3=60。，A5=8,AO=7,點(diǎn)。在BC上,

且cosZADC—

⑴求BD；

(2)若cosNCAD=^,求△A5C的面積.

解(1)?.?cosNA03=cos(兀一ZADQ

=—cosZA￡)C=-y.

在△A3。中，由余弦定理得

82=B￡>2+72-2BZ)-7cosZA￡>B,

解得BD=3或8。=一5(舍).

4\回1

⑵由已知sinNADC=r-,sinNCAD=1

1113

1-

4A/3XV3-X---

AsinC=sin(ZADC+ZCAD)=^~2+-7214

由正弦定理得

7X1

ADsinZCAD=l^=49

“sinC1313'

14

.?衣=3+瑞嚕

?q=_1叉區(qū)義理X立=衛(wèi)負(fù)回

??JAABC2Kd“J3K2\3,

D技能提升練

11.在AABC中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若AA3c的面積為S,且4s

=（〃+。）2—。2,則5皿住+0等于（）

答案C

解析因?yàn)镾=^absinC,

?2+Z?2—c2

cosC=---7T~!------

2ab

所以2s=〃Z?sinC,a1+b2—c2=2abcosC.

又4S=(a+by-c2=a2+b2~c2+2ab,

所以2absinC=2abcosC+2ab.

因?yàn)閍bNO,所以sinC=cosC+l.

因?yàn)閟in2C+cos2C=l,

所以(cosC+l)2+cos2C—1,

解得cosC=-1(舍去)或cosC=0,

所以sinC—l,

則sinR+0=^(sinC+cosC)=坐.

12.(2022.焦作模擬)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊〃，b,c依次成等差數(shù)列，ZXABC

的周長為15,且(sinA+sin8)2+cos2c=1+sinAsin3,貝!JcosB等于()

1311

AAR

入14n,14

號D.—l

答案B

解析因?yàn)?sinA+sinB)2+cos2C

=l+sinAsinB,

所以sin2A+sin2B+2sinA-sin8+1—sin2c

=l+sinAsinB,

所以由正弦定理得42+02—，=—",

又“，b,。依次成等差數(shù)列，AABC的周長為15,

即〃+c=20,Q+〃+C=15,

a2+b2—c2=~ab,

由＜a+c=2b,

、〃+6+c=15,

a=3,

解得r=5，

、c=7.

〃2+。2一按32+72-52]]

C0SB=~狼~=2X3X7=百

3兀

13.(2022?開封模擬)在平面四邊形ABCD中，BC±CD,ZB=y,AB=3小,AD=2A,

若AC=3鄧,則CD為.

答案1或5

解析因?yàn)樵贏A3c中，N3=],AB=3p,

AC=34,

由正弦定理可得黑=.

smBsinZACB

七2,，…AB.sinB3小X*小

所以smZACB-AC~3y[5~5，

又BCJ_CD,所以/ACB與/ACD互余，

J5

因此cosZAC￡)=sinZACB=^~,

在△AC。中，AD=2V10,AC=3小,

由余弦定理可得

J5A(y+CD2~AD25+CD2

cosZACD=^~=-------------------------

2ACCD~6yj5CD,

所以Cr>2-6C￡)+5=0,

解得CD=1或CD=5.

14.(2022?大連模擬)托勒密(Ptolemy)是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就

是由其名字命名，該定理指出：圓的內(nèi)接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘

積.已知凸四邊形ABC。的四個頂點(diǎn)在同一個圓的圓周上，AC,8。是其兩條對角線，AB=

AD,ZBAZ)=120°,AC=6,則四邊形ABC。的面