2024年二輪數(shù)學講義 函數(shù)與導數(shù)

.H專題突破

-專題一函數(shù)與導數(shù)

第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)

[考情分析11.函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點和熱點，主要考查函數(shù)的定義域與值域、

分段函數(shù)、函數(shù)圖象的識別與應(yīng)用以及函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)的綜合

應(yīng)用，難度屬于中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的

位置，多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題相結(jié)合命題.

考點一函數(shù)的概念與表示

【核心提煉】

1.復合函數(shù)的定義域

(1)若大x)的定義域為[m,nJ,則在<g(x))中，由解得x的范圍即為貝g(x))的定義

域.

(2)若_/(g(x))的定義域為[m,〃],則由，"WxW”得到g(x)的范圍，即為火x)的定義域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

例1(1)(2023?南昌模擬)已知函數(shù)兀0的定義域為(1,+8),則函數(shù)尸(/=/(2'—3)+后：^的

定義域為()

A.(2,3]B.(-2,3]

C.[-2,3]D.(0,3]

答案A

[2V-3>1,\x>2,

解析由題可知，、=?一=24<3,故函數(shù)尸(x)的定義域為(2,3].

13—

—x+7,xW2

⑵(2023?重慶模擬)設(shè)〃>0且QWI,若函數(shù)於)=,'、'的值域是[5,+8),則〃

3+10gaX,x>2

的取值范圍是()

A.樞+°0)B.(1,A/2)

C.(1,啦］D.(A/2,+~)

答案c

—x+7xW2,

ciic(〃>0且〃Wl)的值域是［5,+°°),

{3+loggx>2

故當x<2時，滿足7U)=7—x25.

若./u)=3+iog〃x在它的定義域上為增函數(shù)，

當x>2時，由y(x)=3+logd25,

得logM22,logrt222,

；?l<aWp.

若0<“<1,?x)=3+1og〃x在它的定義域上為減函數(shù)，J(x)=3+log?x<3+log?2<3,不滿足於)

的值域是［5,+°°).

綜上可得l<aW版

規(guī)律方法(1)形如大g(x))的函數(shù)求值時，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.

(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.

［x~3,10,

跟蹤演練1(1)(2023?濰坊模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=L“,則48)等于()

必x+4)),x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

x—3,x210,

解析因為y(x)=，

旅c+4)),JC<10,

則_A8)=歡12))=式9)=歡13))

=/U0)=7.

(2)(多選)設(shè)函數(shù)凡r)的定義域為力，如果對任意的xG。，存在yCD,使得人x)=一用，)成立，

則稱函數(shù)7U)為“M函數(shù)”.下列為“M函數(shù)”的是()

A.y(jc)=sinxcosxB.火x)=lnx+e*

C.Ax)=2'D../0=e一2欠

答案AB

解析由題意，得"Af函數(shù)"的值域關(guān)于原點對稱.A中,./(x)=sinxcosx=￡sin2xW—J,

其值域關(guān)于原點對稱，故A是“M函數(shù)”；B中，函數(shù)y(x)=lnx+e*的值域為R,故B是“M

函數(shù)”；C中，因為貝x)=2*>0,故C不是"M函數(shù)"；D中，J(x)=x1—2x=(x-1)2—1>-

1,其值域不關(guān)于原點對稱，故D不是“M函數(shù)”.

考點二函數(shù)的圖象

【核心提煉】

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、

伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點.

例2(1)(2023?寧波十校聯(lián)考涵數(shù)於)=ln|x|cos0+2x)的圖象可能為()

A

答案A

解析因為函數(shù)危)=In|x|cos停+2x)

=-In|x|sin2x,定義域為(一8,0)U(0,+°°),

且y(-%)=_ln|-x|sin(-2x)=ln|x|sin2x=-J(x)9

所以函數(shù)7U)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故排除選項B,D；

當xW(0,l)時，In|x|<0,sin2x>0,

所以加)=Tn|Msin2x>0,故排除選項C

「，’八''若X1<X2<V3<X4，且於]）=%2）=

|10g2%bX>0,

XX3）=/（X4）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%]+x2=-4

B.X3X4=1

C.l<xi<4

D.0<riX2X3%4^4

答案AB

—A2—4x,xWO,

解析函數(shù)/U)=的圖象如圖所示,

|log2^|,戈>0

設(shè)7(X|)=y(X2)=1Ax3)=?X4)=f,則o<r<4,

則直線y=r與函數(shù)y=/(x)的圖象的4個交點橫坐標分別為Xi,及，x3,x4,

對于A,函數(shù)y=-x2—4x的圖象關(guān)于直線x=-2對稱，則制+及=—4,故A正確；

對于B,由圖象可知|k>g2X3|=|10g2X4|,且0cx3<1<X4,

所以一10g2X3=k>g2X4,即10g2(X3X>)=0,所以XM4=1,故B正確；

當xWO時，J(x)=-X2-4X=~(X+2)2+4^4,

由圖象可知k)g2X4G(0,4),則故C錯誤；

由圖象可知一4<R<—2,

所以X\X2X3X4—XI(—4—XI)——%?—4XI=—(JCI+2)2+4S(0,4)>故D錯誤.

規(guī)律方法(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等,

特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.

(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關(guān)

不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題.

跟蹤演練2(1)(2022?全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖

象，則該函數(shù)是()

—j?+3x

A-尸7+1

2xcosx2sinx

C.y=^+\D.產(chǎn)RT

答案A

解析對于選項B,當x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；對于選項D,當x=3時，y

=|sin3>0,與圖象不符，故排除D；對于選項C,當時，0<cosx<l,故尸當詈

<7百W1,與圖象不符，所以排除C.故選A.

返。則下列圖象錯誤的是()

y=lf(x)l的圖象.y=/(Ld)的圖象

CD

答案D

解析當一IWXWO時，五x）=-2x,表示一條線段，且線段經(jīng)過（一1,2）和（0,0）兩點.

當0<x〈l時，於）=5，表示一段曲線.函數(shù)人x）的圖象如圖所示.

./U-1）的圖象可由兀v）的圖象向右平移一個單位長度得到，故A正確；|一x）的圖象可由;U）

的圖象關(guān)于），軸對稱后得到，故B正確；由于7U）的值域為[0,2],故火x）=|/（x）|,故|/（x）|的圖

象與兀v）的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中川刈的圖象不正確.

考點三函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

1.函數(shù)的奇偶性

（1）定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則有

人用是偶函數(shù)。*一x）=/（x）=A|x|）;

/（X）是奇函數(shù)。訓-x）=—fix）.

（2）判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法（如奇函數(shù)X奇函數(shù)是偶函數(shù)）.

2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法.

3.函數(shù)的周期性

若函數(shù)?r）滿足7（x+a）=y（x—“）或y（x+2a）=y（x）,則函數(shù)y=y（x）的周期為2間.

4.函數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸

(1)若函數(shù)滿足關(guān)系式人口+幻+大。一了)=26則函數(shù))，=yu)的圖象關(guān)于點(〃，/?)對稱.

(2)若函數(shù)危)滿足關(guān)系式+x)=fib—x),則函數(shù)y=危)的圖象關(guān)于直線/=生乎對稱.

考向1單調(diào)性與奇偶性

例3(2023?泰安模擬)已知奇函數(shù)y(x)在R上是減函數(shù)，g(x)=03),若a=g(—log25.1),b=

g(3),c=g(2°8),則mb,c的大小關(guān)系為()

A.a<h<cB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案D

解析因為,/(x)為奇函數(shù)且在R上是減函數(shù)，

所以大一x)=一段),且當x>0時，J(x)<0.

因為g(x)=xfl,x),

所以g(—x)=—n(—x)=na),

故g(x)為偶函數(shù).

當￡>0時，g'(x)=J(x)+xf'(x),

因為兀r)<0,f(x)<0,所以g'(x)<0.

即g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

a=g(—log25.1)=g(log25.1),

因為3=Iog28>log25.1>log24=2>2°8,

所以g(3)<g(log25.1)<g(2°s),即b<a<c.

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例4(多選)(2023?鹽城統(tǒng)考)已知函數(shù)段)，g(x)的定義域均為R,<x)為偶函數(shù)，且/(x)+g(2

—x)=1,g(x)—Hx—4)=3,下列說法正確的有()

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

B.函數(shù)4x)的圖象關(guān)于點(一1,一1)對稱

C.函數(shù)兀》是以4為周期的周期函數(shù)

D.函數(shù)g(x)是以6為周期的周期函數(shù)

答案BC

解析對于A選項，因為yu)為偶函數(shù)，

所以y(-x)=I/(x).

由貝x)+g(2—x)=1,

可得人一x)+g(2+x)=1,

可得g(2+x)=g(2—x),

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，A錯誤；

對于B選項，因為g(x)—/(x—4)=3,

則g(2-x)—A—2-x)=3,

又因為?r)+g(2—x)=1,

可得2—x)=-2,

所以函數(shù)加r)的圖象關(guān)于點(一1,一1)對稱，B正確；

對于C選項，因為函數(shù)/)為偶函數(shù)，

且2—x)=-2,

則_/U)+Kx+2)=-2,

從而y(x+2)+y(x+4)=—2,

則兀v+4)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，C正確；

對于D選項，因為g(x)—4)=3,

且加)=於-4),

所以g(x)—/(x)=3,

又因為兀r)+g(2—x)=1,

所以g(x)+g(2-x)=4,

又因為g(2—x)=g(2+x),

則g(x)+g(x+2)=4,

所以g(x+2)+g(x+4)=4,

故g(x+4)=g(x),

因此函數(shù)g(x)是周期為4的周期函數(shù)，D錯誤.

二級結(jié)論(1)若_/U+a)=-Ax)(或Xx+a)=焉)，其中式x)#0,則人》)的周期為21al.

(2)若/(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對稱，則/(x)的周期為2|a一例.

(3)若人r)的圖象關(guān)于點(4,0)和直線x=b對稱，則/U)的周期為4\a-b\.

跟蹤演練3(1)(2023?林芝模擬)已知定義在R上的函數(shù)/U)在(-8,2］上單調(diào)遞減，且凡r+

2)為偶函數(shù)，則不等式凡r—1)次2x)的解集為()

答案D

解析???函數(shù)4x+2)為偶函數(shù)，

.?優(yōu)—x+2)=危+2),即火2—x)=/(2+x),

函數(shù)兀v)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

又；函數(shù)的定義域為R,在區(qū)間(-8,2］上單調(diào)遞減,

函數(shù)式x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，

...由於一1)次2x)得心一1)一2|>|2%—2|,

解得1,副

(2)(多選)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域為R,g'(x)為g(x)的導函數(shù),g(x)為偶函數(shù)且,/(x)+g'(x)

=2,J(x)-g'(4-x)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.g'(x)為奇函數(shù)B.,/(2)=2

C.g'(2)=2D.fil022)=2

答案ABD

解析,；g(x)為偶函數(shù)，，g(—x)=g(x),

，一g'(-x)=g'(X),即g'(X)為奇函數(shù)，故A正確;

又/x)+g'(x)=2,火x)-g'(4—x)=2,

jfl2)+g'(2)=2,

令x—2,

\j(2)-g'(2)=2,

解得/2)=2,g'(2)=0,

故B正確，C錯誤；

??TW-g，(4-x)=2,：.J(x+4)-g'(-x)=2,

又g'(x)為奇函數(shù)，則＜x+4)+g'(x)=2,

又yw+g'a)=2,

.7/U+4)=火x),

故兀r)是以4為周期的周期函數(shù)，

：.f&022)=fl2)=2,故D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.(2023?臺州質(zhì)檢)已知函數(shù)人外同時滿足性質(zhì)：①A—x)=；(x)；②當VM，念七(0,1)時,

如二酗<0,則函數(shù)於)可能為()

AjX2

A?於）=fB.yw=Q}

C.fix）=cos4xD.y（x）=ln（l—|x|）

答案D

解析①人一》）=危）說明7U）為偶函數(shù)，②v?,x2e（o,l）,華二等＜0說明函數(shù)在（0.1）上

單調(diào)遞減.A不滿足②；B不滿足①；因為/（x）=cos4x在（0,穿上單調(diào)遞減，在俘，1）上單

調(diào)遞增，所以C不滿足②；D滿足①，當xC（0,l）時，/（x）=ln（l—x）單調(diào)遞減，也滿足②.

2.（2023?成都模擬）要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=Q＞的圖象（）

A.向左平移1個單位長度

B.向右平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度

D.向右平移3個單位長度

答案D

解析由ynQjxnQ）2?'響右平移￡個單位長度，得y=g12/=?2x-1-

2X~2~X

3.（2023?南寧模擬）函數(shù)3工）=］二］工的圖象大致是（）

函數(shù)定義域為(一8,-1)U(-1,1)U(1,+oo),

2~X~2X2X-2~X

火一x)=TF=-TF=一加兒

函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,D；

23-2-363

加)=—3?=爭

24—2-417

44)=1-42__]6'

故43)次4),排除A.

4.(2023?天津)函數(shù)7(x)的圖象如圖所示，則/U)的解析式可能為()

5(—9

A.於尸/+2

B.?告

5(er+e

C.flx)=f+2

c0、5cosx

D-於)一片+]

答案D

解析由題圖知，函數(shù)圖象關(guān)于)，軸對稱，其為偶函數(shù)，且負—2)=貝2)<0,

A,B為奇函數(shù)，排除；

當》>0時，5(^+2J)>0>即C中的函數(shù)圖象在(0,+8)上函數(shù)值為正，排除，故選D.

5.(2023?新高考全國I)設(shè)函數(shù)/(x)=2MLa)在區(qū)間(0/)上單調(diào)遞減，則〃的取值范圍是()

A.(一8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2JD.[2,+8)

答案D

解析函數(shù)y=2、在R上是增函數(shù)，而函數(shù)八》)=2蟲[)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

則函數(shù)y=x(x—a)=(x一即一點在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

因此解得“22,

所以a的取值范圍是[2,+8).

Inx,九21,

6.(2023?大慶模擬)已知函數(shù)40=<0，0—若12。一1)—1W0,則實數(shù)。的取值范圍

X，x<0,

是()

A..燮,+8

B.(-8,一加0,e+1

e+1

C.0,"T"

D1(-8,—e+1

答案D

解析因為八2l)-lW0=./(2a-l)Wl.

①當2a-1^1時，

e+1

火2。-1)=皿2〃-1)W1=1—.

②當0W2a—l<l,即Tw“<l時,

式24一1)&1恒成立.

③當為一1<0,即時

12CL1)W1恒成立.

e+1

綜上所述，

7.(2023?大連模擬)已知對于每一對正實數(shù)x,y,函數(shù)_/U)都滿足：/(x)+")=/(x+y)-孫一1,

若11)=1,則滿足八，?)=〃("CN*)的〃的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析令y=1得兀)=/(x+

即y(x+1)—/(x)=x+2,

故當XEN*時，XJC+1)-XX)>0,

又共1)=1,42)=4,故|x)>0在xWN*上恒成立，且兀0在xGN*上單調(diào)遞增，所以滿足八")

=〃("6葉)僅有式1)=1,即〃僅有1個.

8.(2023?西安模擬)已知函數(shù)式x)及其導函數(shù)/(x)定義域均為R,記函數(shù)g(x)=f(x),若函

,3、2024

數(shù)_/U)的圖象關(guān)于點(3,0)中心對稱,g(2x+引為偶函數(shù),且g(l)=2,g(3)=-3,則gg(Z)等

于()

A.672B.674C.676D.678

答案D

解析因為式x)的圖象關(guān)于點(3,0)中心對稱,

所以兀v+3)=一大-x+3),則40=一五一x+6),

所以/(x)=/'(―x+6),即g(x)=g(—x+6),

所以g(x+3)=g(—x+3),

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱.

又8?+2犬)為偶函數(shù)，

e

所以g

3Jn、

則2+-gs-X

>

3

-對稱

所以g(x)的圖象關(guān)于直線2

所以g(x)的周期為7=3.

由g(l+x)=gG_x)，得g(2)=g(D=2.

又g(3)=-3,所以g(l)+g(2)+g(3)=l.

2024

故~十伏)=[g(D+g(2)+g(3)]X674+g(l)+g(2)=674+4=678.

二、多項選擇題

9.(2023?大同模擬)十九世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)"D(x)=

1,xWQ,

八r,、它在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)—。(x)，則下列函

10,X^IRQ,

數(shù)式x)的函數(shù)值可能是()

A.3B.2C.1D.0

答案ABD

-],尤￡Q,

解析由題意可知外)=--。(*)={2'r'

I",RQ

所以川)=12—1=0,代②=(啦)2=2,用標)=(5)2=3,而危)=1無解.

,—2Wx<l,

10.已知函數(shù)凡r)=|、，關(guān)于函數(shù)y(x)的結(jié)論正確的是()

[X~T~2,xl*1,

A.《X)的定義域為R

B.火x)的值域為(-8,4]

C.若火x)=2,則x的值是一小

D.Dx)<l的解集為(一1,1)

答案BC

_2<無<]

解析函數(shù)兀v）=的定義域是[-2,+8）,故A錯誤;

[―x+2,

當一2Wxvl時，，x）=f的值域為[0,4],當xNl時，,/（x）=-x+2的值域為（-8,1],故危）

的值域為（-8,4],故B正確；

當時，令加0=-x+2=2,無解，當一2Wx<l時，令段）=*=2,得到戶=一也，故C

正確；

當一2Wx<l時，令段）=fvl,解得一14<1,當時，令<x）=-x+2<l,解得x>l,故

兀0<1的解集為（-1,1）U（1,+8）,故D錯誤.

11.（2023?上饒模擬）關(guān)于函數(shù)1》）=2血，+（；下口的說法正確的是（）

A.函數(shù)/U）的圖象關(guān)于y軸對稱

B.函數(shù);（x）的圖象關(guān)于直線x=T對稱

C.函數(shù)大好的最小正周期為2兀

D.函數(shù)人x）的最小值為2

答案ABD

解析對于A,y（x）的定義域為R,

因為負一X）=2sin（r）+Q>in（r）

=Q}nx+2sinx=?x),

所以火x）是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)凡r）的圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確;

對于B,對于任意的xGR,

|sin(z-.v)=2?inA_|_(})加x—j^x)

2

所以函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線對稱,

故B正確；

=2sinx+（g>nx=Ax）,

所以兀為函數(shù)人x）的一個周期，故2兀不是函數(shù)1x）的最小正周期，故C錯誤;

對于D,設(shè)r=2sinve5-2,

則式。=-},因為r+十22,當且僅當即r=l時等號成立，

所以函數(shù)代行的最小值為2,故D正確.

12.(2023?嘉興模擬)設(shè)函數(shù)式x)的定義域為R,其導函數(shù)為/(x),若f(-x)=f(x),fi,2x)

+負2—2x)=3,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.犬1-x)+7(l+x)=3

B.f(2-x)=f(2+x)

c.f(/(i-x))-r(/u+x))

D.flf(x+2))=flf'(x))

答案ABD

解析心x)+y(2—2x)=3,

令x=2x,得兀0+犬2—x)=3,令x=x+l,

得式1—x)+y(l+x)=3,故A正確；

由選項A的分析知./(x)+yi：2-x)=3,等式兩邊同時求導，

得/。)一/'(2—x)=0,即/(x)=/(2—x),①

又/'(X)=/'(-X),/(X)為偶函數(shù)，

所以/(2—x)=f(X-2),②

由①②得ra)=r(x-2),所以函數(shù)/(X)的周期為2.

所以，(2-%)=ra)=r(2+x),

即/(2—x)=f(2+x),故B正確；

由選項B的分析知/(2—x)=r(2+x),

則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.

33

令式l_x)=]—A(x),/U+X)=2+A(X),

3

則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線對稱，不符合題意，故C錯誤；

由選項B的分析可知函數(shù)/(力的周期為2,則/(x)=/(x+2),

所以用■'。))=*'(x+2)),故D正確.

三、填空題

13.(2023?全國甲卷)若式x)=(x—l)2+av+sin(x+0為偶函數(shù)，則。=.

答案2

解析'?'/JC)=(X—l)2+ar+sin^r+^

=(x—l)2+a￥+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx,

且函數(shù)為偶函數(shù)，

a-2=0,解得4=2.

經(jīng)驗證，當4=2時滿足題意.

14.（2023?湖州、衢州、麗水三市模擬）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)次x）滿足：人一了）中力，且

式2—x）+7U）=0.請寫出符合條件的一個函數(shù)的解析式.

7T

答案fix）=COS]X（答案不唯一）

解析由7（2-x）+yU）=0,得出對稱中心（1,0）,且由逃一x）=Ax）得出對稱軸為y軸，且周期

為4,即滿足上述條件的函數(shù)都可以.

15.（2023?濟寧模擬）已知函數(shù)/（x）=eW-cos和則使得加一1）42x）成立的x的取值范圍是

答案（一/）

解析顯然外）是偶函數(shù)，

當x>0時，/（x）=eA—coszx,

f（x）=ev+pin會,

當0<rW2時，顯然，（x）>0,

當尤>2時，ev>e2,

兀—兀.兀兀

-2^2sin

所以，（x）>0,

所以Kx）在（0,+8）上單調(diào)遞增，在（-8,0）上單調(diào)遞減.

所以當加一1）次2x）時,有Ix-l|>|2x|,

解得一

16.（2023?江蘇省八市模擬）已知函數(shù)以x）的定義域為R,y=/（x）+e■，是偶函數(shù)，y=4x）-3e；

是奇函數(shù)，則於）的最小值為.

答案26

解析因為函數(shù)y=_/（x）+ex為偶函數(shù)，

所以述一；0+5，=加0+&\

即火x）—/（一工）=屋*—e",①

又因為函數(shù)y=Kx）—3e*為奇函數(shù)，

所以八一工）-3e-v=-fix）+3eA,

即人工）+火一工）=31+3已一。②

聯(lián)立①②可得y(x)=e'+2e)，

由基本不等式可得<x)=e'+2er>2^ev-2e-1=2吸，

當且僅當3=2葭，，即尸夕n2時，等號成立，

故函數(shù)f(x)的最小值為2啦.第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與

方程

［考情分析11.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不

等式是常見題型.2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是常考題型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函

數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點，通?？疾橹笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.

考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【核心提煉】

指數(shù)函數(shù)且。為)與對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y

=/對稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<〃<1,兩種情況，著重關(guān)注兩種函數(shù)圖象的異同.

例1(1)已知log2〃+log2b=0(。>0且〃w1,b>0且bW1),貝lj函數(shù)y(x)=(5)與g(x)=log成的

圖象可能是()

答案B

解析Iog2〃+log26=0,

即為log2ab=0,即有ab=l,

當a>\時，0<人<1,

函數(shù)與g(x)=log//均為減函數(shù)，四個圖象均不滿足；當0<。<1時，b>\,

函數(shù)7U)=O與g(x)=log成均為增函數(shù)，排除A,C,D,在同一坐標系中的圖象只能是B.

⑵（2023?六盤水質(zhì)檢）設(shè)a=0.7%b=0.8°7,c=logo.80.7,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.d>c>b

C.c>a>bD.c>h>a

答案D

解析由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

可得c=logo.80.7>logo.s0.8=1,

又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

可得1>/7=0.807>0.80,8,

由嘉函數(shù)y=/8在（0,+8）上單調(diào)遞增，可得0.8°$>0.7°$=a,所以

0708

所以logo.80.7>0.8->0.7-,即c>h>a.

規(guī)律方法（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)有關(guān)的問題時，首先要看底數(shù)〃的取值范圍.

（2）基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.

跟蹤演練1（1）（多選）（2023?惠州模擬）若6"=2,6"=3,則（）

b

A.a+b=lB./l

C.ab<^D.b—a<^

答案ABC

解析因為6"=3,6"=2,

所以b=log63,a=log62,貝（〃+6=log66=l,故A正確；

選項B,-=j^|=log23>log22=1,故B正確；

選項C,因為〃>0,/?>0,a#b,

所以〃*故C正確；

32431

選項D,因為5（/?—所以力一。>予故D錯誤.

（2）（2023?邯鄲模擬）不等式10V—6、-3'21的解集為.

答案［1,+8）

解析由1（/—61—3、21,

可得（古〉+0'+（->wi.

令於）=（金+（1>+闔、

因為>=（=），丫=停｝,尸島）.均在R上是減函數(shù)，則加）在R上是減函數(shù)，且川）=1,

所以yu)qu),即

故不等式的解集為[1,+8).

考點二函數(shù)的零點

【核心提煉】

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法

(1)利用函數(shù)零點存在定理判斷.

(2)代數(shù)法：求方程|x)=0的實數(shù)根.

(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出

零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解,在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調(diào)

性.

考向1函數(shù)零點個數(shù)的判斷

例2(2023?全國甲卷)函數(shù))，=式》)的圖象由函數(shù)y=cos(2x+§的圖象向左平移點個單位長度

得到，則y=7(x)的圖象與直線；的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析因為y=cos(2x+1)向左平移專個單位長度所得函數(shù)為y=cos[2(x+§+*=

cos(2x+9=-sin2x,

所以“x)=-sin2x,

而y=5—3顯然過(0，一,與(1,0)兩點，

作出y=/(x)與的大致圖象如圖所示，

3F

考慮2x=-多，2%=爭，2r=空，

即尸一季1=淳尸與處危)與尸$一當?shù)拇笮￡P(guān)系,

當x=―個時，一￥)=-sin(一須=-1,

當》=中時，/閨=—siny=l,

137c13兀一4

產(chǎn)式一

428<1;

》=個時，/閨=一疝7K

當

2=1,

1、，7兀17兀—4.

丫=雪彳一L^->1.

所以由圖可知，|X）與y=%—4的交點個數(shù)為3.

考向2求參數(shù)的值或范圍

例3若關(guān)于x的方程e'=a|x|恰有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)。=.

答案e

解析如圖，顯然a>0.

當xWO時，由單調(diào)性得方程e'=一?x有且僅有一解.

因此當x>0時，方程e*=ar只有一解.

即y—ax與y=e’相切，

y'—e^,令y'="得x=lna,

故當x=lna時，ex=ax,

得e“"=alna,即a—（Ana,

從而a=e,故當a=e時，）'="與函數(shù)y=e'相切，此時方程et=ar有一解,

若方程e*=a|x|恰有兩個不同的解，則a=e.

規(guī)律方法利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值（或取值范圍）的三種方法

利用零點存在定理構(gòu)建不等式確定參

直接法

I—數(shù)的取值范圍

|分離*數(shù)法I將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題|

先對解析式變形，在同一平面直角坐標系

|數(shù)形結(jié)合法

I—中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解

2,+3*—4,x'O,

跟蹤演練2（1）函數(shù)式x）=的零點個數(shù)為（)

F+2JV,X<0

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析當x20時，<乂)=2，+3'—4在(0,+8)上單調(diào)遞增且火0加1)<0,

.力㈤在(0,1)上有唯一零點;

當x<0時，令f+2x=0,

解得x=-2(舍x=0),故/U)共有2個零點.

7T

⑵(2023?九江模擬涵數(shù)於)=4sin/一仇一1|的所有零點之和為

答案6

一7T

解析令兀r)=0,得4sinm=|工一1|,

人兀

令gCx)=4sin/x,h(x)=\x—}\y

2兀

可知g(九)的周期T=—=4,

2

對稱軸為x=l+2Z,kGZ,

且〃(x)的對稱軸為x=l9

易得4sin^=4=|5—1|,

4sin(V)=4=L3-1|,

作出g(x)=4sin條和人。)=枕一1］的圖象如圖所示.

因為g(x)與〃(x)有6個交點,

所以凡0在［-3,5］上存在6個零點，

因為g(x)和例㈤的函數(shù)圖象關(guān)于X=1對稱，則段)零點關(guān)于x=l對稱,

所以/U)的所有零點之和為6X1=6.

考點三函數(shù)模型及其應(yīng)用

【核心提煉】

解函數(shù)應(yīng)用題的步躲

(1)審題：縝密審題，準確理解題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系.

⑵建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相

應(yīng)的數(shù)學模型.

(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論.

(4)反饋：將得到的數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的意義.

例4(1)某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%,若要

使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾(參考數(shù)據(jù)：1g2七0.3010)()

A.2次B.3次

C.4次D.5次

答案D

解析設(shè)經(jīng)過〃(〃GN*)次過濾后，水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，貝貝一50%)“<5%,

即0崗

不等式兩邊取常用對數(shù)得川g2>lg2+l,

解得心喘」弋4.3,

故至少需要過濾5次.

(2)(多選)(2023?新高考全國1)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，

定義聲壓級加=20X1g常，其中常數(shù)po(po>O)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲

源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為0,唯曲，則

()

A.P會P2B.〃2>10〃3

C.p3=lOOpoD.piWlOOp?

答案ACD

解析因為加=20Xlg常隨著p的增大而增大，

且L”[60,90],G[50,60],

所以42%,

所以P1)P2,故A正確；

Lp

由Lp=20Xlgj得X區(qū)。。,

因為LP3=40,

40

所以P3=Pol。"'=100加，故C正確；

%組

假設(shè)〃＞10門，則％1°元＞10〃。10萬，

所以10式東＞10,

所以Lp,-L也＞20,不可能成立，故B不正確；

Ln

因為史必=------d=102020力，

P1殳

PolO20

所以piW100p2,故D正確.

易錯提醒構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的失分點

(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型.

(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤.

(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.

跟蹤演練3(1)(2023?合肥模擬)Malthus模型是一種重要的數(shù)學模型.某研究人員在研究一種

細菌繁殖數(shù)量N(r)與時間t的關(guān)系時.，得到的Malthus模型是NQ)=NoeP的,其中No是t=tQ

時刻的細菌數(shù)量，e為自然對數(shù)的底數(shù).若t時刻細菌數(shù)量是力時刻細菌數(shù)量的6.3倍，則t

約為(In6.3^1.84)()

A.2B.3C.4D.5

答案C

M

解析由題意得，N(t)=N^'^6.3N0,即心4&=6.3,

則0.46f=ln6.3比1.84,得14.

(2)金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉

保存.已知金針菇失去的新鮮度h與其采摘后時間“天)滿足的函數(shù)解析式為〃=Mn(/+

a)(a＞0).若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%,采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為

80%.那么若不及時處理，采摘下來的金針菇在多長時間后開始失去全部新鮮度（已知也

%1.414,結(jié)果取一位小數(shù)）（）

A.4.0天B.4.3天

C.4.7天D.5.1天

答案C

znln(1+a)=0.4,

解析由已知

mln(3+a)=0.8,

ln(3+〃)

相除得=2,

ln(l+a)

ln(3+a)=21n(l+〃)，(l+a)2=3+o,

因為a>0,故解得ci=1,

設(shè)1天后開始失去全部新鮮度，則相l(xiāng)nQ+l）=l,

又〃?ln（l+1）=0.4,

ln(r+l)_1

所以，

In2~0A9

21n(r+l)=51n2=ln32,

“+1)2=32,r+1=^32=4^2=4x1.414=5.656,P4.656E.7.

專題強化練

一、單項選擇題

1.已知幕函數(shù)y=/(x)的圖象過點(8,2啦)，則式9)的值為()

A.2B.3C.4D.9

答案B

解析設(shè)霖函數(shù)為_/U)=L,圖象過點(8,2小)，故八8)=8"=2陋，故4=3,

￡

式x)=x2,式9)=也=3.

2

2.(2023?南昌模擬)已知a=log40.4,Z>=log0.40.2,c=0.4°-,則()

A.c>a>bB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

答案C

解析因為tz=log40.4<log41=0,

/?=logo,40.2>logo.40.4=1,

0<C=0.4°-2<0.4°=1,所以b>c>a.

3.（2023?威海模擬）已知2"=9,log83=b,則/等于（）

A.|B.2C.6D.9

答案C

解析因為2"=9,

所以a=log29=log232=21og23,

又*=log83=log2-3=|log23,

所以'答巡=6.

3I°g23

4.已知函數(shù)y=log“（x+c）（a,c為常數(shù),其中tf>0,的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的

是（）

A.a>\,c>\B.6f>l,0<c<l

C.0<tz<1,c>lD.0<?<1,0<C<1

答案D

解析由題圖可知函數(shù)為減函數(shù)，

結(jié)合y=log?（x+c）可知0<a<I,

當x=l時，log?（l+c）<0,Al+c>l,.1.00,

當x=0時，logac>0,.,.0<c<l,故0<c<l.

5.(2023?銀川模擬)函數(shù)|為=1082刀+/+他在區(qū)間(2,4)上存在零點，則實數(shù)，”的取值范圍是

()

A.(-8,-18)B.(5,+8)

C.(5,18)D.(-18,-5)

答案D

解析由函數(shù)零點存在定理可知，若函數(shù)式幻=10821+/+機在區(qū)間（2,4）上存在零點,

顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足12）負4）<0,即（旭+5）（加+18）<0,

解得一18<nz<—5,

所以實數(shù)，”的取值范圍是（-18,-5）.

6.（2023?天津模擬）設(shè)正實數(shù)a,h,c分別滿足!=2",|=log2Z?,^=log3c,則a,h,c的大

小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.a>c>b

答案c

解析在同一坐標系中，作出y=2。y=5，y=log2X,y=logM的圖象，由圖象得c>6>a.

7.（2023?鄭州模擬）某中學堅持“五育”并舉，全面推進素質(zhì)教育.為了更好地增強學生們的

身體素質(zhì)，校長帶領(lǐng)同學們一起做俯臥撐鍛煉.鍛煉是否達到中等強度運動，簡單測量方法

為人。=kd,其中r為運動后心率（單位：次/分）與正常時心率的比值，上為每個個體的體質(zhì)健

康系數(shù).若々）介于［28,34］之間，則達到了中等強度運動；若低于28,則運動不足；若高于

34,則運動過量.己知某同學正常時心率為80,體質(zhì)健康系數(shù)上=7,經(jīng)過俯臥撐后心率y（單

位：次份）滿足y=80（ln\^+l）,x為俯臥撐個數(shù).已知俯臥撐每組12個，若該同學要達

到中等強度運動，則較合適的俯臥撐組數(shù)為（e為自然對數(shù)的底數(shù)，e^2.718）（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由題意，設(shè)俯臥撐組數(shù)為a（adN*）,

則x=12a,

所以W）=7e'=7eM"&>=76「目28,34］,

所以也6已譽"G限器］，

因為營處2.166,七署比3.193,且“GN”,所以“=3.

8.(2023?銅陵模擬)已知a=k)g75,Z?=log97,c=logu9,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

答案A

M圻tnilg_51^71g51g9-lg27

解析因為]窕75—1。897_嬴一氤一？]7植9°

1g