河北省邢臺(tái)市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題含答案解析

邢臺(tái)市2023—2024學(xué)年高三（上）期末測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡

上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題

時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={工-3<%<4},B=-4%-12<oj,則43=()

A.{九|一2<%<4}B.{x[—3<尤<6}

C.{x|-3<x<2}D.{X-6<x<4}

Q*

2.若2=-----,則N=()

1+i

A.2-iB.l-2iC.l+2i

D.2+i

3.已知向量Q,〃滿足同=2,〃.。=一2，則(a+3b),〃=()

A.-2B.2C.-4D.4

22

4.已知橢圓二+匕=1(m〉0)的上焦點(diǎn)為(0,3),則加=()

m16

A.加B.5c.SD.7

—昱，且a為第三象限角，

5.若sina=則tantz=()()

4

A.一叵R屈「V13

13134

4

6.已知函數(shù)/（%）=加聞，則函數(shù)y=—/（-％+1）的圖象是（）

7.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.如圖，在鱉腌尸-A5C

中，Q4J_平面ABC,ABLBC,PA=AB=2BC=2,以。為球心，血為半徑的球

2

8.設(shè)a,/?eR,若4a?+〃+2仍=6,貝U3a?+2廿的最小值為（）

A.6B.3布c.2A/6D.4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)（23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）的睡眠對(duì)一天至

關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的

抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個(gè)，如下表：

編號(hào)12345678910

早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295

晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高

B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85

C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66

D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小

22

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，K，工分別為雙曲線C:=—與=1(。〉0］〉0)的左、右焦

ab

點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且歸耳|=3歸閭，若耳到一條漸近線/的距離為3,且

cosN-P￡=—；,則下列說法正確的是()

A.雙曲線。的漸近線方程為x土=O

B.雙曲線。的離心率為6

r［77：

C.尸的坐標(biāo)可能是丹一，士今-

D.若過點(diǎn)尸且斜率為左的直線與C的左支有交點(diǎn)，則左€(-，1,后)

11.已知正方體ABC?！?與GA的棱長(zhǎng)為2,E，尸分別為AD，CC］的中點(diǎn)，則

()

9

A.BFHD.EB.過A，B,E的截面面積為萬

C.直線3歹與AC所成角的余弦值為?D.Eb與平面ABCD所成角的正

5

弦值為逅

6

12.已知函數(shù)/(x)=f°23+e2°23x—e-2023*—5m2023%+1,若對(duì)任意xe(0,+oo),都有

f(x-ae2x-l)+f(x\nx)<2,則實(shí)數(shù)。的值可以為()

,111

A.—-B.—-C.-D.1

eee

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.將函數(shù)/(x)=sin［2x-f］的圖象向左平移土個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中

I4J12

心為.

14.已知（2x--d）”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則其展開式中了飛的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）

15.若函數(shù)/（3%-2）的定義域?yàn)閇—2,3],則函數(shù)/（2x+3）的定義域?yàn)?

16.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，已知A（0,3）,動(dòng)點(diǎn)P滿足訓(xùn)=2|OP|,點(diǎn)。在直線

/:3%+4y—16=0上，貝11PQ|的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.TO分）

在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知2asinC—Qc=0.

（1）求A；

（2）求4sinB—4sinC的取值范圍.

18.（12分）

已知數(shù)列｛??｝滿足q=3,an+1=3an-2.

（1）證明｛%—1｝是等比數(shù)列，并求出｛4｝的通項(xiàng)公式；

1113

（2）證明：-+—+

a2an4

19.（12分）

如圖，在四棱雉尸—A3CD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=6Q0,/\PAD

為正三角形，。為尸C的中點(diǎn)，平面。，鉆與平面PCD的交線為/.

（1）證明：〃/平面

（2）若二面角尸―AD—3為60。，求銳二面角A—/—C的余弦值.

20.（12分）

某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高

三學(xué)生有5名.

（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2

名同學(xué)來自高一的概率.

(2)現(xiàn)學(xué)校欲對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題

答對(duì)每道題計(jì)1分，答錯(cuò)計(jì)。分；后2道題答對(duì)每道題計(jì)2分，答錯(cuò)計(jì)。分，累積計(jì)分不

低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員.現(xiàn)已知張同學(xué)前2道題每道題答對(duì)的概率均為工，后2道題

3

每道題答對(duì)的概率均為工，是否正確回答每道題之間互不影響.記張同學(xué)在本次考核中累

2

積計(jì)分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號(hào)的

概率.

21.(12分)

已知函數(shù)/(%)=sinx+x2.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)”"(14處的切線方程；

(2)證明：/(%)>一亮.

22.(12分)

設(shè)E為拋物線〃：/=2px(p>0)的焦點(diǎn)，尸是拋物線M的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，A是拋

物線

〃上一點(diǎn)，當(dāng)AELx軸時(shí)，|AP|=2后.

(1)求拋物線”的方程.

(2)A尸的延長(zhǎng)線與河的交點(diǎn)為5,K4的延長(zhǎng)線與M的交點(diǎn)為C,點(diǎn)A在尸與C之

間.

(i)證明：B,C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.

(ii)記△EBC的面積為△PEC的面積為$2,求邑-2d的取值范圍.

邢臺(tái)市2023—2024學(xué)年高三(上)期末測(cè)試

數(shù)學(xué)參考答案

1.A因?yàn)?=一4%—12<0}=何一2<%<6},所以AB=1x|-2<x<4}.

3-i,一

2.C因?yàn)閦=--=1—2i,所以5=l+2i.

3.A因?yàn)榘?2,a.b=—2，所以(a+3Z?)，〃=a?+3a，Z?=4—6=—2.

4.C因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以。=4,b=m.

因?yàn)?2=〃2—所以32=42—根之，所以冽=

5.B因?yàn)閟ina=—立，且e為第三象限角，所以cosa=—,1—[—3]=—巫，

4VI4J4

I，sinaA/39

故tana=----=-----

cosa13

6.D因?yàn)?(x)=|ln|4的定義域?yàn)閧X|XH0},所以y=x+1)的定義域?yàn)?/p>

{x|xwl},所以排除A,C.因?yàn)?(%)=111聞..0,所以y=—/(—x+l)K0,所以排除

B.故選D.

7.B因?yàn)镻AJ_平面ABC,3Cu平面ABC,所以

因?yàn)锳BLBC,PAAB=A,所以平面

如圖所示，設(shè)DE為球C與平面的交線，則CD=CE=G，BC=1,所以

BD=BE=E所以DE所在的圓是以8為圓心，&為半徑的圓.因?yàn)镹PA4=2,

所以弧DE的長(zhǎng)為叵.

8.D設(shè)『>0,

222222

4a2+b+lab=4tz+b+2---tb<4tz+b+^+rb=4+Fa2+(l+t2)b2,

4+^-廣9

令〃_3,解得.=正，所以7片0+30/26,即34+2廿24,當(dāng)且僅當(dāng)

2

Q2

a2=—,/=—時(shí)，等號(hào)成立.

77

9.BD因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)樵?/p>

睡群體的睡眠指數(shù)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因?yàn)橥硭后w的睡

眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為強(qiáng)土生=67,所以C錯(cuò)誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡

2

眠指數(shù)相對(duì)比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.

10.D因?yàn)榭傻綕u近線/的距離為夜，所以6=行.

因?yàn)闅w耳|=3|尸國(guó)第|P耳|—|P閭=2歸閭=2a,所以|「閡=a,|尸制=3a.

因?yàn)閏os”戶2=附「+明「一閨母9a2+/—4。2

—,所以C?=3a2?

2“附|

因?yàn)閏?=a?+A?=a?+2=3a?,所以a=l,c=,

所以。的漸近線方程為y=±缶，故A錯(cuò)誤.

由上知C的離心率e=f=6，所以B正確.

a

因?yàn)殚俿inN甲鞏=；比初曲=夜，

所以力=±如，所以。￥，土半，故c錯(cuò)誤.

當(dāng)左=±應(yīng)時(shí)，直線只與右支相交一點(diǎn)；當(dāng)左e（-時(shí)，直線與左右兩支各交一

點(diǎn)；

當(dāng)上e（-8,-虎）I,（、叵,+co）時(shí)，直線與右支相交于兩點(diǎn)，故D正確.

11.BCD取。。的中點(diǎn)G,連接AG（圖略），則AG〃3E.因?yàn)锳G,相交，所

以BF，RE

異面，故A不正確.取GA的中點(diǎn)N,連接AN,FN,AB（圖略），則等腰梯形

45RN即為過A，B,尸的截面.因?yàn)椋=2亞=2FN,&N=BF=E所以等

腰梯形ABRN的高為￡1,面積為2,故B正確.連接CG（圖略），因?yàn)锳G〃肉，

22

所以NG4c即直線8尸與AC所成的角.在△ACG中，AC=2日

AG=CG=B所以cosNGAC=噂=叵，故C正確.連接EC(圖略),

755

NFEC即EF與平面ABCD所成角的平面角，因?yàn)锽=l，EE=痛，所以所與平

面ABCD所成角的正弦值為上=亞，故D正確.

V66

12.CD4g(x)=/(x)-1=x2023+e2023x-e-2023x-sin2023%,

則g(—x)=—鏟23+e-2023x_e2023x+sin2023%=一g(X),所以g(%)為奇函數(shù).

因?yàn)間'(x)=2O23%2022+2023e2023x+2023e^2023x-2023cos2023x

2023x2023x

=2023尤2°22+2023(e+e^-cos2023%),

2023x2023x

且2O23f°22>o，e+e->2,cos2023%<1,所以g'(x)>0,所以g(x)在

(0,+s)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(x—ae2xT)+/(xlnx)<2等價(jià)于/(x-ae2'_1)-l<-[/(xlnx)-l],

所以g(x-ae2i)<—g(xInx)=g(—xInx),所以％—aerx~'<-x\nx>

即a2二學(xué)在(0,+8)上恒成立.

令/z(x)=x-l-lnx,則〃(％)=1-4，當(dāng)〃(冗)>0時(shí)，x>l,當(dāng)〃(x)<0時(shí),

x

0<x<1,

所以力。)在(L+a))上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以以x)2〃(l)=0,所以x?l+lnx,所以，xe(0,+a)).

e2^1e2^1

令9(%)=^^,%e(0,+oo),則,(x)=2嗎丁),

ee

當(dāng)夕'(x)>0時(shí)，0cx<1,當(dāng)“(x)<0時(shí)，x>l,

所以夕(x)在(1,+w)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增,

|X+yinx1I

所以°(X)〈貝1)=—,所以一z--<-,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)，等號(hào)成立，所以。2一.

eeee

13.^,0j(答案不唯一)由題意知所得圖象的解析式為

g(x)=sin+—(=sin]2x—^J，令2x—左乃，左wZ,得

X=—+—,keZ,所以所得圖象的對(duì)稱中心為五+5-,0%左eZ).

14.1792由2"=256,得九=8.(2獷2一^丫的通項(xiàng)公式為=項(xiàng)(2r2廣，(_/丫

=G2~(—1Y/T6.45r-16=-6,得r=2,所以展開式中含廣6的項(xiàng)為

6

T3=Cj2x^=1792/.

15.--,2因?yàn)椤?<x<3,所以—843x—2W7,所以/(x)的定義域?yàn)閇—8,7],

要使/(2x+3)有意義，需滿足—8W2X+3W7,解得—U〈x?2.

2

16.2設(shè)P(x,y),因?yàn)閨E4|=2|OP],所以好十“一3)?=4(/+/),

整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為Y+(y+1)2=4,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以(0,-1)為圓心，2為半徑的圓.

因?yàn)閳A心(0,—1)到直線/：3x+4y—16=0的距離乙=上?@=4,所以

|Pd.=d-2=2.

IImin

17.解：(1)因?yàn)?asinC—Gc=0，所以2sinAsinC—J^sinC=0.

因?yàn)閟inCHO,所以sinA=@.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A=工.

23

712

(2)因?yàn)锳=—,所以5+C=—

33

0<B<-,

9TTIT

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以〈.得一<B<一.

c2n萬62

因?yàn)?sin5-4sinC=4sinB-4sin(A+B)=2sin.8-2^3cosB=4sin-g

且￡［一,所以dsin^B—dsinC^l—ZZ).

18.證明：(1)因?yàn)?+1=3%-2,所以q+i—1=3(%—1).

因?yàn)椋?3,所以q一1=2,

所以｛為—1｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，所以1=2X3〃T,

故｛4｝的通項(xiàng)公式為。〃=2x3〃T+1.

11

(2)由(1)知一二

an2x3n-1+l

111

當(dāng)心1時(shí)，2x3"T+l>2x3f所以乙=心率(市力

所以

19.(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛3CD為菱形，所以A3〃C￡).

因?yàn)锳Bu平面尸CD,CDu平面PCD,所以A3〃平面PCD.

因?yàn)锳Bu平面QA5,平面QA8平面尸CD=/,所以〃/AB.

因?yàn)?《平面BLB，ABu平面所以/〃平面75AB.

(2)解：取AD的中點(diǎn)。，連接08,BD,OP.

因?yàn)椤鱉D,△ABQ均為正三角形，

所以O(shè)BLAD,OPLAD,

所以NPO3為二面角F—AD—3的平面角，即NPOB=60°.

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,08所在直線分別為工,丁軸建立空間直角坐標(biāo)系,

(出3、

則A(1,O,O),6(0,73,0),C(-2,指,0),￡>(-1,0,0),P0,^-,-,

I22J

,363、

Q

3百J、

設(shè)平面。48的法向量為根=(冷加4),AB=(-1,A/3,0),AQ=-2,

m-AB=-%+布=0,

則3J33令M=G，得〃z=(3,6,5).

m-AQ=-2xi%+-2i=0,

V3g、

設(shè)平面PCD的法向量為"=(々,%，22)，DC=(-1,73,0),DP=1,

-T，2'

n-DC=-x2+43y2-0,

則y/33令丁2=1，得力=(6,1,一百)，

n?DP—x2——%+5z2=。，

/、m-n73V777

所以COS(九?1)=^^

\m\\n\國(guó)x"259

所以銳二面角A-l-C的余弦值為《亙.

259

20.解：(1)設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”,

C2cl28

則P(A)=?產(chǎn)

■95

(2)X的可能取值為0，1，2,3,4,5,6,

RX=O)=1T“-

“x=D=C；彳

1

P(X=2)=

6

P(X=3)=C^x|xh-|jxC^x1xh-1j=|,

P(X=4)=gJxC^x|x(l-|)+(l-|J

P(X=5)=C；x|x1|H[j

22

P(X=6)=

所以X的分布列為

X0123456

1￡j_2j_

p

36969499

所以X的數(shù)學(xué)期望石(X)=0XL+1X』+2XL+3><2+4X1+5X』+6X』=W.

369694993

張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱號(hào)的概率為2.

9

719+1.

21.⑴解:/'(%)=cos%+2%,f

故曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為y=—土+1,即

[212〃*4

4〃x-4_y-yr2+4=0.

(2)證明：由(1)得/''(%)=cosx+2x.

令函數(shù)"(x)=7'(x),則/(x)=-sin尤+2>0,所以〃(x)=/'(x)是增函數(shù).

因?yàn)?'(0)=1，/{-|]=cos1-l<0,

所以存在玉)《