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文檔簡(jiǎn)介
12.5三角形全等的判定
知識(shí)回顧ABCDEF1、
什么叫全等三角形?能夠重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.2、
已知△ABC≌△
DEF,找出其中相等的邊與角①AB=DE③
CA=FD②
BC=EF④∠A=∠D⑤
∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF①AB=DE③
CA=FD②
BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F1.滿足這六個(gè)條件可以保證△ABC≌△
DEF嗎?2.如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△
DEF嗎?思考:
探索:如圖,已知兩個(gè)角和一條線段,以這兩個(gè)角為內(nèi)角,以這條線段為這兩個(gè)角的夾邊,畫一個(gè)三角形.把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較,所有的三角形都全等嗎?換兩個(gè)角和一條線段,試試看,是否有同樣的結(jié)論.都全等定理:如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)記為ASA.(或角邊角).
在△ABC和△DEF中,△ABC≌△DEF∴用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)為:DEFABC\\例1已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,
求證:△ABC≌△DCB.∠ABC=∠DCBBC=CB∠ACB=∠DBC證明:在△ABC和△DCB中,∵∴△ABC≌△DCB(
)ASA探索:先任意畫出一個(gè)△ABC,再畫出一個(gè)△A1B1C1,使A1B1=AB,A1C1=AC,∠A1=∠A(即有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等)把畫好的△A1B1C1剪下,放到△ABC上,它們?nèi)葐幔?簡(jiǎn)記為SAS.或邊角邊)ABCA1B1C1定理:如果兩個(gè)三角形的兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.證明:在△ABC和△DEC中,ABCDE12∴
△ABC≌△DEC(SAS)∴
AB
=DE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)AC=DC(已知),∠1=∠2(對(duì)頂角相等),BC
=EC(已知)
,例2如圖,有一池塘,要測(cè)池塘兩端A、B的距離,可先
在平地上取一個(gè)不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B的點(diǎn)C,連接AC并延長(zhǎng)至D,使CD=CA,連接BC并延長(zhǎng)至E,使CE=CB,連接ED,那么量出DE的長(zhǎng)就是A,B的距離.為什么?Ⅰ8930oⅤ8530oⅥ8830o8930oⅦ8830oⅢⅣ85Ⅷ855Ⅱ30o8練一練:找全等.探究:如圖,已知三條線段,以這三條線段為邊,畫一個(gè)三角形.完成作圖后,請(qǐng)把你畫的三角形剪下,并與周圍同學(xué)的三角形作比較,你有什么發(fā)現(xiàn)?發(fā)現(xiàn):給定三條線段,如果它們能組成三角形,那么所畫的三角形都是全等的.定理:
三邊對(duì)應(yīng)
相等的兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)記為:邊邊邊或SSS)ABCDEF證明:∵
D是BC中點(diǎn),∴
BD=DC.
在△ABD與△ACD中,∴△ABD≌△ACD(
SSS).例3如圖,有一個(gè)三角形鋼架,AB=AC,AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架.求證:△ABD≌△ACD.CBDAAB=AC,BD=CD,AD=AD,∵
探究:如圖,如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形是否一定全等?已知:∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=A′C′求證:△ABC≌△A′B′C′證明∵
∠A=∠A′,∠B=∠B′又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)同理∠A′+∠B′+∠C′=180°∴
∠C=∠C′.在△ABC和△A′B′C′中∵
∠A=∠A′AC=A′C′∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)定理:
如果兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等.(簡(jiǎn)記為AAS或角角邊).DEFABC證明:∵
AB平分∠CAD
,∴
∠1=∠2.
在△CAB與△DAB中,∴△CAB≌△DAB(
AAS).∴AC=AD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等).
例4已知如圖,∠C=∠D=90°,AB平分∠CAD.
求證:AC=AD.∠C=∠D,∠1=∠2,AB=AB,∵
ABCDEF例5
如圖,AB∥CD,AE∥CF,BF=DE.試找
出圖中其他的相等關(guān)系,并給出證明.解:∵AB∥CD,AE∥CF,∴∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.在△ABE和△CDF中∠B=∠D,∠AEB=∠CFD,BE=DF,∴△ABE≌△CDF.(ASA)∵BF=DE,∴BE=DF.∴∠A=∠C,AB=CD,AE=CF.對(duì)應(yīng)相等的元素兩邊一角兩角一邊
三角三邊兩邊及其夾角兩邊及其中一邊的對(duì)角兩角及其夾邊
兩角及其中一角的對(duì)邊
三角形是否全等
一定(S.A.S)不一定一定
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