2024年中考數(shù)學訓練-平行線四大模型（專項訓練）原卷版+解析

03平行線四大模型（專項訓練）

1.將一副三角板按圖中方式疊放，則角a等于（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.如圖，直線a〃b,直線c分別交a,6于點A,C,NBAC的平分線交直線6于點。，若

Nl=55°,則N2的度數(shù)是（）

A.50°B.70°C.80°D.110°

3.如圖，a//b,M、N分別在a,b上，P為兩平行線間一點，那么/1+/2+/3=（）

A.180°B.360°C.270°D.540°

4.把一塊直尺與一塊直角三角板如圖放置，若Nl=38°,則N2的度數(shù)為.

5.如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測得48=140°,/。=120°,則N

C的度數(shù)為度.

B

C

Rn

6.問題情境

（1）如圖①，已知N2+NE+N￡>=360°,試探究直線AB與CD有怎樣的位置關(guān)系？并

說明理由.

小明給出下面正確的解法：

直線AB與CD的位置關(guān)系是AB//CD.

理由如下：

過點E作匹〃AB（如圖②所示），

所以N8+/BEF=180°（依據(jù)1）,

因為28+/8皮>+/。=360°（已知），

所以NB+NB￡F+/FEr）+ND=360°,

所以NEED+/￡）=180°,

所以EF〃CD（依據(jù)2）,

因為團"A8,

所以4B〃a）（依據(jù)3）.

交流反思

上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？

“依據(jù)1”：,

“依據(jù)2”：,

“依據(jù)3”：,

類比探究

（2）如圖，當NB、NE、/F、ND滿足條件時，有AB

//CD.

拓展延伸

（3）如圖，當N8、/E、ZF.ND滿足條件時，有A3〃CD

第⑴小題圖①第⑴小題圖②

第（2）小題圖第⑶小題圖

7.如圖，a//b,將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置.若/1=15°,則/2的大小

D.45°

8.將長方形紙條按如圖方式折疊，折痕為。E,點A,8的對應點分別為A',B',若/a

=Zp-20°,則N0的度數(shù)為（）

9.如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則N8CD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

10.如圖，將直尺與30角的三角尺疊放在一起，若N2=50°,則N1的大小是（）

30：

A.40°B.50°C.70°D.80°

11.如圖，一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O,AB//OC,QC與OA交于點E,

則的度數(shù)為()

A.85°B.75°C.70°D.60°

12.如圖，船C在觀測站A的北偏東35°方向上，在觀測站B的北偏西20°方向上，那么

/ACB=()度.

A.20°B.35°C.55°D.60°

13.如圖，AB//CD,將一副直角三角板作如下擺放，ZG￡F=60°,ZMNP=45°.下列

結(jié)論：①GE〃MP；②/EFN=150°；③/BEF=65°；④/AEG=35°,其中正確的

A.1B.2

14.已知人〃/2,一個含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若Nl=65°,則N2

=度.

15.如圖，AB〃CD,點E,F分別是AB,CC上的點，點M位于與C￡＞之間且在EF的

右側(cè).

(1)若/M=90°,則NAEM+NCFW=；

(2)若,/BEM與的角平分線交于點N,則NN的度數(shù)為.(用

含n的式子表示)

16.小明同學遇到這樣一個問題：

如圖①，已知：AB//CD,E為AB、C￡>之間一點，連接BE,ED,得到/BED

求證：ZBED^ZB+ZD.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：

過點E作EF//AB,則有ZB.

'：AB//CD,

：.EF//CD,

:./FED=/D,

/BED=ZBEF+ZFED=NB+/D.

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：

直線直線斯和直線人、/2分別交于C、。兩點，點A、B分別在直線/1、/2上,

猜想：如圖②，若點尸在線段O)上，NE4c=15°,NPBD=40°,求NAPB的度數(shù).

拓展：如圖③，若點P在直線斯上，連接以、PB(BD<AC),直接寫出NE4C、Z

APB、NP3D之間的數(shù)量關(guān)系.

17.如圖1,AB//CD,￡。廠是直線A3、C。間的一條折線.

(1)試證明：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)如果將折一次改為折二次，如圖2,則N2E0、/0、/P、NPPC之間會滿足怎樣

的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

18.如圖，AB//CD,點E為AB上方一點，F(xiàn)B、CG分另U為NEFG、NECD的角平分線,

若NE+2NG=210°,則/EFG的度數(shù)為（

A.140°B.150°C.130°D.160°

19.如圖，AB//EF,NC=90°,則a、0和丫的關(guān)系是（）

A.B=a+yB.a+B+y=180°C.a+P-y—90°D.p+y-a=180°

20.某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如右圖所示模型.已知AB垂直

于水平地面AE.當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點B緩慢向上抬高,

CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即。與AE始終平行），在該運動過程中NA5C+N

BCD的度數(shù)始終等于（）度

A.360B.180C.250D.270

03平行線四大模型（專項訓練）

1.將一副三角板按圖中方式疊放，則角a等于（）

C.60°D.75

【答案】D

【解答】解：如圖，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，

.\Z1=45°,

根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和,

.,.Za=Zl+30°=75°.

故選：D.

2.如圖，直線?！╞,直線c分別交a,6于點A,C,N8AC的平分線交直線6于點若

Nl=55°,則N2的度數(shù)是（）

C.80°D.110°

【答案】B

【解答】解：平分NBAC,

：.ZBAD^ZCAD,

'：a//b,Zl=55°,

：.ZBAD=ZCAD=55a,

.".Z2=180°-55°-55°=70°.

故選：B.

3.如圖，a//b,M、N分別在a,b上，P為兩平行線間一點，那么Nl+N2+N3=()

A.180°B.360°C.270°D.540°

【答案】B

【解答】解：過點P作朋〃a,

''a//b,PA//a,

：.a//b//PA,

.\Z1+ZMB4=18O°,/3+NAPN=180°,

：.Z1+ZMB4+Z3+ZAP2V=18O°+180°=360°,

；./1+/2+/3=360°.

故選：B.

4.把一塊直尺與一塊直角三角板如圖放置，若/1=38°,則N2的度數(shù)為

【答案】128。

【解答】解：如圖，

VZ1=Z3=38°,

.,./2=90°+/3=90°+38°=128°.

故答案為：128°.

5.如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中測得/8=140°,/。=120°,則/

C的度數(shù)為度.

【答案】100

【解答】解:如圖所示：過點C作C尸〃A3.

'：AB//DE,

J.DE//CF-,

AZBCF=180°-ZB=40°,ZDCF=180°-ZD=60°；

ZC=ZBCF+ZDCF=100°.

故答案為：100.

6.問題情境

（1）如圖①，已知N8+NE+NO=360°,試探究直線48與CD有怎樣的位置關(guān)系？并

說明理由.

小明給出下面正確的解法：

直線AB與CD的位置關(guān)系是AB//CD.

理由如下：

過點E作匹〃AB（如圖②所示），

所以/8+/BEF=180°（依據(jù)1）,

因為N2+NB￡D+/￡）=360°（己知），

所以/8+/8EF+/FED+NQ=360°,

所以/FEZ）+/O=180°,

所以EF〃CD（依據(jù)2）,

因為E尸〃AB,

所以（依據(jù)3）.

交流反思

上述解答過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指什么？

“依據(jù)1”：,

“依據(jù)2”：,

“依據(jù)3”：,

類比探究

（2）如圖，當NB、NE、/F、ND滿足條件時，有AB

//CD.

拓展延伸

（3）如圖，當NB、/E、ZF.滿足條件時，有AB〃CZX

第⑴小題圖①第⑴小題圖②

第⑵小題圖第⑶小題圖

【解答】解：(1)“依據(jù)1"：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補,

“依據(jù)2”：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，

“依據(jù)3”：平行于同一條直線的兩直線平行，

故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；平行于同一條直

線的兩直線平行，

(2)如圖，當48、/BEF、NEFD、/￡)滿足條件NB+/BEF+/E尸。+/。=540°時，

有48〃CD

理由：過點E、/分別作GE〃族〃CD

則/GE/+/EFH=180°,Z//FD+ZCDF=180°,

AZGEF+ZEFD+ZFDC^360°；

XVZB+ZBEF+ZEFD+ZD=540°,

.?./B+N2EG=180°，

J.AB//GE,

J.AB//CD；

故答案為：ZB+ZBEF+ZEFD+ZD=54Qa；

(3)如圖，當NB、/BEF、/EFD、滿足條件180°+/EFD時,

有AB〃CD

理由：過點E、/分別作GE〃尸H〃CD

則/D=NHFD,

"：ZB+ZBEF+ZD=180°+ZEFD,

即ZB+ZBEG+ZGEF+ZD^180°+ZEFH+ZHFD,

：.ZB+ZBEG=1SO°,

J.AB//GE,

J.AB//CD,

故答案為：ZB+ZBEF+ZD=180°+ZEFD.

第⑶小題圖

第(2)小題圖

7.如圖，a//b,將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置.若Nl=15°,則N2的大小

C.30°D.45°

【答案】C

【解答】解：如圖：過點8作8C〃b,

：.Z1=ZCBD=15°,

???AABD是等腰直角三角形，

/.ZAB￡)=45°,

???ZABC=ZABD-ZCBD=30°,

u：a//b,

.\a//BC,

???N2=NABC=30°,

故選：C.

8.將長方形紙條按如圖方式折疊，折痕為。2點A,5的對應點分別為A，，B',若Na

=Zp-20°,則N0的度數(shù)為()

A，

C.70°D.80

【答案】C

【解答】解：如圖：延長四'交A產(chǎn)于點G,

???四邊形尸是矩形,

：.ZB=90°,AF//BH,

由折疊得:

ZB=ZA'B'E=90°,ABEB'=2/BED=2NB，

：.ZCB'G=180°-ZArB'E=90°,

a：AF//BH,

：.ZFGBrNBEB'=2Zp,

VZFGBf是△CG3’的一個外角,

ZFGBr=/GCB'+ZCBfG,

/.2Zp=Za+90°,

VZa=Zp-20°，

A2Zp=Zp-20°+90°,

???N0=7O°,

故選：C.

9.，ZCZ)E=140°,則N8CD的度數(shù)為()

A.30°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【解答】解:反向延長0E交于如圖:

B

\'AB//DE,

：.ZBMD=ZABC=^°,

：.ZCMD=180°-ZBMD=100°；

又?；ZCDE=ZCMD+ZC,

：.ZBCD=ZCDE-ZCMZ）=140°-100°=40°.

故選：B.

10.如圖，將直尺與30角的三角尺疊放在一起，若N2=50°,則N1的大小是（）

【答案】C

VZ2=50°,AB//CD,

：.Z4=Z2=50°,

.,.Zl=180°-60°-50°=70°,

故選：C.

11.如圖，一副三角板疊放在一起，使直角頂點重合于點O,AB//OC,與。4交于點E,

則NO石。的度數(shù)為（）

A.85°B.75°C.70°D.60°

【答案】B

【解答】解：過點E作E/〃CO,

/.ZAEF=ZA=30°,

'：AB//CO,

J.EF//CO,

：.ZFEC=ZC=45°,

AZAEC=ZAEF+ZFEC=15°,

：.ZDEO=ZAEC=75°,

故選：B.

12.如圖，船。在觀測站A的北偏東35°方向上，在觀測站8的北偏西20°方向上，那么

ZACB=()度.

A.20°B.35°C.55°D.60°

【答案】C

【解答】解：如圖：過點。作C尸〃AD,

由題意得：

ZDAC=35°,ZCBE=20°,AD//EB,

：.CF//EB,

：.ZFCB=ZCBE=20°,

9：CF//AD,

：.ZACF=ZDAC=35°,

AZACB=ZACF+ZFCB=55°,

故選：c.

13.如圖，AB//CD,將一副直角三角板作如下擺放，ZG￡F=60°,/MNP=45；下列

結(jié)論：①GE〃MP；②NEFN=150。；③NBEF=65°；?ZAEG=35°,其中正確的

個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：①由題意得：NG=NMPN=90°,

J.GE//MP,故①正確；

②由題意得NE尸G=30°,

:.NEFN=18Q°-NEFG=150°,故②正確；

③過點尸作也如圖，

'：AB//CD,

：.ZBEF+ZEFH=180°,FH//CD,

：.ZHFN=ZMNP=45°,

NEFH=NEFN-ZHFN=105°,

：.ZBEF=180°-ZEFH=15°,故③錯誤；

@VZGEF=60°,/BEF=15°,

：.ZA￡G=180°-ZGEF-ZBEF=45°,故④錯誤.

綜上所述，正確的有2個.

故選：B.

14.已知人〃/2,一個含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若Nl=65°,則N2

=度.

h

1

【答案】25

【解答】解：如圖，

過直角頂點作

VZI/7/2,

：.h//h//l3,

.\Z1=Z3,N2=/4,

.?.Zl+Z2=Z3+Z4=90°,

；/l=65°,

.\Z2=25°.

故答案為：25.

15.如圖，AB〃CD,點E,尸分別是AB,CD上的點，點M位于A8與C￡）之間且在EP的

右側(cè).

（1）若/M=90°,則；

（2）若。，/BEM與NOFM的角平分線交于點N,則NN的度數(shù)為.（用

含n的式子表示）

【答案】270°.

2

【解答】解：（1）過點M作

,JAB//CD,

J.AB//CD//MP,

：.Z1=ZMEB,N2=NMFD,

VZM=Z1+Z2=9O°,

AZMEB+ZMFD^90°,

VZAEM+ZMEB+ZCFM+ZMFD=180°+180°=360°,

AZA￡M+ZCFM=360°-90°=270°.

故答案為：270°；

(2)過點N作N?！?8,

AED

'：AB//CD,

.,.AB//CD//NQ,

:—NEB,N4=NNFD,

ZNEB+ZNFD=Z3+Z4=ZENF,

,//BEM與NDFM的角平分找交于點N,

VZNEB^—ZMEB,ZDFN^—/MFD,

22

：.N3+/4=NBEN+/DFN=L(NMEB+/MFD),

2

由(1)得，ZMEB+ZMFD=ZEMF,

:.NENF=L/EMF=Z"。.

22

故答案為：.

2

16.小明同學遇到這樣一個問題：

如圖①，已知：AB//CD,E為AB、C￡＞之間一點，連接BE,ED,得到/BED

求證：ZBED^ZB+ZD.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：

過點E作EF//AB,則有ZB.

'JAB//CD,

：.EF//CD,

???ZFED=NO,

???NBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD.

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題：

直線/1〃/2,直線口和直線/1、/2分別交于。、。兩點，點A、8分別在直線/1、/2上,

猜想：如圖②，若點尸在線段CD上，ZPAC=15°,NPBD=40°,求NAPB的度數(shù).

拓展：如圖③，若點P在直線跖上，連接B4、PB(BD<AC),直接寫出NB4C、Z

APB、NP5Q之間的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：猜想：如圖1,過點尸作尸〃〃AC,則NB4C=NAPH,

V/1//Z2,

J.BD//PH,

：.ZPBD=NBPH,

：.ZAPB=NAPH+/BPH=ZPAC+ZPBD.

VZB4C=15°,NPBD=40°,

/.ZAPB=150+40°=55°.

拓展：①如圖1,當點尸在線段CO上時，

由猜想可知，ZAPB=ZPAC+ZPBD；

②如圖2,當點尸在射線。尸上時，

過點P作PH//AC,則APAC=NAPH,

V/1/7Z2,

J.BD//PH,

:?/PBD=/BPH,

：.ZAPB=ZAPH-ZBPH=ZPAC-NPBD；

③如圖3,當點尸在射線CE上時，

過點尸作尸H〃AC,則NB4C=NAPH,

VI1//I2,

J.BD//PH,

:?/PBD=/BPH,

ZAPB=ZBPH-ZAPH=ZPBD-ZPAC；

綜上所述，APAC.AAPB,NPBD之間的數(shù)量關(guān)系為NAP2=NE4C+NPB?；騈APB

=ZPAC-/PBD或NAPB=/PBD-APAC.

圖1圖2圖3

17.如圖1,AB//CD,EOF是直線AB、CO間的一條折線.

(1)試證明：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)如果將折一次改為折二次，如圖2,貝IJ/8E。、/O、/尸、/PFC之間會滿足怎樣

的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論.

【解答】(1)證明：作。如圖1,

.?.Z1=ZB￡O,

'：AB//CD,

：.OM//CD,

：.Z2=ZDFO,

：.Z\+Z2=ZBEO+ZDFO,

即：ZO=ZBEO+ZDFO.

(2)解：ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.理由如下:

OM//AB,PN//CD,如圖2,

?：AB//CD,

：.OM//PN//AB//CD,

J.Zl^ZBEO,Z2=Z3,Z4=ZPFC,

：.Z1+Z2+ZPFC=ZBEO+Z3+Z4,

：.ZO+ZPFC=ZBEO+ZP.

18.如圖，AB//CD,點E為45上方一點，F(xiàn)B、CG分別為NEFG、/EC。的角平分線,

若NE+2NG=210°,則NE尸G的度數(shù)為（）

A.140°