2024屆天津市靜海六校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆天津市靜海六校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={尤|尤2“1},3={尤|3"<1},則人(物)=()

A.{x|x<0}B.{x|0^!k1}C.{x|T,x<。}D.{x|x..-l)

2.設(shè)集合A={-1,0,1,2},B={X|-2X2+5X+3>0),則AB=()

A.{0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1}

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，。為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為平行四邊形外一點(diǎn)，且APOB,BP04,則=

()

3

A.DA+2DCB.-DA+DC

31

C.2DA+DCD?-DA+-DC

4.把函數(shù)y=sin(x+：TT)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移￡TT個(gè)單位，那么所

63

得圖象的一個(gè)對稱中心為()

A.(g,0)B.(￡,0)C.(^,0)D.(0,0)

3412

5.集合A={x[x>2,xeR},B=-2x-3>oj-,則AB=()

A.(3,+oo)B.(T?,T)J(3,-H?)C.(2,+oo)D.(2,3)

6.已知函數(shù)/(x)=a(e2x-21nx)(a>0),D=-,1若所有點(diǎn)(s,/⑺)，(s/e。)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為

e2-l,則。=()

1e

A.eB.----C.1D.----

e-2e-2

7.已知復(fù)數(shù)z滿足目=1,則|z+2M的最大值為()

A.2+3B.C.2+6D.6

1+A/5

8.已知函數(shù)/(乃=1。82[5+1)+1^,則不等式/(坨幻>3的解集為()

A?曲。)B.~卷51。收)c.(1,10)D.舟11(1,10)

9.已知等比數(shù)列{〃〃}滿足q=3,q+4+%：：21,則。3+%+%=()

A.21B.42C.63D.84

10.已知集合人={4|%2<1},B={x\lnx<l]9則

A.AB={x|O<x<e}B.AB={x|x<e)

C.AB={x|O<x<e}D.AlB={x|—l<x<e}

11.如圖，已知平面ac/3=l,A、3是直線/上的兩點(diǎn)，C、。是平面夕內(nèi)的兩點(diǎn)，且。A，/,CB±l,

AD=3,AB=6,CB=6.尸是平面a上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線P。，PC與平面a所成角相等，則二面角尸—3C—。

的余弦值的最小值是（）

A.好B.3C.-D.1

522

12.已知平面向量a，b，c滿足：?-Z?=O,|c|=l,|<7-c|=|z?-c|=5,則a—人的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x2+y2<1

1,

13.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,l),若點(diǎn)B(x,y)滿足-<x<l>，則04.08的最大值是.

2

0<y<l

>X

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x-y>0,則z=」的最大值為.

_x+2

x+y<5

15.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動(dòng)，要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，小李會(huì)其中的三道題，則抽到的2道題

小李都會(huì)的概率為

16.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3,則正視圖的x的值

俯視圖

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)=犬一(。-16卜，g(x)=alnx,。wR.函數(shù)刈力=—g(x)的導(dǎo)函數(shù)〃'(尤)

在1,4上存在零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)若存在實(shí)數(shù)〃，當(dāng)％目0,可時(shí)，函數(shù)/(%)在x=0時(shí)取得最大值，求正實(shí)數(shù)人的最大值;

(3)若直線/與曲線y=/(力和y=g(x)都相切，且/在丁軸上的截距為-12,求實(shí)數(shù)。的值.

18.（12分）已知函數(shù)〃x）=lnX+x2-lax,a￡R.

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)若/(%)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù)玉，尤2,使得/(%)+/(馬)=—3,證明：X1+X2>2.

19.(12分)已知橢圓C：三+0=1(?！?〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是冗，B，M(后』)在橢圓C上，且|崢|+附閭=4,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與直線平行，且與橢圓交于A,B兩點(diǎn).連接M4、MB與x軸交于點(diǎn)。，E.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：為定值.

20.(12分)如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABC。，AD//BC,ZABC=90°,

AB=BC=-AD=-PB=2,E為的中點(diǎn)，歹是PC上的點(diǎn).

22

(1)若EN〃平面B4D，證明：平面

(2)求二面角5—尸。—C的余弦值.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=e“+2at-e,g(x)=-lnx+ar+a.

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)對任意都有/(x)Ng(x),求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22.(10分)某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造.如圖，將兩條平行觀光道A和b通過一段拋物線形狀的棧道A3連

通(道路不計(jì)寬度)，和L所在直線的距離為0.5(百米)，對岸堤岸線上平行于觀光道且與b相距1.5(百米)(其中

A為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸垂直于加且交，3于M),在堤岸線上上的E,尸兩處建造建筑物，其中E,F到

M的距離為1(百米)，且b恰在B的正對岸(BPBF±Z3).

(1)在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道的方程；

(2)游客(視為點(diǎn)尸)在棧道A3的何處時(shí)，觀測E尸的視角(NEPB)最大？請?jiān)?1)的坐標(biāo)系中，寫出觀測點(diǎn)P的

坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的補(bǔ)集，然后求人_(a5)

【詳解】

A={x|-啜kl},B={x|x<0},所以A&8)={x|x…-1}.

故選:D

【點(diǎn)睛】

此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

解出集合3,利用交集的定義可求得集合AB.

【詳解】

因?yàn)?=卜卜2f+5%+3>()}={,2尤2—5x—3<O}=<x—g<x<3>,又人={—1,0,1,2},所以AcB={0,1,2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

連接OP,根據(jù)題目，證明出四邊形”0。為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案

【詳解】

DC

連接0尸，由APOB,BP04知，四邊形AP30為平行四邊形，可得四邊形APOD為平行四邊形，所以

1131

DP=DA+DO=DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題

4、D

【解析】

試題分析：把函數(shù)y=sin(x+-)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，可得y=sin(-x+-)的圖象;

626

再將圖象向右平移￡個(gè)單位，可得y=sin［工(x-工)+2］=sin^x的圖象，那么所得圖象的一個(gè)對稱中心為(0,0),

32362

故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

5、A

【解析】

計(jì)算5=(e,-1)(3,y),再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

B=-2%-3>oj=(-oo,-l)o(3,+oo),A={x|尤故AB=(3,-H?).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.

6、D

【解析】

依題意，可得((%)>0,Ax)在上單調(diào)遞增，于是可得了(幻在上的值域?yàn)椋踑(e+2),02同，繼而可得

a(e2-e-2)|^l-1j=e2-l,解之即可.

【詳解】

5(o2^a(e2x-2\「1J

解：f\x)=a[e1=-.......2,m因t為-J,a>0,

〈%Jx—

所以/(幻>0,/(尤)在-,1上單調(diào)遞增，

_e_

則/(元)在1,1上的值域?yàn)閇a(e+2),e2a],

因?yàn)樗悬c(diǎn)(5,/(0)(s,teD)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為e2-l,

所以a(e2-e-2)^1--=e2-1,

解得。=三，

e-2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到a(f-e-2)(l-3=e2-l是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

e

7、B

【解析】

設(shè)2=。+/4尿氏，|z+2M=&+2)2+3-1)2,利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

22

設(shè)2=。+歷,由已知，a+b=l，所以點(diǎn)(a,切在單位圓上，

22

而|z+2—i|=|(a+2)+伯—l)i|=J(a+2)2+3-1)2,+2)+(Z,-1)表示點(diǎn)3b)

到(-2,1)的距離，故|z+2-心J(-2y+F+1=1+75.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式Iz+2-z?區(qū)|z|+12-i|來解決.

8、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到-l<lgx<l,且lgx/o,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)1(0,+8).

因?yàn)?(一%)=/(%)，

所以/(X)為(一8,0),(。,+8)上的偶函數(shù),

都是在)上單調(diào)遞減.

因?yàn)楹瘮?shù)一+1,J=M+3(0,+8

|尤|

所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(l)=3,/(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且lgx/0,

解得

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平.

9、B

【解析】

由ai+a3+a5=21得%(1+q?+/)=21/.1+，+/=7q1=2/.a3+as+a7=Q1+%+%)=2x21=42,選B.

10、D

【解析】

因?yàn)锳={%|%2<1}={X|-1<X<1},B={%|lnx<l}={x|0<x<e},

所以Afi={x|0<x<l},AB={x|-l<x<e},故選D.

11、B

【解析】

pA

NA&l為所求的二面角的平面角，由?D4P??(7尸5得出一，求出P在。內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出4R4的

PB

最大值對應(yīng)的余弦值

【詳解】

DA1.1,a10,ary/3=1,ADu，

:.ADLa,同理■BCe

NZ)Q4為直線P。與平面a所成的角，ZCPB為直線PC與平面?所成的角

:.ZDPA=ZCPB,又NZMP=NCBP=90。

在平面a內(nèi)，以A3為了軸，以A3的中垂線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系

則A(-3,0),6(3,0),設(shè)P(x,y)(y>0)

.?.2加+3)2+y=加-35+/,整理可得：(x+5)2+y2=16

在a內(nèi)的軌跡為/(-5,0)為圓心，以4為半徑的上半圓

平面PBCc平面=PBLBC,ABLBC

NP64為二面角P-BC-D的平面角，

二當(dāng)M與圓相切時(shí)，NPBA最大,COS/P54取得最小值

此時(shí)尸河=4,MB=8,MP±PB,PB=46

PB_4A/3_V3

cosNPBA=

MB~82

故選3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量

法等，依據(jù)題目選擇方法求出結(jié)果.

12>B

【解析】

rr

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將。的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，

利用基本不等式求得最小值.

【詳解】

建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)c=(cosasin。)，OA=a,OB=b,且,由于

111|111

〃一《二〃一4=5,所以辦幾E[4,6].

6z-c=(m-cosa一sin^),/?-c=(-cos〃一sin8)?所以

m2-2mcos+cos20+sin20-25

即根N+/=48+2mcos0+2nsin6?

/-2nsin0+sin20+cos29=25

-c)-2(〃-c)?(/?-c)+(b-c)=A/48+2mcos0+2nsin0

二7m2+n2>J而.當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得最小值，此時(shí)由蘇+/=48+2mcos。+2〃sin9得

2m2=48+2m(sin6+cos6^)=48+2y[lmsinj,當(dāng)時(shí)，2/有最小值為48—2夜加，即

l5萬tt

2機(jī)2=48—2后nm2+V2m-24=0，解得根=30?所以當(dāng)且僅當(dāng)加=孔=3/2,。=彳時(shí)。一6有最小值為

,2x(3可=6.

本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、y/5

【解析】

OAOB=2x+y，可行域如圖，直線2x+y=m與圓％2+,2=1相切時(shí)取最大值,=1,"2〉0n加=小

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)理解為點(diǎn)（龍廣）與（-2,0）構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:

因?yàn)閦=—七可以理解為點(diǎn)（尤,y）與（-2,0）構(gòu)成直線的斜率,

JiI乙

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)3時(shí)，斜率取得最大值,

10

Yio

故z的最大值為彳心一=7T.

-+211

3

故答案為：—,

【點(diǎn)睛】

本題考查目標(biāo)函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.

1

15、-

2

【解析】

從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種，即可得到概率.

【詳解】

由題：從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答，共有C：=6種，

小李會(huì)其中的三道題，則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有C；=3種，

所以其概率為~?

故答案為：一

2

【點(diǎn)睛】

此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).

16、3

【解析】

由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以直角梯形為底面，梯形上下邊長為1和2,高為2,

如圖所示，AD=1,BC=2,SB=x,ADIIBC,SB±平面ABCD,AD±AB,

所以底面積為S=gx(l+2)x2=3,

幾何體的高為x,所以其體積為V=gx3xx=3nx=3.

點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見

輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視

圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以

及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)[10,28]；(2)4；⑶12.

【解析】

(1)由題意可知，h(x)=x2-x-a]nx-a+16,求導(dǎo)函數(shù)〃'(力，方程2/—%—a=。在區(qū)間|,4上有實(shí)數(shù)解，求

出實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)由/(司=丁—Y—(。―I6)x,貝!J/'(x)=3*—2x—a+16,分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實(shí)數(shù)〃的最大值；

⑶設(shè)直線/與曲線y=/(x)的切點(diǎn)為因?yàn)?'(x)=3*—2x-(a-16),所以切線斜率

^=3xf-2x,-(a-16),切線方程為y=(24-a)x—12,設(shè)直線/與曲線y=g(x)的切點(diǎn)為(w，aln/),因?yàn)?/p>

g'(x)=4，所以切線斜率左=烏，即切線方程為'="—々Hain/,

a否）

ai——=24—a求得設(shè)G(x)=lnx+；_：x、],則

整理得了=—x+aln%-a.所以《x2

//人乙

a]nx2—a=—12

上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)”的值.

【詳解】

(1)由題意可知，入(％)=兀2—x—alnx—a+16,則一"。

XX

即方程2f—x—a=o在區(qū)間1,4上有實(shí)數(shù)解，解得ae[10,28]；

(2)因?yàn)?(x)=兄3—兄2_(〃_]6)%,則/，(%)=3%2—2x—a+16,

①當(dāng)A=4—12(—a+16)<0,即時(shí)，/'(x)20恒成立，

所以/(x)在[0例上單調(diào)遞增，不符題意；

47

②當(dāng)彳<〃<16時(shí)，令/'(%)=312一2%—〃+16=0,

解得：「2±J"12（—a+16）_]±,3.一47.

.—6—3

當(dāng)xe0,一'時(shí)，f'（x）>0,“X）單調(diào)遞增，

所以不存在b>0,使得/（力在[0,可上的最大值為"0）,不符題意;

③當(dāng)16WaW28時(shí)，/,（x）=3x2-2x-a+16=0,

1—J3a—471+<3a—47

解得：x.=----------<0，x,=----------->0

133

且當(dāng)時(shí)，/'（X）<0,當(dāng)%€（%2，+°°）時(shí)，/，（x）>0,

所以/（九）在（0,々）上單調(diào)遞減，在（龍2，”）上單調(diào)遞增，

若0<小2,則“X）在[0,可上單調(diào)遞減，所以/（%）2=/（。），

若6〉％,則/3（。,9）上單調(diào)遞減，在（々力）上單調(diào)遞增，

由題意可知，/（/?）</（0）,即廿—廿—（a—16）640,

整理得b?-b<a-16，

因?yàn)榇嬖赼e[16,28],符合上式，所以從—b<12,解得0<bW4,

綜上，力的最大值為4；

⑶設(shè)直線/與曲線y=/（x）的切點(diǎn)為（%,工；—龍；一（。_16）芯），

因?yàn)?'（x）=3d—2x—（a—16）,所以切線斜率左=3d—2%—（a—16）,

即切線方程y=[3x；—2%—（a—16）]（%—玉）+工；—龍;—（a—16）%

整理得：y=13片-2石_（a-]6）]x_2x；+尤；

由題意可知，—2x：+Xy=-12,即2x；—x；—12=0,

即（％_2乂2片+3內(nèi)+6）=0,解得凡=2

所以切線方程為y=（24—a）x—12,

設(shè)直線/與曲線y=g（x）的切點(diǎn)為伍,aln%）,

因?yàn)間'(x)=2,所以切線斜率左=4，即切線方程為y="(x—X2)+aln%,

v7X犬2%2

ai

整理得y=——％+〃1除一〃.

x2

-=24-ai11c

所以々，消去。，整理得ln%+^——-=0,

2X22

ainx2—a=—12

且因?yàn)椋?24-a（a￡［10,28］）,

解得x2>~9

設(shè)G（x）=lnx+^--則G'（x）=U=W^>0,

上單調(diào)遞增,

因?yàn)镚(l)=0,所以々=1,所以a=24—。，即a=12.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題.

18、(1)當(dāng)aW；時(shí)，/(%)在(0,1)上遞增，在。,收)上遞減；

當(dāng)g<a<l時(shí)，/(x)在(0,1)上遞增，在11,

貴］上遞減，在〔/p+4上遞增;

當(dāng)“=1時(shí)，/(X)在(0,+。)上遞增；

當(dāng)4>1時(shí)，/(X)在［0,—j］上遞增，在］，上遞減，在。,口)上遞增；

(2)證明見解析

【解析】

(1)對/(x)求導(dǎo)，分a4g，g<a<l,。=1進(jìn)行討論，可得/(尤)的單調(diào)性；

(2)/(%)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由(1)可知。=1,/(x)=lnx+1%2-2x,設(shè)占<多,可得

/(%)+/(9)=—3=2/⑴，則0<與<1氣，設(shè)g(x)=〃2—x)+/(x)+3,x?0,l),對g(x)求導(dǎo)，利用其單

調(diào)性可證明西+%2>2.

【詳解】

解：/(%)的定義域?yàn)?o,+8),

a-i

因?yàn)椤▁)Tnx+x~-lax,

2

KEU、I./x17、(2a—1)x—2ax+1(x—1)F(2a—l)x—11

所以/，(%)=—+(2〃—1)%—2〃=----1-----------=——塵-----1——，

令沖)>。，得Ovxvl,令］'r(x)<。,

當(dāng)時(shí),得X>1;

2x>0%>0

當(dāng)工時(shí)，則」一令/(%)>01

>1,<'7,得Ov尤vl,或尤〉-----

22a—1x>02〃一1

小)<01

令,得1<%<

%>02a-l

當(dāng)。=1時(shí),/(%)>0,

1[77%)<01

當(dāng)時(shí)，則0<-----<1,令，<)，得------<^<1；

2^-1[x>02^-1

綜上所述，當(dāng)時(shí)，/(%)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減;

當(dāng)工<。<1時(shí),/(%)在(0,1)上遞增，在“，/上遞減，在

上遞增;

2

當(dāng)4=1時(shí)，/(同在(0,+。)上遞增；

/⑴在,白]上遞增，在I匕/]

當(dāng)時(shí),上遞減，在(1,+?)上遞增;

(2)/(%)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由(1)可知。=1,

此時(shí)/(x)=Inx+gx?一2%,設(shè)玉<々，

又因?yàn)?&)+/(%)=—3=2〃1),則0<1<1<x2,

設(shè)g(x)=/(2—x)+/(x)+3,xe(O,l),則

g，(x)=—((2—犬)+r(%)=一上立+止0-="3〉0對于任意兀<0,1)成立,

2-xxx\2-x)

所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，

所以對于V%e(O,l),有g(shù)(x)<g(l)=2/(l)+3=0,

即Vxe(O,l),有“2-x)+/(x)+3<0,

因?yàn)?<玉<1,所以/(2—%)+/(%)+3<0,

即〃無2)>/(2-占)，又/(九)在(0,+。)遞增，

所以々>2-X],即西+%2>2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合

性大，屬于難題.

22

19、(1)—+^=1(2)證明見解析

42

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可得。=2,將〃代入橢圓方程，即可求得〃的值，求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線A5的方程，代入橢圓方程，求得直線和MB的方程，求得。和E的橫坐標(biāo)，表示出|。。+。石|,根

據(jù)韋達(dá)定理即可求證+OE\為定值.

【詳解】

(1)因?yàn)閨町|+|九碼=4,由橢圓的定義得2a=4,a=2,

點(diǎn)M(、歷在橢圓。上，代入橢圓方程，解得廿=2,

22

所以C的方程為土+乙=1；

42

(2)證明：設(shè)A(七,yj,B(x2,y2),直線AB的斜率為豐，設(shè)直線/的方程為y=,

y=x+t

聯(lián)立方程組,\,消去y,整理得爐+行及+產(chǎn)一2=0，

土+匕=1

[42

所以％+%=—*,X1%=一一2,

直線的直線方程為y——夜)，令y=0,則Xo=_^~與+母,

同理xE=~,

%—1

2A/2

(%-1)(%T)

代入整理得|OD+0E\=2A/2,

所以|。。+0目為定值.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.

20、(1)證明見解析(2)受叵

190

【解析】

(1)因?yàn)槔镁€面平行的判定定理可證出BC〃平面上4D，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和

EFHBC,由于底面ABC。，利用線面垂直的性質(zhì)，得出

PA±BC,且ABL3C,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出BC_L平面即可證出EF，平面上46.

(2)由(1)可知AB,AD,AP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求

出所需向量，分別求出平面和平面COP的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出3-尸￡>-C的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)椤?4。，BCa平面BAD,ADu平面QAD,

所以〃平面Z4D，

因?yàn)镻c平面P5C,Pw平面B4D,所以可設(shè)平面平面=

又因?yàn)锽Cu平面尸3C,所以BC//PM.

因?yàn)樗ㄆ矫嫔?D,EFu平面PBC,

所以EF//PM,從而得EF//BC.

因?yàn)椋緼，底面ABC。，所以PALBC.

因?yàn)镹ABC=90°,所以

因?yàn)锳B=A,所以3cL平面R鉆.

綜上，平面B45.

（2）解：由（1）可得AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在

直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

因?yàn)?8=80=340=3網(wǎng)=2,所以PA=4PB2.AB2=2作，

則8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,273),

所以3。=(—2,4,0),BP=(—2,0,26)，CD=(-2,2,0),CP=(―2,—2,26).

設(shè)加=(%,%,4)是平面BDP的法向量,

[m-BD=0,卜2%+4%=0,

由<取<r

m-BP=0,[-2犬]+2，3Z]=0,

取玉=2^3,得加=(2代\#2).

設(shè)〃=(%,%，Z2)是平面CDP的法向量，

n-CD-0,—2%+2y2=0，

由<得<r

n-CP-0,[-2X2-2y2+2y/3z2=0,

取/二A/3，得〃=(A/3,A/3,2),

n13,190

所以cos（機(jī),〃

即B—P￡>—C的余弦值為身叵.

190

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.

21>(1)當(dāng)a20時(shí),/(%)無極值；當(dāng)a<0時(shí)，/(X)極小值為一2tz+2aln(-2a)-e；(2)[-e-l,+oo).

【解析】

(1)求導(dǎo)，對參數(shù)。進(jìn)行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)〃(％)=/(%)-g(x),兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.

【詳解】

(1)依題/'(x)=e*+2a,

當(dāng)時(shí)，r(x)>0,函數(shù)/(九)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/(%)無極值；

當(dāng)。<0時(shí)，令/'(x)=e'+2a>0,得x>ln(-2a),

令/"'(%)=e*+2a<0,得尤<In(-2a)

所以函數(shù)〃九)在(ln(-2a),y)上單調(diào)遞增，

在(In(-2a))上單調(diào)遞減.

此時(shí)函數(shù)/(x)有極小值，

且極小值為/(in(-2a))=-2a+2aIn(-2a)-e.

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)無極值；

當(dāng)。<0時(shí)，