山東省濰坊市2023-2024學(xué)年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山東省濰坊市示范中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知川—6,0),B(A/3,0),P為圓/+>2=I上的動(dòng)點(diǎn)，AP=PQ,過(guò)點(diǎn)P作與AP垂直的直線/交直線QB

于點(diǎn)"，若點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為x,則N的取值范圍是()

A.|x|>lB.|%|>1C.國(guó)之2D.|%|>>/2

22

2.設(shè)雙曲線上+匕=1的一條漸近線為y=-2x,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線爐=4丁的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為

ab

()

A.—x2-5y2=1B.5y2--x2=1C.—y2-5x2=1D.5x2--y2=1

444-4'

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，(2+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

4.已知直線丁=》一2/是曲線y=lnx—a的切線，則。=()

A.—2或1B.—1或2C.—1或4D.1一

——或1

22

5.設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線/與橢圓C：9+V=i交于不同的兩點(diǎn)尸Q,若原點(diǎn)。在以P。為直徑的圓的外部，

則直線/的斜率上的取值范圍為()

A.P-T)B."閣忤

7?

45

,使得/(%)=—/(9)的函數(shù)稱(chēng)為“。函數(shù)”，

6.把滿足條件(1)\/xeR,=(2)Vxje7?,3x2e7?

下列函數(shù)是“。函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()

①丫=必+|戈|②y=%3③丁=/+”*④y=cosx(Sy=xsinx

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì)，平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡

診，其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士，則不同的分配方案有

A.72種B.36種C.24種D.18種

8.直三棱柱ABC—A與G中，C4=CG=2CB,AC1BC,則直線BC1與Ag所成的角的余弦值為()

占下2^/53

A.Jt>>Vz?----------Un?

5355

9.設(shè)集合4={乂為2一％一2>。},B={%|log2x<2},則集合(CRA)(B=

A.1x|-l<x<2}B.1x|0<%<2}C.1x|0<x<4}D.|x|-l<%<4}

10.已知函數(shù)/(x)=/+6的一條切線為y=a(x+D,則。匕的最小值為()

1112

A.-----B.-----C.——D.--

2e4eee

22

11.已知圓//_4x+2y+1=0關(guān)于雙曲線C：0—今=1伍>04〉0)的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則雙曲線C的離心率

為()

A.7?B.5C.65

D.

24

12.若復(fù)數(shù)z滿足(1—z)z=—l+2z?，則|引=()

1

A.巫B.之C.叵D.

2222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓土+匕=1的左焦點(diǎn)為P，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段小的中點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，|。耳

95121

為半徑的圓上，則直線小的斜率是.

2—2X%>011

14.已知函數(shù)/(x)=…則/(Ig￡)+/(lg)+/(lg2)+/(lg5)的值為_(kāi)_

2,x<0,52;?

15.過(guò)點(diǎn)A(—3,2),3(—5,—2),且圓心在直線3x—2y+4=0上的圓的半徑為.

1

16.已知數(shù)列{斯}的前“項(xiàng)和為S“，向量。=(4,-〃)，b=(S,,〃+3).若“，匕，則數(shù)列{—}前2020項(xiàng)和為

nan

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(1)=卜+。|+上一1|(〃￡尺).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(X)之4的解集；

(2)若對(duì)任意xeR都有/(x)?2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x+2|+|x—3|.

(1)解不等式/。)<3%-2；

13

(2)若函數(shù)最小值為且2a+3b=M(a>03>0),求-----+的最小值.

2a+1b+\

19.(12分)如圖，四邊形ABC。為菱形，G為AC與3。的交點(diǎn)，跖1平面ABC。.

(1)證明：平面AECL平面班D；

(2)若440=60。，AELEC,三棱錐E—ACD的體積為跡，求菱形ABC。的邊長(zhǎng).

3

20.(12分)設(shè)上eR,函數(shù)g(x)=A(無(wú)—e),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)/(尤)=1丁三.

①若左=-1,試判斷函數(shù)/(%)與g(x)的圖像在區(qū)間(1,五)上是否有交點(diǎn);

②求證：對(duì)任意的keR,直線y=g(x)都不是y=/(x)的切線；

(2)設(shè)函數(shù)丸(無(wú))=2x—xlnx+xg(無(wú))—e依，試判斷函數(shù)/z(x)是否存在極小值，若存在，求出左的取值范圍；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)

的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：

滿意不滿意

□

J40

*□

40

*(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?

（2）為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購(gòu)買(mǎi)該商品的支付情

況如下：

購(gòu)物卡支

支付方式現(xiàn)金支付APP支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優(yōu)惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購(gòu)買(mǎi)一件該促銷(xiāo)商品所支付的金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n{ad-bcf

附表及公式:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

x=2cosat「

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，把曲線（a為參數(shù)）上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的g倍，縱坐標(biāo)

y=2sma

不變，得到曲線G.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程。

（1）寫(xiě)出G的普通方程和C3的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)點(diǎn)M在G上，點(diǎn)N在上，求IMNI的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由題意得|M4，=忸。|=2|0P|,即可得點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn)，。=1的雙曲線，根據(jù)雙曲線的

性質(zhì)即可得解.

【詳解】

如圖，連接OP,AM,

由題意得肱g忸。I=2\OP\=2,

二點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn)，。=1的雙曲線,

二.W21.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

2、C

【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線方程上-三=1的漸近線方程為y=±j2x,由題意可得b=Ta,又02=i,

b-ciV-a

即5—。=1,解得a,b,即可得到所求雙曲線的方程.

【詳解】

解：拋物線爐=4丁的焦點(diǎn)為(0,1)

22

可得雙曲線工+乙=10〉0,。＜0)

abV)

即為iLE=1的漸近線方程為y=±J—x

b-av-a

由題意可得即6=-4〃

又/=1,即〃—a=l

14

解得〃=一二，b=<

即雙曲線的方程為里-5必=1.

4

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求雙曲線的方程，屬于中檔題.

3、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)i(2+i)=2i-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

求得直線y=x-21的斜率，利用曲線y=lnx-“的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得。的值.

【詳解】

直線y=x-2/的斜率為1,

對(duì)于y=lnx—a,令了=工=1,解得x=l,故切點(diǎn)為(1,—a),代入直線方程得—a=1—21,解得。=—；或1.

X/

故選:D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

設(shè)直線/：y=kx+2,P(玉,乂)，Q(x2,y2),由原點(diǎn)。在以PQ為直徑的圓的外部，可得。P-OQ〉0,聯(lián)立直線

/與橢圓C方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得答案.

【詳解】

顯然直線x=0不滿足條件，故可設(shè)直線/：y=kx+2,

.2

X|y2=1,

P（X，yJ,Q（x2,y2）,由<2,，得（l+2/）d+8立+6=0,

y=kx+2

A=64左2—240+2左2）>0,

:?解得k>旦或k〈衛(wèi),

22

8k6

a21+2左2%21+2左2

7T

0<ZPOQ<~,

OPOQ>Q,

OP-OQ=^x2+乂％=玉%2+（辰i+2）（如+2）

（+左）可々左（%+々）+）

=12+24=60+4"+4=^：

1+2421+242

，解得-#<k<下,

，直線/的斜率上的取值范圍為Ze-石，-乎^,75.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過(guò)韋達(dá)定

理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

6、B

【解析】

滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，①不滿足(2)；②不滿足(1)；

③不滿足(2)；④⑤均滿足(1)(2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.

7、B

【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科

醫(yī)生和1名護(hù)士，根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

2名內(nèi)科醫(yī)生，每個(gè)村一名，有2種方法，

3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有，則分1名外科，2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1

名護(hù)士，

若甲村有1外科,2名護(hù)士，則有二匚-==、_；=；，其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名護(hù)士，則有二二f其余的分到乙村，

則總共的分配方案為2x（94-9）=2x18=36種，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分組分配問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.

8、A

【解析】

^CA=CCl=2CB=2,延長(zhǎng)A耳至。，使得4用=用。，連BD,C[D,可證4用//5。，得到/。浪。（或補(bǔ)角）

為所求的角，分別求出片,G。，解即可.

【詳解】

設(shè)C4=CC|=2CB=2,延長(zhǎng)4耳至。，使得4四=4。，

連BD,C]D,在直三棱柱ABC—agG中，A3//4片,43=4用，

AB//B}D,AB=B]D,四邊形ABDB}為平行四邊形，

.-.ABJ/BD,.-.ZQBD（或補(bǔ)角）為直線8G與A片所成的角，

在中，BC[=y/cC：+BC2=卮

在RI^ABC中，A|5|=小A。；+Cj=cosN_B]AG=—j=,

在AG。中,

C,D2=4q2+A1D2-2A1q-A,DcosZB14q=4+20-16=8,

在RtAA^B]中，AB1=JW+AB：=3,/.BD=AB、=3,

BC；+BU-CD5+9-875

在6G。中，cosZQBD=

2BC[BD-675-5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

9、B

【解析】

先求出集合A和它的補(bǔ)集，然后求得集合3的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于集合A,(x—2)(%+1)>0,解得x<—1或x>2,故。相=[—1,2].對(duì)于集合瓦1。82X<2=10824,解得0<；^4.

故(金4加6=(0,2].故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元

二次不等式的解法是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號(hào)的另一邊化為0,然后通過(guò)因式分解，求得對(duì)應(yīng)的一元二

次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來(lái)求得一元二次不等式的解集.

10、A

【解析】

求導(dǎo)得到尸(x)=",根據(jù)切線方程得到b=alna,故而=/足。，設(shè)g(x)=finx,求導(dǎo)得到函數(shù)在0,”上

7

(1、

單調(diào)遞減，在屋5,+82

上單調(diào)遞增，故g(x)1nm=ge,計(jì)算得到答案.

【詳解】

x

f{x}=e+b,則.(%)=/,取/。=〃,(a>0),故Xo=lna,f(^x0)=a+b.

故〃+=〃(ln〃+l),故Z?=alna,ab=a2]na?

設(shè)且(力二/山%,g,(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g(%)=0,解得%=.

2?

c

Cj_A1

故函數(shù)在o,”上單調(diào)遞減，在e2,+oo上單調(diào)遞增，故8(4^=ge2

2e

7I)7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

11、C

【解析】

將圓d+/_歙+2y+1=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為(2,-1).根據(jù)圓V+y一以+2y+1=0關(guān)于雙曲線

C：W-blx->

=1(。>02〉0)的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則圓心在漸近線上，,=5.再根據(jù)e=￡=求解.

a

【詳解】

已知圓d+/一4x+2y+1=0,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為::(%—2)+(y+i)=4,

所以圓心為(2,—1).

V2

因?yàn)殡p曲線c：0

a下

b

所以其漸近線方程為y=±-%,

a

22

又因?yàn)閳Ax2+y2-4x+2y+l=0關(guān)于雙曲線。：二—二=l(a>0,Z?>0)的一條漸近線對(duì)稱(chēng),

ab

則圓心在漸近線上,

所以

a2

所以e=￡=

aN(aJ2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程及對(duì)稱(chēng)性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

12、C

【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【詳解】

(-1+2"(1+0=_31

解：由(l—z)z=—l+2i,得2=

：+(l-i)(l+i)~22

V1O

???同=目=

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、V15

【解析】

結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用

焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡(jiǎn)潔.

【詳解】

方法1：由題意可知I。川=|OM|=c=2,

由中位線定理可得仍制=21QW|=4,設(shè)P(x,y)可得(x-2)2+V=16,

22

聯(lián)立方程上+匕=1

95

321

可解得x=—7,冗=工(舍)，點(diǎn)p在橢圓上且在x軸的上方,

22

方法2：焦半徑公式應(yīng)用

解析1：由題意可知|0/|=|0M|=c=2,

由中位線定理可得|尸制=21QW|=4,即a—叼=424=一3

z岳

求得尸一］'一'所以kpF=；=.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問(wèn)題的

重要途徑.

14、4

【解析】

根據(jù)lgg，lgg，1g2,1g5的正負(fù)值，代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可?

【詳解】

解：/(Ig|)+/(lg1)+/(lg2)+/(lg5)

lg2lg2lg5

=2%+2-叼+2—2旅+2—21g5=21g§+2+2-2+2-2=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題.

15、M

【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，結(jié)合圓心所在直線方程，即可求得圓心坐標(biāo).由兩點(diǎn)間距離公式，即可得半徑.

【詳解】

因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,2),B(-5,-2)

2-(-2)

則直線AB的斜率為k=/，=2

所以與直線AB垂直的方程斜率為k'=--

2

點(diǎn)4(—3,2),5(—5,—2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(-4,0)

所以由點(diǎn)斜式可得直線AB垂直平分線的方程為y=-g(x+4)，化簡(jiǎn)可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，且圓心在直線3%-2y+4=0上，設(shè)圓心。(”力)

a+2b+4=0a=—2

所以圓心滿足cc,“八解得，,

3。一2"4=0[/?=—1

所以圓心坐標(biāo)為0(—2,—1)

則圓的半徑為廠=。4=4—3+2)2+(2+1『=回

故答案為：而

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系，直線與直線交點(diǎn)的求法,直線與圓的位置關(guān)系，圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.

4040

16>-------

2021

【解析】

由已知可得=4%-〃(n+3)=0,可得丸二二-----,〃=1時(shí)，〃i=Si=l.當(dāng)論2時(shí)，如=S〃-%-i.可得:

2(--——).利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.

nan

【詳解】

9

T??ab=^Sn-n(n+3)=0,

Sn=---------,〃=1時(shí)，ai=Si=l.

4

當(dāng)心時(shí)，a“=S"S,…心叁”色=山

442

mH+l

n=l,滿足上式，.,.%=;一

12

=2(----).

nannyn+n〃+1

1

???數(shù)列｛——｝前2020項(xiàng)和為

叫

11111、4040

2(1------1--------++———)=2(1--J--------

2232020202120212021

4040

故答案為:

2021

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)(—00,-2]o[2,+co)(2)(-°0,3][!,+<?)

【解析】

(1)|x+l|+|x-l|24利用零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集,

(2)/(%)22對(duì)％eR恒成立，則>2,

由二角不等式|x+tz|+1x~l|>|x+a~x+11=|a+1|>得求解

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，不等式/(x)24即為|犬+1|+|九T|24,

x<-l—1<%<1X>1

可得或<或<

-x-l+l-x>4x+l+l-x>4x+l+x-l>4'

解得％W-2或%￡0或X22,

則原不等式的解集為(-8,-2］。⑵y)

(2)若對(duì)任意xeR、都有/(%)>2,

即為了（功加“22,

由|x+a|+|x-L閆x+a-x+l|=|a+l|,當(dāng)（％+々）（％-1）<0取得等號(hào)，

則/（%）”而=|。+",由卜+1|22,可得或a<—3,

則。的取值范圍是（-8,3]工+8）

【點(diǎn)睛】

本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問(wèn)題.（1）含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用

解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式（組）求解（2）利用三角不等

式軻一網(wǎng)1|“耳？回十網(wǎng)把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.

-7）16

18、（1）-,+℃（2）—

[3J9

【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.

1a

（2）先求得了（九"5,即2a+3人=5（a>03>0）,再根據(jù)“1的代換”的方法，結(jié)合基本不等式，求得:;~-+-^-

\70XT.I1Mil

的最小值.

【詳解】

3

(1)當(dāng)xv-2時(shí)，一%—2—%+3<3]一2,即無(wú)解;

77

當(dāng)一2<x<3時(shí)，x+2-x+3<3x-2,即一Vx,得一《九<3；

33

當(dāng)x>3時(shí)，x+2+x-3<3x-2,即%21,得%>3.

故所求不等式的解集為

(2)因?yàn)?(%)=|%+21+1x—3以(龍+2)—(九一3)|=5,

所以2Q+3Z?=5(a>0,Z?>0),則2a+1+3(b+1)=9,

131133("1)3(2〃+1)

-----1----——[2^z+l+3(Z?+l)]=-10+

2a+lb+192a+1/?+12a+1b+1

2a+1=Z?+1,

當(dāng)且僅當(dāng)2a+3b=5,即<時(shí)取等號(hào).

a>0,b>0,b=-

的最小值為。.

故-----+-----

2a+1/7+1

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中

檔題.

19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)1

【解析】

(1)由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得AC，平面50E,再由面面垂直的判定定理，即可得證；(2)設(shè)=尤,

分別求得AC,OG和EB的長(zhǎng)，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值.

【詳解】

(1)四邊形ABC。為菱形，

.-.AC±BD,

平面ABCD,

:.ACLBE,

又BDcBE=B,

.,.AC,平面

又ACu平面

平面AEC±平面BED；

(2)設(shè)=無(wú)，在菱形ABC。中，由440=60。,

可得AG=GC=^x，GB=GD=：,AC=^3x，

22

AELEC,

.,.在RtAAEC中，可得EG="x，

2

由BE1面ABC。，知屆，5G,AfiEG為直角三角形，可得BE=后2一BG?=正龍,

2

3

三棱錐E-ACD的體積V￡ACD=-x-ACGDBE=—x=—,

E-ACD32243

.?.x=4,.,.菱形的邊長(zhǎng)為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，意在

考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

20、(1)①函數(shù)/(元)與g(x)的圖象在區(qū)間(1,6)上有交點(diǎn)；②證明見(jiàn)解析；(2)左>0且人工二；

2e

【解析】

(1)①令尸(X)=/(%)-g(x),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可；②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為天，求出切線方程，得到

毛=2e-e歷％,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

(2)求出必幻的解析式，通過(guò)討論上的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定上的范圍即可.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)左=—1時(shí)，函數(shù)g(x)=-x+e,

4-F(x)=/(x)-g(x)=-~~-+x-e,,

1-lwc

則尸(l)=2-e<0,F(M=3&-e>0,

故F⑴倒風(fēng))<0,

又函數(shù)E(x)在區(qū)間(1,77)上的圖象是不間斷曲線，

故函數(shù)E(x)在區(qū)間Q,8)上有零點(diǎn)，

故函數(shù)Ax)與g(x)的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)；

②證明：假設(shè)存在keR,使得直線y=^(x-e)是曲線y=/(x)的切線，

切點(diǎn)橫坐標(biāo)為X。，且x()e(O,e)U(e,+<?),

則切線y=f(x)在點(diǎn)x=x0切線方程為y=f'(x0)(x-x0)+/(x0),

即2一-％尤_2>_無(wú)。/啄+尤0

22

'(lnx0-I)(lnx0—I)1—lnx0，

2-lnx2x-xlnx%_

從而卜二7-----0,且0----0+--0--=~ke,

(/nx0-1)(/nx0-1)1-Inx^

消去%,得%o=2e-e/nxo，故/=e滿足等式，

令s(%0)=%-2e+e/m；0,所以"%)=1+1，

xo

故函數(shù)s(%)在(0,e)和(e,+8)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)s(尤0)在/=e時(shí)s(e)=0,

故方程x0=2e-elnx0有唯一解七=e,

又飛?0,e)J(e,+co),

故/不存在，即證；

(2)由h{x)=2x—xlnx+xg(x)—ekx-2x—xbvc+kx2—2%e尤得,

%>0,=1—Inx+2k(x—e),

令m(x)=l—lwc+2k(x—e),

貝!|m\x)=2k--=^—^9

xx

加(e)="(e)=0,

⑴當(dāng)鼠。時(shí)，〃(%)遞減，

故當(dāng)％e(0,e)時(shí),h'(x)>0,/z(x)遞增，

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，h\x)<0,/z(x)遞減，

故/i(x)在x=e處取得極大值，不合題意；

(詞后>0時(shí),則加x)在(0二)遞減,在小，+功遞增,

2k2k

①當(dāng)0<左J時(shí)，—>e,

2e2k

故皿x)在(0二)遞減，

2K

可得當(dāng)xe(0,e)時(shí)，〃(x)>0,

當(dāng)xe(??,—)時(shí)，”(尤)<0,

2k

冰-pk

m(——)=(1—Ike)+2ek—In——9

kk

ii

-j-1

易證令m(k)=2『—In屬33)，

k2kk2e

令/=L>2e,

k

故n")=2et—Im—t,貝(]H?)=2e------1>0,

t

故〃⑺在(2e,+8)遞增，

貝!]"⑺>n(2e)>〃⑴>0,

即0<左<上時(shí)，m>0,

2e

故在<7，絲)內(nèi)存在%,使得加(%)=。，

2k「

故川犬)在(二%)上遞減，在(%,+8)遞增，

2k

故/2(X)在X=X0處取得極小值.

②由(1)知左二—,—-=e,

2e2k

故〃(x)在(0,e)遞減，在?+8)遞增，

故1￡(0,+8)時(shí)，〃(元)..0,做幻遞增,不合